2.2.1 平方差公式

原来
b米
现在
(a+b)米
a米
2 2 2 a -b
a
(a-b) 米
(a+b)(a-b)
b2
b米
相等吗？
a ba b a
2
b
2
平方差公式：
(a+b)(a−b)= a2−b2
两个数的和与这两个数的差的积等于这两数的平方差
两数和乘两数差， 等于两数平方差。
找一找、填一填
(a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
81 a
2
拓展提升
运用平方差公式计算： (2 x y)(2 x y)(4 x 2 y 2 ) （1）解：原式 [(2 x)
2
2
y ](4 x y )
2 2 2
2 2 2
(4x y )(4x y )
(4 x ) ( y )
2 2
2 2
16x y
活动2
计算：
你发现了什么规律？
a 2 12 a 2 22 a 2 32 a 2 42
(1)(a 1)(a 1) a 2 1
(2)(a 2)(a 2) a 2 4
(3)(a 3)(a 3) a 9
2
(4)(a 4)(a 4) a 2 16
a
1 -3
b
x a
a 2 -b 2
1 2 -x 2 (-3)2-a2
a (1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x
1
1
a 2 -1 2
( 0.3x)2-12

2.2.1平方差公式要点感知 两个数的 __________与这两个数的 __________ 的等于这两个数的平方差, 即(a+b)(a-b)=__________. 预习练习计算：(1)(2a+1)(2a-1)=__________ ； (2)(s-3t)(s+3t)=__________ ；(3)(2a+3b)(2a-3b)=__________ ；(4)(ab+4b)(ab-4b)=__________. 知识点 1平方差公式1. 下列计算中，不能用平方差公式计算的是()A ．（ x+y ）（ x-y）B ．（ -x-y）（ -x+y）C ．（ x-y）（ -x+y）D ．（ -x-y）（ y-x ）2. 下列各式计算正确的是 ( ) A.(x+3)(x-3)=x2-3B.(2x+3)(2x-3)=2x2-9C.(2x+3)(x-3)=2x2-9D.(5ab+1)(5ab-1)=25a2b 2-13. 如果 (2x-3y)· M=4x 2-9y 2, 那么M 表示的式子为( )A.-2x+3y 4. 下列各式B.2x-3y: ① (x-2y)(2y+x)C.-2x-3y；② (x-2y)(-x-2y)D.2x+3y；③ (-x-2y)(x+2y)；④ (x-2y)(-x+2y).其中能用平方差公式计算的是()A. ①②B.①③ C.②③D. ②④5. 计算：（ 1） (3x-y)(3x+y)=__________;6. 当 x=3， y=1 时，代数式 (x+y)(x-y)+y7. 计算：（ 2） (-x-1)(x-1)=__________.2的值是 ________ __.(1)(2m+3n)(3n-2m);(2)(-1x-1y)(1 y-1x);2 332(3)(-3x2+ 1)(-3x2-1).22知识点 2 平方差公式的应用8. 若 a 2-b 2=12,a+b=6, 则 a-b 的值是 ()A.1B.2C.3D.49. 对于任意的整数 n, 能整除 (n+2)(n-2)-(n+3)(n-3)的整数是 ( )A.2B.3C.4D.510. 如果（ x+y-3) 2+(x-y+5) 2=0，那么 x 2 -y 2=__________.11. 计算：(1)197 × 203;(2)99.8× 100.2.12. 如 1，从 a 的正方形片中剪去一个 b 的小正方形，再沿着段AB 剪开，把剪成的两片拼成如 2 的等腰梯形 .(1) 1 中阴影部分面 S1， 2 中阴影部分面 S2，直接用含 a， b 的代数式表示 S1，S2；(2) 写出上述程所揭示的乘法公式.13.下列各式能用平方差公式算的是( )A.(3a+b)(a-b)B.(-3a-b)(-3a+b)C.(3a+b)(-3a-b)D.(-3a+b)(3a-b)14.算 2 011 × 2 013-2 0122的果是 ()A.1B.-1C.2D.-215.察等式 : ①9-1= 2× 4；② 25-1=4 × 6；③ 49-1=6 ×8⋯按照种律写出第n 个等式____________________.16.算：(1)(-3x+5y)(-5y-3x);(2)(x+y)(x-y)+(x+2y)(-x+2y)；11(3)(-a+b)(-a-b)-(3a-2b)(3a+2b)；(4)(x+2y)(x-2y)-(x-4y)(x+4y)+(6y-5x)(5x+6y).2217. 已知 (a+b-1)(a+b+1)=8 ，求 a+b 的 .18. 利用平方差公式 算： (1)602× 591;(2)201422014 .3 32015 201319. 小明家有一 a 米的正方形土地租 了养 殖 刘杰 . 今年小明的爸爸 刘杰 ：“我把 地一 减少 1 米, 另外一 增加 1 米 , 租金不 , 租 你 , 你看如何？”养殖 刘杰一听 , 就答 了 . 你 养殖 刘杰吃 了 ？ 什么？20. 若 (2x+y-1) 2+|x-2y- 3|=0, 求代数式 (2x+y)(2x-y)-(x+2y)(x-2y)-1的 .21. 先 察下面的解 程，然后解答 ： 目：化 ： (2+1)(2 2+1)(2 4+1).解： (2+1)(2 2 +1)(2 4+1)=(2-1)(2+1)(22+1)(2 4+1)=(2 2-1)(2 2+1)(2 4+1)=(2 4- 1)(2 4+1)=2 8-1.：化 ： (3+1)(3 2+1)(3 4+1)(3 8 +1) ⋯ (3 64+1).参考答案要点感知和 差 a 2-b 2(1)4a2-1 (2)s 2-9t 2 (3)4a 2-9b 2 (4)a2b 2-16b 21. C2. D3. D4. A5. (1)9x 2-y 2 (2)1-x 26. 97. (1) 原式 =9n 2-4m 2.(2) 原式 = 1x 2- 1y 2.49(3) 原式 =9x 4- 1.48. B 9. D10. -1511. (1) 原式 =(200-3)(200+3)=200 2-3 2=40 000-9=39 991.(2) 原式 =(100-0.2) × (100+0.2)=100 2-0.2 2=10 000-0.04=9 999.96.12. (1)S 1＝ a 2-b 2， S 2＝ 1(2b+2a)(a-b)＝ (a+b)(a-b).2(2)(a+b)(a-b) ＝ a 2-b 2.13. B 14. B2215. (2n+1)-1 =2n(2n+2)16. (1) 原式 =(-3x+5y)(-3x-5y)=(-3x) 2-(5y) 2 =9x 2-25y 2.(2) 原式 =x 2 -y 2+4y 2-x 2=3y 2.(3) 原式 =a 2- 1b 2 -9a 2+4b 2=-8a 2+15b 2.44(4) 原式 =x 2 -4y 2-x 2+16y 2+36y 2-25x 2=48y 2-25x 2. 17. (a+b-1)(a+b+1)=[(a+b)-1][(a+b)+1]=(a+b) 2-1=8 ，所以 (a+b) 2 =9，所以 a+b=±3.18. (1) 原式 =(60+ 2) × (60-2)=3 600-4=3 599 5 .3399(2) 原式 =2014=2014=2 014.20141 (201420142 201421) 2014 2 119. 养殖 刘杰吃 了 .理由：因 原正方形的面 a 2 平方米 , 改 后面 (a+1)(a-1)=a 2-1 （平方米） , 因 a 2 ＞ a 2-1, 所以 , 养殖 刘杰吃 了 .20.x 2y 3 0, x 1, 根据 意，得y1 解得y1.2x 0.所以，原式 =3x 2+3y 2-1=3 × 12+3× (-1) 2-1=5. 21. 原式 = 1 (3-1)(3+1)(32+1)(3 4+1)(3 8+1) ⋯ (3 64+1)2= 1 (3 2-1)(3 2+1)(3 4+1)(3 8+1) ⋯ (3 64+1)2=1 (3 4-1)(3 4+1)(3 8+1) ⋯ (3 64+1)2=1(3 8-1)(3 8+1) ⋯ (3 64+1)21664= 1(3 -1) ⋯ (3 +1)2= 1 (3 64-1)(364+1)2=1(3 128-1).2。

