【推荐】2013-2019高考理科数学分类汇编-第8章立体几何-3 空间点,直线,平面之间的位置关系

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线．过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN ===,，5,22MF BF BM ==∴=BM EN ∴≠，故选B ．【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【母题原题2】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°．其中正确的是________．（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】由题意，AB 是以AC 为轴，BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥，又AC ⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B ，作BD a ∥，交底面圆C 于点D ，如图所示，连接DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴∥，连接AD ，等腰ABD △中，AB AD ==AB 与a 成60°角时，60ABD ∠=，故BD =又在Rt BDE △中，2,BE DE =∴=过点B 作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连接AF ，由圆的对称性可知BF DE ==ABF ∴△为等边三角形，60ABF ∴∠=，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误．由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，则直线AB 与a 所成角的最大值为90°，④错误．故正确的是②③．【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．【命题意图】考查空间中直线、平面的位置关系的判断，注重对公理、定理的考查，同时考查考生的空间想象能力．【大纲要求】1．空间几何体（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图．（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）．（5）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．2．点、直线、平面之间的位置关系（1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理．理解以下判定定理．如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．垂直于同一个平面的两条直线平行．如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．4．空间直角坐标系（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．（2）会推导空间两点间的距离公式．【命题规律】通常情况下，在填空选择题中立体几何试题会出现2道试题，命题形式有（1）三视图；（2）几何体的体积和表面积；（3）空间点、线、面之间的位置关系．【方法总结】1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．2．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．3．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．4．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．5．同一条直线与两个平行平面所成角相等．6．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．7．如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．8．证明直线与平面垂直的方法：（1）利用判定定理（a ⊥b ，a ⊥c ，b ∩c =M ，b ⊂α，c ⊂α⇒a ⊥α）；（2）利用面面平行的性质（a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β）；（3）利用面面垂直的性质定理（α⊥β，α∩β=l ，a ⊥l ，a ⊂β⇒a ⊥α）；（4）利用面面垂直的性质（α∩β=l ，α⊥γ，β⊥γ⇒l ⊥γ）．9．证明面面垂直的思路（1）利用面面垂直的定义（作出两平面构成的二面角的平面角，计算平面角为90°）；（2）利用面面垂直的判定定理（a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β）．1．【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模）数学】在直三棱柱111ABC A B C -中，11AB AC AA ===，AB AC ⊥，点E 为棱1AA 的中点，则点1C 到平面1B EC 的距离等于A ．12B ．2C D ．1【答案】C【解析】连接1C E ，设点1C 到平面1B EC 的距离为d ，根据三棱锥等体积法得到：三棱锥11111111133C B CE E B CC B CE B CC V V S d S h --=⇒⋅⋅=⋅⋅1AB AC ==，在由AB AC ⊥，得到BC =三角形11B CC 面积为11112B CC =⨯点1A 到11B C的距离即棱锥11E B CC -的高为1112h B C ==1B EC ，1B E CE ==，1B C =则三2=，面积为12， 根据等体积公式代入得到11111111133C B CE E B CC B CE B CC V V S d S h --=⇒⋅⋅=⋅⋅，3d =．故选C ．【名师点睛】本题涉及到点面距离的求法，点面距可以通过寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可；当点面距离不好求时，还可以等体积转化．2．