等节距截锥涡卷螺旋弹簧

等节距截锥涡卷螺旋弹簧静力

及模态分析

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摘要

变刚度弹簧以其独特的刚度特性在工业各领域内得到广泛应用，截锥涡卷弹簧式这种非线性螺旋弹簧的典型代表。本文建立了截锥涡卷弹簧（特殊的等节距螺旋弹簧，其中心展开线为抛物线，螺旋线在底面投影为阿基米德螺旋线）的有限元模型，并在弹簧顶端利用mass单元等效施加一质量块，计算质量弹簧系统在压并前的自振频率以及前三阶模态。另外，在弹簧的静力分析中，通过子步指定荷载逐渐增加，分析弹簧的变形过程及其应力变化。建模和分析采用APDL（ANSYS PARAMETER DESIGN LANGUAGE)，所以结构尺寸和材料很容易根据特定设计要求更改，进而为截锥涡卷弹簧的设计提供了数值分析模拟的一定参考。

关键词: 有限元仿真, 等节距截锥螺旋压缩弹簧, 大变形，非线性，模态分析，接触分析，变刚度

一、背景

1、弹簧

弹簧是一种利用弹性来工作的机械零件。一般用弹簧钢制成。用以控制机件的运动、缓和冲击或震动、贮蓄能量、测量力的大小等，广泛用于机器、仪表中。弹簧的种类复杂多样，按形状分，主要有螺旋弹簧、涡卷弹簧、板弹簧等。其主要功能①控制机械的运动，如内燃机中的阀门弹簧、离合器中的控制弹簧等。②吸收振动和冲击能量，如汽车、火车车厢下的缓冲弹簧、联轴器中的吸振弹簧等。③储存及输出能量作为动力，如钟表弹簧、枪械中的弹簧等。④用作测力元件，如测力器、弹簧秤中的弹簧等。弹簧的载荷与变形之比称为弹簧刚度，刚度越大，则弹簧越硬。过去的机械部件等曾经由于没有给予弹簧足够的重视而经常损坏，造成极为严重的后果，随着科学技术的进步，人们逐渐认识到弹簧对机器的精度，工作能力和寿命都有着极其重要的作用。现代的数值仿真方法为弹簧的设计提供了一个新的平台，可以模拟各种弹簧在各种工况下的静力状态和动力学响应。

2、等节距截锥螺旋压缩弹簧

变刚度弹簧以其独特的刚度特性在工业各领域内得到广泛应用，截锥涡卷弹簧式这种非线性螺旋弹簧的典型代表。截锥涡卷弹簧又名宝塔弹簧，主要特点是体积小、载荷大、变刚度，广泛用于空间小、载荷大的场合和减震装置，它可分为等螺旋角、等节距、等应力三种形式。截锥涡卷弹簧是由加工成扁薄的弹簧钢板热卷成。主要应用于外形尺寸受限制而又需要吸收巨大冲击能量的机械上。它的刚性是变化的，在刚接触负载时刚性较低继而转强 ．这一特性正好缓和了物体碰撞瞬间所产生的强烈冲击作用，因而广泛应用于某些重型机械上因工作荷载范围大、振动冲击较强、安装空间又受限制的减震装置上。这种弹簧在受力后特性线段式直线，当荷载增大时弹簧的大圈开始接触，有效圈数减少而刚度增大，一直到所有的弹簧圈完全压并为止，这种弹簧的刚度是变值，所以自振频率也是变值，有利于防止共振，因而多用于需要减震的场合。

对于特殊的等节距螺旋弹簧，其中心展开线为抛物线，螺旋线在底面投影为阿基米德螺旋线（见下文ANSYS建模过程）。

3、阿基米德螺旋线

阿基米德螺旋线 ，亦称“等速螺线”。当一点P沿动射线OP一等速率运动的同时，这射线有以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线。它的极坐标方程为：r = aθ。阿基米德弹簧，顾名思义就是弹簧中心线为空间阿基米德曲线的弹簧。

