浙江省桐乡市凤鸣高级中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题含答案

2017-2018学年浙江省温州中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合{5，6}等于（）A．M∪N B．M∩N C．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）2．若p：θ=+2kπ，k∈Z，q：y=cos（ωx+θ）（ω≠0）是奇函数，则p是q的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要的条件3．在等比数列{a n}中，a1=9，a5=a3a42，则a4=（）A．B． C．D．4．已知函数，设F（x）=x2•f（x），则F（x）是（）A．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递减B．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递增C．偶函数，在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增D．偶函数，在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减5．设实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A．B．C．D．36．在平面上∠AOB=60°，||=||=1．动点C满足=λ+μ，且λ2+λμ+μ2=1，则点C的轨迹是（）A．线段 B．圆C．椭圆 D．双曲线7．设F1，F2为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2的公共的左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，若椭圆C1的离心率e∈[，]．则双曲线C2的离心率的取值范围是（）A． B．C．（1，4]D．8．函数f（x）=|2x﹣1|，定义f1（x）=x，f n（x）=f（f n（x）），已知函数g（x）=f m（x）+1﹣x有8个零点，则m的值为（）A．8 B．4 C．3 D．2二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分．9．设函数，则该函数的最小正周期为，f（x）在的最小值为．10．正四面体（即各条棱长均相等的三棱锥）的棱长为6，某学生画出该正四面体的三视图如下，其中有一个视图是错误的，则该视图修改正确后对应图形的面积为．该正四面体的体积为．11．若点P（2，4）为抛物线y2=2px上一点，则抛物线焦点坐标为若双曲线=1（a＞0，b＞0）经过点P，且与抛物线共焦点，则双物线的渐近线方程为．12．已知平面向量，（≠）满足=2，且与﹣的夹角为120°，t∈R，则|（1﹣t）+t|的最小值是．已知•=0，向量满足（﹣）（﹣）=0，|﹣|=5，|﹣|=3，则•的最大值为．13．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n=（1+cos2）a n+sin2，则该数列的前10项+2和为．14．如果M是函数y=f（x）图象上的点，N是函数y=g（x）图象上的点，且M，N两点之间的距离|MN|能取到最小值d，那么将d称为函数y=f（x）与y=g（x）之间的距离．按这个定义，函数f（x）=和g（x）=之间的距离是．15．各棱长都等于4的四面ABCD中，设G为BC的中点，E为△ACD内的动点（含边界），且GE∥平面ABD，若•=1，则||=．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=．（1）求角C的大小；（2）若c=2，求△ABC面积最大值．17．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+b）x+b，（0≤x≤1）其中a＞0，b为任意常数．（I）若b=，f（x）=|x﹣|在x∈[0，1]有两个不同的解，求实数a的范围．（II）当|f（0）|≤2，|f（1）|≤2时，求|f（x）|的最大值．18．三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1C1C为正方形，侧面AA1B1B⊥侧面BB1C1C，且AC=2，AB=，∠A1AB=45°，E、F分别为AA1、CC1的中点．（1）求证：AA1⊥平面BEF；（2）求二面角B﹣EB1﹣C1的余弦值．