一 混沌现象，定义及其基本特征
二 混沌系统的数学模型及分析
三 杜芬系统检测弱信号的思想
四 混沌判别方法及混沌系统判据
五 混沌系统的进一步发展
六 进一步的想法和理解
一混沌的想象，定义及其特征
混沌并非无序，简单确定的系统不仅可以产生简单确定的行为，
还可以产生貌似随机的不确定行为，即混沌行为。混沌是指确定的宏
观的非线性系统在一定条件下所呈现的不确定的或不可预测的随机
现象；是确定性与不确定性，规则性与非规则性或有序性与无序性融
为一体的现象； 目前在不同的学科领域里对混沌有不同的理解和表
达方法，体现出在各自领域中的应用特点。
1）混沌是非线性动力系统在一定控制参数范围内产生的，对初
始条件具有敏感依赖性的非周期行为的状态，处于这种行为状态的系
统称为混沌系统。其中非线性是动力系统出现混沌行为最根本的条
件，是系统必然要具备的因素。
（2）在决定论混沌中，混沌是一种动力学系统的演化形式。在经典
力学中，不论耗散系统还是保守系统的运动，都可用相空间中的轨迹
来表示。混沌运动是确定论系统中局限于有限相空间的轨道的高度不
稳定的运动。
（3）世界知名的动力气象学家，混沌理论的创立者之一Lorenz指出
混沌具有三个特点
1貌似随机；
2对初始条件敏感的依赖性；
3敏感的依赖于初始条件的内在变化。
二混沌特征
（1）对初始条件的敏感依赖性
表现为对一条混沌轨道施加无穷小的扰动，则在时间演化过程中
该轨道将以指数律发散的形式偏离原轨道。 典型的现象是蝴蝶
效应，也可用“失之毫厘，谬以千里”
（2）长期不可预测性
混沌的非线性动力学特性决定了混沌是不可以预测的，混沌对
初始值的敏感性说明对其进行预测存在一定难度。对于一个混沌
过程，对初始值的敏感性导致了每预测一次就会丢失一部分信
息，当预测若干次后，丢失的信息越来越多，剩余的信息不足以
进行合适的预测，因此混沌不适合做长期预测。
（3）分形性
分形性指混沌的运动轨线在相空间中的行为特征，表示混沌
混沌理论
混沌理论是当今世界最伟大的理论之一。
它是社会科学与自然科学最完美结合的理论.它研究如何把复杂的非稳定事件控制到稳定状态的方法，它研究世界如何在不稳定的环境中稳定发展的问题。.混沌方法对于处理复杂多变、动荡不定的重大事件有特殊功效混沌世界是纷繁复杂多变的世界。
“相对论消除了关于绝对空间和时间的幻想；量子力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测的幻想。”
一点就是未来无法确定。如果你某一天确定了，那是你撞上了。
第二事物的发展是通过自我相似的秩序来实现的。看见云彩，知道他是云彩，看见一座山，就知道是一座山，凭什么？就是自我相似。这是混沌理论两个基本的概念。
混沌理论还有一个是发展人格，他有三个原则，一个是事物的发展总是向他阻力最小的方向运动。第二个原则当事物改变方向的时候，他存在一些结构。
一混沌理论（Chaos theory）是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中（如：人口移动、化学反应、气象变化、社会行为等）无法用单一的数据关系，而必须用整体、连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。
二混沌一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，我国及古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。在井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家耳熟能详的地心引力、杠杆原理、相对论等。这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。
三近半世纪以来，科学家发现许多自然现象即使可化为单纯的数学公式，但是其行径却无法加以预测。如气象学家Edward Lorenz发现，简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化，产生所谓的「蝴蝶效应」，亦即某地下大雪，经追根究底却发现是受到几个月前远在异地的蝴蝶拍打翅膀产生气流所造成的。一九六○年代，美国数学家Stephen Smale 发现，某些物体的行径经过某种规则性的变化之后，随后的发展并无一定的轨迹可寻，呈现失序的混沌状态。
