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2015年北京海淀高三第一学期期末数学理试题与答案

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海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理）答案及评分参考 2015.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）B （4）C （5）B （6）A （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。

有两空的小题，第一空2分，第二空3分） （9）15 （10）23 （11）3（12）2π3（13）13；4 （14）11,,A B D三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）ϕ的值是π6. ………………2分 0x 的值是53. ………………5分（Ⅱ）由题意可得：11ππ()cos(π())cos(π)sin π3362f x x x x +=++=+=-.………………7分所以 1π()()cos(π)sin π36f x f x x x ++=+- ππcos πcos sin πsin sin π66x x x =-- ………………8分31cos πsin πsin π22x x x =-- 33πcos πsin π3cos(π)223x x x =-=+. ………………10分 因为 11[,]23x ∈-， 所以 ππ2ππ633x -≤+≤.所以 当ππ03x +=，即13x =-时，()g x 取得最大值3；当π2ππ33x +=，即13x =时，()g x 取得最小值32-. ………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为530350⨯=，女同学的人数为520250⨯=. ………………4分（Ⅱ）由题意可得：2323551(3)10A A P X A ===. ………………6分 因为 321105a b +++=， 所以 15b =. ………………8分 所以 113232101105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分 （Ⅲ）2212s s =. ………………13分（17）（共14分） 证明：（Ⅰ）连接1BC .在正方形11ABB A 中，1AB BB ^. 因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B 平面111BB C C BB =，AB Ì平面11ABB A ，所以 AB ^平面11BB C C . ………………1分因为 1B C Ì平面11BB C C ， 所以 1AB B C ^. ………………2分在菱形11BB C C 中，11BC BC ^. 因为 1BC Ì平面1ABC ，AB Ì平面1ABC ，1BC AB B =，所以 1B C ^平面1ABC . ………………4分 因为 1AC Ì平面1ABC ，所以 1B C ⊥1AC . ………………5分 （Ⅱ）EF ∥平面ABC ，理由如下： ………………6分 取BC 的中点G ，连接,GE GA .CBC 1B 1A 1A因为 E 是1BC 的中点， 所以 GE ∥1BB ，且GE 112BB =. 因为 F 是1AA 的中点， 所以 AF 112AA =. 在正方形11ABB A 中，1AA ∥1BB ，1AA 1BB =. 所以 GE ∥AF ，且GE AF =. 所以 四边形GEFA 为平行四边形. 所以EF∥GA .………………8分因为 EF Ë平面ABC ，GA Ì平面ABC ，所以 EF ∥平面ABC . ………………9分 （Ⅲ）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB ^.由（Ⅰ）可知：AB ^平面11BB C C . 以点B 为坐标原点，分别以1,BA BB 所在的直线为,x y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，设(2,0,0)A ，则1(0,2,0)B .在菱形11BB C C 中，11=60BB C ∠，所以 (0,1,3)C -，1(0,1,3)C . 设平面1ACC 的一个法向量为(,,1)x y =n .因为 10,0AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即(,,1)(2,1,3)0,(,,1)(0,2,0)0,x y x y ⎧⋅--=⎪⎨⋅=⎪⎩所以 3,20,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即3(,0,1)2=n .………………11分由（Ⅰ）可知：1CB 是平面1ABC 的一个法向量.………………12分 所以GF ECBC 1B 1A 1A zyxFECBC 1B 1A 1A1113(,0,1)(0,3,3)72cos ,731934CB CB CB ⋅-⋅<>===-⋅+⋅+n n n . 所以 二面角1B AC C --的余弦值为77. ………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）由22143x y +=得：2,3a b ==.所以 椭圆M 的短轴长为23. ………………2分 因为 221c a b =-=， 所以 12c e a ==，即M 的离心率为12. ………………4分（Ⅱ）由题意知：1(2,0),(1,0)C F --，设000(,)(22)B x y x -<<，则2200143x y +=.………………7分因为 10000(1,)(2,)BF BC x y x y ⋅=---⋅---2200023x x y =+++ ………………9分 20013504x x =++>， ………………11分 所以 π(0,)2B ∠∈.所以 点B 不在以AC 为直径的圆上，即：不存在直线l ，使得点B 在以AC 为直径的圆上.