19．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆E： +=1（a＞b＞0），其中b=a，F为椭圆的右焦点，P（1，1）为椭圆E内一点，PF⊥x轴．（1）求椭圆E的方程；（2）过P点作斜率为k1，k2的两条直线分别与椭圆交于点A，C和B，D．若满足|AP||PC|=|BP||DP|，问k1+k2是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．=a n+（n∈N*）．20．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1（1）求最小的正实数M，使得对任意的n∈N*，恒有0＜a n≤M．（2）求证：对任意的n∈N*，恒有≤a n≤．2016-2017学年浙江省温州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合{5，6}等于（）A．M∪N B．M∩N C．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意可得5∈∁U M，且5∈∁U N；6∈∁U M，且6∈∁U N，从而得出结论．【解答】解：∵5∉M，5∉N，故5∈∁U M，且5∈∁U N．同理可得，6∈∁U M，且6∈∁U N，∴{5，6}=（∁U M）∩（∁U N），故选：D．2．若p：θ=+2kπ，k∈Z，q：y=cos（ωx+θ）（ω≠0）是奇函数，则p是q的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要的条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的性质进行判断即可．【解答】解：若θ=+2kπ，则y=cos（ωx+θ）=cos（ωx++2kπ）=﹣sinωx为奇函数，即充分性成立，若y=cos（ωx+θ）（ω≠0）是奇函数，则θ=+kπ，k∈Z，则θ=+2kπ，k∈Z不一定成立，即p是q的充分不必要条件，故选：B3．在等比数列{a n}中，a1=9，a5=a3a42，则a4=（）A．B． C．D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=9，a5=a3a42，∴q=92×q5，解得q=±．则a4=9×=．故选：D．4．已知函数，设F（x）=x2•f（x），则F（x）是（）A．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递减B．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递增C．偶函数，在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增D．偶函数，在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由f（﹣x）=﹣f（x）可知f（x）为奇函数，利用奇偶函数的概念即可判断设F（x）=x2•f（x）的奇偶性，从而得到答案．【解答】解：∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，又F（x）=x2•f（x），∴F（﹣x）=（﹣x）2•f（﹣x）=﹣x2•f（x）=﹣F（x），∴F（x）是奇函数，可排除C，D．又F（x）=x2•f（x）=，∴F（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，可排除A，故选B．5．设实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A．B．C．D．3【考点】简单线性规划．【分析】利用换元法将条件转化为直线斜率，结合线性规划的知识进行求解即可得到结论．【解答】解：z==+，设k=，则z=k+，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象知OC的斜率最小，OA的斜率最大，由得，即C（5，2），由得．即A（3，4），则OC的斜率k=，OA的斜率k=，则≤k≤，∵z=k+，在≤k≤1上递减，在1≤k≤上递增，∴当k=时，z=+=，当k=时，z=+=＜，故z的最大值为，故选：B6．在平面上∠AOB=60°，||=||=1．动点C满足=λ+μ，且λ2+λμ+μ2=1，则点C的轨迹是（）A．线段 B．圆C．椭圆 D．双曲线【考点】轨迹方程．