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题是真命题的是A ．若m α，m β，则αβB ．若m α，αβ，则m βC ．若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥D ．若m α⊂，αβ⊥，则m β⊥【答案】C 【解析】由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A 中，若m ∥α，m ∥β，则α与β相交或平行，故A 错误；在B 中，若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m ⊂β，故B 错误；在C 中，若m ⊂α，m ⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C 正确；在D 中，若m ⊂α，α⊥β，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故D 错误．故选C ．【名师点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．3．【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学】如图，棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为BC 中点，这直线1D M 与平面ABCD 所成角的正切值为ABCD ．12【答案】C【解析】连接DM ，因为几何体是正方体，所以∠D 1MD 就是直线D 1M 与平面ABCD 所成角，tan ∠D 1MD=1DD DM ==C ． 【名师点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解．4．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】如图，边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 的中点，现在沿,AE AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使,,B C D 三点重合，重合后的点记为P ，则四面体P AEF -的高为A ．13B ．23C ．34D ．1【答案】B【解析】由题意可知PA PE PF ，，两两垂直，∴PA ⊥平面PEF ，∴A PEF V -11111123323PEF S PA =⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 设P 到平面AEF 的距离为h ， 又2111321212112222ABF S =-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△， ∴P AEF V -13322h h =⨯⨯=，∴123h =，解得23h =，故选B ．【名师点睛】本题考查了平面几何的折叠问题，空间几何体的体积计算，属于中档题．5．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】设,a b 是空间两条直线，则“,a b 不平行”是“,a b 是异面直线”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由,a b 是异面直线⇒,a b 不平行．反之若直线,a b 不平行，也可能相交．所以“,a b 不平行”是“,a b 是异面直线”的必要不充分条件．故选B ．【名师点睛】本题考查了异面直线的性质、充分必要条件的判定方法，属于基础题．6．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】在三棱锥A BCD -中，ABD △和BCD ∆是有公共斜边的等腰直角三角形，若三棱锥A BCD -的外接球的半径为2，球心为O ，且三棱锥A BCD -的体，则直线OA 与平面BCD 所成角的正弦值是A ．12BC D 【答案】D【解析】∵ABD △和BCD △是有公共斜边的等腰直角三角形，∴线段BD 的中点为球心O ，连接OA ，OB ，易得BD AOC ⊥，∴∠AOC 为二面角A -BD -C 的平面角，且∠AOC 为直线OA 与平面BCD 所成角或其补角，三棱锥A BCD -的体积为11122sin 4332AOC S BD AOC =⨯⨯⨯⨯∠⨯=⨯△，∴sin AOC ∠=，故选D ．【名师点睛】本题考查线面角的求法，考查多面体的外接球问题，考查体积的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．7．【四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考数学】设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若m α，m β，则αβB ．若m α⊥，m n ⊥，则n α⊥C ．若m α⊥，m n ，则n α⊥D ．若αβ⊥，m α⊥，则m β【答案】C【解析】设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则：在A 中，若m α，m β，则α与β相交或平行，故A 错误；在B 中，若m α⊥，m n ⊥，则n α或n α⊂，故B 错误； 在C 中，若m α⊥，m n ，则由线面垂直的判定定理得n α⊥，故C 正确；在D 中，若αβ⊥，m α⊥，则m 与β平行或m β⊂，故D 错误．故选C ．【名师点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．8．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】如图，圆锥的高PO =底面圆O 的直径2AB =，C 是圆上一点，且30CAB ∠=︒，D 为AC 的中点，则直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值为A ．12 BC ．3D ．13【答案】C【解析】过点O 作OE PD ⊥于点E ，连接CE ，如下图．在圆O 中，AB 为直径．∴AC BC ⊥，又D 为AC 中点，PA PC =，∴AC PD ⊥且AC OD ⊥，又PD OD D =，∴AC ⊥平面POD ，又AC ⊂平面PAC ，∴平面POD ⊥平面PAC ，又平面POD 平面PAC PD =，OE PD ⊥，OE ⊂平面POD ，∴OE ⊥平面PAC ．