三角形的外角习题与答案

学生做题前请先回答以下问题问题1：三角形外角定理：三角形的一个外角等于__________________．问题2：已知，如图，BD∥EF，∠E=60°，∠A=70°，求∠ACD的度数．（要求：请你首先读题标注，然后走通思路，最后再设计方案，书写过程）以下是问题及答案，请对比参考:问题1：三角形外角定理：三角形的一个外角等于．答：和它不相邻的两个内角的和．问题2：已知，如图，BD∥EF，∠E=60°，∠A=70°，求∠ACD的度数．（要求：请你首先读题标注，然后走通思路，最后再设计方案，书写过程）答：解：如图∵BD∥EF（已知）∴∠ABC=∠E（两直线平行，同位角相等）∵∠E=60°（已知）∴∠ABC=60°（等量代换）∵∠ACD是△ABC的一个外角（已知）∴∠ACD=∠ABC+∠A（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠A=70°（已知）∴∠ACD=∠ABC+∠A=60°+70°=130°（等量代换）三角形的外角（计算）（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B=35°，∠DAC=60°，则∠ACD的度数为( )A.25°B.85°C.60°D.95°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角2.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E，BF平分∠ABC交AC于点F，AE，BF相交于点O．若∠BAC=50°，∠C=70°，则∠BOE的度数为( )A.60°B.50°C.70°D.55°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角3.如图，D是AC上一点，F是CE上一点，DF的延长线与AE的延长线交于点B，若∠A=45°，∠B=30°，∠C=40°，则∠BFC的度数为( )A.110°B.115°C.120°D.145°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角4.如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠ABC=60°，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD，BE相交于点H，则∠AHB的度数为( )A.110°B.100°C.95°D.120°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角5.如图，在△ABC中，E是CA延长线上一点，点D在BC上，DE交AB于点F，若∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数为( )A.25°B.10°C.20°D.15°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角6.如图，EG∥AD，EG交AB于点F，交CA的延长线于点G，若∠B=20°，∠GFA=30°，则∠ADC的度数为( )A.50°B.40°C.45°D.60°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角7.已知：如图，AB∥CD，∠B=65°，∠E=20°，则∠D的度数为( )A.45°B.55°C.65°D.85°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角8.如图，已知∠B=∠ADB，∠3=55°，∠2=20°，则∠1的度数为( )A.35°B.10°C.30°D.15°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角。

三角形的外角（讲义）➢ 课前预习1. 如图，在△ABC 中，∠A =80°，∠B =40°，则∠A +∠B =______，∠ACD =________，由此你得到∠A +∠B _______∠ACD （填“>”、“<”或“＝”）．AB C D2. 已知：如图，AB ⊥DC ，DE ⊥AC ，垂足分别为点B ，E ．求证：∠A =∠D ．OBCD12AE方法一： 证明：如图，∵AB ⊥DC ，DE ⊥AC （已知） ∴∠ABC =∠DEC =90° （垂直的定义）∴∠A +∠C =90°，∠D +∠C =90°（______________________）∴∠A =∠D （______________________）方法二： 证明：如图，∵AB ⊥DC ，DE ⊥AC （已知） ∴∠ABD =∠AED =90° （垂直的定义）∴∠A +∠2=90°，∠D +∠1=90°（______________________） ∵∠1=∠2 （对顶角相等）∴∠A =∠D （______________________）➢ 知识点睛1. 三角形的__________________组成的角，叫做三角形的外角．2. 三角形外角定理：三角形的一个外角等于____________________________________．已知：如图，∠2是△ABC 的一个外角． 求证：∠2=∠A +∠B ．ABCD 12证明：如图，∵∠A +∠B +∠1=180°（___________________________） ∠1+∠2=180° （___________________________） ∴∠2=∠A +∠B （___________________________）➢ 精讲精练1. 如图，D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，BE ，CD 相交于点F ，∠A =60°，∠ACD =35°，∠ABE=20°，则∠BDC =______，∠BEC=_______．2. 已知：如图，在△ABE 中，D 是BE 上一点，C 是AE CD ．若∠BDC =140°，∠B =35°，∠C =25°，求∠A 的度数．3. 已知：如图，AC ∥ED ，∠C =25°，∠B =35°，则∠E 的度数是（ ）A ．60°B ．85°C ．70°D ．50°F ECDB AED CBA4. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则α=______．α5. 已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，F 是AB 上一点，FE 的延长线交BC 的延长线于点G ．若∠A =45°，∠ADE =60°，∠CEG =40°，则∠EGH =______．AF DBCEGH第6题图OFE D C BA第5题图 第6题图6. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，BF 平分∠ABC 交AC 于点F ，AE ，BF 相交于点O ．若∠BAC =50°，∠C =70°，则∠DAC =_____，∠AED =_____，∠BOE =_________．7. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C ，AD 平分外角∠EAC ．求证：AD ∥BC ．EDAC8.已知：如图，BE是∠ABC的平分线，AB∥CE，∠A=50°，∠E=30°，求△ABC的外角∠ACD的度数．AEC D解：如图，∵AB∥CE（__________________________）∴∠ABE=_______ （__________________________）∵∠E=30°（__________________________）∴∠ABE=_______ （__________________________）∵BE是∠ABC的平分线（______________________）∴∠ABC=2∠ABE=2×30°=60°（角平分线的定义）∵∠ACD是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACD=______+______（_____________________）∵∠A=50°（__________________________）∴∠ACD=______+______=_______ （__________________________）9.已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，且∠ADE=∠C．求证：∠AED=2∠EDB．证明：如图， ∵∠ADE =∠C （____________________________） ∴_____∥_____ （____________________________）∴∠1=_____ （____________________________） ∵BD 平分∠ABC （____________________________） ∴∠2=∠3 （ 角平分线的定义 ） ∴∠1=∠3（____________________________）∵∠AED 是△BDE 的一个外角（___________________） ∴∠AED =_______+_______ =2∠1（____________________________）即∠AED =2∠EDB10. 已知：如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，∠ADE =∠B ，DE 交AC 于点F ． 求证：∠EFC =2∠FDC ．第10题图FEDBA【参考答案】➢课前预习1.120°，120°，=2.直角三角形两锐角互余同角的余角相等直角三角形两锐角互余等角的余角相等➢知识点睛1.一边与另一边的延长线2.和它不相邻的两个内角的和三角形的内角和等于180°平角的定义等式性质➢精讲精练1.95°，80°2.证明：如图，∵∠BDC为△DCE的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠DEC+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠BDC=140°，∠C=25°（已知）∴∠DEC=∠BDC-∠C=140°-25°=115°（等式性质）∵∠DEC为△ABE的一个外角（外角的定义）∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠B=35°（已知）∴∠A=∠DEC-∠B=115°-35°=80°（等式性质）3. A4.75°5.145°6.20°，85°，55°7.证明：如图，∵∠EAC为△ABC的一个外角（外角的定义）EDAABCD E∴∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∵∠B =∠C（已知） ∴∠EAC =2∠C （等式性质） ∵AD 平分∠EAC （已知） ∴∠EAC =2∠DAC （角平分线的定义）∴∠C =∠DAC （等式性质）∴AD ∥BC（内错角相等，两直线平行）8. 已知∠E ；两直线平行，内错角相等 已知30°，等量代换 已知 已知∠A ，∠ABC ，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 已知 50°，60° 110°，等式的性质 9. 已知BC ，DE ；同位角相等，两直线平行 ∠2；两直线平行，内错角相等 已知 等量代换 外角的定义 ∠1，∠3三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 10. 证明：如图，∵∠ADE =∠B （已知） ∴BC ∥DE（同位角相等，两直线平行）∴∠EDC =∠DCB （两直线平行，内错角相等） ∵CD 平分∠ACB （已知）∴∠DCB =∠FCD （角平分线的定义） ∴∠EDC =∠FCD （等量代换）∵∠EFC 是△DFC 的一个外角（外角的定义） ∴∠EFC =∠EDC +∠FCD=2∠FDC （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）第10题图FEDBA。