【分析】设O（0，0），B（1，0），A（），C（x，y），则由=λ+μ可得x=+μ，y=，根据λ2+λμ+μ2=1，可得点C的轨迹．【解答】解：设O（0，0），B（1，0），A（），C（x，y），则∵=λ+μ即（x，y）=λ（）+μ（1，0）∴x=+μ，y=，∴x2+y2=λ2+λμ+μ2=1，点C的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．故选：B．7．设F1，F2为椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2的公共的左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，若椭圆C1的离心率e∈[，]．则双曲线C2的离心率的取值范围是（）A． B．C．（1，4]D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】如图所示，设双曲线的标准方程：=1，离心率．椭圆与双曲线的半焦距为c．由椭圆的定义及其题意可得：|MF2|=|F1F2|=2c，|MF1|=2a﹣2c．由双曲线的定义可得：2a﹣2c﹣2c=2a1，即a﹣2c=a1，可得﹣2=，利用e∈[，]，即可得出．【解答】解：如图所示，设双曲线的标准方程：=1，离心率．椭圆与双曲线的半焦距为c．由椭圆的定义及其题意可得：|MF2|=|F1F2|=2c，|MF1|=2a﹣2c．由双曲线的定义可得：2a﹣2c﹣2c=2a1，即a﹣2c=a1，∴﹣2=，∵e∈[，]，∴∈，∴∈．∴e1∈．故选：A．8．函数f（x）=|2x﹣1|，定义f1（x）=x，f n（x）=f（f n（x）），已知函数g（x）=f m（x）+1﹣x有8个零点，则m的值为（）A．8 B．4 C．3 D．2【考点】函数零点的判定定理．【分析】由已知条件对x的取值范围分类，求出f m（x），由此能求出使函数g（x）=f m（x）﹣x有8个零点的实数m的值．【解答】解：（1）当x∈（﹣∞，]时，f2（x）=f（f1（x））=|2x﹣1|=1﹣2x，①当x∈（﹣∞，]时，f3（x）=|1﹣4x|=1﹣4x，当x∈（﹣∞，]时，f4（x）=|1﹣8x|=1﹣8x，此时，g（x）=f4（x）﹣x=1﹣9x，有零点x1=．当x∈（，]时，f4（x）=|1﹣8x|=8x﹣1，此时，g（x）=f4（x）﹣x=7x﹣1，有零点．②当x∈（，]时，f3（x）=|1﹣4x|=4x﹣1，当x∈[，]时，f4（x）=|8x﹣3|=3﹣8x，此时，g（x）=f4（x）﹣x=3﹣9x，有零点．当x∈[，]时，f4（x）=|8x﹣3|=8x﹣3，此时，g（x）=f4（x）﹣x=7x﹣3，有零点；（2）当x∈（，+∞）时，f2（x）=|2x﹣1|=2x﹣1，③当x∈（，]时，f3（x）=|4x﹣3|=3﹣4x，当x∈（，]时，f4（x）=|5﹣8x|=5﹣8x，此时，g（x）=f4（x）﹣x=5﹣9x，有零点x5=．当x∈（，]时，f4（x）=|5﹣8x|=8x﹣5，此时，g（x）=f4（x）﹣x=7x﹣5，有零点x6=．④当x∈（，+∞）时，f3（x）=|4x﹣3|=4x﹣3，当x∈（，]时，f4（x）=|8x﹣7|=7﹣8x，此时，g（x）=f4（x）﹣x=7﹣9x，有零点x7=．当x ∈（，+∞）时，f 4（x ）=|8x ﹣7|=8x ﹣7，此时，g （x ）=f 4（x ）﹣x=7x ﹣7，有零点x 8=1．综上所述，若函数g （x ）=f m （x ）﹣x 有8个零点．则m=4． 故选：B ．二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分．9．设函数，则该函数的最小正周期为 π ，f （x ）在的最小值为 ﹣ ．【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法． 【分析】由条件利用正弦函数的周期性求得函数的最小正周期，再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的最小值．【解答】解：根据函数，可得则该函数的最小正周期为=π，当x ∈[0，]时，2x ﹣∈[﹣，]，故当2x ﹣=﹣时，f （x ）取得最小值为﹣，故答案为：π，．10．正四面体（即各条棱长均相等的三棱锥）的棱长为6，某学生画出该正四面体的三视图如下，其中有一个视图是错误的，则该视图修改正确后对应图形的面积为 6 ．该正四面体的体积为 18 ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可得正三棱锥的高为2，底面正三角形的边长为6，即可得出结论．