杜芬混沌综述

混沌发展历程研究现状及目的意义1混沌的发展史 (1)2混沌同步发展史及研究现状 (2)2.1 混沌同步在超宽带无线通信中的应用 (3)2.2 混沌同步在数字水印中的应用 (3)3混沌保密通信研究现状与发展趋势 (4)4研究目的和意义 (5)1混沌的发展史混沌的发现从现代科学意义上讲可追溯到19世纪末20世纪初庞加莱在研究限制三体问题时遇到了混沌问题，发现三体引力互相作用能产生惊人的复杂性，他是世界上第一个了解混沌存在的人。

典型的Duffing动力学方程和VDP动力学方程奠定了混沌动力学基础。

1954年到1963年间，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)和他的学生阿诺多(Amold)以及瑞士数学家莫西(Moser)提出了著名的KAM定理。

1963年，洛伦兹(Lorenz)给出了三个变量的洛仑兹方程。

这都为混沌运动奠定了基础。

1964年，法国天文学家M.Henon等人从研究球状星团以及洛伦兹吸引子中得到启发，得到了一个二维不可积哈密顿系统中的确定性随机行为，发现了Henon映射。

混沌一词的应用是从美国数学家约克(J.A.Y okr)和李天岩(T.Y.Li)题为“周期3意味着混沌”的文章中引用得来的。

1976年，美国生态学家梅(May)在文章《具有极复杂的动力学的简单数学模型》中，研究了一维平方映射，指出逻辑(Logistic)非常简单的一维迭代映射也能产生复杂的周期倍化和混沌运动。

后来，美国物理学家费根鲍姆(Feigenbaum)与1978年发现了倍周期分岔现象中的标度性和普适常数，并引入了重整化群的思想，从而使混沌在现代科学中有了坚实的理论基础。

1984年，美国物理学家肖(Shaw)和他的同事用水龙头进行混沌实验，并有实验数据重建了奇怪吸引子。

从20世纪80年代开始，混沌的理论受到广泛和深入的研究，人们着重研究系统如何从有序进入新的混沌及混沌的性质及特点。

1983年，由蔡少棠(L.O.Chua)发明的蔡氏电路由于结构简单，实现容易，并且表现出丰富的混沌行为。

>>混沌研究总结篇------一、分岔图（系统）先打个提纲，这几天把自己混沌相关知识研究学习内容总结一下。

首先简绍几个基本概念：一、自治系统一个n阶自治的连续动态系统可以表示为可以理解为对于自治的连续系统，上相量场f是不依赖于时间t的。

二、非自治系统一个n阶非自治的连续动态系统可以表示为可以理解为对于非自治的连续系统，向量场f不仅依赖于状态变量x，而且依赖于时间t，如Duffing振子。

三、庞加莱映射庞加莱映射是一个传统的用来离散化连续系统的方法。

庞加莱映射可以用(n-1)阶的离散映射来取代n阶的连续系统。

庞加莱映射的用处正在于减小系统的阶数，并且在连续系统和离散系统之间建立了一座桥梁。

对于n阶自治系统，其对应的解对就着轨迹。

当选择作为一个(n-1)维的超平面，这样轨迹将穿越超平面。

难点主要是超平面的选取，使其对应的解穿越超平面，就可以得到一个领域内的庞加莱映射。

对于n阶非自治系统，若其外加强迫力的最小周期是T,j最终的庞加莱映射可以定义为相应的轨道P(xk)是对某个轨迹每隔T时刻采样一次获得，这种操作和每隔T时刻的频闪观测仪的行为很相似。

所以要想得到一个系统的庞加莱映射，这段话一定要好好理解，当真真知道这中间说的含义，庞加莱映射这么画其实也已经知道国。

四、分岔图分岔图的横坐标是一个变化的参数，纵坐标是你要求的某一个量的随着各参数的变化情况，而poincare则是我们选取横坐标上的某参数的某一个具体值时截面图，只不过poincare截面的选取其实可以是任意的。

下面主要研究的混沌系统有：Logistic、Henon、Lorenz、Duffing、Rossler、Chen、混沌电机模型等系统系统先说Chen系统，因为和课题有一定的关系，而且自己以后起家也得从Chen系统入手。