………………13分另解：由题意可设直线l 的方程为1x my =-，1122(,),(,)A x y B x y .由221,431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得：22(34)690m y my +--=. 所以 122634m y y m +=+，122934y y m -=+. ………………7分所以 1122(2,)(2,)CA CB x y x y ⋅=+⋅+ 21212(1)()1m y y m y y =++++ 22296(1)13434mm m m m -=++⋅+++ 25034m -=<+. ………………9分 因为 cos (1,0)CA CBC CA CB⋅=∈-⋅， 所以 π(,π)2C ∠∈. ………………11分 所以 π(0,)2B ∠∈.所以 点B 不在以AC 为直径的圆上，即：不存在直线l ，使得点B 在以AC 为直径的圆上.………………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）函数()f x 是偶函数，证明如下： ………………1分 对于ππ[,]22x ∀∈-，则ππ[,]22x -∈-. ………………2分 因为 ()cos()sin()cos sin ()f x a x x x a x x x f x -=---=+=，所以 ()f x 是偶函数. ………………4分 （Ⅱ）当0a >时，因为 ()cos sin 0f x a x x x =+>，ππ[,]22x ∈-恒成立， 所以 集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为0. ………………5分 当0a =时，令()sin 0f x x x ==，由ππ[,]22x ∈-， 得 0x =.所以 集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为1. ………………6分 当0a <时，因为 π'()sin sin cos (1)sin cos 0,(0,)2f x a x x x x a x x x x =-++=-+>∈，所以 函数()f x 是π[0,]2上的增函数. ………………8分因为 ππ(0)0,()022f a f =<=>，所以 ()f x 在π(0,)2上只有一个零点.由()f x 是偶函数可知，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为2. ………………10分综上所述，当0a >时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为0；当0a =时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为1；当0a <时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为2.（Ⅲ）函数()f x 有3个极值点. ………………13分 （20）（共14分）解：（Ⅰ）因为 123224(,),(,),(,)a a a a a a T ∈，所以 21(,)0T d a a =，23(,)0T d a a =，24(,)1T d a a =，故2()1T l a =.………………1分因为 24(,)a a T ∈，所以 42(,)0T d a a =.所以 4414243()(,)(,)(,)1012T T T T l a d a a d a a d a a =++≤++=.所以 当244143(,),(,),(,)a a a a a a T ∈时，4()T l a 取得最大值2. ………………3分 （Ⅱ）由(,)T d a b 的定义可知：(,)(,)1T T d a b d b a +=.所以122113311()[(,)(,)][(,)(,)]nTi T T T T i la d a a d a a d a a d a a ==+++∑1111[(,)(,)][(,)(,)]T n T n T n n T n n d a a d a a d a a d a a --+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++21(1)2n C n n ==-. ………………6分 设删去的两个数为(),()T k T m l a l a ，则1()()(1)2T k T ml a l a n n M +=--. 由题意可知：()1,()1T k T m l a n l a n ≤-≤-，且当其中一个不等式中等号成立，不放设()1T k l a n =-时，(,)1T k m d a a =，(,)0T m k d a a =.所以 ()2T m l a n ≤-. ………………7分 所以()()1223T k T m l a l a n n n +≤-+-=-.所以 1()()(1)232T k T ml a l a n n M n +=--≤-，即1(5)32M n n ≥-+. ………………8分（Ⅲ）对于满足()1T i l a n <-（1,2,3,,i n =）的每一个集合T ，集合S 中都存在三个不同的元素,,e f g ，使得(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=恒成立，理由如下：任取集合T ，由()1T i l a n <-（1,2,3,,i n =）可知， 12(),(),,()T T T n l a l a l a ⋅⋅⋅中存在最大数，不妨记为()T l f （若最大数不唯一，任取一个）.因为 ()1T l f n <-，所以 存在e S ∈，使得(,)0T d f e =，即(,)e f T ∈. 由()1T l f ≥可设集合{|(,)}G x S f x T =∈∈≠∅.则G 中一定存在元素g 使得(,)1T d g e =. 否则，()()1T T l e l f ≥+，与()T l f 是最大数矛盾. 所以 (,)1T d f g =，(,)1T d g e =，即(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=.………………14分。

