2010年上海市高考数学试卷(理科)及答案

2010上海市十校(高三)数学测试(理科)一、填空题(本大题满分为 56分)本大题共14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 则一律得零分.1. 已知椭圆方程为3x 2 +2y 2 =1，则该椭圆的长轴长为 ________________ .2. 已知6=(-2, -1),6=仇，1)，若a 与b 夹角为钝角，则实数人取值范围是 ___________________________ .3. 设 A = Qx, y)(x —y)JX=O, B = ^x, y)| y =1｝则 A“B 用列举法可表示为 ___________________________ .4. 复数 z 满足 z+3 — J5i=J5，设 z =m , z =n ，贝U mn =max7 min______________ ・f3 \n5. 在二项式 Jx + 3 i !的展开式中，各项系数之和为 A,各项二项式系数之和为 B,且A+ B = 72,则展开式'、、x.丿中常数项的值为 ___________ .6. 已知函数f (x) =ACOS 2(，x 」)J (A V,「0的最大值为 3, f(x)的图像与y 轴的交点坐标为(0, 2),其相邻两条对称轴间的距离为 2,则f(1) + f(2)+H|+ f(2010) = _______________x b +c a +b —c7 .已知a^b , a^b+c ，则关于x 的方程 x a a+b —c=0的解集为 ______________________________ .a —b a —ca —b2x —58•函数y( X • A)的值域是x-39.在AABC 中，已知b = 2・2 a =2，如果三角形有解，则1 1-，乙胜的概率也是 丄，则在一次五局三胜制的比22赛中，甲队以3:1获胜的概率是 ________设 S n =tan d +tan 日2 +tan 氏 +川 +tan ^n ，则 lim S n =n —SC12.已知 f(x) =1abx_log 3(3x +1)为偶函数, g(x) =2x +©2步为奇函数，其中a,b 为复数，则2010、(a k b k )的值是 ______________ .k =i4分，否:;：一~0】U 〔4,，则集合人=Z A 的取值范围是10.甲、乙两队比赛，每局甲胜的概率为1 一11.设函数f (x)，点A 表示原点，点 A n ( n, f (n))x 2角，a n 二 A0A AA 人2人川 A n —A n ,(n E N 讯),日n 是向量a 与向量i = (1,0)的夹. 2 工 213.已知实数x、y满足方程x-a，1 y-1 1，当0乞y乞b ( b R)时，由此方程可以确定14.有下列四个命题：一 1（1）一定存在直线I ，使函数f （x ）=lgx ・lg 的图像与函数g （x ） =lg （-x ） • 2的图像关于直线I 对称;（2） 不等式：arcsinx 兰arccosx 的解集为|——,1 ；I 2 一（3） 已知数列、a n f 的前n 项和为S h = - （-1）， n ，N ，则数列、a n ? 一定是等比数列；（4） 过抛物线y 2 = 2px （ p 0）上的任意一点 M （々，y ：J 的切线方程一定可以表示为y °y =p(x X 。

2010年上海市春季高考数学试卷一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）函数y =12sin 2x 的最小正周期T= ．2．（4分）已知函数f （x ）=ax 2+2x 是奇函数，则实数a= ．3．（4分）计算：2i1+i= （i 为虚数单位）．4．（4分）已知集合A={x ||x |＜2}，B={x |1x +1＞0}，则A ∩B= ．5．（4分）若椭圆x 225+y 216=1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 ．6．（4分）某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人，若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是 ．7．（4分）已知双曲线C 经过点C （1，1），它的一条渐近线方程为y = 3x ．则双曲线C 的标准方程是 ．8．（4分）在（2x 2+1x）6的二项展开式中，常数项是 ．9．（4分）连续两次掷骰子，出现点数之和等于4的概率为 （结果用数值表示）．10．（4分）各棱长为1的正四棱锥的体积V= ． 11．（4分）方程 1241xx 21−39=0的解集为 ．12．（4分）根据所示的程序框图（其中[x ]表示不大于x 的最大整数），输出r= ．13．（4分）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm ，母线长最短50cm ，最长80cm ，则斜截圆柱的侧面面积S= cm 2．14．