专题23.2 解直角三角形及其应用-重难点题型
【沪科版】
【知识点1 直角三角形的边角关系】 （1）两锐角关系：90A B ∠+∠=︒ （2）三边关系：222a b c +=（勾股定理） （3）边角关系：sin cos a A B c ==
，cos sin b A B c == tan a A b =，tan b B a
= 【知识点2 解直角三角形的类型和解法】
【题型1 可直接解直角三角形（网格问题）】
【例1】（2022•碑林区校级模拟）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，连接AB 、AC ，则sin ∠BAC 的值为（ ）
已知条件 图形
解法
已知一直角边和一个锐
角(),a A ∠ ()
2290,,sin tan a a
B A c b b c a A A
∠=︒-∠=
==-或 已知斜边和一个锐角
(),c A ∠
()
2290,sin ,cos B A a c A b c A b c a ∠=︒-∠===-或 已知两直角边(),a b 22,tan ,90a
c a b A A B A b
=+=
∠∠=︒-∠由求 已知斜边和一条直角边
(),c a
22,sin ,90a
b c a A A B A c
=-=
∠∠=︒-∠由求 对
边
邻边斜边 A
C
B
b
A ．1
2
B ．
√55
C ．
2√5
5
D ．
√52
【变式1-1】（2022•雁塔区校级模拟）如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在交点处，则∠ABC 的正弦值为（ ）
A ．1
2
B ．
6√55
C ．3
5
D ．
3√1010
【变式1-2】（2022秋•周村区期末）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中cos ∠QMB 的值是（ ）
A ．
√55
B ．
2√55
C ．
√22
D ．
√10
5
【变式1-3】（2022春•淮南月考）如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，求∠BAC 的余弦值．
【题型2 不可直接解直角三角形（设元、借助方程）】
【例2】（2022•苍溪县模拟）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A =23
．若D 是AC 上一点，且∠CBD ＝∠A ，则sin ∠ABD 的值为（ ） A ．
513
B ．
8
13
C ．
1039
D ．
3√1010
【变式2-1】（2022•安徽模拟）如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，D 为AC 边上一动点，且tan ∠ABD =1
2，则BD 的长度为（ ）
A ．
15√58
B ．2√5
C ．5
D ．
24√511
【变式2-2】（2022•相城区校级一模）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝CB ，sin ∠BAD =3
5，∠BCD ＝60°，连接AC ，则tan ∠ACD ＝ ．
【变式2-3】（2022•嘉定区三模）如图6，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin∠A =3
5，AB ＝5，BD 平分∠ABC ． （1）求BC 的长； （2）求∠CBD 的正切值．
【题型3 “化斜为直”-解斜三角形】
【例3】（2022秋•香坊区月考）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝8，AC＝2√7，则BC的长为．【变式3-1】（2022秋•汉寿县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是（）
A．4√3B．4√7C．6D．8
【变式3-2】（2022•宝山区校级自主招生）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝6，BD＝4，AC＝CD ＝5，则cos∠ADC＝．
【变式3-3】（2022春•昌江区校级期末）如图，在△ABC中，AD是中线，∠ABC＝30°，∠ADC＝45°．
（1）求AB
BD
的值；
（2）求∠ACB的度数．
【题型4 解直角三角形的应用（仰角、俯角）】
【例4】（2022•卧龙区一模）如图，某工地有一辆吊车，AB为车身，AC为吊臂，吊车从水平地面C处吊起货物，此时测得吊臂AC与水平线的夹角为18°，当货物吊至D处时，测得吊臂AD与水平线的夹角为53°，且吊臂转动过程中长度始终保持不变，此时D处离水平地面的高度DE＝12m，求吊臂的长．（结果保留一位小数，参考数据：sin18°≈0.30，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin53°≈0.80，cos53°≈
0.60，tan53°≈1.33．）
【变式4-1】（2022秋•沙坪坝区校级月考）如图，小文准备测量自己所住楼房的高度，他首先在A处测得楼房顶部E的仰角为53°，然后沿着直线走了7米到B处，再沿着斜坡BC走了13米到达C处，再测得楼房顶部E的仰角为37°，已知小文身高1.5米（即AM＝CN＝1.5米），且斜坡BC的坡度i＝1：2.4，则楼房EF的高度大约为（）米．
（参考数据：sin37°≈3
5，cos37°≈
4
5，tan37°≈
3
4，sin53°≈
4
5，cos53°≈
3
5，tan53°≈
4
3）
A．42.5B．44.5C．45.5D．47.4
