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Riesz-Schauder定理在一类积分方程的应用

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Riesz-Schauder定理在一类积分方程的应用 朱伟丰 （重庆师范大学 数学学院 重庆市 404100）

摘要：通过实例来对Riesz—Schauder定理应用，找到一类积分方程，当1，2是

)()(2211xfAAx的系数且],[bax，而且)()(2211xfAAx在

],[baC有解的可能，它的充分必要条件，以及进一步推广到方程)()(1xfAxinnn，

系数为ikk,,2,1,，ikxxFdyyyxKAnnnkknkbakk,,2,1,)()(,1在],[baC有解的可能，它的充分必要条件。

关键字：伴随算子；有界变分函数；积分方程；

1、引言 在这篇论文主要对文献[2]中Kneser 类型的积分方程推广。我使用的方法来自于文献[10]，Riesz—Schauder定理应用一类Kneser积分方程。其中函数的相关性来自于文献[9]。 考虑下面积分方程

)()(2211xfAAx ],[bax （1）

bankkikiikbaiiiixxxFdydzzyzyxKA1)()()()()(),,(

其中1K、2K、1kF、2kF、f为已知函数；kx是区间],[ba中的点；],[,F,2k1baCfFk，),,(),,,(1zyxLzyxK在区间],[],[],[bababa连续，],[baC表示在],[ba内的实连续函

数的集合。在（1）中的),,()(),,,()(211kkkkkkkkxxxLxFxxxKxF且0,kk，那么对于如下表达式 babankkkxFdydzzyF1)(),( （2）

其中连续函数F是Riemann可积函数。0k对于下述积分的性质非常重要：如果0)(xF和（2）等于0，那么有F(x)恒等于零。在这种情况下，（1）左边的常系数1与（2）中的函数)()(),,(),(111zyzyxKzyF一致。同理对于0k也有函数)()(),,(),(22zyzyxLzyL一致。 对于1充分小时，（1）右边对于],[baCf都有解。而目前解决的关键在于构建一个与（1）相关的算子，以及有解时对1的估算范围。对于2也同1一样的处理。及其推

广到方程)()(1xfAxinnn，系数为ikAkk,,2,1,,，在],[baC有解的可能，它的充分必要条件。 在],[baC的空间中，一个连续线性的一般性算子是从Radon]1[得到的。其中最关键的

是Lebesgue—Stieltjes积分怎么用算子表示。由于零测度集在解（1）中的非常重要，我不建议用Lebesgue积分。 2、伴随算子和有界变分函数

在Banach空间],[baC的范数)(max],[xbax，我们使用如下算子

babadydzzyzyxKT)()(),,(

111

)()()(111kkkkxxxFT nk,,2,1

同理可得kPP,，nk,,2,1 )1(PTRPTR

)1(kkkkkkPTRPTR12



nk,,2,1

那么，（1）式可以写成 hE)( （3）

其中)(1211，fh，是单位算子，nkkRRE1。D(R),)(kRD,D(T), )(kTD，D(P)，)(kPD的范围与R(R), )(kRR, R(T), )(kTR, R(P), )(kPR算子的变化

范围满足的条件：],[)()(baCRDRDk,],[)()(baCTDTDk, ],[)()(baCPDPDk且],[)(),(),(),(),(),(baCPRPRTRTRRRRRkkk。

0V表示报酬均一的有界变分函数的集合。x1和x2是闭区间[a,b]全部有界变分

的函数，满足（1）存在常数c，],[baE（E是[a,b]稠密集），Eba,;（2）式中，,Ex有cxx21。],[baC表示在],[baC线性连续函数的集合。我们可以辨认出在0

