空间直角坐标系
一、教材知识解析 1、空间直角坐标系的定义：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴和z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面和xOz 平面。 2、右手直角坐标系及其画法：
（1）定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方
向，若中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。本书上所指的都是右手直角坐标系。
（2）画法： 将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°，而z
轴垂直于y 轴，，y 轴和z 轴的长度单位相同，，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等。
3、空间中点的坐标表示：点在对应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，我们把有序实数对（x ，
y ，z ）叫做点A 的坐标，记为A （x ，y ，z ）。 二、题型解析：
题型1、在空间直角坐标系下作点。
例1、在空间直角坐标系中，作出M(4,2,5). 解：法一：依据平移的方法，为了作出M(4,2,5)，
可以按如下步骤进行：（1）在x 轴上取横坐
标为4的点1M ；（2）将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向右移动2个单位，得到
点2M ；（3）将2M 沿与z 轴平行的方向向上
移动5个单位，就可以得到点M （如图）。
法二：以O 为一个顶点，构造三条棱长分别为4，2，5的长方体，使此长方体在点O 处的三
条棱分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、z 轴的正半轴上，则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M 。
法三：在x 轴上找到横坐标为4的点，过此点作与x 垂直的平面α；在y 轴上找到纵坐标为2
的点，过此点作与y 垂直的平面β；在z 轴上找到竖坐标为5的点，过此点作与z 垂直的平面γ；则平面αβγ,,交于一点，此交点即为所求的点M 的位置。
【技巧总结】：（1）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有两个为0，则此点是坐标轴上的点，可
直接在坐标轴上作出此点；
（2）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有且只有一个为0，则此点不在坐标轴上，但在某一坐
标平面内，可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点。
（3）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标都不为0，则需要按照一定的步骤作出该点，一般有三
种方法：①在x 轴上取横坐标为0x 的点1M ；再将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向左（00y <）或向右（00y >）平移0||y 个单位，得到点2M ；再将2M 沿与z 轴平
行的方向向上（00z >）或向下（00z <）平移0||z 个单位，就可以得到点 M 000(,,)x y z 。 ②以O 为一个顶点，构造三条棱长分别为000||,||,||x y z 的长方体（三条棱长的位置要
与000,,x y z 的符号一致），则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M 。
③先在x 轴上找到点10(,0,0)M x ，过1M 作与x 垂直的平面α；在y 轴上找到点
20(0,,0)M y ，过2M 作与y 垂直的平面β；在z 轴上找到点30(0,0,)M z ，过3M 作与z
垂直的平面γ，则平面αβγ,,交于一点，此交点即为所求的点M 的位置。 【变式与拓展】
1．1在空间直角坐标系下作出点（-2，1，4）
1．2 在同一坐标系下作出下列各点：A （3，0，0），B （0，0，-3），C （2，3，0），D （4，2，
3），E （4，-2，3）
题型2、在空间直角坐标系下求出点的坐标表示 例2、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F
分别是111,BB B D 的中点，棱长为1，求E 、F 点的坐标。
解：法一：E 点在点xoy 面上的射影为B ，B （1，1，
0），竖坐标为
12，1
(1,1,)2
E ∴。 X
F 在在点xoy 面上的射影为BD 的中点为
G 11(,,0)22，竖坐标为1，11(,,1)22
F ∴ 法二：11(1,1,1),(0,0,1),(1,1,0)B D B ，E 为1BB 中点，F 为11B D 的中点。 故E 的坐标为1111101(
,,)(1,1,)2222+++=，F 的坐标为10101111
(,,)(,,1)22222
+++= 【技巧总结】：（1）确定空间直角坐标系下点M 的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平
行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键。
（2）空间直角坐标系下，点1111(,,)P x y z 与2222(,,)P x y z 的中点为
121212
(
,,)222
x x y y z z P +++ 【变式与拓展】
2．1 、如图，长方体1111ABCD A B C D -中，OA=6，OC=8，
15OD =，（1）写出点1111,,,A B C D 的坐标。
（2）若点G 是线段1BD 的中点，求点G 的坐标。 解：（1）1D 在z 轴上，且15OD =，即竖坐标是5，横坐标和纵坐标都为0，所以点1D 的坐标为（0，0，5）。
点1A 在平面xoy 上的射影是A ，点A 在x 轴上，且横坐标为6，纵坐标为0，竖坐标和1D 相同，所以点1A 的坐标为（6，0，5），同理可得11(6,8,5),(0,8,5)B C 。 （2）由于1D （0，0，5），B （6，8，0），则1BD 的中点G 的坐标为（3，4，5
2
） 2．2、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，
012,90AA AB AC BAC ===∠=，M 是1CC 的中点，Q 是
的中点，试建立空间直角坐标系，写出B 、C 、1C 、M 、Q 解：分别以AB 、AC 、A 1A 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，（如图），则
B （2，0，0），
C （0，2，0），1(0,2
)C
M （0，2，1），Q （1，1，0）
y
x
