积分中值定理应用PPT课件

y
f (x) f ( )
f (x) f ( )
3 . 几f ( b何) =意f (义a ). 是：
x
x
fmax
那么在至少极存在值一点点处的
f (x) f () 0 x
●
f()=0
f (x) f () 0 x
切( a线, b ) 使平得行于AB 的连f线( 或) = x0 轴. .
f(x0)=xl im x0f(xx) x f0(x0)0,
所以 f(x0) =0.
目录
04.04.2020
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•典型情形的证明思想
结这论说: R明o：lle在定极理
假设大函数值或f ( 极x ) 满小足条值件：
1 . 点f ( x处) 在,[函a , b数]上连的续导;
2 . 数f ( x为) 在0(.a , b )内可微 ;
-1
-0.5
0
0.5
-0.5
1
1.5
-1
易 见 ， F在 x = - 1不 连 续 ， 在 x = ± 1不 可 导 ， F ( - 2 ) ≠ F （ 2 ） , 即 罗 尔 定 理 的 三 个 条 件 均 不 成
立 ， 但 是 在 （ - 2 ， 2 ） 内 存 在 点 ξ ,满 足 F ()=0
A
f()0
f()0
B
O
a
目录
( ●)
04.04.2020
fmi,nf()=0
●
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bx
下M一ad页e by ldydc
Rolle定理
（一）Rolle定理
定理 2（Rolle 定理） 如果函数 f ( x(1))在闭区间 [a, b] 上连续(,2在) 开区间(a, b)内可导(,3且) 在区间端点的函数 值相等，即 f (a) = f (b),那末在(a,b)内至少有一点 (a b),使得函数 f ( x)在该点的导数等于零，

1 x
证明函数不等式 的惯用手段！
证: 设 f ( x) ln(1 x), 则 f 在[0, x]上满足拉格朗日定理的条件.
f ( x) f (0) f ()(x 0), (0 x)
即 ln(1 x) ln(1 0) 1 x,
1
又0 x x x x, 1 x 1
x 0
x0 1 x
② 1 ,00 ,0 型： 化为 e 0·∞型 ( u( x)v(x) ev( x)ln u( x) )
1
例5. 求 lim x x , lim x1 x .
x 0
x 1
1, e1
③ 型： 整理成 1/0-1/0 , 经通分化为 0/0 型
f (b) f (a) f (a (b a))(b a), 0 1
f (a h) f (a) f (a h)h, 0 1.
第四章第1节
6
例3 证明不等式 arctan x2arctan x1 x2x1 (x1x2) 证 设 f(x) arctan x
且等号只在个别点处成立.
推论 设 f(x) 在区间 I 上可导，则
证明函数不等式 的惯用手段！
f (x) 0 ( f (x) 0) , x I
f(x) 在 I 上单递调增 (减).
第四章第1节
20
例2. 证明 ex 1 x , x 0 . 证: 设 f ( x) ex 1 x, 则 f (0) = 0 .
1 (1, 2), f (1) 0, 2 (2,3), f (2 ) 0. 而 f (x) 是二次多项式 仅有上述两个根
第四章第1节

经济学
在经济学中，柯西中值定 理被用于研究经济增长、 边际效应等经济问题的数 学模型。
柯西中值定理的基本概念
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
函数
柯西中值定理涉及的函 数通常是在闭区间上连 续且在开区间上可导的 函数。
中值
柯西中值定理中的中值 是指在给定区间内至少 存在一个点，使得函数 在该点的导数与函数在 区间端点的函数值的差
VS
结论
柯西中值定理中的结论可以看作是泰勒中 值定理中结论的特殊情况，即存在 ξ∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)，当n=1时，即为柯西中 值定理的结论。同时，柯西中值定理也可 以看作是泰勒公式在n=1时的一种应用。
06
柯西中值定理的教学设计 与实施建议
教学目标与要求
知识与技能
01
掌握柯西中值定理的表述、证明及应用，理解定理的
实质和深层含义。
过程与方法
02 通过定理的引入、证明及应用，培养学生的逻辑推理
能力、分析问题和解决问题的能力。
情感态度价值观
03
引导学生体会数学定理的美妙和深刻，激发学生的学
习兴趣和探究精神。
教学重点与难点分析
要点一
教学重点
结论
柯西中值定理中的结论可以包含拉格朗日中值定理的结论，即存在ξ∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)，当g(x)=x时，即为拉格朗日中值定理的结论。
柯西与泰勒中值定理的关系
前提条件
若函数f(x)在闭区间[a,b]上存在n阶导数 ，且在开区间(a,b)上存在n+1阶导数， 则存在ξ∈(a,b)，使得f(x)在x=ξ处的泰勒 公式成立。此时，可以将柯西中值定理 看作是泰勒中值定理的特殊情况，即当 n=1时的情况。

