15.1.1从分数到分式
阜阳二十中 李永锋
一、 教学目标
1. 了解分式概念.
2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件.
二、重点、难点
1.重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件.
2.难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件.
3.认知难点与突破方法
难点是能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件.突破难点的方法是利用分式与分数有许多类似之处,从分数入手,研究出分式的有关概念,同时还要讲清分式与分数的联系与区别.
三、课堂引入
1.让学生填写 [思考],学生自己依次填出:710,a s ,33200,s
v .
2.学生看P126的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用实践,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?
请同学们跟着教师一起设未知数,列方程. 设计意图:本章从实际问题引出分式方程v +3090=v
-3060,给出分式的描述性的定义:像
这样分母中含有字母的式子属于分式. 不要在列方程时耽误时间,列方程在这节课里不是重点,也不要求解这个方程. 本节进一步让学生自己观察以上的式子v +3090,v -3060,a s ,s
v ,有什么共同点?它们与
分数有什么相同点和不同点?
可以发现,这些式子都像分数一样都是 (即A ÷B )的形式.分数的分子A 与分母B
都是整数,而这些式子中的A 、B 都是整式,并且B 中都含有字母.
[归纳]顺理成章地给出了分式的定义.分式与分数有许多类似之处,研究分式往往要类B A
比分数的有关概念,所以要引导学生了解分式与分数的联系与区别. 希望老师注意:分式比分数更具有一般性,例如分式
B A 可以表示为两个整式相除的商(除式不能为零),其中包括所有的分数 .
[思考]引发学生思考分式的分母应满足什么条件,分式才有意义?由分数的分母不能为零,用类比的方法归纳出:分式的分母也不能为零.注意只有满足了分式的分母不能为零这个条件,分式才有意义.即当B ≠0时,分式
B A 才有意义. 四、例题讲解
例1. 当x 为何值时,分式23x
有意义. [分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解
出字母x 的取值范围.
设计意图:该例题是应用分式有意义的条件—分母不为零,解出字母x 的值.还可以利用这道题,不改变分式,只把题目改成“分式无意义”,使学生比较全面地理解分式及有关的概念,也为今后求函数的自变量的取值范围,打下良好的基础.
(补充)例2. 当m 为何值时,分式的值为0? (1) (2) (3) [分析] 分式的值为0时,必须同时..
满足两个条件:○1分母不能为零;○2分子为零,这样求出的m 的解集中的公共部分,就是这类题目的解.
五、随堂练习
1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 2
38y y -,91-x 2. 当x 取何值时,下列分式有意义?
(1) (2) (3)
3. 当x 为何值时,分式的值为0? (1) (2) (3) 六、课后练习
1-m m 32+-m m 1
12
+-m m 4
522--x x x x 235-+23+x x x 57+x x 3217-x
x x --221
1.列代数式表示下列数量关系,并指出哪些是正是?哪些是分式?
(1)甲每小时做x 个零件,则他8小时做零件 个,做80个零件需 小时.
(2)轮船在静水中每小时走a 千米,水流的速度是b 千米/时,轮船的顺流速度是 千米/时,轮船的逆流速度是 千米/时.
(3)x 与y 的差于4的商是 .
2.当x 取何值时,分式 无意义? 3. 当x 为何值时,分式
的值为0? x
x x --212
312-+x x
初中数学《分式》单元教学设计以及思维导图
分式 适用年级八年级 所需时间课内八课时 主题单元学习概述 1.本章是继整式之后对代数式的进一步的研究。 2.分式是对分数的进一步抽象------字母的意义 3.分数的讨论框架的继承------小学时分数都研究哪些性质? 4.从实际意义或者问题解决上,分式也是分数的实际意义的抽象------列方程解应用题 5.需要了解学生对于小学分数的了解情况,特别是是否还记得分数的性质框架 6.分式的基础是分数、整式的四则运算、多项式的因式分解、一元一次方程等知识。同时它是今后进一步学习函数、一元二次方程的基础。主题单元规划思维导图
主题单元学习目标 知识与技能: 1.了解分式的概念,明确分式和整式的区别; 2.掌握分式的基本性质和分式的约分; 3.分式的乘除运算法则; 4.经历探索分式加减运算法则,理解其算理; 5.异分母分式加减法的法则及分式的通分; 6.通过对实际问题的分析,感受分式方程是刻画现实世界的有效模型,归纳分式方程的概念; 7.经历探索分式方程解法的过程,会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验根的合理性; 8.用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题. 过程与方法: 1.体会分式的意义,进一步发展符号感,掌握分式的符号法则; 2.会进行简单的分式的乘除法运算; 3.会进行简单分式的加减运算,具有一定的代数化归能力; 4.经历异分母分式的加减运算和通分的过程,训练学生的分式运算能力,培养学习学习中转化未知问题为已知问题的能力; 5.经历“求解-解释解的合理性”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,培养学生的应用意识; 6.用分式方程来解决现实情境中的问题.
