新人教B版新教材学高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语集合的基本运算全集补集及综合应用教案

考点

学习目标 核心素养

全集、补集 了解全集、补集的意义，正确理解符号∁UA的含义，会求已知全集条件下集合A的补集 数学抽象、数学运算、直观想象

集合交、并、补的综合运算 会求解集合的交、并、补的集合问题 数学运算、直观想象

与补集相关的参数

值（范围）的求解 能正确利用补集的意义求解一些具体问题 数学运算、直观想象

问题导学

预习教材P１7倒数第４行—P１9，思考以下问题：

１．全集的含义是什么？

２．补集的含义是什么？

３．如何理解“∁UA”的含义？

４．如何用维恩图表示∁UA？

１．全集

（１）定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．

（２）记法：全集通常记作U．

■名师点拨

全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题中涉及的所有元素．

２．补集

文字语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA

符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

图形语言

３．补集的性质

（１）A∪（∁UA）＝U．

（２）A∩（∁UA）＝∅．

（３）∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U（∁UA）＝A．

（４）（∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B）．

（５）（∁UA）∪（∁UB）＝∁U（A∩B）．

■名师点拨

∁UA的三层含义

（１）∁UA表示一个集合．

（２）A是U的子集，即A⊆U.

（３）∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（１）数集问题的全集一定是R.（ ）

（２）集合∁BC与∁AC相等．（ ）

（３）A∩∁UA＝∅.（ ）

（４）一个集合的补集中一定含有元素．（ ）

答案：（１）× （２）× （３）√ （４）×

设集合U＝{１，２，３，４，５，6}，M＝{１，３，５}，则∁UM＝（ ）

Ａ．{２，４，6} B．{１，３，５}

Ｃ．{１，２，４} Ｄ．U

解析：选Ａ．因为集合U＝{１，２，３，４，５，6}，M＝{１，３，５}，所以∁UM＝{２，４，6}．

已知全集U＝R，区间P＝[—１，１]，那么∁UP＝（ ） Ａ．（—∞，—１）

Ｂ．（１，＋∞）

Ｃ．（—１，１）

Ｄ．（—∞，—１）∪（１，＋∞）

解析：选Ｄ．因为P＝[—１，１]，U＝R，所以∁UP＝∁RP＝（—∞，—１）∪（１，＋∞）．

已知集合A＝{３，４，m}，集合B＝{３，４}，若∁AB＝{５}，则实数m＝________．

答案：５

补集的运算

（１）若区间U＝[—２，２]，则A＝[—２，0]的补集∁UA为（ ）

Ａ．（0，２） B．[0，２）

Ｃ．（0，２] D．[0，２]

（２）设U＝{x|—５≤x<—２，或２

【解析】 （１）借助数轴易得∁UA＝（0，２]．

（２）法一：在集合U中，

因为x∈Z，则x的值为—５，—４，—３，３，４，５，所以U＝{—５，—４，—３，３，４，５}．

又A＝{x|x２—２x—１５＝0}＝{—３，５}，

所以∁UA＝{—５，—４，３，４}，∁UB＝{—５，—４，５}．

法二：可用维恩图表示

则∁UA＝{—５，—４，３，４}，

∁UB＝{—５，—４，５}． 【答案】 （１）C （２）{—５，—４，３，４} {—５，—４，５}

错误!

求集合补集的策略

（１）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助维恩图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错．

（２）如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解．

若集合A＝{x|—１≤x<１}，当S分别取下列集合时，求∁SA.

（１）S＝R；

（２）S＝{x|x≤２}；

（３）S＝{x|—４≤x≤１}．

解：（１）把集合S和A表示在数轴上，如图所示，

由图知∁SA＝{x|x<—１或x≥１}．

（２）把集合S和A表示在数轴上，如图所示，

由图知∁SA＝{x|x<—１或１≤x≤２}．

（３）把集合S和A表示在数轴上，如图所示，

由图知∁SA＝{x|—４≤x<—１或x＝１}．

集合交、并、补的综合运算

（１）（２0１9·长沙检测）已知全集U＝{１，２，３，４，５，6，7，8}，集合A＝{２，３，５，6}，集合B＝{１，３，４，6，7}，则集合A∩（∁UB）＝（ ）

A．{２，５} B．{３，6} C．{２，５，6} D．{２，３，５，6，8}

（２）已知全集U＝R，A＝{x|—４≤x<２}，B＝{x|—１

【解】 （１）选Ａ．因为U＝{１，２，３，４，５，6，7，8}，B＝{１，３，４，6，7}，所以∁UB＝{２，５，8}．又A＝{２，３，５，6}，

所以A∩（∁UB）＝{２，５}．

（２）将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示，

因为A＝{x|—４≤x<２}，B＝{x|—１３}．

又P＝错误!，

所以（∁UB）∪P＝错误!.