系统方程如下：dx/dt=a*(y-x)dy/dt=(c-a)*x+c*y-x*zdz/dt=x*y-b*z就是对此方程中不同参数a、b、c下对系统画分岔图，研究混沌系统(1)给定a、c，画b关于系统的分岔图结果如下图所示CODE：function fenchatuchenclc;clearXA=35;XC=28;Z=[];for XB=linspace(2,,100);options = odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]);[T,X]=ode45('chen',[0,50],[-5 0 5],options,XA,XB,XC);n=length(X);for k=round(n/2):nif abs(X(k,1))<1Z=[Z,XB+abs(X(k,2))*i];endendendfigureplot(Z,'.','markersize',1)title('chen映射分岔图')xlabel('b'),ylabel('|x| where x=0')这组代码不完全是自己的,现在见解其中一些方法在进行自己系统的绘制，这个程序的具体原理我会在后面给出来的。

混沌运动●图⽚来源：独眼矮⼦《迷失在混沌的世界》本世纪以来，⼈们越来越意识到：物理世界是⼀个充满着⾮稳定性和随机涨落的复杂体系，单⼀的决定论或概率论的描述⽅法并不完备；物理学家要⽤新的见解来重新考察物质的运动和结构，以便更深刻地描述⾃然界的真实情况。

混沌（chaos）和分维（fractal）就是这些新见解的⼀部分。

为了使物理图象更为清晰，本⽂着重介绍混沌运动的各种表现，⽽省去了详尽的数学推导。

运动的⾮线性和混沌在物理学中，我们通常研究的是线性问题。

所谓线性问题，就是表达该过程的物理学规律，即微分⽅程式中，只包含函数ψ及其导数的⼀次项。

若含有⼆次等⾼次项，则称为⾮线性的，线性仅是某种程度上的有条件的近似。

单摆运动是⼤家所熟悉的，它的运动⽅程是=-g/l，是线性的，表现出简谐振动特征。

我们知道是在⼩⾓条件下对sinθ的近似代换。

其实按照泰勒级数展开sinθ=-3/6 ……，除⼀次项外，还存在⾮线性微扰项。

在某些稳定过程中，这些微扰项的效应不会表现出来，可以作为线性问题处理；⼀旦⾮线性微扰的作⽤通过⾃放⼤过程⽽不断强化，则会使摆的运动复杂起来。

如果在单摆实验装置中，⽤⼀枚铁质回形针作摆球，在摆球下⽅平放⼀块塑料板，板上粘两块强度相同的磁铁：这就构成了磁微扰单摆试验装置。

调整塑料板位置，使磁铁联线的中点就在摆球的正下⽅。

我们随意把摆球拉开⼀个⼩位移，在塑料板上仔细地记下它们的位置，并观察摆球最后停下的位置。

不难发现：这些运动的初始点可分为⼆⼤类：⼀类是可以准确地判定摆球最终将停留在哪块磁铁附近，另⼀类则是⽆法进⾏判定的。

进⽽发现，摆球的起始位置越靠近两磁铁的等距点，摆球的运动迹线越复杂，越难预先判定其最终归宿。

⽽若要把这类初始点的位置构成⼀个集合⼜是那么的困难：它们凹凸曲折、时断时连，很不光滑，⼜⽆穷尽。

实验结果发现，磁微扰单摆运动出现了特异的表现。

⾸先，运动是在决定论中蕴含着随机性，使得对于某些起始条件下的运动结果是不可预测的。

>>混沌研究总结篇------一、分岔图（1.Chen系统）先打个提纲，这几天把自己混沌相关知识研究学习内容总结一下。

首先简绍几个基本概念：一、自治系统一个n阶自治的连续动态系统可以表示为可以理解为对于自治的连续系统，上相量场f是不依赖于时间t的。

二、非自治系统一个n阶非自治的连续动态系统可以表示为可以理解为对于非自治的连续系统，向量场f不仅依赖于状态变量x，而且依赖于时间t，如Duffing振子。

三、庞加莱映射庞加莱映射是一个传统的用来离散化连续系统的方法。

庞加莱映射可以用(n-1)阶的离散映射来取代n阶的连续系统。

庞加莱映射的用处正在于减小系统的阶数，并且在连续系统和离散系统之间建立了一座桥梁。

对于n阶自治系统，其对应的解对就着轨迹。

当选择作为一个(n-1)维的超平面，这样轨迹将穿越超平面。

难点主要是超平面的选取，使其对应的解穿越超平面，就可以得到一个领域内的庞加莱映射。

对于n阶非自治系统，若其外加强迫力的最小周期是T,j最终的庞加莱映射可以定义为相应的轨道P(xk)是对某个轨迹每隔T时刻采样一次获得，这种操作和每隔T时刻的频闪观测仪的行为很相似。