V 有用的一类，同时我们不能在有用的],[baC和函数x某一种类中区别区来，即给你一类就能确定他唯一的作用。我们还要判断一个有界变分函数是否属于这一种类的函数。 引理 Q是nkkTTQ1伴随算子，并且满足如下运算





nkkkkbazabaxdxxFzdydtytyxKQ11111)())()()(),,((

0Vx （4）

其中 ],(1],[0bxzxazzkkk当当 当1),,[;0,bbxbaxzbxnnnn，当。（证明省略） 3、非齐次方程解决的可能性条件 定理1在（1）中，当1，2是(1)式的系数，而且（1）式在],[baC有解的可能，它的充分必要条件是对于 zxdxxFzdydtytyxKjjnkjkjjkkbazabajj11)())()()(),,(( （5）

其中j=1,2对于（5）所有的0Vxj分别满足的条件是 baxdAxf0)())((

12

（6）

baxdAxf0)()1)((

21

 （7）

且j的范围分别为 ),,(max1],[1nkkjjkbabajjbaxjxxFdydtytyxK (8)

证明：由于j=1时对应（5）（6）（8）与j-2对应（5）（7）（8）的证明方法一样，所以选择j=1时对应（5）（6）（8）。

设S为],[baC的有界子集，那么，由kT表达式就知STk在],[baC中相对紧密，即他满足

相对紧密的条件。由于],[],[:baCbaCT的紧算子，那么Q也是紧算子。 由于（1）式可以写成2211)()(AxfAx这种形式时，那么（3）式可以写成22)(AfQ （9）

在（9）用Riesz—Schauder定理]6[。如果是（1）的系数，那么非齐次方程（9）有解， 当且仅当每一个解],[baC的齐次伴随方程0Q且满足关系022Af。其中0Q最关键在于一个生成函数x中有用，当

0Q，那么对于所有],[baC都有0)(Q。设x是有用中的一

个生成函数，x1是满足（4）式右边且有用Q的一个生成函数。那么就有 baxxdx0

1

],[baC （10）

因为01aa，根据生成函数的唯一性定理]4[满足（10）充分必要条件：01xx恰好E是],[ba中稠密集并包括端点。因此，齐次伴随方程就化成了（5）

式。从（5）试中，得到关于函数z更多的信息，除了在xx点外，在闭区间],[ba连续。

证明（10）算子Q的形式zxdzQba,，其中 



nkkkkzabaxxFzdydtytyxKzx11111)()()()(),,(,

（11）

设)(x为zx,对变量z在闭区间],[ba的全变差函数。对于每个],[bax，对于（11）右边第二项是在kxz点的跳跃的阶梯函数)(1xFk。使K(t)是],[ba的连续函数，同时也使zazzhzdttKz

，其中左连续阶梯函数，假设有唯一的点1x不连

续，bxa1且1110cxx。用],;[ba表示在],[ba中全变差函数。我们选择满足bx1，并将其在],[1x随意分割mx2101，那么

我们可以的到如下不等式，],;[2101011xhhhhcmiii

从],;[1x的定义得出miii11是它的最小上界。那么，不等式的右边我们通过他0max1ii极限得到。因为h是连续函数，所以有

miiixhhh111],;[]5[

和],;[],;[111xxhc。由于 ],;[],;[],;[],;[11111xhcxxhx 就可以得出],;[],;[111xhcx,由于dttKbahba],;[，根据]5[得到如下关系式],;[],;[],;[],;[11bhxxahba，从而得到1],;[cdttKbaba 其中对于ax1或者bx1也成立。 将],[ba分成若干份，是每一份所包括的比不是（11）中不连续点，利用变量，那么有



nkkkbabaxxFdydtytyxKx11111,,

，那么得到（8）式。

定理2 ],[,,,21baCxfxfxfn且线性无关，设bannndyyyxKxf,， knknknxxxKxf,，其中nK、f为已知函数；kx是区间],[ba中的点；

],[,KnbaCf，yxKn,在区间],[],[baba连续，],[baC表示在],[ba内的实函数的

集合。对于)()(11xfxfxfxinjkknnn其中ni,在],[baC有解决的可能，它的充分必要条件是对于 yxdxxKydttxKnnnjkknkaayan11)),()(),((