教 否则会分散学生的注意力，适得其反。
于适用于更广的客户群。
2.媒体的选择要具有变化性，单 一 感 官 的 刺 激
（2）增强即时交互功能 。 课件要具有及时响应
持续时间过长会使人疲倦， 甚至抑制信息的获取， 学习者提交请求的功能， 要建立课件素材数据库，
因此一个好的多媒体课件要适时变化媒体类型，引 必要时加入教师的实时“参与”，尽力做到课件的交
b
f ( x ) dx .
a
2
a
( 下 转 第 58 页 )
2009·9 新教育
课件的开发， 仅用一种课件工具是无法完成的，需 学蕴含其中，不可机械拼凑粗制滥造。
要同时使用几种课件工具联合开发。
4.媒 体 的 选 择 要 有 针 对 性 ，任 何 媒 体 的 选 择 都
究竟使用哪些工具开发多媒体教学课件，这还 不能偏离目标，都要为内容服务。 一个课件无论怎
dx＜
π 2
sinn π 2
-ε)
+ε＜
π积分中值定理等途径， 从而 达到有关问题的证明。
π
乙2
即 lim sinnxdx=0 。 n→∞ 0
例 1．设 函 数 f(x)在[a，b]上 连 续 ，在(a，b)可 导 ，
54
乙b
且 f (x)dx =(b -c)f (a) ， 其 中 c ∈(a ，b) ， 证 明 ： 在 (a ，
π
乙 乙 乙 2
2
2
sinnxdx =
sinnxdx +
sinnxdx ,
0
0
π -ε
2
对[0, π -ε]上的积分,应用积分第一中值定理 2
π -ε
乙 埚ξ缀[0, π -ε], 使 2

方法总结
先利用积分中值定理除去积分号得一未定 式，再利用洛必达法则求出未定式的极限．
相关例题1
设 a 为常数，求
lim xa x ln(1 1 sin 1) d x ．
x x
2x
解答：
由于对任意的 x 0，函数 x ln(1 1 sin 1) 连 2x
续，故由积分中值定理
xa x ln(1 1 sin 1) d x a ln(1 1 sin 1 ) ，
求 lim n1 x2 ex2 d x ． n n
解答：
应用积分中值定理得
n1 x2 ex2 d x 2 e 2 n n 1 ， n
当 n 时， ，且由于
lim x2
x
ex2
limபைடு நூலகம்
x
x2 e x2
2x lim
x 2x e x2
0，
故 lim n1 x2 ex2 d x lim 2 e 2 0 ．
题目
设常数 0 ，求
lim x ln tn d t n 1, 2, ．
x x t 2
解题方法1
先应用积分中值定理去掉积分号，进而用洛 必达法则求得极限．
解题步骤1
对任一 0 ，在区间 x, x 上，
f x ln xn 连续，故由积分中值定理知
x2
x
x
ln tn
dt t2
ln n ， x,
x
2x
2
位于 x 与 x a 之间，当 x 时， ．
相关例题1
由于
11
11
lim ax ln(1 sin ) a lim x( sin )
x
2x
x 2 x
a lim x 1 a ， x 2x 2

即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
设 f ( x)在 [a,b] 上连续，在 (a,b)内可导,
x0 , x0 x (a, b), 则有
y f (a) f (b) f (a) ( x a). ba
曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线 a, b两端点的函数值相等 .
证：作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F ( x ) 满足罗尔定理的条件 ,
则在(a, b)内至少存在一点 , 使得 F () 0.
函数的极大值与极小值统称为极值； 极大值点与极小值点统称为极值点。
0.2费马定理设函数y f (x)在点x0可导，
若x0是函数的极值点，则f '(x0 ) 0
通常称f '(x0 ) 0的点x0为f (x)的驻点。
问题：是不是所有的极值点都是驻点？
一、罗尔定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x()1在) 闭区间 [a, b] 上连续(,2)在开区间(a, b)内可导,(且3) 在区间端点的函数值相 等，即 f (a) f (b),那么在(a, b)内至少有一点(a b) 使得函数 f ( x)在该点的导数等于零，
设 M f (a), 则在存在 (a，b) 有f ( ) M . 故 必是极值点，由费马引理， f '( ) 0 综上，必存在 (a，b)，使得f '( ) 0
注意:若罗尔定理的三个条件 i、 闭区间上连续； ii、 开区间内可导； iii、两端点函数值相等 是定理成立充分条件；