【解答】解：由三视图知：正视图的高明显不对，应该是2，底面正三角形的边长为6，对应图形的面积为=6，正四面体的体积为=18．故答案为：6；18．11．若点P（2，4）为抛物线y2=2px上一点，则抛物线焦点坐标为（2，0）若双曲线=1（a＞0，b＞0）经过点P，且与抛物线共焦点，则双物线的渐近线方程为y=．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线方程，即可求解抛物线的焦点坐标；利用焦点坐标相同，推出双曲线a、b关系，求出a，b即可得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：点P（2，4）为抛物线y2=2px上一点，可得：16=4p，解得p=4，则抛物线焦点坐标为（2，0）．双曲线=1（a＞0，b＞0）经过点P，且与抛物线共焦点，可得，可得a2=12﹣8，b2=8，=．双曲线的渐近线方程为：y=．故答案为：（2，0）；y=．12．已知平面向量，（≠）满足=2，且与﹣的夹角为120°，t∈R，则|（1﹣t）+t|的最小值是．已知•=0，向量满足（﹣）（﹣）=0，|﹣|=5，|﹣|=3，则•的最大值为18．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】①根据与的夹角为120°，结合向量加法的三角形法则，及连接直线上的点与直线外一点的线段中，垂线段最短得到当t|﹣|=时，|（1﹣t）+t|取最小值；②由•=0得出⊥，建立直角坐标系，设=（m，0），=（0，n），=（x，y），根据|﹣|=5得m2+n2=25，记此圆为⊙M；根据向量满足（﹣）（﹣）=0，说明点C在⊙M上；由||=|﹣|=3，||=|﹣|=4，过点C分别作CD⊥y轴，设∠CBD=θ，可得x=4sinθ=m﹣3cosθ，•=mx=10sin（2θ﹣φ）+8，从而求得结论．【解答】解：①∵平面向量满足||=2，且与﹣的夹角为120°，故当t（﹣）满足t|﹣|=时，|（1﹣t）+t|（t∈R）取最小值，此时由向量加法的三角形法则可得|（1﹣t）+|（t∈R）的最小值是；②由•=0，建立如图所示的直角坐标系；可设=（m，0），=（0，n），=（x，y），∵|﹣|=5，∴m2+n2=25，记此圆为⊙M；∵向量满足（﹣）•（﹣）=0，∴x 2+y 2﹣mx ﹣ny=0， 化为+=，说明点C 在⊙M 上； ∴||=|﹣|=3， ∴||=|﹣|=4，过点C 分别作CD ⊥y 轴，CE ⊥x 轴，垂足分别为D ，E ； 设∠CBD=θ，则∠OAC=θ， 则x=4sin θ=m ﹣3cos θ，∵•=mx=4sin θ（4sin θ+3cos θ） =16sin 2θ+12sin θcos θ =8（1﹣cos2θ）+6sin2θ =10sin （2θ﹣φ）+8≤18；∴•的最大值为18．故答案为：，18．13．已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n +2=（1+cos 2）a n +sin 2，则该数列的前10项和为 ．【考点】数列与三角函数的综合；数列的求和． 【分析】根据数列递推式，可得数列{a 2k ﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a 2k ﹣1=k ，数列{a 2k }是首项为2、公比为2的等比数列，因此a 2k =2k ，从而可求数列的前10项的和．【解答】解：因为a 1=1，a 2=2，所以a 3=（1+cos 2）a 1+sin 2=a 1+1=2，a 4=（1+cos 2π）a 2+sin 2π=2a 2=4．一般地，当n=2k ﹣1（k ∈N *）时，a 2k +1=[1+cos 2]a 2k ﹣1+sin 2=a 2k ﹣1+1，即a 2k +1﹣a 2k ﹣1=1．所以数列{a 2k ﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a 2k ﹣1=k ．当n=2k （k ∈N *）时，a 2k +2=（1+cos 2）a 2k +sin 2=2a 2k ．所以数列{a 2k }是首项为2、公比为2的等比数列，因此a 2k =2k ． 该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77 故答案为：7714．如果M是函数y=f（x）图象上的点，N是函数y=g（x）图象上的点，且M，N两点之间的距离|MN|能取到最小值d，那么将d称为函数y=f（x）与y=g（x）之间的距离．按这个定义，函数f（x）=和g（x）=之间的距离是．【考点】两点间的距离公式．