复数不等式周练

高考数学中的复数方程与不等式求解技巧在高考数学考试中，复数方程与不等式求解是一个重要的考点。

掌握了这些求解技巧，可以帮助考生更好地解题，提高数学成绩。

本文将介绍一些常见的复数方程与不等式求解技巧，帮助考生更好地应对高考数学考试。

一、复数方程的求解技巧1. 一元复数方程求解技巧对于一元复数方程，一般可以采用以下的求解思路：（1）观察方程，确定是否存在虚根，即方程中是否含有负数的平方根。

（2）如果存在虚根，可以转化为求解实系数方程。

将复数解表示为实数解的形式，然后联立相关实系数方程，利用常规的代数方法求解。

（3）如果方程中只存在实根，直接使用求解实数方程的方法进行求解即可。

2. 复数方程组的求解技巧对于复数方程组，可以利用以下的技巧进行求解：（1）将复数表示为实部与虚部的形式，然后联立相关的实系数方程组。

（2）利用方程组的性质，使用消元法、代入法等方法求解。

（3）在方程组求解过程中，注意虚部的运算规则，以免出现计算错误。

二、复数不等式的求解技巧1. 一元复数不等式求解技巧对于一元复数不等式，可以采用以下的求解思路：（1）观察不等式的性质，判断是否存在虚解。

如果存在虚解，可以转化为求解实系数不等式。

（2）利用复数的模表示法，进行运算，并结合不等式性质进行推导和求解。

2. 复数不等式组的求解技巧对于复数不等式组，可以利用以下的技巧进行求解：（1）将复数表示为实部与虚部的形式，然后联立相关的实系数不等式组。

（2）利用不等式组的性质，使用消元法、代入法等方法求解。

（3）在不等式组求解过程中，注意虚部的运算规则，并合理利用不等式的性质进行推导和求解。

三、应对高考中的复数方程与不等式求解题目的技巧1. 理解问题在解决复数方程与不等式问题时，首先要对问题进行仔细的理解和分析。

理解问题的关键点，确定所求的未知数以及方程或不等式的条件，这对于后面的解题过程非常重要。

2. 总结规律通过大量的练习和复习，总结复数方程与不等式求解的常见规律和技巧，这将帮助考生在解题过程中更快、更准确地找到解法和答案。

复数柯西不等式的证明哎呀，今天咱们来聊聊复数柯西不等式，这个名字听起来就让人觉得有点高大上。

别紧张，其实它并没有想象中那么复杂，咱们就像聊聊茶余饭后的琐事一样，轻松点。

复数柯西不等式是数学中的一颗明珠，虽然它在看上去有些深奥，但只要咱们放轻松，就能摸索出它的妙处。

咱们来想象一下，假设你有一大堆苹果和橙子，每种都装在不同的篮子里。

这时候，复数柯西不等式就像是你朋友那句“好事成双”，它告诉我们，苹果和橙子的组合方式其实能影响咱们得到的结果。

是不是有点意思？它的基本形式是说，两个数的乘积的平方，永远不会超过它们各自的平方和乘积的和。

听起来有点抽象？没关系，咱们用简单的例子来讲。

想象一下，你有两个复数，一个叫小李，另一个叫小张。

小李的实力和小张的实力都很强，但它们的组合却总是能带来意想不到的效果。

这就是复数柯西不等式的精髓所在。

你可能会问，这个小李和小张到底是谁啊？他们就是我们数学世界里的两个复数，咱们用“a”和“b”来表示，简单明了。

根据复数柯西不等式，这两个复数的“联手”效果永远不会超出它们单独发挥的极限。

有些朋友可能会觉得，这样的道理听上去像是老妈的唠叨。

但实际上一旦你明白了这个道理，生活中就会有很多地方能运用它。

比如说，团队合作，大家分工明确，互相配合，就能比单打独斗更有效率。

这就是数学和现实生活的巧妙结合，复数柯西不等式就像一条隐形的线，把它们连在了一起。

咱们来聊聊证明的过程。

证明就像做菜，得有点耐心。

咱们设定两个复数，一个是“a”，另一个是“b”。

这两个复数可以写成“a = x + yi”和“b = u + vi”。

这里的“x”和“y”是小李的实用实力，而“u”和“v”则是小张的战斗力。

然后咱们就要开始组合了，把这两者乘在一起，按照复数的运算规则来处理。

搞定这一步后，接下来就得计算这两个复数的模。

模的意思就是复数的“大小”，就像你量一个苹果的重量一样。

用平方和的形式表现出来，得到的结果就像数学题里那个千年不变的公式。

1−i
1+i
(3)利用复数相等a+bi=c+di(a,b,c d∈R)列方程(组)时,注意a,b,c,d∈R这个
前提条件;
(4)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质都照搬到复数集中来,
2
2
2
例如,若z1,z2∈C,1 +2 =0,则不能推出z1=z2=0,z <0在复数范围内有可能成立.
自习四
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[解析]
2
2
由m >1,得m<-1或m>1,∴“m>1”是“m >1”的充分不必要条件,故选A.
3. [2021·浙江卷] 已知非零向量a,b,c,则“a·c=b·c”是“a=b”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
1−3i2021
已知i为虚数单位,则复数z=
的虚部是
1+i
4.
A.-2
[解析]
B.2
C.-2i
( A )
D.2i
1−3i2021 1−3i (1−3i)(1−i) −2−4i
z=
=
=
=
=-1-2i,故z的虚部为-2.故选A.
1+i
1+i
2
(1+i)(1−i)
5. [2019·浙江卷]
[解析]
1
复数z= (i为虚数单位),则|z|=
RA)∩B=(
RA)∩B={x|x≥4}.
C )
5. 已知集合A={x|-2≤x≤-1},B={y|y=-2x+a,x∈A},若A⊆B,则实数a的取值范围