标准文案
大全 混合理论
attractor
近代物理与新认识论
1992, 3, 26吴文成
混沌
──不测风云的背后
混沌理论，是近二十年才兴起的科学革命，它与相对论与量子力学同被列为二十世纪的最伟大发现和科学传世之作。 量子力学质疑微观世界的物理因果律，而混沌理论则紧接着否定了包括巨观世界拉普拉斯﹙Laplace﹚式的决定型因果律。
长久以来，世界各地的物理学家都在探求自然的秩序，但对无秩序如大气、骚动的海洋、野生动物数目的突兀增减及心脏跳动和脑部的变化，却都显得相当的无知。 但是在七Ｏ年代，美国与欧洲有少数科学家开始穿越混乱去打开一条出路。 包括物学家、物理学家及化学家等等，所有的人都在找寻各种俯拾皆是的混沌现象──袅绕上升的香烟烟束爆裂成狂乱的烟涡、风中来回摆动的旗帜、水龙头由稳定的滴漏变成零乱、复杂不定的天气变化与大崩盘的全球股市──的规则与一些简单模式中所隐藏令人惊讶的复杂行为。
十年之后，混沌已经变成一项代表重塑科学体系的狂飙运动，四处充斥为着混沌理论而举行的会议和印行的期刊。 它跨越了不同科学学门的界线，因为它是各种系统的宏观共相，它将天南地北各学门的思想家聚集一堂。 年轻的科学家相信他们正面临物理学改朝换代的序幕。 他们觉得物理学这行已经被高能粒子和量子力学这些华丽而抽象的名词主宰得够久，直到混沌革命──可以连接微观和宏观上百万物体集体行为之间的深深鸿沟的新起科学──开始时，顶尖物理学家才发现自己心安理得地回归到属于人类尺度的某些现象。
混沌理论的近代研究，逐渐领悟到自己正抗拒科学走向化约主义的趋势。 相当简单的数学方程式可以形容像天气或瀑布一样粗暴难料的系统，只要在开头输入小差异，很快就会造成南辕北辙的结果，这个现象被称为「对初始条件的敏感依赖」。 例如蝴蝶效应──今天北京一只蝴蝶展翅翩翩对空气造成扰动，可能导致下个月纽约的大风暴──使得科学家始终无法模拟天气这个复杂系统，更不用说去精确地预测天气。
混沌理论是对不规则而又无法预测的现象及其过程的分析。一个混沌过程是一个确定性过程，但它看起来是无序的、随机的。像许多其他知识一样，混沌和混沌行为的研究产生于数学和纯科学领域，之后被经济学和金融学引用。
一、什么是混沌理论
混沌理论的主导思想是，宇宙本身处于混沌状态，在其中某一部分中似乎并无关联的事件间的冲突，会给宇宙的另一部分造成不可预测的后果。
混沌理论在许多科学学科中得到广泛应用，包括：数学、生物学、信息技术、经济学、工程学、金融学、哲学、物理学、政治学、人口学、心理学和机器人学。
二、混沌理论的发展背景
混沌理论是对不规则而又无法预测的现象及其过程的分析。一个混沌过程是一个确定性过程，但它看起来是无序的、随机的。像许多其他知识一样，混沌和混沌行为的研究产生于数学和纯科学领域，之后被经济学和金融学引用。在这些领域里，由于人们想知道在某些自然现象背后是否存在着尚未被认识的规律，因而激发了人们对于混沌的研究。科学家已经注意到了某些现象，例如行星运动，是有稳定规律的，但其他的，比如像天气之类，则是反复无常的。因此，关键问题在于天气现象是否是随机的。曾经一度被认为是随机的后来又被证实是混沌的，这个问题激发了人们探索真理的热情。如果一个变量或一个过程的演进、或时间路径看似随机的，而事实上是确定的，那么这个变量或时间路径就表现出混沌行为。这个时间路径是由一个确定的非线性方程生成的。
在此，我们有必要介绍一下混沌理论的发展史。人们对于混沌动态学的最初认识应当归功于Weis(1991)，而Weis又是从几百年前从事天体力学的法国数学家HenryPoincare那里得到的启示。Poincare提出，由运动的非线性方程所支配的动态系统是非线性的。然而，由于那个时代数学工具的不足，他未能正式探究这个设想。
Poincare之后的很长一段时间，对于这个论题的研究趋于涅灭。然而，在20世纪60-70年代间，数学家和科学家们又重新开始了对这个论题的研究。一个名叫StephenSmale的数学家用差分拓扑学发展了一系列的理论模型。气象学家EdwardLorenz设计了一个简单的方程组用来模拟气候，这个气候对于初始条件当中的变化极其敏感。生物学家RobertMay使用逻辑的差分方程在连续的时间过程中对人口水平建模。这个模型恰好是我们在这一章中后面要介绍的用来生成汇率中的混沌行为的模型。