将括号内的式子 转化为平方差公 式形式.
【例3】计算：1002×998.
解：1002×998 =( 1000+2 )( 1000-2 ) =10002-22 =999996.
运用平方差公式 可以简化一些运 算.
1.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？ （1）( x-2 )( x+2 )=x2 -2； （2）( -2x-1 )( 2x-1 )=4x2-1.
a a
a-b
b （1）
b （2）
图（2）中的面积为：( a+b )( a-b )，图（1）中的剩余部 分的面积为a2-b2.由题可知，图（2）的面积为图（1）剩 余部分的面积，所以( a+b )( a-b )=a2-b2.
对于满足平方差公式特征的多项式的乘法，可以利用该公式进行简 便计算.
【例1】运用平方差公式计算： （1）( 2x+1 )( 2x-1 )；

；
（2）( 4a+b )( -b+4a ).
解：（1）
2x

1 2
y


2x

1 2
y


2 x 2


1 2
y
2

4x2 1 y2. 4
（2）( 4a+b )( -b+4a )
= ( 4a+b )( 4a-b )
= ( 4a )2-b2 = 16a2-b2.
我们把
( a+b )( a-b )=a2-b2.
叫做平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两 个数的平方差.
讨论
如图（1），将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并

；
(2)(4a+b)(-b+4a).
（ 1） 骣 琪 琪 桫 -2x-1 2y 骣 琪 琪 桫 -2x+1 2y
解
骣 琪 琪 桫 -2x-12y 骣 琪 琪 桫 -2x+12y
=（-2x）2-骣 琪 琪 桫12y 2
= 4x2-14y2
(2)(4a+b)(-b+4a)
解 (4a+b)(-b+4a) = (4a)2 -b2 = 16a2 -b2
(2) (1+2a)(1−2a) ；
• (3) (x+4y)(x−4y) ； (4) (y+5z)(y−5z) ；
• 观察以上算式及其运算结果， 你发现了什么规律
？
结论 我们把 (a+b)(a-b)= a2 -b2 .
叫做平方差公式.
结论
也就是：
两个数的和与这两个数的差的积 等于这两个数的平方差.
个长方形，再将这两个长方形拼成如图(b). 你能用
这两个图来解释平方差公式吗？
(a)
(b)
由图(a)得剩余部分的面积可看成大正方
形面积减去小正方形面积，即 a 2 - b 2
由图(b)得两个小长方形的面积和可看成
大长方形面积，即 (a+b)(a-b)
因此，( a+ b ) ( a-b ) = a 2-b 2
(-a+1)(-a-1)=a2+a-a-12 = a2 - 1 (-a+2)(-a-2)=a2+2a-2a-22= a 2 - 4
(-a+3)(-a-3)=a2+3a-3a-32= a 2 - 9 (-a+4)(-a-4)=a2+4a-4a-42 = a2 -16