(完整版)复数练习题含答案一、单选题1．集合M ={x |x =i n +1，n ∈N}（i 为虚数单位）的真子集的个数是（ ） A ．1B ．15C ．3D ．162．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（ ） A ．sin 30°＋icos 30° B ．cos 160°＋isin 160° C ．cos 30°＋isin 30°D ．sin 160°＋icos 160°3．已知 i 是虚数单位，复数41322i ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．设||(12i)34i z -=+，则z 的共轭复数对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为()1,2，则()i z z -的对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．如图，在复平面内，复数z 对应的点为P ，则复数i=z ⋅（ ）A ．2i -B ．12i -C ．1+2i -D ．2i --7．已知复数12i1iz -=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．筹四象限 8．设复数z 满足i 4i 0z ++=，则||z =（ ）A 17B ．4C 7D 59．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．若复数z 满足()13i 17i -=-z ，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限11．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件12．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．iD ．1-13．已知i 是虚数单位，复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为( )A ．15- B ．15C ．1i 5-D ．1i 514．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．已知复数z 满足()21i 24i z -=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．1C ．2-D ．i16．若5i2iz =+，则||z =（ ） A ．2 BC．D ．3 17．复数z 在复平面内对应点的坐标为（－2，4），则1z +=（ ） A ．3 B ．4 CD18．已知复数i(1i)z =-，则其共轭复数z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+C ．1i -D ．1i +19．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ）A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i20．复数z 满足(1i)23i z -=-，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题 21．复数1077(cosisin )66ππ+表示成代数形式为________． 22．已知复数2z =+i ，其中i 为虚数单位，那么复数()2z ·z 所对应的复平面内的点在第________象限23．若i 为虚数单位，复数3i z =+，则表示复数1iz+的点在第_______象限. 24．若复数z 满足i 3i=iz -+，则z =________. 25．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______． 26．写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________． 27．定义12,C z z ∈，221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--，121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+，21z =+，则12||z z ⊗=___________.28．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．29．已知复数z 满足()1i 42i z -=+，则z =_________（用代数式表示）. 30．若2z =，arg 3z π=，则复数z =________．31．设i 为虚数单位，则复数2(1i)1i+-=____．32．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________． 33．计算cos 40isin 40cos10isin10________．34．已知4cosisin1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1z 的辐角主值为________．35．已知i 是虚数单位，则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________．36．方程()()2223256i 0x x x x --+-+=的实数解x =________.37．若a ∈R ，且i2ia ++是纯虚数，则a =____． 38．已知复数2i4i ia b +=-，,R a b ∈，则a b +=______. 39．若复数()()32i z a a R =-+-∈为实数，则2021i 1ia a -+的值为______.40．甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i 为虚数单位）：甲：z z +=；乙：2z z -=；丙：26;:4z z z z z ⋅==丁，在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则z =___________. 