本文通过理论分析并以ANSYS为技术支持平台，讨论了等节距截锥涡卷螺旋弹簧的刚度特性以及动力特性。

二、理论分析

本文中用到的主要变量及其物理意义和具体数值如下表：

表1 变量表

变量符号 物理意义 值

t 弹簧节距 9.6mm

1r 弹簧最内层半径 14mm

2r 弹簧最外层半径 43mm

n 弹簧有效圈数 5

a 弹簧板厚度 4mm

b 弹簧板宽度 28mm

F 重物重力 1450N

1、弹簧刚度求解

推导截锥螺旋弹簧刚度计算近似公式，并计算弹簧的刚度曲线和质量弹簧系统在压并前的自振频率，将结果与有限元结果对比

（1）截锥涡卷螺旋弹簧及其特性线

未有弹簧圈接触的变形与强度计算：

由于弹簧的螺旋角α比较小，当弹簧受到轴向荷载F作用时，可以近似看做各弹簧圈材料截面只受到如下扭矩：

𝑇𝑡≈𝐹R

在单位轴向载荷作用时，材料截面所受的扭矩：

𝑇1𝑡≈1⋅𝑅

弹簧轴向变形的一般积分式

𝑓=∫𝑇𝑡𝑇1𝑡𝑑𝑠/𝐺𝐼𝑝=∫𝐹𝑅2/𝐺𝐼𝑝𝑑𝑠

由 ds=Rdθ, 𝑑θ=2𝜋𝑛𝑅2−𝑅1𝑑𝑅

得 𝑑s=2𝜋𝑛𝑅2−𝑅1𝑅𝑑𝑅

代入上式可得变形计算式：

)/(2*)()(212414221123RRGIRRFndRGIRRnFRttRR

对于矩形截面材料，由于b/a=7，查表则相当极惯性矩近似取为𝐼𝑡≈0.3𝑏𝑎3

代入得： 𝑓=𝜋𝑛𝐹(𝑅42−𝑅41)/2𝐺*0.3𝑏𝑎3(𝑅2−𝑅1)