所以要想得到一个系统的庞加莱映射，这段话一定要好好理解，当真真知道这中间说的含义，庞加莱映射这么画其实也已经知道国。

四、分岔图分岔图的横坐标是一个变化的参数，纵坐标是你要求的某一个量的随着各参数的变化情况，而poincare则是我们选取横坐标上的某参数的某一个具体值时截面图，只不过poincare截面的选取其实可以是任意的。

下面主要研究的混沌系统有：Logistic、Henon、Lorenz、Duffing、Rossler、Chen、混沌电机模型等系统1.Chen系统先说Chen系统，因为和课题有一定的关系，而且自己以后起家也得从Chen 系统入手。

系统方程如下：dx/dt=a*(y-x)dy/dt=(c-a)*x+c*y-x*zdz/dt=x*y-b*z就是对此方程中不同参数a、b、c下对系统画分岔图，研究混沌系统(1)给定a、c，画b关于系统的分岔图结果如下图所示CODE：function fenchatuchenclc;clearXA=35;XC=28;Z=[];for XB=linspace(2,5.5,100);options = odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]);[T,X]=ode45('chen',[0,50],[-5 0 5],options,XA,XB,XC);n=length(X);for k=round(n/2):nif abs(X(k,1))<1Z=[Z,XB+abs(X(k,2))*i];endendendfigureplot(Z,'.','markersize',1)title('chen映射分岔图')xlabel('b'),ylabel('|x| where x=0')这组代码不完全是自己的,现在见解其中一些方法在进行自己系统的绘制，这个程序的具体原理我会在后面给出来的。

洛伦兹模型与混沌—————《蝴蝶效应》混沌理论：混沌理论（（Chaos theory）是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔（bifurcation）、周期运动与非周期运动相互纠缠，以至于通向某种非周期有序运动的理论。

在耗散系统和保守系统中，混沌运动有不同表现，前者有吸引子，后者无（也称含混吸引子）。

从20世纪80年代中期到20世纪末，混沌理论迅速吸引了数学、物理、工程、生态学、经济学、气象学、情报学等诸多领域学者有关注，引发了全球混沌热。

混沌，也写作浑沌（比如《庄子》）。

自然科学中讲的混沌运动指确定性系统中展示的一种貌似随机的行为或性态。

确定性（deterministic）是指方程不含随机项的系统，也称动力系统（dynamical system）。

典型的模型有单峰映象（logistic map）迭代系统，洛伦兹微分方程系统，若斯叻吸引子，杜芬方程，蔡氏电路，Chen 吸引子等。

为浑沌理论做出重要贡献的学者有庞加莱、洛伦兹、上田睆亮（Y. Ueda）、费根堡姆、约克、李天岩、斯美尔、芒德勃罗和郝柏林等。

混沌理论向前可追溯到19世纪庞加莱等人对天体力学的研究，他提出了同宿轨道、异宿轨道的概念，他也被称为浑沌学之父。

混沌行为可以在许多自然系统中被观测到，例如天气和气候。

[1]对于这个行为的研究，可以通过分析混沌数学模型，或者通过诸如递归图和庞加莱映射等分析技术。

定义混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系，而必须用整体，连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。

“一切事物的原始状态，都是一堆看似毫不关联的碎片，但是这种混沌状态结束后，这些无机的碎片会有机地汇集成一个整体。

”混沌一词原指发现宇宙混乱状态的描述,古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。

在井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家熟知的地心引力、杠杆原理、相对论等。

DOI ：10．19392/j．cnki．1671－7341．201926177Duffing 混沌系统的电路仿真研究赵宁柳州铁道职业技术学院广西柳州545616摘要：借助Duffing 参数敏感性来检测微弱的信号是当前有关领域研究的重点，文章在阐述Duffing 系统及其电路实现的基础上，分析基于Duffing 混沌系统的电路仿真设计，旨在能够更好的提升电路设计的精准度。

