第五章统计指数习题答案要点

1．设有30个电子器件1230,,,D D D ，
它们的使用情况如下：1D 损坏，2D 立即使用；2D 损坏，3D 立即使用等等，设器件i D 的寿命服从参数为0.1λ=(小时1)-的指数分布的随机变量，令T 为30个器件使用的总时间，求T 超过350小时的概率。

解 设i D 为器件i D 的寿命，则301i i T D
==∑，所求概率为
30301300(350)(350)i i i D P T P D P =⎧⎫-⎪⎪≥=≥=≥⎪⎪⎩⎭
∑∑
11(0.91)10.81860.1814≈-Φ=-Φ=-=.
2．某计算机系统有100个终端，每个终端有20%的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有10个或更多个终端在使用的概率。

解 设1,,1,2,0,.
i i X i i ⎧==⎨
⎩第个终端在使用第个终端不在用 则同时使用的终端数
1001~(100,0.2)i i X X B ==
∑
所求概率为
(10)11( 2.5)(2.5)0.9938P X ≥≈-Φ=-Φ-=Φ=.
3．某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤.
解
20(14
30)))P X ≤≤≈Φ-Φ (2.5)( 1.5)=Φ-Φ- 0.9938(1.5)10.99380.93321=+Φ-=+-
0.927=.。

第五章 概论与概率分布重点知识1．样本、样本空间、随机事件的定义；2．事件的运算：交、并、对立事件、互斥事件；3．概论的定义：古典定义、统计定义、经验定义；4．概率的计算：加法公式，乘法公式，条件概率，事件的独立性，全概率公式，贝叶斯公式； 5．随机变量的定义，有几种类型；6．离散型随机变量及其分布的定义与性质，数学期望与方差：重点了解二项分布及其简单性质； 7．连续型随机变量及其分布的定义与性质，数学期望与方差：重点了解正态分布及其简单性质，会根据标准正态分布计算任何正态分布随机变量的概率；复习题一、填空1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设 。

2．若事件A 和事件B 不能同时发生，则称A 和B 是 事件。

3．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是 ；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是 。

