导数的定义(人教A版)

v(2) lim y lim (t 6) 6
x x0
x0
在第2 h 附近，汽车的速度 每秒大约增加 2m / s
在第6 h 附近，汽车的速度 每秒大约减少 6m / s
练习
设f (x) x ，求f (1)
解：f (1) lim f (1 x) f (1)
x0
x
(1 x) 1
lim
x0
记为 lim h(1 t) h(1) 5
t 0
t
当时间间隔 | t | 无限趋近于0 时，平均速度v 就无限趋近于t 1 时的瞬时速度。
因此，运动员在t 1 s 时的瞬时速度v(1) 5 m / s
思考 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h ( 单位：m)
与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系
在第2 h 时，原油温度的瞬时变化率是 f (2)
y f (2 x) f (2)
x
x
在第6 h 时，原油温度的瞬时变化率是f (6)
y f (6 x) f ()
x
x
(2 x)2 7(2 x) 15 (22 7 2 15) x
4x x2 7x x 3 x
f (2) lim y lim (x 3) 3
t 0
t 0
质点A 在t 2.7 s 时的瞬时速度为10.8 m / s
3.设函数f (x) x2 1 ，求 (1)当自变量x 由1 变到1.1 时，函数的平均变化率
(2) 函数在x 1 处的导数
解：(1) f (1.1) f (1) (1.1)2 1 (12 1) 2.1
4.8 9.8t0)
4.8 9.8t0
lim x 0
x0

f′(x)＝ lim
函数．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数)
f′(x)＝ 0
f(x)＝xα(α∈Q *)
f′(x)＝ αxα－1
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f′(x)＝ cos x f′(x)＝－sin x
命题点一 导数的运算(自主练通)
[题组练透]
1．已知 f(x)＝cos 2x＋e2x，则 f′(x)＝
()
A．－2sin 2x＋2e2x
B．sin 2x＋e2x
C．2sin 2x＋2e2x
D．－sin 2x＋e2x
解析：由题意 f′(x)＝－sin 2x·2＋e2x·2＝－2sin 2x＋2e2x，故选 A.
A．0
B．－1
C．12 解析：依题意得，
D．2
f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，
所以 f′(－1)＝3＋2t－4＝0，
即 t＝12. 答案：C
2．(数形结合)已知函数 f(x)的图象如图所示，f′(x)是 f(x)的导
函数，则下列数值排序正确的是
()
A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)
4．已知 f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则 x0＝________. 解析：∵f′(x)＝－8＋4x， ∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4，解得 x0＝3. 答案：3

常数 叫做t0时刻的瞬时速度．即 常数 ，我们就把这个______ 于______
st0＋Δt－st0 Δs lim Δt Δt→0 v＝ lim ＝ ______________________. → Δt
Δt 0
故瞬时速度就是运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为m；t的 单位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为( ) A．3m/s B．2m/s C．1m/s D．0m/s [答案] D
Δx 0
典例探究学案
瞬时速度
1 2 已知自由落体的运动方程为s＝2gt ，求： (1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度； (2)落体在t0时的瞬时速度； (3)落体在t0＝2秒到t1＝2.1秒这段时间内的平均速度； (4)落体在t＝2秒时的瞬时速度．
[分析] 平均速度 v 即平均变化率，而瞬时速度即是平均 速度 v 在Δt→0时的极限值，为此，要求瞬时速度，应先求出 平均速度，再求 v 当Δt→0时的极限值．
)
f1＋Δx－f1 1 1 [解析] 原式＝3 lim ＝3f ′(1)． Δx Δx→0
4．(2013· 揭阳一中段考)若f(x)＝x3，f ′(x0)＝3，则x0的值 为( ) A．1 C．± 1 [答案] C B．－1 D．3 3
fx0＋Δx－fx0 [解析] ∵f ′(x0)＝ lim Δx Δx→0 x0＋Δx3－x3 0 ＝ lim Δx Δx→0
3．对导数定义的理解要注意： 第一：Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正可负，但 Δx≠0；Δy是函数值的改变量，可以为0； 第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自 变量改变量之___的极限．因此，它是一个常数而不是变量 ； 比

作业布置
课本70页习题5.1 （4、5、7）
所以
表5.1-3给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.
课堂ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ习
1 根据导数的定义求下列函数的导数． (1)求函数 在x＝1处的导数； (2)求函数 在 处的导数．
解：
(2)
∴
∴
∴
∴
合作探究
求函数 y＝f(x) 在点 处的导数的三个步骤
课堂练习
2 已知函数 f(x)在 处导数的4，则
12
解：
注：
（2）在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的 增量与分母中的增量必须保持一致．
前者只有一条，而后者包括了前者.
新知讲解
导数的概念
③ 函数 f (x)的导函数
导数概念的理解 (1) 导数是一个局部概念，它只与函数 y＝f(x) 在 处及其附近的函数值有 关，与无关． (2) 是一个常数，即当时，存在一个常数与 无限接近．
合作探究
例1 设 ，求 解：
合作探究
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：）为 . 计算第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 解：
解： 我们用曲线 h(t)在处的切线的斜率，刻画曲线 h(t)在上述三个时刻附近 的变化情况.
合作探究 （1） 当时，曲线 h(t)在 处的切线 平行于 t 轴，. 这时，在 这时，在 附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
（2）当时，曲线 h(t)在 处的切线 的斜率. 这时，在 附近曲线下降，即函数 h(t)在附近单调递减.
根据导数的定义，
合作探究 所以