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2015年北京市东城区高三第一学期期末数学理试卷

2015年北京市东城区高三第一学期期末数学理试卷


（2）设 P 是 椭 圆 C 长 轴 上 的 一个 动 点， 过 P 作 斜 率 为 求证： |P A|2 + |P B |2 为定值．
20. 对 于 数 列 A : a1 , a2 , a3 （ ai ∈ N ， i = 1, 2, 3 ） ， 定 义” T 变 换”： T 将 数 列 A 变 换 成 数 列 B : b1 , b2 , b3 ，其中 bi = |ai − ai+1 | （ i = 1, 2 ） ，且 b3 = |a3 − a1 | ． 继续对数列 B 进行” T 变换”，得 到数列 C : c1 , c2 , c3 ，依此类推，当得到的数列各项均为 0 时变换结束． （1）试问数列 A : 2, 6, 4 经过不断的” T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过” T 变换”得到 的各数列；若不能，说明理由； （2）设数列 A : a1 , a2 , a3 ，对数列 A 进行” T 变换”，得到数列 B : b, 2, a （ a 各项之和为 2014 ，求 a ， b 的值； （3）在（2）的条件下，若数列 B 再经过 k 次” T 变换”得到的数列各项之和最小，求 k 的最小 值，并说明理由． b） ， 若数列 B 的
（2）当 a > 0 时，求 f (x) 的单调区间； （3）若存在 x ∈
ï
1 2 ,e e
ò
，使不等式 f (x)
g (x) 成立，求 a 的取值范围．
√ 3 19. 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，短轴长为 2 ，离心率为 ． 2 （1）求椭圆 C 的方程；
4 1 的直 线 l 交 椭 圆 C 于 A ， B 两 点， 2
3
三、 解答题
15. 已知函数 f (x) = A sin (ωx + ϕ) x ∈ R, A > 0, ω > 0, |ϕ| < π 2 部分图象如图所示．
北京市海淀区2015届高三下学期期末练习(二模)数学(理)试题带答案

北京市海淀区2015届高三下学期期末练习(二模)数学(理)试题带答案

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理）答案及评分参考 2015.5一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）D （4）A （5）B （6）A （7）C （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。

