专题九 解析几何第二十六讲 双曲线答案

3 ,
3
3 3
3 2
1
F1
O
F2
1
2
15. 已知双曲线C
:
x2 a2

y2 b2
1(a

0, b

0)的左、右焦点
分别为F1, F2 , 过F1的直线与C的两条渐近线交于A, B两点.
若F1 A AB, F1B F2B 0, 则C的离心率为 2
.
注意到OB OF1 OF2 c, 得到OA垂直平分F1B,
所以OMN 30,FON 30,OF 2
在Rt△FON中, ON OF cos 30 2 3 3
2
在Rt△MON中, MN ON tan 60 3 3 3
y M
O
Fx
N
5. 双曲线
x2 a2

y2 b2

D. (0, 2), (0, 2)
双曲线的焦点在x轴上, 且a2 3, b2 1, 所以c2 a2 b2 3 1 4, c 2, 所以焦点坐标为(2, 0), (2, 0)
9. 已知双曲线C
:
x2 a2

y2 b2

1a

0, b

0的一条渐近线方程
为y 5 x,且与椭圆 x2 y2 1有公共焦点,则C的方程为
解得 c 2,即e 2 a
2. 双曲线C：x2 y2 1的右焦点为F , 点P在C的一条渐 42
近线上, O为坐标原点. 若 PO PF , 则△PFO的面积为
(A)
5
32 A.
4
32 B.
2
C. 2 2 4 D. 3 2

反比例函数与几何综合（习题）➢例题示范例：如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD=9，则S△OBD的值为_________．思路分析1.读题标注，找关键点．点C，D是直角三角形与反比例函数图象的交点，为关键点；因S△OBD，要求S△OBD的值，故计算k值即可．2.考虑将函数特征与几何特征进行转化、组合，列方程求解．①整合条件．考虑通过横平竖直的线，将函数特征和几何特征结合起来：过点C作CE⊥x轴．于点E，则S△COE② 尝试将几何条件与横平竖直的线结合起来使用．点C 为OA 中点，故S △OCD =S △ACD =9；CE ⊥x 轴，故△COE ∽△AOB ，且相似比为1:2，面积比为1:4，故S △AOB =2k ．③ 列方程求解．由S △AOB -S △OBD =S △AOD =18，得，故k =12，所以S △OBD 的值为6．➢ 巩固练习1.如图，梯形ABCO的底边AO在轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB 于点D，且OD:DB=1:2．若△OBC的面积为3，则k的值为______．第1题图第2题图2.如图，双曲线（）经过Rt△OAB的斜边OB的中点D，与直角边AB交于点C．若△OBC的面积为3，则k=______．3.如图，平行四边形AOBC的对角线交于点E，双曲线（）经过A，E两点．若平行四边形AOBC 的面积为18，则k=________．4.如图，正方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，C(2，1)，D(1，1)．反比例函数（）的图象与边BC交于点E，与边CD交于点F．若BE:CE=3:1，则DF:FC=_________．5.如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数（）的图象上，则点E的坐标是________．第5题图第6题图6.如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，P为线段AB上一点，且PC为△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数（）的图象于点Q，，则k=________，点Q的坐标为__________．7.如图，点A，B在反比例函数（，）的图象上，过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，延长线段AB交x轴于点C．若OM=MN=NC，△AOC的面积为6，则k的值为___________．8.如图，若双曲线与边长为5的等边△AOB的边OA，AB分别相交于C，D两点，且OC=3BD，则实数k的值为____．9.如图，双曲线（）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D．若梯形ODBC的面积为3，则反比例函数的解析式为___________．10.已知反比例函数（m为常数）的图象经过点A(-1，6)．（1）求m的值；（2）如图，过点A作直线AC与函数的图象交于另一点B，与x轴交于点C，且AB=2BC，求点C的坐标．11.如图，直线与反比例函数的图象相交于A(1，6)，B(a，3)两点．（1）求k1，k2的值；（2）直接写出时x的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．➢思考小结1.反比例函数与几何综合问题的处理，主要从入口、转化、出口三方面操作．结合做题体验填空：①从__________入手；②梳理函数与几何信息，___________与_________________互相转化．③借助________或__________建方程求解．2.动手操作，尝试证明反比例函数三个模型：结论：结论：AB=CD 结论：BD∥CE【参考答案】➢巩固练习1.2.-23.-64.1:15.(，)6.3，(2，)7. 48.9.10.（1）m=2；（2）C(-4，0)11.（1）k1=-3，k2=6；（2）1＜x＜2；（3）PC=PE，理由略．➢思考小结1.①关键点②关键点坐标，横平竖直的线段长③函数特征，几何特征2.证明略。