【分析】依题意，可将g（x）=变形，得到其轨迹是以（2，0）为圆心，1为半径的上半圆，从而可求得函数f（x）=和g（x）=之间的距离．【解答】解：∵y=g（x）=，∴y2+（x﹣2）2=1（y≥0），设圆心P（2，0），M（x，y）为f（x）=上任意一点，则|MP|2=（x﹣2）2+y2=（x﹣2）2+x=+≥，∴|MP|min=，∴f（x）=和g（x）=之间的距离是|MN|=﹣1．故答案为：﹣1．15．各棱长都等于4的四面ABCD中，设G为BC的中点，E为△ACD内的动点（含边界），且GE∥平面ABD，若•=1，则||=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】连接CE，并延长交AD于F，连接BF，运用线面平行的性质定理可得EG∥BF，由G为BC的中点，可得E为CF的中点，设AF=t，再由向量的中点的向量表示，结合向量的数量积的性质，解得t=1，再由向量的模的公式，计算即可得到所求值．【解答】解：连接CE，并延长交AD于F，连接BF，由EG∥平面ABD，EG⊂平面BCF，平面BCF∩平面ABD=BF，可得EG∥BF，由G为BC的中点，可得E为CF的中点，设AF=t，则=（+）=（+），在四面体ABCD中，•=•=•=4×4×=8，•=（+）•（﹣）=（•﹣•+2﹣•）=（8﹣8+•16﹣•8）=1，解得t=1，即=（+），可得||2=（2+2+•）=×（16+×16+×8）=，可得||=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=．（1）求角C的大小；（2）若c=2，求△ABC面积最大值．【考点】正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinA=2sinAcosC，结合sinA≠0，可得，即可得解C的值．（2）利用已知及余弦定理，基本不等式可得ab≤4，进而根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵=．∴，∴sinBcosC﹣2sinAcosC=﹣cosBsinC，∴sinA=2sinAcosC，∵sinA≠0，∴，∴．（2）∵，可得：ab≤4，∴，即：△ABC面积的最大值为，但且仅当△ABC为等边三角形时成立．17．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+b）x+b，（0≤x≤1）其中a＞0，b为任意常数．（I）若b=，f（x）=|x﹣|在x∈[0，1]有两个不同的解，求实数a的范围．（II）当|f（0）|≤2，|f（1）|≤2时，求|f（x）|的最大值．【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，去掉绝对值，关于a的不等式，求出a的范围即可；（Ⅱ）求出函数的对称轴，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，求出|f（x）|的最大值．【解答】解：（I）﹣﹣﹣﹣①当时，则，即3ax2﹣2ax=0，解得x=0﹣﹣﹣﹣②当时，则，即3ax2﹣2（a+1）x+1=0令t（x）=3ax2﹣2（a+1）x+1，因为，只要t（1）=a﹣1≥0即可﹣﹣﹣﹣所以a≥1﹣﹣﹣﹣（II）设|f（x）|的最大值为M①当，函数f（x）在[0，1]递减函数，M=|f（0）|≤2﹣﹣﹣﹣②当，函数f（x）在[0，1]递增函数，M=|f（1）|≤2﹣﹣﹣﹣③当时，即﹣a＜b＜2a时，（ⅰ）当时，即则，则f（1）﹣=＞0 所以M≤2﹣﹣﹣﹣（ⅱ）当时，即时，可得，即则f（0）﹣＞0所以M≤2﹣﹣﹣﹣综上M=2，当a=2，b=2，f（x）=12x2﹣12x+2，M=2．18．三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1C1C为正方形，侧面AA1B1B⊥侧面BB1C1C，且AC=2，AB=，∠A1AB=45°，E、F分别为AA1、CC1的中点．（1）求证：AA1⊥平面BEF；（2）求二面角B﹣EB1﹣C1的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出BE⊥AA1，BE⊥BB1，从而BE⊥平面BB1C1C，由此能证明AA1⊥平面BEF．（2）以BF为x轴，BE为y轴，B1B为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣EB1﹣C1的余弦值．【解答】证明：（1），∠A1AB=45°，AE=1，故BE⊥AA1．