有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9）2，413n - （10）30︒，1 （11）0a > ，2a a =+（12）(2,)+∞ （13）14 （14）10(,1]10三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）因为 36cos 2a A =， 所以 2223622b c a a bc+-=⨯. ………………3分 因为 5c =，26b =， 所以 23404930a a +-⨯=. 解得：3a =，或493a =-（舍）. ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：26cos 3336A =⨯=. 所以 21cos 22cos 13A A =-=. ………………9分 因为 3a =，5c =，26b =，所以 2221cos 23a cb B ac +-==. ………………11分 所以cos 2cos A B =. ………………12分因为 c b a >>，所以 (0,)3A π∈. 因为 (0,)B ∈π，所以 2B A ∠=∠. ………………13分另解：因为 (0,)A ∈π，所以 23sin 1cos 3A A =-=. 由正弦定理得：263sin 33B =. 所以 22sin 3B =. 所以 3622sin 22sin 333A B =⨯⨯==. ………………12分 因为 c b a >>，所以 (0,)3A π∈，(0,)2B π∈. 所以 2B A ∠=∠. ………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．所以中位数为8，众数为9． ………………3分（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2． ………………4分()21222033095C P X C ===；()1112822048195C C P X C ===；()2822014295C P X C ===； 所以抽取的2名男生中优秀人数X 的分布列为：X 0 1 2P95339548 9514 ………………10分 （Ⅲ）略. ………………13分 评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议.（17）（共14分）（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结OM . 因为 //AB CD ，2AB CD =，所以 2BO AB DO CD==. 因为 2BM MP =，所以 2BM PM=. 所以 BM BOPM DO=. 所以//OM PD . ………………2分 因为 OM ⊂平面MAC ，PD ⊄平面MAC ，所以//PD 平面MAC . ………………4分（Ⅱ）证明：因为 平面PAD ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，平面PAD平面ABCD AD =，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD . ………………6分 因为 PA ⊂平面PAD ，所以 AB PA ⊥. ………………7分 同理可证：AD PA ⊥.因为 AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD AB A =， 所以PA ⊥平面ABCD . ………………9分（Ⅲ）解：分别以边,,AD AB AP 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由22AB AD AP CD ====得(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,1,0)C ，(2,0,0)D ，(0,0,2)P ，则(2,1,0)AC =u u u r ，(0,2,2)PB =-u u r.由（Ⅱ）得：PA ⊥平面ABCD .所以 平面A B C D 的一个法向量为(0,0,1)n =r. ………………10分设PMPBλ=(01)λ≤≤，即PM PB λ=uuu r uu r .所以 (0,2,22)AM AP PB λλλ=+=-u u u r u u u r u u r . MB DC O A PzyxMBDCAP设平面AMC 的法向量为(,,)m x y z =u r，则0,0,m AC m AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r ur uuu r 即20,2(22)0.x y y z λλ+=⎧⎨⋅+-⋅=⎩令1x λ=-，则22y λ=-，2z λ=-.所以 (1,22,2)m λλλ=---u r. ………………12分因为 二面角B AC M --的余弦值为23， 所以2|2|239105λλλ=-+，解得12λ=.所以 PM PB的值为12. ………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）令()0f x =，得e x =.故()f x 的零点为e . ………………1分22231()(1ln )22ln 3'()()x x xx x f x x x-⋅--⋅-==（0x >）. ………………3分令 '()0f x =，解得 32e x =.当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：()f x 32(0,e )32e 32(e ,)+∞'()f x-+()f x↘↗所以 ()f x 的单调递减区间为32(0,e )，单调递增区间为32(e ,)+∞. ………………6分（Ⅱ）令ln ()x g x x =.则2211ln 1ln '()()x xx x g x f x x x ⋅-⋅-===. ………………7分 因为 11()44ln 244622f =+>+⨯=，(e)0f =，且由（Ⅰ）得，()f x 在(0,e)内是减函数，所以 存在唯一的01(,e)2x ∈，使得00'()()6g x f x ==. 