（4分）设n 阶方阵A n =135⋯2n −12n +12n +32n +5⋯4n −14n +14n +34n +5⋯6n −1⋯⋯⋯⋯⋯2n (n −1)+12n (n −1)+32n (n −1)+5⋯2n 2−1任取A n 中的一个元素，记为x 1；划去x 1所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n ﹣1阶方阵A n ﹣1，任取A n ﹣1中的一个元素，记为x 2；划去x 2所在的行和列，…；将最后剩下的一个元素记为x n ，记S n =x 1+x 2+…+x n ，则S n =x 1+x 2+…+x n ，则lim n→∞S n3= ．二、选择题：（本大题20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）若空间三条直线a 、b 、c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则直线a 与c （ ） A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线D ．平行、相交、是异面直线都有可能16．（5分）（上海春卷16）已知a 1，a 2∈（0，1），记M=a 1a 2，N=a 1+a 2﹣1，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M ＜N B ．M ＞N C ．M=ND ．不确定17．（5分）已知抛物线C ：y 2=x 与直线l ：y=kx +1，“k ＜0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18．（5分）（上海春卷18）已知函数f （x ）=14−2的图象关于点P 对称，则点P的坐标是（ ）A ．(2，12)B ．(2，14)C ．(2，18) D ．（0，0）三、解答题：（本大题74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）已知tanθ=a ，（a ＞1），求sin (π4+θ)sin (π−θ)⋅tan 2θ的值． 20．（14分）已知函数f （x ）=log a （8﹣2x ）（a ＞0且a ≠1） （1）若函数f （x ）的反函数是其本身，求a 的值； （2）当a ＞1时，求函数y=f （x ）+f （﹣x ）的最大值．21．（14分）已知地球半径约为6371千米．上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°，里斯本的位置约为西经10°、北纬39°． （1）若飞机以平均速度720千米/小时，飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时）？ （2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1千米）22．（16分）在平面上，给定非零向量b →，对任意向量a →，定义a′→=a →﹣2(a →⋅b →)|b →|2b →．（1）若a →=（2，3），b →=（﹣1，3），求a′→；（2）若b →=（2，1），证明：若位置向量a →的终点在直线Ax +By +C=0上，则位置向量a′→的终点也在一条直线上；（3）已知存在单位向量b →，当位置向量a →的终点在抛物线C ：x 2=y 上时，位置向量a′→终点总在抛物线C′：y 2=x 上，曲线C 和C′关于直线l 对称，问直线l 与向量b →满足什么关系？23．（18分）已知首项为x 1的数列{x n }满足x n +1=ax n x n +1（a 为常数）．（1）若对于任意的x 1≠﹣1，有x n +2=x n 对于任意的n ∈N *都成立，求a 的值； （2）当a=1时，若x 1＞0，数列{x n }是递增数列还是递减数列？请说明理由； （3）当a 确定后，数列{x n }由其首项x 1确定，当a=2时，通过对数列{x n }的探究，写出“{x n }是有穷数列”的一个真命题（不必证明）．说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．2010年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）函数y=12sin2x的最小正周期T=π．【分析】直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可．【解答】解：由三角函数的周期公式可知，函数y=12sin2x的最小正周期为T=2π2=π故答案为：π．2．（4分）已知函数f（x）=ax2+2x是奇函数，则实数a=0．【分析】由奇函数定义入手寻找特殊值是解决此问题的最简解法．【解答】解：由奇函数定义有f（﹣x）=﹣f（x），则f（﹣1）=a﹣2=﹣f（1）=﹣（a+2），解得a=0．3．（4分）计算：2i1+i=1+i（i为虚数单位）．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i+22=1+i．故答案为：1+i4．（4分）已知集合A={x||x|＜2}，B={x|1x+1＞0}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2} ．