A. 22
2
B. 4 10
5
答案 D
C. 7
D. 10
4.(2017课标Ⅲ理,5,5分)已知双曲线C:
x a
2 2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线方
程为y= 5 x,且与椭圆 x2 + y2 =1有公共焦点,则C的方程为 ( )
2
12 3
A. x2 - y2 =1
8 10
B. x2 - y2 =1
C.互为共轭的双曲线的离心率为e1、e2,则e1e2≥2
D.互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上
答案 CD
7.(多选)(2021广东揭阳4月联考,9)已知一组直线x±2y=0,则以该组直线为
渐近线的双曲线的方程可能是 ( )
A.x2-4y2=1 B.4y2-x2=1
C.x2- y2 =1
4
答案 ABD
y
k1
x2 y2 16
x
1 2
m,
1(x 1),
得
(16-
k12
)x2+(
k12
-2k1m)x-
1 4
k12
+k1m-m2-16=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=
k12 2k1m k12 16
,x1x2=
1 4
k12
m2 k1m k12 16
16
,
则|TA|=
设其方程为 x2 - y2 =1(a>0,b>0,x≥a),
a2 b2
则2a=2,2c=2 17 ,解得a=1,c= 17 ,
则b2=c2-a2=( 17 )2-12=16,

第二章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.2双曲线的几何性质课后篇巩固提升必备知识基础练1.若双曲线x2-y2k=1的一条渐近线的斜率是-2,则实数k的值为()A.4B.14C.-4D.-14x2-y2k=1的一条渐近线的斜率是-2,可得√k=2,解得k=4.2.双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为50°,则C的离心率为()A.2sin 40°B.2cos 40°C.1°D.1cos50°C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax,由双曲线的一条渐近线的倾斜角为50°,得ba =tan50°=sin50°cos50°,则b2a2=c2-a2a2=e2-1=sin250°cos250°,得e2=1+sin250°cos250°=1cos250°,∴e=1cos50°.3.渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是()A.√22B.1C.√2D.2x±y=0的双曲线,可得a=b,所以c=√2a.则该双曲线的离心率为e=ca=√2.4.(多选)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与直线y=kx交于A,B两点,点P(x0,y0)为C上任意一点,且直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且k PA·k PB=94,则下列结论正确的是()A.双曲线的渐近线方程为y=±32xB.双曲线的渐近线方程为y=±52xC.双曲线的离心率为√132 D.双曲线的离心率为134A (x ,y ),B (-x ,-y ),有x 2a2−y 2b 2=1. 又∵x 02a 2−y 02b 2=1,两式相减得x 02-x 2a 2=y 02-y 2b 2,即x 02-x 2y 02-y 2=a 2b 2. 又∵k PA ·k PB =(y 0-y )(x 0-x )·(y 0+y )(x 0+x )=94,∴b 2a 2=94,∴b a=32,∴双曲线的渐近线方程为y=±32x ,故选项A 正确;又∵b 2a2=c 2-a 2a 2=e 2-1=94,∴e=√132,故选项C 正确.5.我们把方程分别为x 2a2−y 2b2=1和y 2b2−x 2a 2=1的双曲线称为共轭双曲线,则共轭双曲线有相同的( )A.离心率B.渐近线C.焦点D.顶点共轭双曲线x 2a2−y 2b2=1和y 2b2−x 2a 2=1的c=√a 2+b 2,设a>0,b>0,可得它们的焦点分别为(±c ,0),(0,±c ), 渐近线方程均为y=±bax ,离心率分别为ca和cb,它们的顶点分别为(±a ,0),(0,±b ).6.(2021全国乙,理13)已知双曲线C :x 2m -y 2=1(m>0)的一条渐近线为√3x+my=0,则C 的焦距为 .由双曲线方程可知其渐近线方程为√m±y=0,即y=±√mx ,得-√3m=-√m,解得m=3.可得C 的焦距为2√m +1=4. 7.