当[e,)x ∈+∞时，()0f x ≤. 所以 曲线ln xy x=存在以00(,())x g x 为切点，斜率为6的切线. ………………10分 由00201ln '()6x g x x -==得：200ln 16x x =-.所以 20000000ln 161()6x x g x x x x x -===-.因为 012x >,所以12x <，063x -<-.所以 00()1y g x =<-. ………………13分（19）（共14分）解：（Ⅰ）依题意得22224,,.a c b a b c ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩解得：2a =，2b c ==. ………………3分所以圆O 的方程为222x y +=，椭圆C 的方程为22142x y +=. ………………5分 （Ⅱ）解法一：如图所示，设00(,)P x y （00y ≠），0(,)Q Q x y ，则22002201,422,Q x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩即220022042,2.Q x y x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ ………………7分又由00:(2)2y AP y x x =++得002(0,)2y M x +. NM QPy xBAO由00:(2)2y BP y x x =--得002(0,)2y N x --. ………………10分所以 0000002(,)(,)22Q Q y x yQM x y x x x =--=--++uuu r , 0000002(,)(,)22Q Q y x yQN x y x x x =---=----uuu r .所以222222000002200(42)2042Q x y y y QM QN x y x y -⋅=+=-+=--uuu r uuu r . 所以 QM QN ⊥，即90MQN ∠=︒. ………………14分（Ⅱ）解法二：如图所示，设00(,)P x y ，:(2)AP y k x =+（0k ≠）.由221,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(21)8840k x k x k +++-=. 所以 20284221k x k --=+，即2022421k x k -=+.所以 02421ky k =+，即222244(,)2121k k P k k -++. 所以 直线BP 的斜率为2224121242221kk k kk +=---+. 所以 1:(2)2BP y x k=--. 令0x =得:(0,2)M k ，1(0,)N k. ………………10分设0(,)Q Q x y ，则0(,2)Q QM x k y =--uuu r ，01(,)Q QN x y k=--uuu r .NM QPyxBAO所以 22220000121(2)()2Q Q k QM QN x k y y x y y k k+⋅=+--=++-⋅uuu r uuu r . 因为 2200242,21Q k x y y k +==+， 所以 0QM QN ⋅=u u u r u u u r . 所以 QM QN ⊥，即90MQN ∠=︒. ………………14分（20）（共13分）解：（Ⅰ）1:2,1,3A 或1:1,3,2A . ………………2分.（Ⅱ）3:5,6,7,2,3,4,9,8,1A ； ………………4分4:5,6,7,8,1,2,3,4,9A . ………………6分（Ⅲ）考虑数列12:,,,n A a a a L ，满足1i i a a +<的数对1,i i a a +的个数，我们称之为“顺序数”．则等差数列0A ：2015,2004,,1L 的顺序数为0，等差数列n A ：1,2,,2015L 的顺序数为2014． 首先，证明对于一个数列，经过变换T ，数列的顺序数至多增加2．实际上，考虑对数列,,,,,,,,,p a b c d q L L L L ，交换其相邻两段,,a b L 和,,c d L 的位置，变换为数列,,,,,,,,,p c d a b q L L L L .显然至多有三个数对位置变化．假设三个数对的元素都改变顺序，使得相应的顺序数增加，即由,,p a b c d q >>>变为,,p c d a b q <<<．分别将三个不等式相加得p b d a c q ++>++与p b d a c q ++<++，矛盾．所以 经过变换T ，数列的顺序数至多增加2．其次，第一次和最后一次变换，顺序数均改变1．设n 的最小值为x ，则()2222014x +-≥，即1008x ≥． ………………10分 最后，说明可以按下列步骤，使得数列1008A 为1,2,,2015L ．对数列0:A 2015,2014,,1L ，第1次交换1,2,,1007L 和1008,1009位置上的两段，得到数列1A ：1008,1007,2015,2014,,1010,1009,1006,1005,,2,1L L ；第2次交换2,3,,1008L 和1009,1010位置上的两段，得到数列2A ：1008,1009,1006,1007,2015,2014,,1011,1010,1005,1004,,2,1L L ；第3次交换3,4,,1009L 和1010,1011位置上的两段，得到数列3A ：1008,1009,1010,1005,1006,1007,2015,2014,,1012,1011,1004,1003,,2,1L L ； L L ，以此类推第1007次交换1007,1008,,2013L 和2014,2015位置上的两段，得到数列1007A ： 1008,1009,,2013,2014,1,2,,1006,1007,2015L L ；最终再交换1,2,,1007L 和1008,1009,,2014L 位置上的两段，即得1008A ：1,2,,2015L ． 所以 n 的最小值为1008. ………………13分。