1 1 x
2
证 设 f ( x ) arcsin x arccos x , x [1,1]
f ( x ) ( 1 1 x
2
) 0.
f ( x) C ,
x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 , 2 2 即C . 2 arcsin x arccos x . 2
o
a
x1 x2
x4
x5 b
x
一、函数的极值
定义: 在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
y 2 1
o
极大点与极小点统称为极值点 . 为极大点 , 为极小点 , 是极大值 是极小值
1 2
x
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质. 2) 对可导函数, 极值可能出现在导数为 零的点
第四章 中值定理及导数的应用
在本章中, 要利用导数来研究函数的性质与形态.
如: 函数增量与自变增量之间的关系;
凹凸、最大，最小、图形等.
函数的单调、
中值定理是利用导数研究函数的理论基础.
第一节 中值定理
洛尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理
y
x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点
解：∵ f (x)在[0, ]上连续，在(0, )上可导， 且 f(0) = f() ∴由洛尔定理知： 在(0, )内至少有一点，使 f ()=0，
即: cos =0, 故=/2。
例2
验证洛尔定理对函数 f ( x ) x 3 4 x 2 7 x 10 在 [1,2]上的正确性。 解：∵ f (x)在[－1, 2]上连续，在(－1, 2)上可导， 且 f(－1) = f(2) ∴由洛尔定理知：

2
高阶导数的定义
解释高阶导数的概念和意义，以及它在微分中值定理中的应用。
3
集中型与散布型表述
用集中型表述和散布型表述两种方式来理解高阶微分中值定理。
4
示例
通过具体的案例，演示高阶微分中值定理的应用和实际意义。
应用
最值问题
通过微分中值定理，我们可以解决一些与最值有关的问题，如寻找函数在某个区间内的最大 值或最小值。
《微分中值定理》PPT课 件
微分中值定理是微积分的重要定理之一，它揭示了函数在一定条件下的平均 变化率？
微分中值定理是用来研究函数在某个区间内的平均变化率和瞬时变化率之间 的关系的定理。
通过微分中值定理，我们可以推导出很多重要的结论，从而更好地理解函数 的性质和行为。
函数增减性及局部极值
微分中值定理可以帮助我们研究函数的增减性和局部极值点的存在性和位置。
平均值定理
微分中值定理中的平均值定理是函数平均变化率与瞬时变化率之间的关系的重要推论。
总结
微分中值定理的意义和 应用
微分中值定理是理解函数性 质和行为的重要工具，它帮 助我们研究函数的变化规律 和特性。
注意事项
一阶微分中值定理
1
集中型与散布型表述
2
一阶微分中值定理可以用集中型表述和
散布型表述两种不同的方式来描述。
3
公式推导
利用一阶导数的性质，推导出一阶微分 中值定理的公式。
示例
通过实际的例子，展示一阶微分中值定 理的应用和意义。
高阶微分中值定理
1
公式推导
通过对高阶导数进行推导，得到高阶微分中值定理的公式。
使用微分中值定理时需要注 意条件的限制和推导过程的 合理性，以确保结果的准确 性和可靠性。

1
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例7 设f (x)在[a,b]上四阶可导，且f (a) f (b) f (b)
f (b) f (b) 0,证明:必 (a,b)使f (4)( ) 0.
分析2: 从f (a) f (b) f (b) f (b) f (b) 0
想到泰勒公式
f ( x) f (b) f (b)( x b) f (b) ( x b)2
可用原函数法找辅助函数 .
(2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 , 可考虑用柯 西中值定理 .
(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用 中值定理 .
(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 .
15
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二、洛比达法则及其应用
f (x )在[0,1]上满足罗尔定理的条件，
得： (0,1),使f () 0. 0
1
f (x )在[0,]上满足罗尔定理的条件，
所以: (0,) (0,1)使f ( ) 0.
12
第12页/共60页
证毕
例14. 设f ( x)在[0 ,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且f (1) 0 ,
f (1)
f (x)
f (x)(1
x)
1 2
f ()(1
x)2
(0 1)
f (0)
f ( x)
f
( x)
x
1 2
f
( )
x2
(0 1)
两式相减得
0
f
(
x)
1 2
f
(
)(1
x)2
1 2
f ( )x2
f (x)