(最新整理)2017_2018学年中考数学压轴题分类练习动点相似全等专题

压轴题一、已知，在平行四边形OABC 中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P 从O 点动身沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q 从A 点动身沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时刻为t 秒．（1）求直线AC 的解析式；（2）试求出当t 为何值时，△OAC 与△PAQ 相似； （3）假设⊙P 的半径为58，⊙Q 的半径为23；当⊙P 与对角线AC 相切时，判定⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系，并求出Q 点坐标。

解：（1）42033y x =-+ （2）①当0≤t≤2.5时，P 在OA 上，假设∠OAQ=90°时， 故现在△OAC 与△PAQ 不可能相似．当t>2.5时，①若∠APQ=90°，那么△APQ ∽△OCA ，∵t>2.5，∴符合条件．②若∠AQP=90°，那么△APQ ∽△∠OAC ，∵t>2.5，∴符合条件．综上可知，当时，△OAC 与△APQ 相似．（3）⊙Q 与直线AC 、BC 均相切，Q 点坐标为（109,531）。

二、如图，以矩形OABC 的极点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，成立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处．（1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设极点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为极点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x 轴、y 轴上是不是别离存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？若是存在，求出周长的最小值；若是不存在，请说明理由．解：（1）(31)E ，；(12)F ，．（2）在Rt EBF △中，90B ∠=， 2222125EF EB BF ∴=+=+=．设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >，极点(12)F ，， ∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．①如图①，当EF PF =时，22EF PF =，221(2)5n ∴+-=．解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+．解得2a =．∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+②如图②，当EP FP =时，22EP FP =，22(2)1(1)9n n ∴-+=-+．解得52n =-（舍去）．（第2题）③当EF EP =时，53EP =<，这种情形不存在． 综上所述，符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+． （3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小． 如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F ''，别离与x 轴、y 轴交于点M N ，，那么点M N ，确实是所求点．(31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．43BF BE ''∴==，．FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=22345=+=．又5EF =，∴55FN NM ME EF +++=+MNFE 的周长最小值是553、如图，在边长为2的等边△ABC 中，A D ⊥BC,点P 为边AB 上一个动点，过P 点作PF//AC 交线段BD 于点F,作PG ⊥AB 交AD 于点E,交线段CD 于点G,设BP=x . （1）①试判定BG 与2BP 的大小关系,并说明理由;②用x 的代数式表示线段DG 的长,并写出自变量x 的取值范围;（2）记△DEF 的面积为S,求S 与x 之间的函数关系式,并求出S 的最大值;（3）以P 、E 、F 为极点的三角形与△EDG 是不是可能相似？若是能相似，请求出BP 的长，若是不能，请说明理由。

2018年中考数学压轴题专题练习---因动点产生的面积问题例1 2017年河南省中考第23题如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD、PE、DE．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．图1如图1，已知抛物线（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点212y x bx c =++（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ．①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．图1例4 2017年菏泽市中考第21题如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1例 5 2017年河南省中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两112y x =+点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．（1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值；（2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．图1如图1，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线(x ＞0)交于点B (2，1)．过点m y x=(p ＞1)作x 轴的平行线分别交曲线(x ＞0)和(x ＜0)于M 、N 两点．(,1)P p p -m y x =m y x=-（1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．图1如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线交折线OAB 于点E ．12y x b =-+（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图11.6 因动点产生的面积问题答案例1 2017年河南省中考第23题如图1，边长为8的正方形ABCD 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上A 、C 两点间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ．点D 、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD 、PE 、DE ．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值．进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数” 的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15河南23”，拖动点P 在A 、C 两点间的抛物线上运动，观察S 随P 变化的图像，可以体验到，“使△PDE 的面积为整数” 的点P 共有11个．思路点拨1．第（2）题通过计算进行说理．设点P 的坐标，用两点间的距离公式表示PD 、PF 的长．2．第（3）题用第（2）题的结论，把△PDE 的周长最小值转化为求PE ＋PF 的最小值．满分解答（1）抛物线的解析式为．2188y x =-+（2）小明的判断正确，对于任意一点P ，PD －PF ＝2．说理如下：设点P 的坐标为，那么PF ＝y F －y P ＝．21(,8)8x x -+218x 而FD 2＝，所以FD ＝．22222222111+(86)+(2)(2)888x x x x x -+-=-=+2128x +因此PD －PF ＝2为定值．（3）“好点”共有11个．在△PDE 中，DE 为定值，因此周长的最小值取决于FD ＋PE 的最小值．而PD ＋PE ＝(PF ＋2)＋PE ＝(PF ＋PE )＋2，因此当P 、E 、F 三点共线时，△PDE 的周长最小（如图2）．此时EF ⊥x 轴，点P 的横坐标为－4．所以△PDE 周长最小时，“好点”P 的坐标为(－4, 6)．图2 图3考点伸展第（3）题的11个“好点”是这样求的：如图3，联结OP ，那么S △PDE ＝S △POD ＋S △POE －S △DOE ．因为S △POD ＝，S △POE ＝，S △DOE ＝12，所以1()32P OD x x ⋅-=-2111624P OE y x ⋅=-+S △PDE ＝＝＝．21316124x x --+-21344x x --+21(6)134x -++因此S 是x 的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x ＝－6．如图4，当－8≤x ≤0时，4≤S ≤13．所以面积的值为整数的个数为10．当S ＝12时，方程的两个解－8, －4都在－8≤x ≤0范围内．21(6)13124x -++=所以“使△PDE 的面积为整数” 的 “好点”P 共有11个．图4例2 2017年昆明市中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3（a ≠0）与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒时△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，求点K 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14昆明23”，拖动点P 从A 向B 运动，可以体验到，当P 运动到AB 的中点时，△PBQ 的面积最大．双击按钮“△PBQ 面积最大”，再拖动点K 在BC 下方的抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，有两个时刻面积比为2.5．思路点拨1．△PBQ 的面积可以表示为t 的二次函数，求二次函数的最小值．2．△PBQ 与△PBC 是同高三角形，△PBC 与△CBK 是同底三角形，把△CBK 与△PBQ 的比转化为△CBK 与△PBC 的比．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，所以y ＝a(x ＋2)(x －4)．所以－8a ＝－3．解得．38a =所以抛物线的解析式为．3(2)(4)8y x x =+-233384x x =--（2）如图2，过点Q 作QH ⊥x 轴，垂足为H ．在Rt △BCO 中，OB ＝4，OC ＝3，所以BC ＝5，sin B ＝．35在Rt △BQH 中，BQ ＝t ，所以QH ＝BQ sin B ＝t ．35所以S △PBQ ＝．211399(63)(1)2251010BP QH t t t ⋅=-⨯=--+因为0≤t ≤2，所以当t ＝1时，△PBQ 的面积最大，最大面积是。