又AA1∥BB1，故BE⊥BB1，又侧面AA1B1B⊥侧面BB1C1C故BE⊥平面BB1C1C．EF∥AC，AC⊥AA1，EF⊥AA1，故AA1⊥平面BEF．解：（2）以BF为x轴，BE为y轴，B1B为z轴，建立空间直角坐标系．则E（0，1，0），B1（0，0，﹣2），平面BEB1的法向量为（1，0，0），=（0，﹣1，﹣2），=（，﹣1，﹣1），设平面EB1C1的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得=，设二面角B﹣EB1﹣C1的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角B﹣EB1﹣C1的余弦值为．19．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆E： +=1（a＞b＞0），其中b=a，F为椭圆的右焦点，P（1，1）为椭圆E内一点，PF⊥x轴．（1）求椭圆E的方程；（2）过P点作斜率为k1，k2的两条直线分别与椭圆交于点A，C和B，D．若满足|AP||PC|=|BP||DP|，问k1+k2是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得：c=1，又b=a，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．AC：y=k1（x﹣1）+1，BD：y=k2（x﹣1）+1，分别与椭圆方程联立，利用根与系数的关系、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：（1）∵F为椭圆的右焦点，P（1，1）为椭圆E内一点，PF⊥x轴．∴c=1，又b=a，a2=b2+c2，联立解得：a=2，b=．∴椭圆方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．AC：y=k1（x﹣1）+1，与椭圆联立，得，∴，，同理，．故，∴k1+k2=0．=a n+（n∈N*）．20．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1（1）求最小的正实数M，使得对任意的n∈N*，恒有0＜a n≤M．（2）求证：对任意的n∈N*，恒有≤a n≤．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）最小的正实数M=1，即使得对任意的n∈N*，恒有0＜a n≤1．利用数学归纳法即可证明．=a n+=a n（2）先证明右边：由（1）可得：0＜a n≤1．通过放缩：a n+1≤a n（）a n，（2n≤2n）．可得：a n≤．证明左边：利用数学归纳法证明即可得出．【解答】（1）解：最小的正实数M=1，即使得对任意的n∈N*，恒有0＜a n≤1．下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a1=1成立；②假设n=k（k∈N*）时，对任意的k∈N*，恒有0＜a k≤1．则n=k+1时，易知k＜2k，=+＜≤＜=1，∴0＜a k+1因此当n=k+1时假设成立，综上可得：最小的正实数M=1，使得对任意的n∈N*，恒有0＜a n≤M．（2）证明：先证明右边：由（1）可得：0＜a n≤1．=a n+=a n≤a n（）≤a n（）≤a n（）∴a n+1=a n，（2n≤2n）．∴a n≤≤=，因此右边成立．证明左边：下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a1=1=，成立；②假设n=k（k∈N*）时，对任意的k∈N*，恒有a k≥．≥，则n=k+1时，要证明：a k+1=+，又a k+1∴只要证明： +≥，化为：k（5×2k+4）+2k a k﹣18•2k≥0，解出：a k≥≥=．因此当n=k+1时也成立，综上①②可得：左边成立．因此：对任意的n∈N*，恒有≤a n≤．2016年12月10日。