所有的0Vxn分别满足的条件是：banmnxdBxf0)())((1 

inmjkkmmmnmjkkmmmmxfxfxfxfB11111

设],0[1dn，测d的范围为jkkibaibaxixxKdttxKd1],[,,max nddd,,min1

参考文献： [1] Radon, J., Sitzsber. Akad，Wiss. Wien, 1919, vol. 128, pp. 1083—1121 [2] Kneser, A., Rend. Circ. Mat. di Palermo, 1914, vol. 38, pp. 133—169. [3] Titchmarsh, E.,The Theory of Functions, London: Oxford University, 1975.

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Riesz表示定理

Riesz表示定理


∑n
f (x) = Ax = aixi, ∀x = (x1, x2, · · · , xn)T ∈ Rn.
(2)
i=1
而且由Cauchy-Schwarz不等式可知由(2)所表示的线性泛函也的确满足有界性(见[2]第27页,
定义7.2), 即
∑n
( ∑n
)1/2
( ∑n
)1/2
|f (x)| = aixi ≤
Fr´echet-Riesz表示定理 设f ∈ H∗, 则恰有一个zf ∈ H, 使f 可表为
f (x) = (x, zf ), ∀x ∈ H,
(1)
并且∥f ∥H∗ = ∥zf ∥H. 对于此定理的证明,常见方法是通过f 零空间正交补中的元素构造满足(1)的元素zf (如[1,
2, 3, 4, 6, 7, 8]). 这种证明方法非常简洁, 而且也凸现了此定理的几何意义. 在实际教学中, 同学们往往惊叹于定理及其证明的简洁与优美, 但也对zf 的构造方式感到困惑(如[10]).
(
)
um + un 2 2
= 4 (J (um) + J (un)) − 8J
um + un 2
≤ 4 (J (um) + J (un)) − 8J0.
于是0
≤
lim ∥um−un∥2
m,n→∞
≤
lim
m,n→∞
∥um
−un
∥2
≤
0,
即{un}∞ n=1是Hilbert空间H中的Cauchy列.
故而存在唯一元素u
1
= lim
(u + tv, u + tv) − (u, u) − f (v)
t→0 (t 2
柯西—施瓦茨积分不等式

柯西—施瓦茨积分不等式

柯西—施瓦茨积分不等式摘要：1.柯西-施瓦茨积分不等式的定义及意义2.柯西-施瓦茨积分不等式的证明方法3.柯西-施瓦茨积分不等式在数学及实际问题中的应用4.柯西-施瓦茨积分不等式的扩展与变体5.总结与展望正文：柯西-施瓦茨积分不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是数学领域中一种非常重要的不等式，它在向量空间、函数空间等领域具有广泛的应用。

下面我们将详细介绍柯西-施瓦茨积分不等式的定义、证明方法以及在实际问题中的应用。

一、柯西-施瓦茨积分不等式的定义及意义柯西-施瓦茨积分不等式描述了内积空间中向量之间的平方差与内积的关系，为数学分析、概率论、线性代数等领域提供了一种衡量向量之间关系的方法。