【分析】利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}=（﹣2，2）B={x |1x +1＞0}=（﹣1，+∞）∴A ∩B=（﹣1，2）={x |﹣1＜x ＜2} 故答案为：{x |﹣1＜x ＜2}5．（4分）若椭圆x 225+y 216=1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 4 ．【分析】根据椭圆的定义|PF 1|+|PF 2|=2a ，已知|PF 1|=6，进而可求|PF 2| 【解答】解：由椭圆的定义知|PF 1|+|PF 2|=2a=10，|PF 1|=6，故|PF 2|=4． 故答案为46．（4分）某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人，若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是 80 ．【分析】根据老年人抽取的人数计算抽取比例，再根据这个比例求中年人中需抽取的人数．【解答】解：由题可知抽取的比例为k=701400=120，故中年人应该抽取人数为N=1600×120=80．故答案为：807．（4分）已知双曲线C 经过点C （1，1），它的一条渐近线方程为y = 3x ．则双曲线C 的标准方程是3x 22−y 22=1 ．【分析】根据题意，双曲线C 的一条渐近线方程为y = 3x ，则可将双曲线的方程设为y 2﹣3x 2=λ（λ≠0），将点C 坐标代入可得λ的值，进而可得答案． 【解答】解：根据题意，双曲线C 的一条渐近线方程为y = 3x ， 则可设双曲线的方程为y 2﹣3x 2=λ（λ≠0）， 将点C （1，1）代入可得λ=﹣2，3x 22−y 22=1．故答案为：3x 22−y 22=1．8．（4分）在（2x 2+1x）6的二项展开式中，常数项是 60 ．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．【解答】解：在（2x 2+1x）6的二项展开式中，通项公式为 T r +1=C 6r •26﹣r •x 12﹣2r •x ﹣r=26−r ⋅C 6r •x12﹣3r ． 令 12﹣3r=0，解得 r=4，故展开式的常数项为 26−4⋅C 64=60， 故答案为 60．9．（4分）连续两次掷骰子，出现点数之和等于4的概率为 112（结果用数值表示）．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件总的试验结果为36个，满足条件的事件是点数和为的结果为4，可以列举出共3个，根据古典概型的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件总的试验结果为36个， 满足条件的事件是点数和为的结果为4， 可以列举出（1，3），（2，2），（3，1）共3个，由古典概型概率计算公式可得P=m n =336=112．故答案为112．10．（4分）各棱长为1的正四棱锥的体积V= 26．【分析】先求出正四棱锥的斜高，再求出它的高，然后利用体积公式求解即可．【解答】解：由题知斜高h′=32，则h=22，故V=13Sh=13•1•22=26．故答案为：2 611．（4分）方程1241xx21−39=0的解集为{﹣3，2} ．【分析】利用矩阵的化简方法把方程的左边化简，得到一个一元二次方程，解出即可．【解答】解：1241xx21−39=9x+2x2﹣12﹣4x+3x2﹣18=0，即x2+x﹣6=0，故x1=﹣3，x2=2．故方程的解集为{﹣3，2}．12．（4分）根据所示的程序框图（其中[x]表示不大于x的最大整数），输出r= 73．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变更r的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果． 【解答】解：由框图的算法原理可知： a= 5，b= 7，n=1，n （b ﹣a ）= 7﹣ 5＜1； n=2，n （b ﹣a ）=2（ 7﹣ 5）＜1； n=3，n （b ﹣a ）=3（ 7﹣ 5）＞1， 此时，m=[3 5]=6，r=m +1n =6+13=73， 故输出r=73．故答案为：7313．（4分）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm ，母线长最短50cm ，最长80cm ，则斜截圆柱的侧面面积S= 2600π cm 2．【分析】将相同的两个几何体，对接为圆柱，然后求出新圆柱侧面积的一半即可． 【解答】解：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的侧面展开，侧面展开图的面积 S=（50+80）×20π×2×12=2600πcm 2．故答案为：2600π14．