三、解答题41．已知复数z 是纯虚数，212iz -+为实数. (1)求复数z ；(2)若m ∈R ，复数()22m z z --在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围.42．实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋（x 2－2x －15）i 的点Z ：(1)位于第三象限； (2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上． 43．已知复数64i1im z -=+（,i m ∈R 是虚数单位）． (1)若z 是实数，求实数m 的值；(2)设z 是z 的共轭复数，复数4z z -在复平面上对应的点位于第一象限，求实数m 的取值范围．44．设复数1z 、2z 满足12122i 2i 10z z z z ⋅+-+=. (1)若1z 、2z 满足212i z z -=，求1z 、2z ；(2)若1z =k ，使得等式2|4i |z k -=恒成立？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由.45．若复数()()2222i z a a a a =-+--对应的点在虚轴上，求实数a 应满足的条件．【参考答案】一、单选题 1．B 2．B 3．C 4．D5．D6．D7．C8．A9．A10．D11．B12．D13．A14．D15．B16．B17．C18．C19．D20．A二、填空题21．－5i##－5i－22．四23．四2425．1i-##i+1-26．1i-+（答案不唯一）27．3528．825i 6 25 -29．13i+##3i+130．11+ 31．1i-+323312i34．2312π3536．2 37．12-##0.5- 38．6 39．i - 40．2 三、解答题41．(1)4i z =- (2)14-<<m 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义设出复数z 的表示形式，再根据复数除法运算法则，结合复数的分类进行求解即可；（2）根据完全平方公式，结合复数在复平面内对应点的特点进行求解即可. (1)因为复数z 为纯虚数， 所以设()i ,0z b b R b =∈≠， 则i (5122i 12i 12i (12)(122i)(2i)22(4)i i)b z b b b --+---+===+++++-，又212iz -+为实数 ∴404b b +=⇒=-，即4i z =-； (2)因为m R ∈，4i z =-所以有()222222228i 168i 16(88)i m z z m mz z z m m m m --=-+-=+-+=-++， 又复数()22m z z --在复平面内对应的点位于第二象限， 所以有：2160m -<且880m +>，即14-<<m . 42．(1)－3<x <2 (2)2<x <5 (3)x ＝－2 【解析】 【分析】根据复数的几何意义即可求解. (1)当实数x 满足22602150x x x x ⎧+-<⎨--<⎩，即－3<x <2时，点Z 位于第三象限； (2)当实数x 满足22602150x x x x ⎧+->⎨--<⎩，即2<x <5时，点Z 位于第四象限； (3)当实数x 满足（x 2＋x －6）－（x 2－2x －15）－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上；综上，（1）()3,2x ∈- ，（2）()2,5x ∈ ，（3）2x =- . 43．(1)32m =- (2)32m > 【解析】 【分析】（1）根据除法运算化简，再由复数为实数建立方程求解即可；（2）根据共轭复数的概念化简复数，再由复数对应的点在第一象限建立不等式求解即可. (1)(64i)(1i)32(32)i (1i)(1i)m z m m --==--++-，因为z 为实数，所以320m +=，解得32m =-. (2)因为z 是z 的共轭复数，所以32(32)i z m m =-++， 所以469(1015)i z z m m -=-++因为复数4z z -在复平面上对应的点位于第一象限， 所以690m ->，同时10150m +>解得32m >. 44．(1)1i z =-、2i z =-或13i z =、25i z =-(2)存在，k = 【解析】 【分析】（1）原方程可化为211||2i 30z z --=，再设1i z a b =+（a b R ∈、），代入前者化简后可求,a b 的值，从而可求1z 、2z ；（2）由题设可有2122i 12iz z z -=+22|4i |27z -=，从而可求k =.(1)由212i z z -=可得：212i z z =-，代入已知方程得()()11112i 2i 2i 2i 10z z z z ⋅-+--+=， 即211||2i 30z z --=，令1i z a b =+（a b R ∈、），∴()222i i 30a b a b +---=，即()222320a b b ai +---=，∴2223020a b b a ⎧+--=⎨-=⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩或03a b =⎧⎨=⎩，∴1i z =-、2i z =-或13i z =、25i z =-； (2)由已知得2122i 12i z z z -=+，又1z =222i 12iz z -=+ ∴222222222i 1|32i |2i |32i|z z z z -=+⇔+=+，∴()()()()22222i 2i 32i 2i z z z z +-=+-，整理得22224i 4i 110z z z +--=即22224i 4i 110z z z z +--=，所以()()22224i 4i 4i 27z z z +--=，故()()224i 4i 27z z -+=，∴22|4i |27z -=，即24i z -=k =24i z k -=恒成立. 45．a ＝0或2 【解析】 【分析】y 轴为虚轴，虚轴上的数，实部为零，据此即可求解. 【详解】∵复数()()2222i z a a a a =-+--对应的点在虚轴上，∴220a a -=，解得2a =或0a =.。