关键词：Duffing 混沌系统；电路仿真；设计近几年，伴随混沌理论在现代科学领域的广泛应用，人们开始将混沌理论应用在微弱信号的检测分析中，并根据研究应用不同类型的背景噪声形成了多种应用混沌来进行微弱信号检测的理论和方法。

基于Duffing 混沌系统对初始参数信息的敏感性，使其可以利用混沌振子提取和检测微弱信号。

因此，从提升电路设计的精准度为基本出发点，就Duffing 混沌系统的电路仿真设计问题进行探究。

1Duffing 混沌系统Duffing 方程是描述共振现象、调和振动、次调和振动、拟周期振动、概周期振动、奇异吸引子和混沌现象的一种模型。

基于Duffing 混沌系统的微弱信号检测常用方程如（1）表示。

在公式中k 代表的是阻尼比，fcoswt 是内置激励信号，－x （t ）+x 3（t ）表是系统非线性恢复力项。

x ㊆（t ）－kx （t ）－x （t ）+x 3（t ）=fcoswt （1）2Duffing 混沌系统的电路特性2．1初始参数敏感性基于Duffing 混沌系统的初始参数敏感性是指在输入驱动正弦信号幅度数值较小的时候，相轨迹表现为poincare 映射下的吸引子。

在输入驱动正弦信号幅度数值超过一定阈值的时候将会出现同宿轨道的现象，且伴随输入驱动正弦信号幅度数值的增加，周期倍化将实现分叉，之后进入到混沌的状态，使得整个电路系统处于一种混沌的状态。

2．2对不同频率的基本响应导致Duffing 混沌系统从混沌状态朝着大尺度周期转变的临界驱动有效电压并不完全相同，但是在一定有效位数上是相同的。

混沌哲学概念以下是有关混沌哲学的概念：混沌哲学理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用来探讨动态系统中（如：人口移动、化学反应、气象变化、社会行为等）必须用整体、连续的而不是单一的数据关系才能加以解释和预测的行为。

混沌哲学理论不是糊涂理论，不是宣扬真理的理论，也不是意识形态，是辩证之道，自然之道，是发展着的关于世界的认识论和方法论。

1.从蝴蝶效应出发爱德华·诺顿·罗伦兹，美国的气象学家，被称为混沌理论之父，也是“蝴蝶效应”的发现者。

他从所发现的“蝴蝶效应”起，提出了混沌学的概念，并一语双关地为混沌学提出了一个貌似荒诞的例子：在巴西有一只蝴蝶拍打翅膀，能在美国得克萨斯州引发一场龙卷风。

他的这一说法给人印象深刻，最初一刹那，人们会嘲笑这件事荒唐，然而仔细推敲，这一说法却令人着迷，不仅在于大胆的想象力，更在于其深刻的科学内涵与哲学魅力。

“蝴蝶效应”也时刻提醒着人们，如果一个微小的机制不加以适度的引导和调节，就有可能成为一个“坏的开端”，最终构成对整个社会的巨大危害；同样，如果调节得当，正确疏导，再经过一段时间的努力，就可能产生激励社会前进的轰动效应。

对于“蝴蝶效应”，中国有很多的成语加以告诫，在西方也有类似的顺口溜：丢了一根钉子，坏了一个马蹄；坏了一个马蹄，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位战士；伤了一位战士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。

2.混沌哲学理论的例子（1）计算机可以计算出白球的未来轨迹（尽管程序必须非常精确地知道桌子上所有球的位置）。

假设稍微移动其中一个有色球，白球就会走不同的路线。

一个无法估量的微小差异最终可能产生重大的差异。

（2）天气是混沌理论的一个著名例子。

这个想法德华洛伦兹用气象模型进行计算以来就一直存在。

同一个计算运行两次后，会得到差异较大的两种结果。

（3）一个不太为人所知的例子是生态系统。

生态系统是自然环境的一部分。

生物方面（如动物和植物）和非生物方面（如空气、水和土壤）确保循环是连续的。