2015年北京市高考数学试题与答案(理科)[解析版]

2015年北京市高考数学试题与答案(理科)[解析版]

2015年市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则解答．解答：解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；故选：A．点评：本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意i2=﹣1．A．0B．1C．D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其部阴影部分，由解得A（，），目标函数z=x+2y，将直线z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值==故选：C．点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．3．（5分）（2015•）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，k的值，当k=3时满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0）．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=1，y=1，k=0s=0，i=2x=0，y=2，k=1不满足条件k≥3，s=﹣2，i=2，x=﹣2，y=2，k=2不满足条件k≥3，s=﹣4，i=0，x=﹣4，y=0，k=3满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0），故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x，y，k的值是解题的关键，属于基础题．的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分不要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．解答： 解：m ⊂α，m ∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m 和α，β的交线平行即可得到m ∥β；α∥β，m ⊂α，∴m 和β没有公共点，∴m ∥β，即α∥β能得到m ∥β；∴“m ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B ．点评： 考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．5．（5分）（2015•）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A ． 2+B ． 4+C ． 2+2D ． 5 考点： 由三视图求面积、体积．专题： 空间位置关系与距离．分析： 根据三视图可判断直观图为：A ⊥面ABC ，AC=AB ，E 为BC 中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC ⊥面AEO ，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．解答： 解：根据三视图可判断直观图为：OA ⊥面ABC ，AC=AB ，E 为BC 中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE ⊥BC ，BC ⊥OA ，运用直线平面的垂直得出：BC ⊥面AEO ，AC=，OE=∴S △ABC =2×2=2，S △OAC =S △OAB =×1=．S △BCO =2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C ．点评： 本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．）A ． 若a 1+a 2＞0，则a 2+a 3＞0B ． 若a 1+a 3＜0，则若a 1+a 2＜0，C ． 若若0＜a 1＜a 2，则a 2D ． 若a 1＜0，则（a 2﹣a 1）（a 2﹣a 3）＞0考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：对选项分别进行判断，即可得出结论．解答：解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a2＜0，则2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2＜0，即D不正确．故选：C．点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．7．（5分）（2015•）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}考点：指、对数不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：在已知坐标系作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集．解答：解：由已知f（x）的图象，在此坐标系作出y=log2（x+1）的图象，如图满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；故选C．点评：本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移．8．（5分）（2015•）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油考点：函数的图象与图象变化．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．解答：解：对于选项A，消耗1升汽油，乙车行驶的距离比5小的很多，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．点评：本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）（2015•）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为40（用数字作答）考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：写出二项式定理展开式的通项公式，利用x的指数为3，求出r，然后求解所求数值．解答：解：（2+x）5的展开式的通项公式为：T r+1=25﹣r x r，所求x3的系数为：=40．故答案为：40．点评：本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力．10．（5分）（2015•）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．考点：双曲线的简单性质．11．（5分）（2015•）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为1．12．（5分）（2015•）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=1．13．（5分）（2015•）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=﹣．14．（5分）（2015•）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值围是≤a＜1或a≥2．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2015•）已知函数f（x）=sincos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．16．（13分）（2015•）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（14分）（2015•）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO⊥BE．（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值解答：证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，∴AO⊥EF，∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB∴AO⊥BE．（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，∵EFCB是等腰梯形，∴OG⊥EF，由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG，建立如图的空间坐标系，则OE=a，BG=2，GH=a，BH=2﹣a，EH=BHtan60°=，则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0），=（﹣a，0，a），=（a﹣2，﹣，0），设平面AEB的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=，y=﹣1，即=（，﹣1，1），平面AEF的法向量为，则cos＜＞==即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，则BE⊥OC，即=0，∵=（a﹣2，﹣，0），=（﹣2，，0），∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0，解得a=．点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．18．（13分）（2015•）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程．（2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．（3）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值围．解答：解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x．（2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x+），则g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=，因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）＞对x∈（0，1）恒成立．当k＞2时，令h（x）=f（x）﹣，则h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=，所以当时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0，）上单调递减．当时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜．所以当k＞2时，f（x）＞并非对x∈（0，1）恒成立．综上所知，k的最大值为2．点评：本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型，难度适中．19．（14分）（2015•）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与围问题．分析：（I）根据椭圆的几何性质得出求解即可．（II）求解得出M（，0），N（，0），运用图形得出tan∠OQM=tan∠ONQ，=，求解即可得出即y Q2=x M•x N，+n2，根据m，m的关系整体求解．解答：解：（Ⅰ）由题意得出解得：a=，b=1，c=1∴+y2=1，∵P（0，1）和点A（m，n），﹣1＜n＜1∴PA的方程为：y﹣1=x，y=0时，x M=∴M（，0）（II）∵点B与点A关于x轴对称，点A（m，n）（m≠0）∴点B（m，﹣n）（m≠0）∵直线PB交x轴于点N，∴N（，0），∵存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，y Q），∴tan∠OQM=tan∠ONQ，∴=，即y Q2=x M•x N，+n2=1y Q2==2，∴y Q=，故y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，）或Q（0，﹣）点评：本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题，难度较大，属于难题．20．（13分）（2015•）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．2015年市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2iA．0B．1C．D．23．（5分）（2015•）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分不要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015•）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+ B．4+ C．2+2 D．5A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则若a1+a2＜0，C．若若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞07．（5分）（2015•）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}8．（5分）（2015•）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）（2015•）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）10．（5分）（2015•）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．11．（5分）（2015•）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为．12．（5分）（2015•）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．13．（5分）（2015•）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=．14．（5分）（2015•）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值围是．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2015•）已知函数f（x）=sincos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．16．（13分）（2015•）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（14分）（2015•）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO⊥BE．（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．18．（13分）（2015•）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．19．（14分）（2015•）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．20．（13分）（2015•）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．。