4.甲、乙各射击一次，设事件A 表示甲击中目标，事件B 表示乙击中目标，则甲、乙两人中恰好有一人不击中目标可用事件 表示.5.已知甲、乙两个盒子里各装有2个新球与4个旧球，先从甲盒中任取1个球放入乙盒，再从乙盒中任取1个球，设事件A 表示从甲盒中取出新球放入乙盒，事件B 表示从乙盒中取出新球，则条件概率P(B A )=＿＿．6.设A,B 为两个事件，若概率P (A )=41,P(B)=32,P(AB)=61,则概率P(A+B)=＿＿．7.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=0.4,P(B)=0.3，若事件A,B 互斥，则概率P(A+B)=＿＿． 8.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=0.8，P(B)=0.4，若事件A ⊃B ，则条件概率P(B A )=＿＿． 9.设A,B 为两个事件，若概率P(B)=103,P(B A )=61,P(A+B)=54,则概率P(A)=＿＿．10.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A )=0.7，P(B)=0.6,若事件A,B 相互独立，则概率P(AB)=＿＿． 11.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=0.4，P(B)=0.3,若事件A,B 相互独立，则概率P(A+B)=＿＿． 12.设A,B 为两个事件，若概率P(B)=0.84，P(A B)=0.21，则概率P(AB)=＿＿． 13.设离散型随机变量X 的概率分布如下表ccccPX 4322101-则常数c =＿＿．14.已知离散型随机变量X 的概率分布如下表４１４１21P321X则概率P ｛3<X ｝=＿＿．15.已知离散型随机变量X 的概率分布如下表6632P213-X１１则数学期望)(X E =＿＿．16.设离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布，若离散型随机变量X 取1的概率p 为它取0的概率q 的3倍，则方差)(X D =＿＿.17.设连续型随机变量的概率X 密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0210,1)(2x x k x ϕ 则常数k =＿＿．18.设连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其他,00,24)(2rx x x ϕ 则常数r =＿＿．19.已知连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其他,00,2)(2x xex xϕ 则概率}11{<<-X P =＿＿．20.已知连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,021,2)(2x x x ϕ 则数学期望)(X E =_____．21.设X 为随机变量，若数学期望1)12(=-X E ，则数学期望)(X E =＿＿．22.设X 为随机变量，若方差3)63(=-X D ，则方差)(X D =＿＿．二、单项选择1.设A,B 为两个事件，若事件A ⊃B ，则下列结论中( )恒成立.(a)事件A,B 互斥 （b)事件A,B 互斥 (c)事件A ,B 互斥 (d)事件A ,B 互斥 2.设A,B 为两个事件，则事件B A +=( ).(a)A +B (b)A-B (c)A B （d)AB3.投掷两颗均匀骰子，则出现点数之和等于6的概率为( ).(a)111 (b)115 (c)361 (d)3654.盒子里装有10个木质球与6个玻璃球，木质球中有3个红球、7个黄球，玻璃球中有2个红球、4个黄球，从盒子里任取1个球．设事件A 表示取到玻璃球，事件B 表示取到红球，则条件概率P(A B )=( )．(a)114 (b)74 (c)83 (d)535.设A,B 为两个事件，若概率P(A)=31,P(A B ）=32,P(A B )=53,则概率P(B)=＿＿．(a)51 (b)52 (c)53 (d)546.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)>O ，P(B)＞0，若事件A ⊃B,下列等式中( )恒成立．(a)P(A+B)=P(A)+P(B) (b)P(A-B)=P(A)-P(B)(c)P(AB)=P(A)P(B) (d)P(B A )=17.设A,B 为两个事件，则概率P(A+B)=( ).(a)P(A)+P(B) (b)P(A)+P(B)-P(A)P(B)(c)1-P （B A ) (d)1-P( A )P(B ) 8.设A,B 为两个事件，若概率P(A)=31,P(B)=41,P(AB)=121，则( ).(a)事件A 包含B (b)事件A ，B 互斥但不对立 (c)事件A ，B 对立 (d)事件A ，B 相互独立 9.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=53,P(A+B)=107,若事件A,B 相互独立，则概率P(B)=( ).(a)161 （b)101 (c)41 (d)5210.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)>O ，P(B)>O ，若事件A,B 相互独立，则下列等式中( )恒成立．(a)P(A+B)=P(A)+P(B) (b)P(A+B)=P(A) (c)P(A-B)=P(A)-P(B) (d)P(A-B)=P(A)P(B )11.中（ ）可以作为离散型随机变量X 的概率分布．(a)6321-P321X１１ (b)653-21P321X１(c)6321P321X １１ (d)65321P321X １12.已知离散型随机变量X 的概率分布如下表52511015110142101PX-则下列概率计算结果中（ ）正确．(a)0}3{==X P (b)0}0{==X P . (c)1}1{=->X P (d)1}4{=<X P13.设离散型随机变量X 的所有可能取值为-1与l ，且已知离散型随机变良X 取-1的概率为)10(<<p p ，取1的概率为q ，则数学期望=)(2X E ( ).(a)O (b)l (c)p q - (d)2)(p q - 14.设连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥+=其他,00,1)(2x x kx ϕ 则常数k =( ).(a)π1(b)π (c)π2(d)2π15.下列函数中（ ）不能作为连续型随机变量X 的概率密度．(a)⎩⎨⎧≤≤-=其他,001,3)(2x x x f (b)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,021,2)(x x x g(c)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,020,cos )(πx x x h (d)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,02,sin )(ππx x x h 16.设X 为连续型随机变量,若b a ,皆为常数，则下列等式中（ ）非恒成立．(a)}{}{a X P a X P ==≥ (b)}{}{b X P b X P <=≤ (c)1}{=≠a X P (d)0}{==b X P 17.已知连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,040,81)(x x x ϕ 则数学期望)(X E =( ).(a)21 (b)2 (c)83 (d)3818.设X 为随机变量，若数学期望)(X E 存在，则数学期望))((X E E =（ ）.(a)O (b))(X E (c))(2X E (d)2))((X E 19.设X 为随机变量，若方差)(X D =4，则方差)43(+X D =（ ）.(a)12 (b)16 (c)36 (d)4020.设X ,Y 为随机变量，已知随机变量X 的标准差等于4，随机变量Y 的标准差等于3，若随机变量X ,Y 相互独立，则随机变量X -Y 的标准差等于（ ）.(a)1 (b)7 (c)5 (d)7四、名词解释1、 数学期望：2、 对立事件：3、 随机事件：4、 事件和：5、 事件积：6、 互斥事件：7、 互相独立事件：五、判断题1．对于连续型随机变量，讨论某一点取值的概率是没有意义的。