OCE ∴∠就是直线OC 和平面PAC 所成角．由题可得1BC =．在Rt POD △中，可求得：1122OD BC ==，又PO =32PD ==．由13112222POD S OE =⨯⨯=⨯△，得OE =，所以3sin 1OCE ∠==C ．【名师点睛】本题主要考查了线面角的求法，考查作图及线面、面面垂直证明，还考查计算能力，属于中档题．9．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测数学】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱111,B C C C 的中点，则异面直线1BD 与MN 所成的角的大小是A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】D【解析】连接11,B C BC ，正方体1111ABCD A B C D -，11D C ⊥面11BB C C ，1B C ⊂面11BB C C ，所以111B C D C ⊥，正方形11BB C C 中，11B C BC ⊥，111,D C BC ⊂面11BD C ，1111D C BC C =，所以1B C ⊥面11BD C ，而1BD ⊂面11BD C ， 所以11BD B C ⊥，又M 为11B C 中点，N 为1CC 中点，可得1MNB C ，所以1BD MN ⊥，即异面直线1BD 与MN 所成的角的大小是90︒． 故选D ．【名师点睛】本题考查正方体内异面直线所成的角，通过线线垂直证明线面垂直，属于中档题． 10．【四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测数学】已知,a b 是两条异面直线，直线c 与,a b 都垂直，则下列说法正确的是 A ．若c ⊂平面α，则a α⊥ B ．若c ⊥平面α，则a α，b aC ．存在平面α，使得c α⊥，a α⊂，b aD ．存在平面α，使得c a ，a α⊥，b a ⊥【答案】C【解析】由a ，b 是两条异面直线，直线c 与a ，b 都垂直，知： 在A 中，若c ⊂平面α，则a 与α相交、平行或a ⊂α，故A 错误；在B 中，若c ⊥平面α，则a ，b 与平面α平行或a ，b 在平面α内，故B 错误； 在C 中，由线面垂直的性质得：存在平面α，使得c ⊥α，a ⊂α，b ∥α，故C 正确；在D 中，若存在平面α，使得c ∥α，a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ，与已知a ，b 是两条异面直线矛盾，故D 错误．故选C ．【名师点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断，还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断． 11．【四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试数学】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC的中点，则异面直线CD 和1D E 所成角的余弦值为A ．23BCD【答案】A【解析】取AD 的中点为F ，连接EF 、1D F ，因为CD //1D F ，所以异面直线CD 和1D E 所成角就是直线EF 和1D E 所成角， 设正方体边长为a ，EF =a ，132a D E ==，所以112cos 3EF D EF D E ∠==，故选A ． 【名师点睛】本题主要考查了空间几何中异面直线的夹角问题，作出异面直线的夹角是解题的关键，属于较为基础题．12．【四川省广安、眉山、内江、遂宁2019届高三第一次诊断性考试数学】下列命题错误的是A ．不在同一直线上的三点确定一个平面B ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C ．如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面D ．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面 【答案】C【解析】由公理知直线及直线外一点，确定一个平面，故A 正确； 由公理知两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故B 正确； 由面面垂直的性质定理知错误，故C 不正确； 由面面平行的性质定理知正确，故D 正确．故选C ．【名师点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对概念的理解和定理，性质的应用，属于基础题．13．【贵州省2019届高三普通高等学校招生适应性考试数学】设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题： ①若αβ⊥，βγ⊥，则αγ；②若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥； ③若mα，n α⊂，则m n ；④若αβ，m γα=，n γβ=，则m n ．其中正确命题的序号是 A ．①④ B ．①② C ．④ D ．②③④【答案】C【解析】对于①，若αβ⊥，βγ⊥，则αγ与平行或相交，故错误； 对于②，若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n 与平行、相交或异面，错误； 对于③，若m α，n α⊂，则m n 与平行或异面，错误； 对于④，若αβ，m γα=，n γβ=，由面面平行性质定理可知m n ，正确，故选C ．【名师点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．14．【云南省曲靖市第一中学2018届高三上学期高考复习质量监测卷（四）数学】设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m α⊂，αβ⊥，则m β⊥；②若a β，m β⊂，则m α；③若m α⊥，mn ，αβ，则n β⊥；④若m α，n β，mn ，则αβ其中正确命题的序号是 A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④【答案】C【解析】①两个面垂直，推不出面中任意直线和另一个面垂直，错误；故排除A 、B 选项，对于②，两个平行平面，其中一个平面内的任意直线都和另一个平面平行，故正确，所以选C ．