（4分）设n 阶方阵A n=135⋯2n−12n+12n+32n+5⋯4n−14n+14n+34n+5⋯6n−1⋯⋯⋯⋯⋯2n(n−1)+12n(n−1)+32n(n−1)+5⋯2n2−1任取A n中的一个元素，记为x1；划去x1所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n﹣1阶方阵A n﹣1，任取A n﹣1中的一个元素，记为x2；划去x2所在的行和列，…；将最后剩下的一个元素记为x n，记S n=x1+x2+…+x n，则S n=x1+x2+…+x n，则limn→∞S n3=1．【分析】不妨取x1=1，x2=2n+3，x3=4n+5，…，x n=2n2﹣1，故S n=1+（2n+3）+（4n+5）+…+（2n2﹣1）=n3，故可求limn→∞S n3．【解答】解：不妨取x1=1，x2=2n+3，x3=4n+5，…，x n=2n2﹣1，故S n=1+（2n+3）+（4n+5）+…+（2n2﹣1）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+[2n+4n+…+（n﹣1）2n]=n2+（n﹣1）×n2=n3，故limn→∞S nn3+1=limn→∞n3n3+1=limn→∞11+1n3=1，故答案为：1．二、选择题：（本大题20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c（）A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能【分析】利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义即可得出，若直线a、b、c满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面．【解答】解：如图所示：a⊥b，b⊥c，a与c可以相交，异面直线，也可能平行．从而若直线a、b、c满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面．故选D．16．（5分）（上海春卷16）已知a1，a2∈（0，1），记M=a1a2，N=a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是（）A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不确定【分析】根据题意，利用作差法进行求解．【解答】解：由M﹣N=a1a2﹣a1﹣a2+1=（a1﹣1）（a2﹣1）＞0，故M＞N，故选B．17．（5分）已知抛物线C：y2=x与直线l：y=kx+1，“k＜0”是“直线l与抛物线C 有两个不同交点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先推出直线l与抛物线C有两个不同交点的充要条件，再判断与“k＜0”的关系．【解答】解：若直线l与抛物线C有两个不同交点，则y2=xy=kx+1有两个不同的解，即k2x2+（2k﹣1）x+1=0有两个不同的解，则△=（2k﹣1）2﹣4k2＞0，解得，k＜1 4．则由k＜0可推出k＜1 4，而k ＜14推不出k ＜0，故选A ．18．（5分）（上海春卷18）已知函数f （x ）=14−2x的图象关于点P 对称，则点P的坐标是（ ）A ．(2，12)B ．(2，14)C ．(2，18) D ．（0，0）【分析】利用对称性质和中点坐标公式进行求解．【解答】解：设P （m ，n ），任意给点M （x ，y ）关于P （m ，n ）的对称点为N （2m ﹣x ，2n ﹣y ）， 由y =f (x )=1x ，2n −y =f (2m −x )=14−22m−x 联立方程组： y =14−2x 2n −y =14−22m−x ， 解这个方程组得到m =2，n =18，故选C ．三、解答题：（本大题74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）已知tanθ=a ，（a ＞1），求sin (π4+θ)sin (π−θ)⋅tan 2θ的值． 【分析】利用两角和与差的正弦函数，以及二倍角的正切，化简sin (π4+θ)sin (π2−θ)⋅tan 2θ，代入tanθ=a ，求出结果即可． 【解答】解：原式=22cosθ+ 22sinθcosθ⋅2tanθ1−tan 2θ= 22(1+tanθ)⋅2tanθ1−tan 2θ= 2a 1−a． 即：sin (π4+θ)sin (π−θ)⋅tan 2θ= 2a1−a ．20．（14分）已知函数f （x ）=log a （8﹣2x ）（a ＞0且a ≠1） （1）若函数f （x ）的反函数是其本身，求a 的值； （2）当a ＞1时，求函数y=f （x ）+f （﹣x ）的最大值．【分析】（1）先求出反函数的解析式，利用反函数和原函数的解析式相同，求出a 的值．（2）当a ＞1时，先求出函数的定义域，化简函数的解析式，利用基本不等式求出最值．【解答】解：（1）∵函数f （x ）=log a （8﹣2x ），∴8﹣2x =a f （x ），x=log 2(8−a y )， 故反函数为 y=log 2(8−a x)，∴log a （8﹣2x ）=log 2(8−a x)，∴a=2． （2）当a ＞1时，由题意知，8﹣2x ＞0，∴x ＜3，函数y=f （x ）+f （﹣x ）的定义域（﹣3，3），函数y=f （x ）+f （﹣x ）=log a （8﹣2x）+log a (8−2−x )=log a (65−8(2x +2−x ))，∴2x +2﹣x ≥2，当且仅当x=0时，取等号．