东阳中学2017年下学期期中考试卷（高二数学）一、选择题：（5分10=50分）1. 如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】椭圆的焦点在轴上，，解得或，故选D.2. 下列说法不正确的是（）A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形B. 圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形C. 直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D. 圆台平行于底面的截面是圆面【答案】C.........3. 若是实数，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】“”则，“”不一定成立，若“”成立，则“”成立，则“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.4. 设为两条不重合的直线，为两个不同的平面，则下列结论成立的是（）A. 若，且，则B. 若，且，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】选项不正确，两个平面中的两条直线平行两平面平行或者两平面相交；选项不正确，两个平面中的两垂直平面中的两条直线可以平行、相交，异面；选项不正确，一个直线与一个平面内的直线平行，则直线与平面平行或直线在平面内；选项正确，根据线面垂直的性质定理可得，垂直于同一平面的两条直线平行，故选D.5. 如图某几何体的三视图中，其中主视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆，则该几何体的体积是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，此几何体是一个底面半径为，高为的圆锥沿其对称轴切开后的一半，故其体积是，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.6. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】两个完全相同的长方体重叠在一起有三种情况，分别计算三种情况的体对角线为或或，所以最长对角线的长为，故选C.7. 连结双曲线与的四个顶点的四边形面积为，连结四个焦点的四边形面积为，则的最大值是（）A. 2B. 4C.D.【答案】C【解析】设双曲线的右顶点为，其坐标是，由焦点为，坐标为；设双曲线的上顶点为，坐标是，上焦点为，坐标为，为坐标原点，则，，，故选C.8. 的顶点为，，的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是（）A. B.C. D.【答案】C9. 已知椭圆：，双曲线：，若以的长轴为直径的圆与的一条渐近线交于A、B两点，且椭圆与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则的离心率是（）A. B. 3 C. D. 5【答案】A【解析】由已知得，设的方程为，可设，进一步可得，得的一个三分点坐标为，该点在椭圆上，，即，解得，从而有，解得，故选A.【方法点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及椭圆的离心率，属于难题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．10. 已知正方体的棱长为1，在对角线上取点M，在上取点N，使得线段MN平行于对角面，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作于点，作于点，易证，设，则，在直角梯形，易得，当时，的最小值为，故选A.【方法点睛】本题主要考查正方体的性质、线面平行的判定与性质以及求最值问题，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域.二、填空题：(4分7=28分)11. 已知一个正方形的水平放置直观图（用斜二测画法）是有一边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是______。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……浙江省桐乡市凤鸣高级中学2017-2018学年高一物理下学期期中试题（含解析）一、单选题（本题共16小题，每小题3分，共48分。

每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