15．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，若αβ⊥，则下列结论正确的是 A ．l β∥或l β⊂ B ．//l m C ．m α⊥ D ．l m ⊥ 【答案】A【解析】对于A ，直线l ⊥平面α，αβ⊥，则l β或l β⊂，A 正确；对于B ，直线l ⊥平面α，直线m 平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴B 错误；对于C ，直线l ⊥平面α，直线m 平面β，且αβ⊥，则m α⊥或m 与α相交或m α⊂或//m α，∴C 错误；对于D ，直线l ⊥平面α，直线m 平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴D 错误．故选A ．【名师点睛】本题考查了空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的确定问题，也考查了几何符号语言的应用问题，是基础题．。

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线．过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN ===,，专题08 空间点、直线、平面之间的位置关系5,22MF BF BM ==∴=BM EN ∴≠，故选B ．【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【母题原题2】【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【答案】C【解析】根据三垂线定理的逆定理，可知平面内的线垂直于平面的斜线，则也垂直于斜线在平面内的射影.A.若11A E DC ⊥，那么11D E DC ⊥，很显然不成立；B.若1A E BD ⊥，那么BD AE ⊥，显然不成立；C.若11A E BC ⊥，那么11BC B C ⊥，成立，反过来11BC B C ⊥时，也能推出11BC A E ⊥,所以C 成立；D.若1A E AC ⊥，则AE AC ⊥，显然不成立，故选C ．【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行．（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直．（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．【命题意图】考查空间中直线、平面的位置关系的判断，注重对公理、定理的考查，同时考查考生的空间想象能力．【大纲要求】1．空间几何体（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图．（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）．（5）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．2．点、直线、平面之间的位置关系（1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理．理解以下判定定理．如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．。

8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系考纲要求1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解四个公理和等角定理，并能以此作为推理的依据．1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的____在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 符号表示为：A ∈l ，B ∈l ，A ∈α，B ∈α⇒l __α. 作用：可用来证明点、直线在平面内．(2)公理2：过____________上的三点，有且只有一 个平面．符号表示为：A ，B ，C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈α，B ∈α，C ∈α. 作用：①可用来确定一个平面，为空间图形平面化作准备；②证明点线共面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________过该点的公共直线．符号表示为：P ∈α∩β⇒α∩β＝l ，且P ∈l .作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断三点共线、三线共点． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ ：同一平面内，有且只有 一个公共点：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在 一个平面内，没有公共点(2)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示为：设a ，b ，c 是三条直线，a ∥b ，c ∥b ，则____．公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间中这个性质都适用． 作用：判断空间两条直线平行的依据．(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__________． (4)异面直线所成的角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做________，已知异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的__________叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)，两条异面直线所成的角θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．______ ________ ______．两个平面的位置关系表示法 公共点个数______1．