双曲线C :x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F 1,F 2,以坐标原点O 为圆心,以c 为半径作圆A ,圆A与双曲线C 的一个交点为P ,若三角形F 1PF 2的面积为a 2,则C 的离心率为 . √2P 为右支上一点,设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,由双曲线的定义可得m-n=2a ,由题意可得△PF1F2为直角三角形,且∠F1PF2=90°,可得m2+n2=4c2,且12mn=a2,由(m-n)2=m2+n2-2mn=4c2-4a2=4a2,即为c=√2a,可得e=ba=√2.8.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分;(2)渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.由两顶点间的距离是6,得2a=6,即a=3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12,即c=6,于是有b2=c2-a2=62-32=27.由于焦点所在的坐标轴不确定,故所求双曲线的标准方程为x 29−y227=1或y29−x227=1.(2)设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),即x 2λ4−y2λ9=1(λ≠0),由题意得a=3.当λ>0时,λ4=9,λ=36,双曲线方程为x29−y24=1;当λ<0时,-λ9=9,λ=-81,双曲线方程为y29−x2814=1.故所求双曲线的标准方程为x29−y24=1或y29−x2814=1.9.过双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,求C的离心率.,与渐近线平行的直线l的斜率为ba ,又直线l过右焦点F(c,0),则直线l的方程为y=ba(x-c).因为点P的横坐标为2a,代入双曲线方程得4a 2a2−y2b2=1,化简得y=-√3b或y=√3b(点P在x轴下方,故舍去),故点P的坐标为(2a,-√3b),代入直线方程得-√3b=ba (2a-c),化简可得离心率e=ca=2+√3.关键能力提升练10.如图,中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M ,N 是双曲线的两顶点,若M ,O ,N 将椭圆的长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A.3B.2C.√3D.√2设椭圆与双曲线的标准方程分别为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),x 2m 2−y 2n 2=1(m>0,n>0),因为它们共焦点,所以设它们的半焦距均为c ,所以椭圆与双曲线的离心率分别为e 1=ca,e 2=cm ,由点M ,O ,N 将椭圆长轴四等分可知m=a-m ,即2m=a ,所以e 2e 1=c m c a=am =2.11.(2019全国Ⅲ,理10)双曲线C :x 24−y 22=1的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO 的面积为( ) A.3√24B.3√22C.2√2D.3√2a=2,b=√2,则c=√a 2+b 2=√6,∴F (√6,0).∵|PO|=|PF|,∴x P =√62.又P 在C 的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=√22x 上,∴y P =√22×√62=√32. ∴S △PFO =12|OF|·|y P |=12×√6×√32=3√24.故选A .12.(多选)已知双曲线C 过点(3,√2)且渐近线方程为y=±√33x ,则下列结论正确的是( ) A.C 的方程为x 23-y 2=1 B.C 的离心率为√3C.曲线y=e x-2-1经过C 的一个焦点D.直线x-√2y-1=0与C 有两个公共点x 轴上,可设双曲线C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1,根据条件可知ba=√33,所以方程可化为x 23b2−y 2b2=1,将点(3,√2)代入得b 2=1,所以a 2=3,所以双曲线C 的方程为x 23-y 2=1;若焦点在y 轴上,可设双曲线C 的方程为y 2a 2−x 2b 2=1,根据条件可知ab=√33,所以方程可化为y 2a2−x 23a 2=1,将点(3,√2)代入得a 2=-1(舍去).综上C 的方程为x 23-y 2=1,故A 正确;离心率e=c a =√a 2+b 2a 2=√3+13=2√33,故B 错误;双曲线C 的焦点为(2,0),(-2,0),将x=2代入得y=e 0-1=0,所以C 正确;联立{x 23-y 2=1,x -√2y -1=0,整理得y 2-2√2y+2=0,则Δ=8-8=0,故只有一个公共点,故D 错误.13.