给定两个n维实向量α和β，柯西-施瓦茨积分不等式可以表示为：∫[α·β] dμ ≤ ∫α dμ × ∫β dμ其中，μ表示概率测度，∫表示积分。

不等式左边的∫[α·β] dμ表示向量α和β的内积的平方的积分，右边的∫α dμ和∫β dμ分别表示向量α和β的平方的积分。

柯西-施瓦茨积分不等式告诉我们，向量之间的内积平方的积分不超过向量自身平方的积分的乘积。

二、柯西-施瓦茨积分不等式的证明方法柯西-施瓦茨积分不等式的证明方法有多种，这里我们介绍一种基于实分析的证明方法。

设f(x)和g(x)是定义在区间[a, b]上的实函数，已知f(x)和g(x)均非负。

根据积分的基本性质，我们有：∫[a, b] f(x)g(x) dx ≤ ∫[a, b] f(x) dx × ∫[a, b] g(x) dx两边同时除以∫[a, b] g(x) dx，得到：∫[a, b] f(x) / g(x) dx ≤ ∫[a, b] f(x) dx令u(x) = f(x) / g(x)，则上式可以表示为：∫[a, b] u(x) dx ≤ ∫[a, b] f(x) dx由于u(x) = f(x) / g(x)，我们可以得到：∫[a, b] f(x)g(x) dx ≤ ∫[a, b] f(x) dx × ∫[a, b] g(x) dx这就证明了柯西-施瓦茨积分不等式。

一阶线性偏微分方程的特征线解法

一阶线性偏微分方程的特征线解法

2
该方程称为Poisson方程或位势方程
第18页
3. 定解条件： ＝初始条件＋边界条件
①. 初始条件：
u t =0 = ϕ ( x, y, z ), ( x, y, z ) ∈ Ω, ut
注意：
t =0
= ψ ( x, y, z ), ( x, y, z ) ∈ Ω,
弦振动方程定解问题需要上述两个初始条件； 热传导方程定解问题只要上述第一个初始条件； 位势方程定解问题不需要初始条件。
这 里 n 为 ∂Ω 的 单 位 外 法 向 ， g为 已 知 函 数 。
第20页
注意：
上述三类方程中，对物体 Ω 的边界 ∂Ω 上每一点都要 施加一个边界条件。 对于不同的问题，相应的边界条件有不同的实际意义。
第21页
叙述一个定解问题时，要标明方程和定解条件成立的范围。
例如：一维热传导方程的第一边值问题：
如果配合画图则更清楚。
T u = g1
ut − a 2u xx = f
u = g2
注意：t=T时不能施加条件！！
0
u ( x , 0) = ϕ ( x )
l
第22页
x
位势方程边值问题：
位势方程的第一边值(Dirchlet)问题：
－Δu ( x) = f ( x), x = ( x1 , L , xn ) ∈ Ω,
第14页
热传导方程的混合问题：
热传导方程的第一边值(Dirchlet)问题：
∂u − a 2 Δu ( x, y, z , t ) = f ( x, y, z , t ), ∂t ( x, y, z ) ∈ Ω, t > 0,
u ( x, y, z , 0) = ϕ ( x, y, z ),
《数学物理方程-福州大学-江飞》作业chapter1

《数学物理方程-福州大学-江飞》作业chapter1


2vxx 2 2 A
0, v(l,t)
cos 0
2t
x
/
l
,
v(x, 0) vt (x, 0) 0
利用齐次化原理可得 v t w x,t; d , 其中w x,t; 0
满足
wwt(t 0, ta)
2wxx , 0,
w(l,
t
)
0,
w(x, )， wt (x, ) 22 Acos 2 x / l.
cos
2t
cos
k
al
1t
cos 2t cos k al1t
2l
2(2 k a，l1)
2(2 k al1)
if k .
a
u(x,t) U (x,t) v(x,t), U (x,t) A sin2 t x / l, v t w x,t; d , 0
v
42 Al 1k1
Eux x0 k[u(0,t) v(t)]
支承固定时
其中k为支承的刚度系数。由此得边界条件 f (t) 0.
ux u) x0 f (t), 其中 k / E, f (t) kv(t) / E.
初始状态：
运动 t 时刻：
0
l 支承
x
T (l,t) E(l)ux (l,t)
质点 x l T (l,t)
ux
u) x0
f (t),
其中
k
/
E,
f (t) kv(t) /
E.
4. 绝对柔软而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力 作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横 振动方程。
解 设弦长为 l ，弦的线密度为，则x点处的张力T (x) 为
T (x) g(l x) T (x) ,