又∁UP＝错误!，

所以（A∩B）∩（∁UP）

＝{x|—１

＝{x|0

１．（变问法）在本例（２）的条件下，求（∁UA）∩（∁UP）．

解：画出数轴，如图所示，

观察数轴可知（∁UA）∩（∁UP）＝错误!.

２．（变条件）将本例（２）中的集合P改为{x|x≤５}，且全集U＝P，A，B不变，求A∪（∁UB）．

解：画出数轴，如图所示，

观察数轴可知A∪（∁UB）＝{x|x<２或３

解决集合交、并、补运算的技巧

（１）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于维恩图来求解．

（２）如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．

已知全集U＝{x|x≤４}，集合A＝{x|—２

解：如图，

因为A＝{x|—２

B＝{x|—３≤x≤２}，

所以∁UA＝{x|x≤—２或３≤x≤４}，∁UB＝{x|x<—３或２

所以A∩B＝{x|—２

与补集相关的参数值（范围）的求解

设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|—２

【解】 由已知A＝{x|x≥—m}，得∁UA＝{x|x<—m}，

因为B＝{x|—２

在数轴上表示，如图，

所以—m≤—２，

即m≥２，

所以m的取值范围是m≥２．

（变条件）若将本例中的条件“（∁UA）∩B＝∅”改为“（∁UA）∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？

解：由已知得A＝{x|x≥—m}，

所以∁UA＝{x|x<—m}，又（∁UA）∩B≠∅，

所以—m>—２，解得m<２．

所以m的取值范围是m<２．

错误!

由集合的补集求解参数的方法

（１）由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．

（２）与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．

已知U＝R，区间A＝（—∞，—１），B＝（２a，a＋３），且B⊆∁RA，求实数a的取值范围．

解：由题意得∁RA＝[—１，＋∞），

１若B＝∅，则a＋３≤２a，即a≥３，满足B⊆∁RA；

２若B≠∅，则由B⊆∁RA，

得２a≥—１且２a

综上可得，实数a的取值范围是错误!.

１．已知全集U＝{１，２，３，４，５，6}，集合P＝{１，３，５}，Q＝{１，２，４}，则（∁UP）∪Q＝（ ）

Ａ．{１} Ｂ．{３，５}

Ｃ．{１，２，４，6} Ｄ．{１，２，３，４，５}

解析：选Ｃ．由题意得，∁UP＝{２，４，6}，

所以（∁UP）∪Q＝{１，２，４，6}．

故选Ｃ． ２．设全集U＝R，区间A＝（0，＋∞），B＝（１，＋∞），则A∩（∁UB）＝（ ）

Ａ．[0，１） B．（0，１]

Ｃ．（—∞，0） D．（１，＋∞）

解析：选B.因为∁UB＝（—∞，１]，

所以A∩（∁UB）＝（0，１]．

３．已知全集U＝{１，２，a２—２a＋３}，A＝{１，a}，∁UA＝{３}，则实数a等于（ ）

Ａ．0或２ B．0

Ｃ．１或２ D．２

解析：选Ｄ．由题意，知错误!得a＝２．

４．设全集为R，A＝{x|３≤x<7}，B＝{x|２

解：把集合A，B在数轴上表示如图，

由图知，A∪B＝{x|２

所以∁R（A∪B）＝{x|x≤２或x≥１0}，

因为∁RA＝{x|x<３或x≥7}，

所以（∁RA）∩B＝{x|２

[A 基础达标]

１．设集合U＝{１，２，３，４，５，6}，集合A＝{１，３，５}，B＝{３，４，５}，则∁U（A∪B）＝（ ）

Ａ．{２，6} Ｂ．{３，6}

Ｃ．{１，３，４，５} Ｄ．{１，２，４，6}

解析：选Ａ．由题知A∪B＝{１，３，４，５}，

所以∁U（A∪B）＝{２，6}．故选Ａ．

２．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥１}，则集合∁U（A∪B）＝（ ）

Ａ．{x|x≥0} Ｂ．{x|x≤１}