如果a ⊂α，b ⊂α，l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，那么下列关系成立的是( )． A ．l ⊂α B ．l ⊄α C ．l ∩α＝A D ．l ∩α＝B2．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )． A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面 3．在空间中，下列命题正确的是( )． A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行 4．下面四个命题：①若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面； ②若直线a ，b 相交，b ，c相交，则a ，c 相交； ③若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等； ④若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .其中真命题的序号是__________．5．(2012郑州模拟)已知：空间四边形ABCD (如图所示)，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)三直线FH ，EG ，AC 共点．一、平面的基本性质【例1】定线段AB 所在的直线与定平面α相交，P 为直线AB 外一点，且P 不在α内，若直线AP ，BP 与α分别交于C ， D 点，求证：不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点．方法提炼证明三点共线通常有两种方法：一是首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，于是可得这三点都在这两个平面的交线上，即三点共线；二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得出三点共线．请做演练巩固提升6二、空间中两条直线的位置关系【例2】在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 是CD 的中点，连接AE 并延长与BC 的延长线交于点F ，连接BE 并延长交AD 的延长线于点G ，连接FG .求证：直线FG ⊂平面ABCD ，且直线FG ∥直线A 1B 1. 方法提炼 1．证明或判断空间两直线平行最常用的方法是公理4.平行线的传递性即若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .2．判断两直线为异面直线的常用方法．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图．请做演练巩固提升1易忽视对异面直线所成的角与三角形内角的关系而致误【典例】(2012大纲全国高考)已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为__________．解析：设正方体的棱长为a .连结A 1E ，可知D 1F ∥A 1E ，∴异面直线AE 与D 1F 所成的角可转化为AE 与A 1E 所成的角， 在△AEA 1中， cos∠AEA 1＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝35. 答案：35答题指导：1.(1)在用平行平移的方法将异面直线所成的角转化为三角形内角时，忽视对三角形内角“即为两异面直线所成角或其补角”的叙述．(2)通过解三角形得到某一内角的余弦值为负值后，忽视角的范围，不知将其转化为正值来处理．2．求异面直线所成角一般用平移法：①一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角． ②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角．③三求：解三角形，求出所作的角，注意为锐角或直角．1．关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题：①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ；②若m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m ∥n ；③若m ⊥α，n ∥β且α∥β，则m ⊥n ；④若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n .其中真命题有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．(2012浙江高考)设l 是直线，α，β是两个不同的平面，( )． A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不．正确的是( )．A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC4．(2012浙江杭州模拟)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的是__________(只填序号)．5．(2012四川高考)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是__________．6．如图所示，平面四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的四边上，且直线EH与FG相交于点P，求证：B，D，P三点共线．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)两点 ⊂ (2)不在一条直线 (3)有且只有一条 2．(1)相交直线 平行直线 任何 (2)a ∥c (3)相等或互补 (4)异面直线 锐角(或直角)3．无数个 一个 无 a ⊂α a ∩α＝A a ∥α 4．α∥β α∩β＝l 无数 α⊥β 无数 基础自测 1．A2．B 解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D 错．3．D 解析：对于A ，平行直线的平行投影也可能平行，故A 错误； 对于B ，平行于同一直线的两个平面也可能相交，故B 错误； 对于C ，垂直于同一平面的两个平面也可能相交，故C 错误．