2015-2016学年度上学期期末考试高三年级数学理科试卷

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2015-2016学年度上学期期末考试高三年级数学理科试卷 命题学校：东北育才一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的）1.已知集和{}0232=+-=x x x A ，{}24log ==x x B ，则=B A ( ) A.{}2,1,2- B.{}2,1 C.{}2,2- D.{}22.若复数()()i a a a z 3322++-+=为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值是（ ）A.3-B.13或-C. 1-3或D. 13．已知向量()31,=a ，()m ,2-=b ，若a 与2b a +垂直，则m 的值为（ ）A.1B.1-C.21-D.21 4.直线()0112=+++y a x 的倾斜角的取值范围是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππππ,432,4 5.若数列{}n a 的通项公式是()()231--=n a n n ，则=+⋯++1021a a a （ ）A.15B.12C.12-D.15-6.已知四棱锥ABCD P -的三视图如图所示，则四棱锥ABCD P -的四个侧面中面积最大的值是（ ）A.3B.52C.6D.87.右图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（ ）A.2>nB.3>nC.4>nD.5>n8.已知集合{}4,3,2,1=A ,{}7,6,5=B ,{}9,8=C .现在从三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成（ ）个集合A.24B.36C.26D.279.已知点()02，P ，正方形ABCD 内接于⊙O :222=+y x ，N M 、分别为边BC AB 、的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，ON PM ⋅的取值范围为（ ）A.[]11-，B.[]22-， C.[]22-， D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2222-， 10.设双曲线13422=-y x 的左，右焦点分别为21,F F ,过1F 的直线交双曲线左支于B A ,两点，则22AF BF +的最小值为（ ） A.219 B.11 C.12 D.16 11.已知球O 半径为5，设C B A S 、、、是球面上四个点，其中︒=∠120ABC ,2==BC AB ,平面⊥SAC 平面ABC ，则棱锥ABC S -的体积的最大值为（ ） A.33 B.23 C.3 D.33 12．已知函数()1323+-=x x x f ，()⎪⎩⎪⎨⎧≤--->+=0,860,412x x x x x x x g ，则方程()[]0=-a x fg（a 为正实数）的根的个数不可能为（ ）A.个3B.个4C.个5D.个6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设0,0>>b a ，3是a 3与b 3的等比中项，其中b a 11+的最小值为 14.在52⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x 的二项展开式中，x 的一次项系数是10-，则实数a 的值为 15.设[]m 表示不超过实数m 的最大整数，则在直角坐标平面xOy 上，满足[][]5022=+y x 的点()y x P ,所形成的图形的面积为16.定义区间()(][)[]d c d c d c d c ,,,,、、、的长度均为()c d c d >-，已知事数0>p ，则满足不等式111≥+-xp x 的x 构成的区间长度之和为 三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）已知函数()()R x x x x f ∈--=21cos 2sin 232 (1) 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈125,12ππx 时，求函数()x f 的最小值和最大值 (2) 设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且3=c ，()0=C f ，若向量()A ,sin 1=m 与向量()B ,sin 2=n 共线，求b a ,的值18.（本小题满分12分）某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是31每次测试通过与否互相独立.规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试.（1） 求该学生考上大学的概率；（2） 如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求变量ξ的分布列及数学期望ξE .19.（本小题满分12分）如图，在长方形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，E 为DC 的中点，现将DAE ∆沿AE 折起，使平面⊥DAE 平面ABCE ，连BE DC DB ,,（1） 求证：ADE BE 平面⊥（2） 求二面角C BD E --的余弦值20．（本小题满分12分） 已知21F F 、分别为椭圆()01:22221>>=+b a bx a y C 的上、下焦点，其中1F 也是抛物线ADEy x C 4:22=的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且351=MF (1) 求椭圆1C 的方程； (2) 当过点()3,1P 的动直线l 与椭圆1C 相交于两个不同点B A ,时，在线段AB 上取点Q ，满=证明：点Q 总在某定直线上.21.（本小题满分12分）设函数()x x xa x f ln +=，()323--=x x x g 其中R a ∈. （1） 当2=a 时，求曲线()x f y =在点()()1,1f P 处的切线方程；（2） 若存在[]2,0,21∈x x ，使得()()M x g x g ≥-21成立，求整数M 的最大值；（3） 若对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21t s 、都有()()t g s f ≥，求a 的取值范围.选做题（请考生从22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，PA 是过点A 的直线，且ABC PAC ∠=∠(1) 求证：PA 是⊙O 的切线； (2) 如果弦CD 交AB 于点E ，8=AC ，5:6:=ED CE ，3:2:=EB AE ，求BCE ∠sin23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ，直线l的极坐标方程为224sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ.圆C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=θθsin 22cos 22r y r x ，()0>r 为参数，θ (1) 求圆心C 的一个极坐标；(2) 当r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为324.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()()R x x x x f ∈-+-=3212(1) 解不等式()5≤x f ；(2) 若()()mx f x g +=1的定义域为R ，求实数m 的取值范围.。