第十六章分式 教材分析 本章的主要内容包括:分式的概念,分式的基本性质,分式的约分与通分,分式的加、减、乘、除运算,整数指数幂的概念及运算性质,分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。 全章共包括三节: 16.1 分式 16.2 分式的运算 16.3 分式方程其中,16.1 节引进分式的概念,讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形,是全章的理论基础部分。11.2节讨论分式的四则运算法则,这是全章的一个重点内容,分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点,克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数,这给运算带来便利。11.3节讨论分式方程的概念,主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质,并且出现了必须检验(验根)的环节,这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程,是本章教学中的另一个难点,克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。 分式是不同于整式的另一类有理式,是代数式中重要的基本概念;相应地,分式方程是一类有理方程,解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而,分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型,它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。 (二)本章知识结构框图 (三)课程学习目标 本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点: 1.以描述实际问题中的数量关系为背景,抽象出分式的概念,体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。 2.类比分数的基本性质,了解分式的基本性质,掌握分式的约分和通分法则。 3.类比分数的四则运算法则,探究分式的四则运算,掌握这些法则。 4.结合分式的运算,将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数,构建和发展相互联系的知识体系。 5.结合分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法,体会解方程中的化归思想。 (四)课时安排 本章教学时间约需13课时,具体分配如下: 16.1 分式2课时16.2 分式的运算6课时 16.3 分式方程3课时数学活动小结3课时
10.1 分式 教学目标1、经历“列分式”的过程,理解分式的意义,会确定分式何时有意义; 2、能分析出一个简单分式有、无意义的条件; 3、经历“分式与分数的比较”过程,体验分式与分数的联系与区别,加深对分式的理解,了解类比的数学思想. 重点分式的有关概念.难点怎样确定分式何时有意义. 教法教具自主先学当堂检测交流展示检测反馈小结反思教具:多媒体等 教学过程 教学内容个案调整教师主导活动 学生主体活 动 一、情境引入 1、计算玻璃的长. 一块长方形玻璃的面积为2m2,如果长是3m,那么 宽是 2 3 m. 如果它的宽是a m,那么这块玻璃的长是 2 a m. 2、小丽买瓜子的情境. 小丽用n元人民币买了m袋相同包装的瓜子, 你能写出每袋瓜子的价格吗? (是(n÷m)元,通常用 n m 元来表示.) 二、自主先学 1、自学内容:P98--99 2、自学指导: (1)分式的形式。 (2)分式有无意义的情况。 (3)分式的值为零的情况。 3、自学检测: 思考回顾。
教学(1)、下列各式哪些是分式,哪些是整式? ① 3 8n m+ +m2②1+x+y2- z 1 ③ π2 1 3- x ④ x 1 分式有,整式有。 (2)、当x= 时,分式 1 3 5 - + x x 无意义。 (3)、当x= 时,分式 1 2 3 - + x x 的值为零; 当分式 2 3 + - x x =0时,x= 。 (4)、当x 时,分式 1 2 1 + - x x 有意义。 三、交流展示 (一)展示一 分组展示自主先学中的问题,归纳所学知识。 讲清: 1、如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母, 那么代数式 A B 叫做分式(fraction),其中A是分式 的分子,B是分式的分母. 2、赋予a与b不同的含义, a b-1 可以表示不同的 意义. (二)展示二(例题) 例1.试解释分式 2 a b+ 所表示的实际意义. 例2.求分式 3 2 a a - + 的值: (1)1 a=-;(2)3 a=;(3) 2 3 a=. 例3.当x取什么值时,分式 24 1 x x + - (1)没有意义? (2)有意义? (3)值为零. 自学教材内 容 完成检测题 交流问难
第十六章 分式 16.1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1. 了解分式、有理式的概念. 2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1.重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 2.难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1.让学生填写P4[思考],学生自己依次填出:7 10,a s ,33 200,s v . 2.学生看P3的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少? 请同学们跟着教师一起设未知数,列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时,逆流航行60千米所用时间v -2060小时, 所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100,v -2060,a s ,s v ,有什么共同点?它们与分数有什么相同点和不 同点? 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时,分式有意义. [分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为:当x 为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗?这样可以使学生一题二用,也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时,分式的值为0? (1) (2) (3) [分析] 分式的值为0时,必须同时.. 满足两个条件:○1分母不能为零;○2分子为零,这样求出的m 的解集中的公共部分,就是这类题目的解. [答案] (1)m=0 (2)m=2 (3)m=1 六、随堂练习 1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -,91-x 2. 当x 取何值时,下列分式有意义? (1) (2) (3) 1-m m 3 2 +-m m 11 2+-m m 45 22--x x x x 235 -+2 3 +x
《分式》的教案 班级:初二2班 科目:数学 任课教师:*** 教学时数:1节 上课日期:2011年10月17日 第七周 第一节 教学目的: 1、引导学生熟练掌握分式的概念及分式的性质等知识; 2、经历通过观察、归纳、类比、猜想,获得分式的基本性质,发展学生思维能力、分析问题、解决问题能力、实际操作能力、 语言表达能力、自学能力、合情推理能力与代数恒等能力等; 3、引导学生学习劳动人民的优良品德;尊重客观、尊重事实的良好品德;刻苦顽强品德等; 4、激发学生热爱劳动人民的情感;热爱科学、热爱生活的情感; 5、通过学习,能获得学习代数知识的常用方面,能感受代数学习的价值。 教学重点: 1、分式的概念 2、分式的性质 教学难点: 1、分式的有意义的条件 2、分子、分母是多项式的分式约分 教学方法:讲授法、谈话法、讨论法、练习法、读书指导法 教具:多媒体课件 ppt 教学过程: 一、复习旧课(时间5~10分钟) 同学们,我们一起来复习一下上一节课学习的内容: 提问 1:我们上节课学习的什么知识啊? 生(一起回答):学习了完全平方公式。 提问2:那什么叫做完全平方公式? 生(一起回答):两个数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或者差)的平方,这样的式子就叫做完全平方公式. 提问3:那有没有同学愿意上来,在黑板上默写完全平方公式的公式? 好,第四组举手的那位同学上来默写一下公式。 生:()()b a b a b a _22+=- ()2 222b a b ab a +=++ ()2 222b a b ab a -=+- 二、学习新课(时间20~25分钟)(重点)
15 . 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者:) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h,它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ● 自主学习指向目标 1.自学教材第 127 至 128 页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一:阅读教材思考问题:式子a ,S以及式 子20+ v 和 20- v 有什么共同特点?它们与 分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果 A,B 表示两个 ________( 整式 ) ,并且 B 中含有 ________( 字母 ) ,那么式A 子B叫做分式.