人教版八年级上册三角形的外角经典题训练一．选择题1．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，则外角∠ABD的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°2．如图，在△ABC中，∠A＝45°，△ABC的外角∠CBD＝75°，则∠C的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°3．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（）A．30°B．40°C．60°D．70°4．如图所示，∠1＝∠2＝145°，则∠3＝（）A．80°B．70°C．60°D．50°5．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（）A．35°B．95°C．85°D．75°°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70°B．80°C．90°D．100°二．填空题7．如图，根据三角形的有关知识可知图中的x的值是．8．一副三角板如图放置，若∠1＝90°，则∠2的度数为．9．如图，∠BCD＝150°，则∠A+∠B+∠D的度数为．10．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝度．11．将一副直角三角板按如图放置，使两直角重合，则∠1的度数为．15°，∠ACP＝50°，则∠P＝°．三．解答题13．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．14．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，∠B＝25°，∠E＝30°，求∠BAC的度数．15．如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，求∠ADB的度数．16．已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度数．17．如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数．18．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A 之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．参考答案一．选择题1．解：由三角形的外角性质的，∠ABD＝∠A+∠C＝50°+70°＝120°．故选：B．2．解：∵∠A＝45°，△ABC的外角∠CBD＝75°，∴∠C＝∠CBD﹣∠A＝75°﹣45°＝30°，故选：A．3．解：如图，∵AB∥CD，∠A＝70°，∴∠1＝∠A＝70°，∵∠1＝∠C+∠E，∠C＝40°，∴∠E＝∠1﹣∠C＝70°﹣40°＝30°．故选：A．4．解：∵∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，∴∠1+∠2+∠3＝360°，∵∠1＝∠2＝145°，∴∠3＝360°﹣145°×2＝70°，故选：B．5．解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，∵∠ACD＝∠B+∠A，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣35°＝85°，故选：C．6．解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，∴∠A+∠P＝90°，故选：C．二．填空题7．解：根据三角形的外角性质得：x+80＝x+20+x，解得：x＝60，故答案为：60．8．解：由题意得：∠B＝30°，∠A＝45°，∵∠1＝90°，∴∠A+∠3＝90°，∴∠3＝45°，∴∠4＝45°，∵∠B＝30°，∴∠2＝45°+30°＝75°，故答案为：75°．9．解：延长DC交AB于E，∠CEB是△ADE的一个外角，∴∠CEB＝∠A+∠D，同理，∠BCD＝∠CEB+∠B，∴∠A+∠B+∠D＝∠CEB+∠B＝∠BCD＝150°，故答案为：150°．10．解：在△ABD中，∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝35°，∴∠BHC＝90°+35°＝125°．11．解：如图，由题意知，∠CAD＝60°，∠B＝90°﹣45°＝45°，∴∠CAB＝120°，∴∠1＝∠B+∠CAB＝45°+120°＝165°．故答案为：165°．12．解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，∠ABP＝15°，∴∠CBP＝∠ABP＝15°，∵CP是∠ACB的外角的平分线，∠ACP＝50°，∴∠PCM＝∠ACP＝50°，∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣15°＝35°，故答案为：35．三．解答题13．解：设∠1＝∠2＝x，则∠3＝∠4＝2x．因为∠BAC＝63°，所以∠2+∠4＝117°，即x+2x＝117°，所以x＝39°；所以∠3＝∠4＝78°，∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝24°．14．解：∵∠B＝25°，∠E＝30°，∴∠ECD＝∠B+∠E＝55°．∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE＝∠ECD＝55°．∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝85°．15．解：∵∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝35°，∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝70°+35°＝105°．16．解：∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠EBC+∠FCB＝360°﹣140°＝220°，∵BP、CP是△ABC的外角平分线，∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB，∴∠PBC+∠PCB＝（∠EBC+∠FCB）＝110°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝70°．17．解：∵AD是高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝44°，又∠DAC＝10°，∴∠BAC＝54°，∴∠MAC＝126°，∵AE是∠BAC外角的平分线，∴∠MAE＝∠MAC＝63°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠ABC＝23°，∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝40°．18．（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．。