第三节 平均数指数的编制
一、概念要点
（一） 以某一时期的总量为权数对个体指数加权平均 （二） 权数通常是两个变量的乘积 可以是价值总量，如商品销售额(销售价格与销售 量的乘积)、工业总产值(出厂价格与生产量的乘积) 可以是其他总量，如农产品总产量(单位面积产量 与收获面积的乘积) （三）因权数所属时期的不同，有不同的计算形式
选择正常时期或典型时期作为基期
报告期距基期的长短应适当
二、数量指标综合指数的编制 指数公式的形成：求和、相比、定时三个步 骤。 关于同度量因素的时期确定及其原因 三、数量指标综合指数的编制 指数公式的形成：求和、相比、定时三个步 骤。 关于同度量因素的时期确定及其原因
关于基期加权综合法（拉氏指数） 基期加权综合的指数，是把同度量因素固定在 基期水平编制指数的方法。基期加权综合指数公 式称为拉氏公式。1864年德国学者斯拉贝尔首次 提出而得名。 利用拉氏公式计算指数的特点 优点： 在于指数数列中各期权数相同，指数数值之间 可以进行互相比较，用以说明所研究现象变化的 程度及其规律性。
从理论上讲，一切综合指数都可以变成算术 指数和调和指数。 将质量指标综合指数改变为算术指数，由此 引出零售物价指数的简捷式。
第四节
指数体系及其因素分析
一、指数体系 （一）指数体系的概念
若干个指数由于数量上的联系而形成为一个 整体叫做指数体系。 指数体系因素影响的绝对值之和 等于实际发生的总差额。
（二）指数体系的作用
1、测定某一现象的总变动中，各个构成因素的 影响方向、程度和绝对量。 2、利用指数体系各指数之间的联系，可以由已 知的指数数值求出未知的指数数值。
二、因素分析法
（一）因素分析法的概念
统计指数用于分析受多因素影响的现象的总变 动中各个因素影响的方向和程度时，叫做因素分 析法。

p p1q1 p0q1 ( p1q0 p0q0 ) (q1 q0 )( p1 p0 )
派氏公式会比拉式公式多了由销售量引起的共变影响。
▼质量指标指数的实际意义（以价格指数为例） 反映多种商品价格总（综合）的相对变动程度和变动 方向； 反映商品价格变动对商品销售额的相对影响程度； 反映由于商品价格变动对销售额影响的绝对影响（分 子分母相减的差额）
如全国的零售物价指数、工业产品产量指数、股价 指数等。
▼复杂总体由多个简单子总体（根据研究目的、复杂总体 的特点和便利性来决定，选择同质相对高的个体形成简单 总体。此时指标可以直接进行运算）构成。
指数的作用
综合反映现象总体变动的方向和程度；
测定和分析总体变动中各因素变动的影响大小和 影响程度；
质量指标指数 表明总体内涵、质量变动的相对数，如
价格指数、单位成本指数、生产率指数等
综合指数 两个总量指标对比
按编制方法 平均指数 对个体指数加权平均得到总指数
平均指标对比指数 两个平均指标对比计算的指 数，如平均工资变动指数。
按因素多少 按对象
两因素指数 多因素指数 动态指数 按基期
空间指数
定基指数 环比指数
其次需要解决同度量因素的固定问题（权数选择）
零售价格指数应该只反映价格的变化，但是加入同度量因 素之后，零售价格总指数中肯定会包含销售量变动的影响，为 了避免或者尽量降低销售量的影响，需要将销售量因素价格固 定。在某个时期（基期、报告期或某个固定期）。
以基期销售量作为同度量因素（假设销售量没有变动）
动，因此同度量因素应该对应固定。固定期一般有基期和报 告期两种选择。
将同度量因素固定在基期，称为拉斯贝尔指数 将同度量因素固定在报告期，称为派许指数