）1. 下列物理量中属于矢量的是A. 速率B. 电势C. 电流D. 位移【答案】D【解析】既有大小又有方向的物理量叫做矢量，如速度，位移，力等于；只有大小没有方向的物理量叫做标量，如速率，电势，电流，时间等，D正确．2. 在国际单位制中，电场强度单位的符号是A. NB. N/CC. N/(A·m)D. N/A【答案】B【解析】试题分析：在国际单位制中，电场强度单位的符号是N/C，故选B．考点：电场强度3. 如图所示，比赛中足球被踢出后在空中飞行时受到的力有A. 脚对球的作用力B. 重力、脚对球的作用力C. 重力、空气阻力D. 重力、惯性力、空气阻力【答案】C【解析】在空中飞行的物体受到竖直向下的重力作用，最终落回地面，同时还有空气阻力，故C正确．4. 北京时间8月19日，2016年里约奥运会田径比赛在200米决赛中，“飞人”博尔特以19秒79的成绩夺得冠军，下列说法正确的是A. 200米指位移B. 19秒79为时间间隔C. 博尔特撞线时可以看成质点D. 博尔特夺冠是因为他的加速度最大【答案】B【解析】A项：200米是运动轨迹的长度，是路程，故A错误；B项：19秒79对应一段位移，是指时间间隔，故B正确；C项：研究博尔特跑步时摆手的动作时如看成质点，由于质点没有形状，所以则无法研究，故C错误；D项：博尔特夺冠是因为他的平均速率最大，不是因为加速度最大，故D错误。

5. 某物体运动的v-t图象如图所示，则该物体A. 做往复运动B. 做匀速直线运动C. 朝某一方向做直线运动D. 以上说法都不正确【答案】C【解析】试题分析：由图线知，速度都为正值，知速度的方向不变，一直向某一方向做直线运动，由于图线的斜率有正有负，知加速度有正有负，即加速度的方向在改变，则该运动不是匀变速直线运动．物体先做匀加速直线运动然后做匀减速直线运动到零，再重复以前的运动．故C正确，A、B、D错误．故选C．6. 下列说法正确的是A. 牛顿最早通过理想斜面实验得出力不是维持物体运动的原因B. 万有引力定律中的引力常量由牛顿测定C. 库仑定律中的平方反比关系由库仑通过库仑扭称实验获得D. 奥斯特首先发现了磁场对电流的作用规律【答案】C【解析】试题分析：伽利略最早通过理想斜面实验得出力不是维持物体运动的原因，选项A 错误；万有引力定律中的引力常量由卡文迪许测定的，选项B错误；库仑定律中的平方反比关系由库仑通过库仑扭称实验获得，选项C正确；奥斯特首先发现了电流的周围存在磁场，选项D错误；故选C．考点：物理学史7. 下列说法正确的是A. 物体在完全失重的状态下不受重力B. 动摩擦因素没有单位C. 重力势能有正负，所以是矢量D. 电容器的电容与其所带的电荷量成正比【答案】B【解析】物体在完全失重状态下仍受重力，故A错误；动摩擦因数是没有单位的，故B正确；重力势能有正负之分，但重力势能是标量，故C错误；电容器的电容与其所带电量以及电压无关，其大小由电容器本身的因素决定，故D错误。

桐乡市凤鸣高级中学2016学年第一学期高二期中考试高二年级物理试卷一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．( )首先发现通电导线周围存在磁场的物理学家是A．奥斯特 B．安培 C．法拉第 D．特斯拉2．（）关于磁感线的说法，下列正确的是A．磁感线从磁体的N极出发，终止于磁体S极B．磁感线可表示磁场的强弱和方向C．电流在磁场中的受力方向，即为该点磁感线方向的切线方向D．沿磁感线方向，磁感强度渐弱3．（）关于点电荷的说法，正确的是A．只有体积很小的带电体才能看成点电荷B．体积很大的带电体一定不能看成点电荷C．当两个带电体的大小及形状对它们之间的相互作用力的影响可以忽略时，这两个带电体可看成点电荷D．一切带电体都可以看成点电荷4．（）在如图所示的实验装置中，充电后的平行板电容器的A极板与灵敏静电计相接，极板B接地．若极板B稍向上移动一点，由观察到静电计指针的变化，作出电容器电容变小的依据是A．两极间的电压不变，极板上电荷量变小B．两极间的电压不变，极板上电荷量变大C．极板上的电荷量几乎不变，两极间的电压变小D．极板上的电荷量几乎不变，两极间的电压变大5．（）如图，鸟儿落在高压输电线上，虽然通电的高压线是裸露电线，但鸟儿仍安然无恙，这是因为A．鸟有耐高压的天性B．鸟儿是干燥的，所以鸟体不导电C．鸟两脚间的电压几乎为零D．鸟需要充电才能飞得远6．（ ）R 1和R 2分别标有“2 1.0A Ω”和“4 0.5A Ω”，将它们串联后接入电路中，如右图所示，则此电路中允许消耗的最大功率为Ａ． Ｂ． Ｃ． W Ｄ．7．（ ）如图所示为两根互相平行的通电直导线a 、b 的横截面图，a 、b 中的电流方向已在图中标出，那么导线a 中的电流产生的磁场的磁感线环绕方向及导线b 所受的磁场力的方向分别是：A ．磁感线顺时针方向，磁场力向右B ．磁感线顺时针方向，磁场力向左C ．磁感线逆时针方向，磁场力向左D ．磁感线逆时针方向，磁场力向右8．（ ）如图所示，竖直放置的长直导线通以恒定电流，有一矩形线框与导线在同一平面，在下列情况中线圈不会产生感应电流的是A ．导线中电流强度变大B ．线框向右平动C ．线框向下平动D ．线框以ab 边为轴转动9．（ ）如图所示，一有限范围的匀强磁场，宽为d ，一个边长为l 正方形导线框以速度v 匀速地通过磁场区。