∴0＜65﹣8（2x +2﹣x ）≤49， 当a ＞1时，函数y=f （x ）+f （﹣x ）在x=0处取得最大值log a 49．21．（14分）已知地球半径约为6371千米．上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°，里斯本的位置约为西经10°、北纬39°． （1）若飞机以平均速度720千米/小时，飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时）？ （2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1千米）【分析】（1）先求两地的球心角，求出球面距离，然后求飞行时间． （2）求出两点的距离，求出球心角，然后求球面距离．【解答】解：（1）∵上海与大连在同一经线上，∴它们在地球的同一个大圆上． 设地球的球心为O ，上海、大连分别为点A 、B ．由上海、大连的经、纬度知∠AOB=8°地球半径r ≈6371千米经计算得AB 的弧长：6371×π×8°180°≈889.56(千米)889.56÷720≈1.2（小时）∴从上海到大连的最短飞行时间约为1.2（小时）（2）设里斯本为C ，过B 作 与赤道平面平行的球面的截面， 设其圆心为O′，由已知得∠BO′C=121°+10°=131°，∠OBO′=39° OB=OC=rO′C=O′B=OBcos ∠OBO′=rcos39° 由余弦定理可得BC 2=O′B 2+O′C 2﹣2O′B•O′Ccos131°=2r 2cos 239°（1﹣cos131°） cos ∠BOC=OB 2+OC 2−BC 22⋅OB⋅OC=2r 2−2r 2cos 239°(1−cos 131°)2r 2≈﹣1.87×10﹣4 ∴∠BOC ≈90.01°于是大圆的弧长BC 为6371×π×90.01°180°≈10009(千米)∴大连与里斯本之间的球面距离约为10009千米．22．（16分）在平面上，给定非零向量b →，对任意向量a →，定义a′→=a →﹣2(a →⋅b →)|b →|2b →．（1）若a →=（2，3），b →=（﹣1，3），求a′→；（2）若b →=（2，1），证明：若位置向量a →的终点在直线Ax +By +C=0上，则位置向量a′→的终点也在一条直线上；（3）已知存在单位向量b →，当位置向量a →的终点在抛物线C ：x 2=y 上时，位置向量a′→终点总在抛物线C′：y 2=x 上，曲线C 和C′关于直线l 对称，问直线l 与向量b →满足什么关系？【分析】（1）根据题意，算出a →⋅b →=7，|b |→2=10，代入a′→的表达式并化简整理，即可得到a′→=（175，﹣65）； （2）设a →=（x'，y'），终点在直线Ax +By +C=0上，由题中a′→的表达式解出a′→=（x ，y ）满足的关系式，从而得到点（−3x−4y 5，−4x +3y5）在直线Ax +By +C=0上，化简整理得到直线（3A +4B ）x +（4A ﹣3B ）y ﹣5C=0，说明向量a′→的终点也在一条直线上；（3））设a →=（x ，y ），单位向量b →=（cosθ，sinθ），解出a′→关于x 、y 和θ的坐标形式，结合a →的终点在抛物线x 2=y 上且a′→终点在抛物线y 2=x 上，建立关于x 、y 和θ的方程，化简整理得到b →=±（ 22， 22）．再由曲线C 和C′关于直线l ：y=x 对称，算出l 的方向向量d →满足d →•b →=0，从而得到直线l 与向量b →垂直． 【解答】解：（1）∵a →=（2，3），b →=（﹣1，3），∴a →⋅b →=7，|b |→2=10，可得2(a →⋅b →)|b →|2b →=2×710（﹣1，3）=（﹣75，215）因此a′→=a →﹣2(a →⋅b →)|b →|2b →=（2，3）﹣（﹣75，215）=（175，﹣65）；（2）设a →=（x'，y'），终点在直线Ax +By +C=0上算出a →⋅b →=2x'+y'，|b |→2=5，2(a →⋅b →)|b →|2b →=2(2x′+y′)5（2，1）=（8x′+4y′5，4x′+2y′5），∴a′→=a →﹣2(a →⋅b →)|b →|2b →=（x'，y'）﹣（8x′+4y′5，4x′+2y′5）=（−3x′−4y′5，−4x′+3y′5）因此，若a′→=（x ，y ），满足 x =−3x′−4y′5y =−4x′+3y′5，得到 x′=−3x−4y5y′=−4x +3y 5∵点（−3x−4y5，−4x +3y5）在直线Ax +By +C=0上∴A ×−3x−4y5+B ×−4x +3y5+C=0，化简得（3A +4B ）x +（4A ﹣3B ）y ﹣5C=0，由A 、B 不全为零，可得以上方程是一条直线的方程 即向量a′→的终点也在一条直线上； （3）∵b →是单位向量，∴设a →=（x ，y ），b →=（cosθ，sinθ），可得a →•b →=xcosθ+ysinθ，所以a′→=a →﹣2(a →⋅b →)|b →|2b →=a →﹣2（xcosθ+ysinθ）b →=（﹣xcos2θ﹣ysin2θ，﹣2xsin2θ+ycos2θ）∵a →的终点在抛物线x 2=y 上，且a′→终点在抛物线y 2=x 上， ∴﹣xcos2θ﹣ysin2θ=（﹣2xsin2θ+ycos2θ）2，化简整理，通过比较系数可得cosθ= 22，sinθ=﹣ 22或cosθ=﹣ 22，sinθ= 22∴b →=±（﹣ 22， 22），∵曲线C 和C′关于直线l ：y=x 对称，∴l 的方向向量d →=（1，1）．