设双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线分别交双曲线的左、右两支于M ,N.若以MN 为直径的圆经过右焦点F 2,且|MF 2|=|NF 2|,则双曲线的离心率为( ) A.√6 B.√5 C.√3 D.√2MN 为直径的圆经过右焦点F 2,则MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,又|MF 2|=|NF 2|, 可得△MNF 2为等腰直角三角形, 设|MF 2|=|NF 2|=m ,则|MN|=√2m , 由|MF 2|-|MF 1|=2a ,|NF 1|-|NF 2|=2a , 两式相加可得|NF 1|-|MF 1|=|MN|=4a , 即有m=2√2a.过F 2作MN 的垂线交于点H ,则|F 2H|=2a.在直角三角形HF 1F 2中可得4c 2=4a 2+(2a+2√2a-2a )2, 化为c 2=3a 2,即e=ca =√3.14.已知双曲线C :x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为2,左焦点为F 1,点Q (0,√3c )(c 为半焦距),P 是双曲线C 的右支上的动点,且|PF 1|+|PQ|的最小值为6,则双曲线C 的方程为 .2-y 23=1F 2,则|PF 1|-|PF 2|=2a ,所以|PF 1|+|PQ|=2a+|PF 2|+|PQ|,而|PF 2|+|PQ|的最小值为|QF 2|=√c 2+(√3c )2=2c ,所以|PF 1|+|PQ|的最小值为2a+2c=6, 又ca =2,解得a=1,c=2,于是b 2=3,故双曲线方程为x 2-y 23=1.15.已知双曲线C :x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点,若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则双曲线C 的渐近线方程为 .±√3x,∵F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴OA 为Rt △F 1F 2B 的中位线,∴OA ⊥F 1B. 又∵OA 所在直线斜率为-ba ,∴F 1B 所在直线方程为y=ab (x+c ),联立{y =ab (x +c ),y =b a x ,解得B (a 2cb 2-a 2,abc b 2-a 2), 则|OB|2=a 4c 2(a 2-b 2)2+a 2b 2c 2(a 2-b 2)2=c 2,整理得b 2=3a 2,∴ba =√3,∴双曲线C 的渐近线方程为y=±√3x.16.已知双曲线C 的焦点F (√3,0),双曲线C 上一点P 到F 的最短距离为√3−√2. (1)求双曲线的标准方程和渐近线方程;(2)已知点M (0,1),设P 是双曲线C 上的点,Q 是P 关于原点的对称点.设λ=MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的取值范围.∵双曲线C 的焦点F (√3,0),双曲线C 上一点P 到F 的最短距离为√3−√2,可设双曲线的方程为x 2a2−y 2b 2=1,∴c=√3,c-a=√3−√2,∴a=√2, ∴b 2=c 2-a 2=(√3)2-(√2)2=1,则双曲线的方程为x 22-y 2=1, 令x 22-y 2=0,则y=±√22x ,即渐近线方程为y=±√22x.(2)设P 的坐标为(x 0,y 0),则Q 的坐标为(-x 0,-y 0),∴λ=MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0-1)·(-x 0,-y 0-1)=-x 02−y 02+1=-32x 02+2.∵|x 0|≥√2,∴λ的取值范围是(-∞,-1].学科素养拔高练17.求适合下列条件的双曲线的离心率: (1)双曲线的渐近线方程为y=±32x ; (2)双曲线x 2a2−y 2b 2=1(0<a<b )的半焦距为c ,直线l 过(a ,0),(0,b )两点,且原点到直线l 的距离为√34c.若焦点在x 轴上,则ba =32,故e=√b 2a 2+1=√132. 若焦点在y 轴上,则ab =32,即ba =23, 故e=√b 2a 2+1=√133. 综上所述,双曲线的离心率为√132或√133. (2)依题意,得直线l :bx+ay-ab=0.由原点到l 的距离为√34c ,得√a 2+b 2=√34c ,即ab=√34c 2,∴16a 2b 2=3(a 2+b 2)2,即3b 4-10a 2b 2+3a 4=0,∴3(b 2a 2)2-10×b 2a 2+3=0.解得b 2a 2=13或b 2a 2=3.∵0<a<b ,∴b 2a 2=3.∴e=√1+b 2a 2=2.。