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数列与函数结合的综合问题

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数列与函数结合的综合问题

2 数列综合问题之数列与函数

思想方法：关键是应用函数的解析式和性质得到数列的通项或递推关系。

一、利用具体函数的解析式得递推关系

例1：已知函数2()(,)xafxbcNbxc中，1(0)0,(2)2,(2)2fff，

（1） 求函数()fx的解析式；（2）各项均不为零的数列{}na满足：14()1nnSfa，求通项na？（3）在条件（2）下，令2nnnba，求数列nb的前n项和？

分析：由题知：0,2abc，所以2()22xfxx，所以可求得：2112()(1)0nnnnnnnnSaaaaaaan

例2：函数()222,2,fxxxx；（1）求()fx的反函数1()fx；（2）数列na满足：11()nnSfS，且12a，求数列na的通项

3 公式；（3）在条件（2）下，令2*11()()2nnnnnaabnNaa，求数列nb的前n项和？

分析：（1）由题知：12()(2),0fxxx；（2）1242nnnssan

（3）22211111()2111()222121nnnnnnnnnnnaaaaaabaaaann

例3、设函数241xxf ，

(1) 证明：对一切Rx，f(x)+f(1-x)是常数；

(2)记Nnfnnfnfnffan,11......210，求na,并求出数列{an}的前n项和。

解：∵241xxf，

∴(1)fxfx =1114242xx

1142421(42)(42)2xxxx

Nnfnnfnfnffan,11......210

12211......0,nnnaffffffnNnnnn∴2na=12n ∴na=14n ∴Sn=111()442nn=(3)8nn

4

5 恒成立，求m的取值范围。

解：（1）由于1(3)nnaf，所以有11()((3))333nnnnfaff，也有：3log()nfan

由：3131log()log()nnbfabfa，得nbn，令1212()()()nnnbbbSfafafa，也即有：21233333nnnnS，由错位相减得出：31213113()3223244nnnbSnS

（2）由(())3((()))(3)3()(3)ffkkfffkfkfkfk，所以：11(3)3(3)3nnnnaffa，又因为01(3)(1)20aff，所以na是等比数列，有123nna，又()3nnfa，所以有了：1()331232nnnnnfaabnn，设124111224141()()()31111()212241nnnnnnnnnnfafafaTabababnnnn有：

11311111()2212245141314()2(21)(22)(41)(4)3302(21)(22)(41)(45)nnnnTTnnnnnnnnnnnnnTT

所以nT是单调递减的。也当2n时，nT取得最大值2311125()234924T，由题有：2524m。

6 练习：已知函数f(x)定义在区间（-1，1）上，1)21(f,且当x,y∈(-1,1)

时，恒有)1()()(xyyxfyfxf ,又数列{an}满足21112,21nnnaaaa,设)(1)(1)(121nnafafafb．

（１）证明：f(x)在（-1，1）上为奇函数；

（２）求f(an)的表达式；

（３）是否存在自然数m，使得对任意n∈N,都有48mbn成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

讲解 （１）紧扣奇函数的定义，选择特殊值．令x=y=0，则f(0)=0，再令x=0,得f(0)-f(y)=f(-y),所以f(-y)=-f(y),y∈(-1,1),故f(x)在（-1，1）上为奇函数．

（２）),1()()()1(,1)21()(1xyyxfyfxffaf知由

)(2)()()1()12()(21nnnnnnnnnnafafafaaaafaafaf，

即 2)()(1nnafaf，

∴{f(an)}是以-1为首项，2为公比的等比数列，从而有f(an)=-2n-1.

（３）先求nb的表达式，得

7 2111111112(1)21222212nnnnb，

若48mbn恒成立（n∈N+）,则112224nm，

即 14.2nm

∵n∈N+，∴当n=1时，124n有最大值4，故m>4．又∵m∈N,∴存在m=5，使得对任意n∈N+，都有48mbn成立.

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【新高考数学压轴题】导数与数列综合问题(主讲人：刘蒋巍)

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【新高考数学压轴题】导数与数列综合问题(主讲人：刘蒋巍)

1导数与数列综合问题

主讲人：刘蒋巍

一．函数与导数

1.单选题

1.设函数21ln11fxx

x

,则使

21fxfx

成立的x

的取值范围是（）

A．1

,1

3



B．1

,1,

3







C．11

,

33



D．11

,,

33





2.若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数()fx

的图象上；②点A、B关

于原点对称，则称点()AB，

是函数()fx

的一个“姊妹点对”.点对()AB，

与()BA，

可看作是

同一个“姊妹点对”，已知函数220

()

2

0

xxxx

fx

x

e

，则()fx的“姊妹点对”有（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

3.对于函数()yfx

，若存在区间[,]ab

，当[,]xab

时的值域为[,](0)kakbk

，则称()yfx

为k倍值函数.若()2xfxex是k倍值函数，则实数k的取值范围是().