可得d →•b →=0，即d →⊥b →，因此直线l 与向量b →垂直．23．（18分）已知首项为x 1的数列{x n }满足x n +1=ax n x n +1（a 为常数）．（1）若对于任意的x 1≠﹣1，有x n +2=x n 对于任意的n ∈N *都成立，求a 的值； （2）当a=1时，若x 1＞0，数列{x n }是递增数列还是递减数列？请说明理由； （3）当a 确定后，数列{x n }由其首项x 1确定，当a=2时，通过对数列{x n }的探究，写出“{x n }是有穷数列”的一个真命题（不必证明）．说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分． 【分析】（1）求出x n +2，代入x n +1化简后等于x n ，得到a 2x n =（a +1）x n 2+x n ，当n=1时，由x 1的任意性得得到a 的值即可；（2）数列为递减数列，因为当a=1且x 1＞1得到x n ＞0，而x n +1﹣x n =x n x n +1﹣x n =﹣x n2x n +1＜0，所以得证； （3）由a=2得到数列{x n }满足x n +1=2x n x n +1，因为{x n }是有穷数列，可以令x 1=﹣17得到即可．【解答】解：（1）∵x n+2=ax n+1x n+1+1=a⋅ax nna x nn+1=a2x nax n+x n+1=x n∴a2x n=（a+1）x n2+x n，当n=1时，由x1的任意性得a2=1a+1=0，∴a=﹣1．（2）数列{x n}是递减数列．∵x1＞0.x n+1=x nx n+1∴x n＞0，n∈N*又x n+1﹣x n=x nx n+1﹣x n=﹣x n2x n+1＜0，n∈N*，故数列{x n}是递减数列．（3）满足条件的真命题为：数列{x n}满足x n+1=2x nx n+1，若x1=﹣17，则{x n}是有穷数列．。

第1/15页2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至4页。

考试结束后，将本草纲目试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无交通工效．．．．．．．．．．．．。

3.第I 卷共12小题，第小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式)(()()P A BP A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 )(()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343v R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生K 次的概率 其中R 表示球的半径 ())((10,1,2,,C ηκηηρκρρκη-AA=-=⋅⋅⋅一． 选择题（1）复数3223ii+-=（A ）．i （B ）.-i （C ）.12—13i （D ）.12+13i （2） 记cos （-80°）=k ，那么tan100°=（A ）．21k k- （B ）. —21k k- （C.）21k k- （D ）.—21k k-（3）若变量x ，y 满足约束条件则z=x —2y 的最大值为第2/15页（A ）．4 （B ）3 （C ）2 （D ）1(4) 已知各项均为正数比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=(B) 7(C) 6(5))35的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6) 某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门。