则弹簧的刚度计算式为：

𝐾=2𝐺𝑏𝑎3(𝑅2−𝑅1)*0.3/𝜋𝑛(𝑅42−𝑅41) （1）

有弹簧圈接触后的变形与强度计算：

从大端数起到弹簧圈i的自由高度

𝐻𝑖=𝑛𝑡(𝑅2−𝑅𝑖𝑅2−𝑅1)+𝑏

弹簧圈i接触时所受的载荷

𝐹𝑖=𝐺𝑏𝑎3𝑡6𝜋𝑅𝑖3 （2）

载荷𝐹𝑖与变形𝑓𝑖的关系

𝑓𝑖=𝑛𝜋𝑅2−𝑅1[(𝑅2−𝑅𝑖)𝑡𝜋+3(𝑅𝑖4−𝑅142𝐺𝑏𝑎3)𝐹𝑖] （3）

120.014,0.043,0.04,0.026,0.0096,5RmRmambmtmn

错误！未找到引用源。

第一圈半径： 12211()0.043(0.0430.014)/50.0372RRRRmn

错误！未找到引用源。

第一圈接触底面时所施加的力： 113312100.0260.0040.0096/(60.0372)1266.342(10.3)FN

第二圈半径： '222120.0430.014()0.04320.03145RRRRmn

第二圈接触底面时所施加的力：

113322100.0260.0040.0096/(6*0.0314)2105.672(10.3)FN

第三圈半径： '322130.0430.014()0.04330.02565RRRRmn

错误！未找到引用源。

第三圈接触底面时所施加的力：

113332100.0260.0040.0096/(60.0256)3885.622(10.3)FN

第四圈半径：'4221()4/0.043(0.0430.014)4/50.0198RRRRnm

错误！未找到引用源。

第四圈接触底面时所施加的力：

113342100.0260.0040.0096/(60.0198)8398.172(10.3)FN

第五圈半径：'5221()5/0.043(0.0430.014)/550.014RRRRnm

第五圈接触底面式所施加的力（即完全压并时所施加的力）：

113352100.0260.0040.0096/(60.014)23757.242(10.3)FN

三、ANSYS数值模拟

1、建模

弹簧的材料参数为：

E——弹性模量，2e11 Pa λ——泊松比，0.3 ρ——材料密度，7800kg/m3

设计模型中的各物理参数：

a、b——截锥涡卷螺旋弹簧弹簧板材料厚度和宽度

R2——为弹簧最外层的半径 R1——为弹簧最内层的半径

t——为弹簧节距 n——为弹簧的有效圈数

nz——弹簧支撑圈数 F——弹簧所受外荷载（重物重力）

等节距截锥涡卷螺旋弹簧，各参数详见表1

表1 弹簧参数

R1(mm) R2(mm) a、b(mm) n nz t(mm) F(N)

14 43 a=4,b=26 5 0.75+0.75

9.6 1450

首先利用循环语句取出空间阿基米德曲线上的关键点，然后在柱坐标下利用line语句光滑连接各个关键点形成空间曲线。由于设计要求在最上方和最下方有3/4段弹簧，以用来连接其他构件，为避免曲线的不光滑，连接处的曲线仍为阿基米德螺旋线，而连接段的高度坐标不变。为了减少实体模型的面积的个数，以使后面的加载工作更加方便，利用LCOMB语句，合并各条曲线。这样空间阿基米德曲线便建立完毕了。

在曲线的一端建立弹簧实体的截面，通过拖拽操作，将截面沿着空间阿基米德曲线拖拽形成实体模型。然后利用布尔操作，将各个体积合成。截面尺寸高度为28mm，宽为4mm，弹簧总高度为48mm，共5圈，加上连接圈（1.5圈）为6.5圈。建立的阿基米德螺旋线如下图所示。

空间阿基米德螺旋线

实体模型

2、网格划分

将截面的线设置分割数为2和4，然后进行扫略操作。利用SOLID45八节点六面体单元将实体模型剖分，获得有限元模型，如下图。

有限元模型 3、边界条件问题分析

（1）、模态分析

模态分析中，对于等节距截锥涡卷螺旋弹簧，边界条件为约束使弹簧最下面的连接面A157的X、Y、Z方向位移。在上3/4圈连接处将某单元（E5517）转换为MASS21质量单元。

(2)、静力分析

静力分析中，等节距截锥涡卷螺旋弹簧在工作时，当荷载增大的一定程度，弹簧的大圈逐渐接触，有效工作圈数减少，刚度逐渐增大，一直到所有的弹簧圈完全压并，刚度理论上可达到与材料弹性模量相当的值。

本问题中，大变形和接触问题是导致问题非线性的两个因素。其中接触问题是高度非线性的而且在求解过程中需要占用大量的计算机资源，因此对接触的设置应当慎重。弹簧被“压平”是采用接触分析。在弹簧底部创建一平板（厚度为6mm）然后利用DOF命令约束底面接触面位移和平板的上下两面的个各方向位移。力的大小24210N等效为面力118583293.2N/M2施加于上接触圈（有限元中约为17/25圈）的上表面。目标面为底板上表面，接触面为弹簧的各下底面。接触分析如下图所示。

4、加载求解

模态分析中定义分析类型为模态分析，ANTYPE，MODAL。求前3阶模态。静力分析涉及到大变形非线性问题，所以在求解时将大变形开关打开，NLGEOM，ON。设置求解类型为静态求解，ANTYPE，0。设置时间为1s，加载的荷载子步为20步。相关荷载大小等见前述边界条件问题分析。

5、仿真结果分析及讨论