4．③ 解析：①a ，c 可能相交、平行或异面；②a ，c 可能相交、平行或异面；③正确；④a ，c 可能相交，平行或异面．5．解：(1)连接EF ，GH .已知E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF 12BD .又CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，∴HG 13BD .∴EF ∥HG 且EF ≠HG .∴EF ，HG 可确定平面α，即E ，F ，G ，H 四点共面． (2)由(1)知：EFHG 为平面图形，且EF ∥HG ，EF ≠HG . ∴四边形EFHG 为梯形． 设直线FH ∩直线EG ＝O .∵点O ∈直线FH ，直线FH ⊂面ACD ， ∴点O ∈平面ACD . 同理点O ∈平面ABC .又∵面ACD ∩面ABC ＝AC ， ∴点O ∈直线AC .∴直线FH ，EG ，AC 交于点O ，即三直线共点． 考点探究突破【例1】证明：设定线段AB 所在直线为l ，与平面α交于O 点，即l ∩α＝O . 由题意可知，AP ∩α＝C ，BP ∩α＝D ， ∴C ∈α，D ∈α. 又∵AP ∩BP ＝P ，∴AP ，BP 可确定一平面β，且C ∈β，D ∈β. ∴CD ＝α∩β.∵A ∈β，B ∈β，∴l ⊂β.∴O ∈β.∴O ∈α∩β，即O ∈CD .∴不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点． 【例2】证明：已知E 是CD 的中点，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，有A ∈平面ABCD ，E ∈平面ABCD ，所以AE ⊂平面ABCD . 又因为AE ∩BC ＝F ，所以F ∈AE . 从而F ∈平面ABCD . 同理G ∈平面ABCD ， 所以FG ⊂平面ABCD .因为EC 12AB ，故在Rt△FBA 中，CF ＝BC ， 同理DG ＝AD .又在正方形ABCD 中，BC AD ， 所以CF DG .所以四边形CFGD 是平行四边形． 所以FG ∥CD .又CD ∥AB ，AB ∥A 1B 1， 所以直线FG ∥直线A 1B 1. 演练巩固提升1．B 解析：若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m 与n 可能平行，也可能相交或异面，故①错；若m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m 与n 可能平行，也可能相交或异面，故②错；若m ⊥α，且α∥β，则m ⊥β，又n ∥β，所以m ⊥n ，故③为真命题；若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n ，故④为真命题．因此真命题有2个．2．B 解析：A 选项中由l ∥α，l ∥β不能确定α与β的位置关系，C 选项中由α⊥β，l ⊥α可推出l ∥β或l ⊂β，D 选项由α⊥β，l ∥α不能确定l 与β的位置关系．3．C 解析：A 中，若AC 与BD 共面，则A ，B ，C ，D 四点共面，则AD 与BC 共面； B 中，若AC 与BD 是异面直线，则A ，B ，C ，D 四点不共面，则AD 与BC 是异面直线； C 中，若AB ＝AC ，DB ＝DC ，AD 不一定等于BC ； D 中，若AB ＝AC ，DB ＝DC ，可以证明AD ⊥BC .4．① 解析：由公理4知①正确；②用“墙角”作为反例，知有a ⊥c 这种可能；③a与c 可能异面或平行；④举反例如图，a ，b 可能相交；⑤可能异面．故只有①正确．5．90° 解析：如图所示，以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系D ­xyz ，设正方体的棱长为2，则1MA uuu r＝(2，－1,2)，DN uuu r ＝(0,2,1)，于是1MA uuu r ·DN uuur ＝0，故异面直线A 1M 与DN 所成的角为90°.6．证明：∵点P是直线EH与FG的交点，∴点P既在直线EH上，也在直线FG上．又直线EH，FG分别在平面ABD和平面BCD内，∴点P既在平面BCD内，又在平面ABD内．故点P必在两平面的交线上，而平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，即点P在直线BD上．∴B，D，P三点共线．。

故∠D1B1C(或其补角)为所求角,
又B1D1=B1C=D1C, 所以∠D1B1C=60°.
考点突破
考点一 共点、共线、共面问题
典例1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的
中点.求证:
(1)E、C、D1、F四点共面; (2)CE、D1F、DA三线共点.
证明 (1)如图所示,连接CD1、EF、A1B,
1.如图是正方体和四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不 共面的是 ( D )
答案 D A、B、C中四个点一定共面,D中四个点不共面.
2.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则 ( B )
A.α内的所有直线与l异面 B.α内不存在与l平行的直线 C.α内存在唯一的直线与l平行 D.α内的直线与l都相交 答案 B 假设α内存在直线m∥l, ∵l⊄α ,∴l∥α,与题设矛盾,故选B.
答案 ③④
解析 直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,所以①② 错误.点B,B1,N在平面BB1C1C中,B1在直线BN外,点M在此平面外,所以BN 与MB1是异面直线.同理,AM与DD1也是异面直线.
方法技巧
异面直线的判定方法 (1)利用反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交, 由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异 面.此法在异面直线的判定中经常用到. (2)利
3.(2017北京东城一模,4)已知m是直线,α,β是两个互相垂直的平面,则
“m∥α”是“m⊥β”的 ( D ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案 D 当α⊥β,m∥α时,m∥β或m⊂β或m与β相交,故“m∥α”不是“m