《11．2．2三角形的外角》课时练命题点1三角形外角的概念及性质1．如图下列角中是△ACD的外角的是()A．∠EAD B．∠BAC C．∠ACB D．∠CAE2．如图∠ACD是△ABC的外角若∠ACD=110°∠B=50°则∠A等于()A．40°B．50°C．55°D．60°3．将一副三角尺按如图所示的方式摆放则∠α的大小为()A．85°B．75°C．65°D．60°4．如图点E在BC上点D在AE上∠A=20°∠B=30°∠C=50°则∠ADB的度数是() A．50°B．100°C．70°D．80°5．如图∠BCD=150°则∠A+∠B+∠D的度数为()A．110°B．120°C．130°D．150°6．如图将一张三角形纸片ABC的一角折叠使点A落在△ABC外的A'处折痕为DE．如果∠A=α∠CEA'=β∠BDA'=γ那么下列式子中正确的是()A．γ=2α+βB．γ=α+2βC．γ=α+βD．γ=180°-α-β7．如图已知D为BC上一点∠B=∠1∠BAC=64°则∠2的度数为()A．37°B．64°C．74°D．84°8．如图BE平分∠ABCCE平分△ABC的外角∠ACD若∠A=70°则∠E=°．9．如图所示在△ABC中D是BC边上一点∠1=∠2∠3=∠4∠BAC=63°求∠DAC的度数．10．我们知道三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么三角形的一个内角同与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢?已知:如图∠DBC∠BCE为△ABC的两个外角则∠A与∠DBC+∠BCE的数量关系为请证明你的结论．命题点2三角形内角和定理及其推论的综合应用11．一副三角板如图所示摆放则∠α与∠β的数量关系为()A．∠α+∠β=180°B．∠α+∠β=225°C．∠α+∠β=270°D．∠α=∠β12．如图在△ABC中∠C=36°将△ABC沿着直线l折叠点C落在点D的位置则∠1-∠2的度数是．13．如图已知∠BOF=120°则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．14．如图CE是△ABC的外角∠ACD的平分线且CE交BA的延长线于点E．(1)若∠B=35°∠E=25°求∠BAC的度数;(2)请你写出∠BAC∠B∠E三个角之间存在的等量关系并说明理由．15．如图在Rt△ABC中∠C=90°AD平分∠BACBD平分∠CBEAF平分∠DABBF平分∠ABD 求∠F的度数．16．(1)如图①是一个五角星则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=°．(2)将图①中的点A向下移到BE上时如图②所示五个角的和(即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E)有没有变化?说明你的结论的正确性．(3)将图②中的点C向上移到BD上时如图③所示五个角的和(即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E)有没有变化?说明你的结论的正确性．参考答案1．C2．D3．B4．B5．D6．A7．B8．359．解:∵∠3=∠1+∠2∠3=∠4∠1=∠2∴∠4=∠1+∠2=2∠2．∵∠BAC+∠2+∠4=180°即3∠2+63°=180°∴∠2=39°．∴∠1=39°．∴∠DAC=∠BAC-∠1=63°-39°=24°．10．解:∠A=∠DBC+∠BCE-180°证明:∵∠DBC=∠A+∠ACB∠BCE=∠A+∠ABC∴∠DBC+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC．∵∠ACB+∠A+∠ABC=180°∴∠DBC+∠BCE=∠A+180°即∠A=∠DBC+∠BCE-180°．11．B12．72°13．240°14．解:(1)∵∠ECD=∠B+∠E∠B=35°∠E=25°∴∠ECD=60°．∵CE平分∠ACD∴∠ACE=∠ECD=60°．∴∠BAC=∠ACE+∠E=60°+25°=85°．(2)结论:∠BAC=∠B+2∠E．理由:∵CE平分∠ACD∴∠ACE=∠ECD．∵∠BAC=∠ACE+∠E∠ACE=∠ECD=∠B+∠E∴∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E．15．解:如图∵AD平分∠BACBD平分∠CBE∴∠DAB=12∠BAC∠DBE=12∠CBE．∵∠C+∠BAC=∠CBE∴12∠C+12∠BAC=12∠CBE．∴12∠C+∠DAB=∠DBE．∴12∠C=∠DBE-∠DAB=∠D．∵∠C=90°∴∠D=45°．∵AF平分∠DABBF平分∠ABD∴∠1=12∠DAB∠2=12∠ABD．∴∠F=180°-∠1-∠2=180°-12∠DAB-12∠ABD=180°-12(∠DAB+∠ABD)=180°-12(180°-∠D)=90°+12∠D=112．5°．16．解:(1)180(2)没有变化．根据平角的定义得∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°．∵∠BAC=∠C+∠E∠DAE=∠B+∠D∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°．(3)没有变化．根据平角的定义得∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°．∵∠ACB=∠CAD+∠D∠ECD=∠B+∠E∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°．。