2010年上海市三校生高考数学试题及解答一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集，集合，则.2．若复数满足（是虚数单位），则.3．已知直线的倾斜角大小是，则.4．若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范围是.5．已知函数和函数的图像关于直线对称，则函数的解析式为. 到渐近线的距离为.7．函数的最小正周期.8．若，则目标函数的最小值为.9．执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是.10．已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为．11．某中学在高一年级开设了门选修课，每名学生必须参加这门选修课中的一门，对于该年级的甲乙名学生，这名学生选择的选修课相同的概率是(结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若，则其公比的取值范围是 . 13．已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是.14．函数的定义域为，其图像上任一点满足．①函数一定是偶函数；②函数可能既不是偶函数，也不是奇函数；③函数可以是奇函数；④函数如果是偶函数，则值域是或；⑤函数值域是，则一定是奇函数．其中正确命题的序号是（填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．已知，，则的值等于………………………（）（A）. （B）. （C）. （D）.16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于…（）（A）. （B）. （C）. （D）.17．若直线通过点，则………………………………（）（A）. （B）.（C）. （D）.18．某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．那么，可推知方程解的个数是………………………………………………………（）（A）. （B）. （C）. （D）.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是米，底面的边长是米．（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？(精确到米2)20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点．（1）若是的中点，求；（2）设，求△周长的最大值及此时的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆.（1）直线过椭圆的中心交椭圆于两点，是它的右顶点，当直线的斜率为时，求△的面积；（2）设直线与椭圆交于两点，且线段的垂直平分线过椭圆与轴负半轴的交点，求实数的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数．（1）若函数的图像过原点，求的解析式；（2）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列的前项和为，且，．从中抽出部分项, 组成的数列是等比数列，设该等比数列的公比为，其中．（1）求的值；（2）当取最小时，求的通项公式；（3）求的值．四区联考2012学年度第二学期高三数学一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．4；9．；10．；11．；12．；13．；14．②③⑤二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．D ；16．B；17．B ；18．C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．解：（1）如图正四棱锥底面的边长是米，高是米所以这个四棱锥冷水塔的容积是．(2)如图，取底面边长的中点，连接，答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解:（1）在△中，，由得，解得．（2）∵∥，∴，在△中，由正弦定理得，即∴,又．记△的周长为，则=∴时，取得最大值为.21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：(1)依题意，，，由，得，设，∴；(2)如图，由得，依题意，，设，线段的中点，则，，，由，得，∴22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解:（1）过原点，得或（2）是偶函数，即，又恒成立即当时当时，，当时，，综上：（3）是偶函数，要使在上是减函数在上是增函数，即只要满足在区间上是增函数在上是减函数．令，当时；时，由于时，是增函数记，故与在区间上有相同的增减性，当二次函数在区间上是增函数在上是减函数，其对称轴方程为．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）令得，即；又（2）由和，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以．解法一：数列是正项递增等差数列，故数列的公比，若，则由得，此时，由解得，所以，同理；若，则由得，此时组成等比数列，所以，，对任何正整数，只要取，即是数列的第项．最小的公比．所以．………（10分）解法二: 数列是正项递增等差数列，故数列的公比，设存在组成的数列是等比数列，则，即因为所以必有因数，即可设，当数列的公比最小时，即，最小的公比．所以．（3）由（2）可得从中抽出部分项组成的数列是等比数列，其中，那么的公比是，其中由解法二可得．，所以。