A．1,eB．

2,eC．1

,e

e





D．2

,e

e







答案：B

4.若函数

224xfxxmxe在区间

2,3上不是单调函数，则实数m的取值范围是

（）．

A．2017

,

32



B．2017

,

32



C．20

5,

3



D．20

5,

3





答案：B【新高考数学压轴题】导数与数列综合问题(主讲人：刘蒋巍)

22.多选题

1.把方程1xxyy表示的曲线作为函数()yfx

的图象，则下列结论正确的有

A．()yfx

的图象不经过第三象限

B．()fx

在R上单调递增

C．()yfx

的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1

D．函数()()gxfxx

不存在零点

答案：ACD解析：2

2

21, 0, 0

()1, 0, 0

1, 0, 0xxy

yfxxxy

xxy





数列的函数性质-2023届高三数学一轮复习专题

数列的函数性质-2023届高三数学一轮复习专题

1

2023高考数列专题——数列的函数性质

一、数列的单调性

解决数列单调性问题的三种方法

(1)作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列；

(2)作商比较法：根据an＋1an(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断；

(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断．

例1(2022·滕州模拟)设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为( )

A．[1，＋∞) B．(－3，＋∞)

C．[－2，＋∞) D．－92，＋∞

例2 若数列{an}满足an＝－2n2＋kn－1，且{an}是递减数列，则实数k的取值范围为

跟踪练习

1、已知数列{an}的通项公式为an＝n3n＋1，那么这个数列是( )

A．递增数列 B．递减数列

C．摆动数列 D．常数列

2、请写出一个符合下列要求的数列{an}的通项公式：①{an}为无穷数列；②{an}为单调递增数列；③0

3、(2022·绵阳模拟)在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋12an＋1．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若存在n∈N*，使得an≤(n＋1)λ成立，求实数λ的最小值．

二、数列的周期性

解决数列周期性问题的方法

根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．

例3、若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1＋an1－an(n∈N*)，则该数列的前2 023项的乘积是( )

A．2 B．－6

C．3 D．1

例4 (2021·福建福清校际联盟期中联考)已知Sn为数列{an}前n项和，若a1＝12，且an＋1＝22－an(n∈N*)，2

则6S100＝( )

A．425 B．428

C．436 D．437

跟踪练习

1、(2022·福州模拟)已知数列{an}满足an＋1＝11－an，若a1＝12，则a2 023＝( )

数列专题复习之典型例题(含答案)

数列专题复习之典型例题(含答案)

第 1 页 共 38 页 数列知识点-——-求通项

一、由数列的前几项求数列的通项:观察法和分拆与类比法-—-—-猜测———-证明（略）

二、由an与Sn的关系求通项an

例1已知数列｛an｝的前n项和为Sn＝3n－1，则它的通项公式为an＝________。

答案2·3n－1

练1 已知数列｛an｝的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________．

答案an＝错误!

三、由数列的递推公式求通项

例3、（1）设数列na的前n项和为nS．已知1aa,13nnnaS，*nN．设3nnnbS,求数列nb的通项公式;

答案： 13(3)2nnnnbSa,*nN．

(2）（4)在数列{}na中,11a，22a，且11(1)nnnaqaqa（2,0nq)． 第 2 页 共 38 页 （Ⅰ）设1nnnbaa（*nN），证明{}nb是等比数列；

（Ⅱ)求数列{}na的通项公式；

答案： 11,,.1,111nnqqqanq

(3）在数列na中，1112(2)2()nnnnaaanN，，其中0．

（Ⅰ）求数列na的通项公式；

（Ⅱ）求数列na的前n项和nS；

答案:(1)2nnnan21212(1)22(1)(1)nnnnnnS

1(1)22(1)2nnnnS

(4）已知数列na满足：213,22nnaaannN 第 3 页 共 38 页 （1）求数列na的通项公式；

（2)设1234212111nnnTaaaaaa，求limnnT

答案： 11,,.1,111nnqqqanq

注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记)

1.)(1nfaann 2 . nnanfa)(1.3 qpaann1（其中p,q均为常数，)0)1((ppq)。4 . nfpaann1(1） 。nnnqpaa1（其中p，q均为常数,)0)1)(1((qppq）。（或1nnnaparq，其中p，q, r均为常数）（2）banpaann1)001(，a、p5。递推公式为nnnqapaa12（其中p，q均为常数）先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中s,t满足qstpts

数列的综合应用【十二大题型】(举一反三)(新高考专用)(原卷版)—2025年新高考数学一轮复习

数列的综合应用【十二大题型】(举一反三)(新高考专用)(原卷版)—2025年新高考数学一轮复习

数列的综合应用【十二大题型】

【题型1 等差、等比数列的交汇问题】................................................................................................................3

【题型2 数列中的数学文化问题】........................................................................................................................4

【题型3 数列的实际应用问题】............................................................................................................................5

【题型4 数列中的不等式恒成立、有解问题】....................................................................................................7

【题型5 数列中的不等式证明问题】....................................................................................................................8

【题型6 子数列问题】............................................................................................................................................9