小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?
反思小结: 判断一个式子是否为分式,可根据:①具有分数的形式;②分子、分母都是整式;③分母中含有字母,分式与整式的区别在于:分式的分母中含有字母,而整式的分母中不含字母. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 探究点二 分式有意义的条件 活动二: (1) 当 x ≠0时,分式 2 有意义; 3x (2) 当 x ≠1时,分式 x 有意义;x - 1 5 1 (3) 当 b ≠3时,分式 5- 3b 有意义; x + y (4)x , y 满足 __x ≠y __时,分式 x - y 有意义. 展示点评: 教师示范解答的一般步骤,强调分母不为零. 小组讨论: 归纳分式有意义的条件. 反思小结: 对于任何分式,分母均不能为零,即当分母不为零时,分式有意义;反之,分母为零时,分式无意义. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 四、总结梳理,内化目标 1.知识小结—— (1) 学习了分式, 知道了分式与分数的区别. (2) 知道了分式有意义和值 为零的条件. 2.思想方法小结——类比、转化等数学思想. 五、达标检测,反思目标 2 x + y 1 x 1.下列各式① x ,② 5 ,③ 2- a ,④ π- 1中,是分式的有 ( C ) A .①② B .③④ C .①③ D .①②③④ 2.当 x 为任意实数时,下列分式中,一定有意义的是( C ) x - 1 x + 1 x - 1 x - 1 A. x 2 B. x 2- 1 C. x 2+1 D. x + 2 3.某食堂有煤 m t ,原计划每天烧煤 a t ,现每天节约用煤 b(b 从分数到分式 教学目标 一、知识与技能目标 1.使学生了解分式的概念,明确分母不得为零是分式概念的组成部分. 2.使学生能够求出分式有意义的条件. 二、过程与方法目标 能用分式表示现实情境中的数量关系,体会分式是表示现实世界中一类量的数学模型,进一步发展符号感,通过类比分数研究分式的教学,引导学生运用类比转化的思想方法研究解决问题. 三、情感与价值目标 在土地沙化问题中,体会保护人类生存环境的重要性。培养学生严谨的思维能力. 教学重点和难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零既是本节的重点,又是本节的难点. 教学方法:分组讨论. 教学过程 1、 情境引入:面对日益严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林,一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前4个月完成原计划任务,原计划每月固沙造林多少公顷? (1)这一问题中有哪些等量关系? (2)如果设原计划每月固沙造林x 公顷,那么原计划完成一期工程需要____________个月,实际完成一期工程用了____________个月;根据题意,可得方程 ; 2、解读探究: x 2400,302400+x ,430 24002400=+?x x 认真观察上面的式子,方程有什么特点? 做一做1.正n 边形的每个内角为 度 2一箱苹果售价a 元,箱子与苹果的总质量为mkg ,箱子的质量为nkg ,则每千克苹果售价是多少元? 上面问题中出现的代数式x 2400,302400+x ,n n 180)2(??;它们有什么共同特征? (1)由学生分组讨论分式的定义,对于“两个整式相除叫做分式”等错误,由学生举反例一一加以纠正,得到结论: 的分母. (2)由学生举几个分式的例子. (3)学生小结分式的概念中应注意的问题. ①分母中含有字母. 15.1 分 式 第1课时 从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者: ) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h ,它沿江以最大船速顺流航行100 km 所用时间,与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ●自主学习 指向目标 1.自学教材第127至128页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一 分式的概念 活动一:阅读教材思考问题:式子S a ,V S 以及式子10020+v 和6020-v 有什么共同特点?它们与分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果A ,B 表示两个________(整式),并且B 中含有________(字母),那么式子A B 叫做分式. 小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?人教版八年级数学上册从分数到分式 优秀教学设计2
(完整版)人教版八年级数学上分式教案