(1)点 B，C 的坐标分别为 B(
)，C(
)；
(2)是否存在点 P，使得△ PBC 为直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接 PB，若 E 为 PB 的中点，连接 OE，则 OE 的最大值＝
．
知识详解
1．(2017 江苏盐城，27，14 分)如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝ 1 x＋2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C， 2
教学内容 教学目标 教学重点 教学难点 教学准备
前课回顾
中考压轴题讲解
掌握江苏省 13 市压轴题解题技巧 掌握中考压轴题常考类型 掌握二次函数数形结合的解题思路
讲义；教案 教学过程
1．(2017 江苏宿迁，26，10 分)如图，在矩形纸片 ABCD 中，已知 AB＝1，BC＝ 3 ，点 E 在边 CD 上移动，连 接 AE，将多边形 ABCE 沿直线 AE 翻折，得到多边形 AB′C′E，点 B、C 的对应点分别为点 B′、C′． (1)当 B′C′恰好经过点 D 时(如图 1)，求线段 C22.5°(如图 2)，求△DFG 的面积； (3)在点 E 从点 C 移动到点 D 的过程中，求点 C′运动的路径长．
【分析】(1)如图
1
中，设
CE＝EC′＝x，则
DE＝1－x，由△ADB′′∽△DEC，可得
AD DE
＝
DB¢ ，列出方程即可解 EC¢
决问题；
错题重现
1．(2017 江苏徐州，28，10 分)如图，已知二次函数 y＝ 4 x2－4 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C， 9
⊙C 的半径为 5 ，P 为⊙C 上一动点．
【分析】(1)由正方形的性质得出∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，由角的互余关系证 出∠AEP=∠PBC，得出△APE∽△BCP，得出对应边成比例即可求出 AE 的长；

挑战中考压轴题---中考冲刺系列2021版专题二：因动点产生的相似三角形问题【例1】（2014•新疆）如图，直线y＝﹣x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P 从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．（1）写出A，B两点的坐标；（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP 的面积最大？（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q 的坐标．【例2】（2020•涡阳县模拟）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx+c （a≠0）的图象经过点B（4，0）、D（5，3），设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），且△ABD的面积是3．（1）求该抛物线的表达式；（2）求∠ADB的正切值；（3）若抛物线与y轴交于点C，直线CD交x轴于点E，点P在射线AD上，当△APE与△ABD相似时，求点P的坐标．【例3】（2019•广西模拟）如图，抛物线y＝ax2+4x+c过点A（6，0）、B（3，），与y 轴交于点C．联结AB并延长，交y轴于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P在线段AC上，如果△OAP和△DCA相似，求点P的坐标．【例4】（2012•下城区校级模拟）Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．（1）求m与n的数量关系；（2）当tan∠A＝时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式；（3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果△AEO与△EFP相似，求点P的坐标．因动点产生的相似三角形问题-方法总结1、熟练掌握证明两个三角形相似的各种判定方法；2、相似三角形对应线段的比、周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方；3、求解两个三角形相似，一般情况下先找到一对相等的角，再分两种情况进行讨论；4、特别注意：动点在射线或直线上，就会产生动点在左侧或右侧两种情况，也要进行讨论，千万不能遗漏。