高考复习指导讲义第六章排列组合.docx
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高考复习指导讲义第六袁排列组合、二项式定理
一、 考纲要求
1. 掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.
2. 理解排列、组合的意义，掌握排列数、纟fl合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简 单的问题.
3. 掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.
二、 知识结构
厂加法原理、乘法原理
r排列数
排列］ J 排列数应用,
］ 组合数 排列组合综合应用
组合］ 」
1合数应用
I二项式定理
三、 知识点、能力点提示
（一） 加法原理乘法原理
说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供 了理论根据.
例1 5位高小毕业牛，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种？
解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法, 根据乘法原理，得到不同报名方法总共有
3X3X3X3X3 二 3吐种）
（二） 排列、排列数公式
说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的 方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选 择题或填空题考查.
例2 A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有（）
A. 60 种 B. 48 种 C. 36 种 D. 24 种
解：根据题的条件可知，A、B必须相邻fl. B在A的右•边，所以先将A、B两人捆起来看成一个人参加 排列，即是4个人在4个位置上作排列，故总的排法有
P14X3X2X1二24（种）.
可知此题应选D.
例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标 号与所填的数字均不同的填法有多少种？
解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即2143, 3142,
4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此 共有填法为
3P>9 （种）.
（三） 组合、组合数公式、组合数的两个性质
说明 历届高考均冇这方面的题冃出现，主要考查排列组合的应用题，月•棊木上都是由选择题或填空
题考查. 例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同 的取法共冇（）
A. 140 种 B. 84 种 C. 70 种 D. 35 种
解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有Cl・C；种；甲型2台乙型1台的取法有Cl・C；
种
根据加法原理对得总的取法有
C24 • C25+C24 • C‘5=40+30=70 (种)
可知此题应选C.
例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，内、丁公司各承
包2项，问共有多少种承包方式？
解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式C：种；
乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C；种；
丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程屮选出2项工程的方式有C)种；
丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C：种.
8x7x6 4x3
根据乘法原理可得承包方式的种数WC^XC^XC^XC^ X5X — X 1 = 1680(种). 3x2x1 2x1
(四) 二项式定理、二项展开式的性质
说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幕的展开法则，在数学屮它是常用的基础知识，从1985 年至1998年历届高考均有这方面的题口出现，主耍考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或 填空题.
例6在(X2+3X+2)5的展开式中x的系数为( )
A. 160 B. 240 C. 360 D. 800
解：V (X2+3X+2)5
=C°5 (X2+3X) 5+Cl (X2+3X) 4 X 2 +C25 (X2+3X) 3 X 22+C35 (x2+3x)2 X 23+C45 (x2+3x) X 24+C55 X 25.
在展开式中只有Cl5(x2+3x) X2‘才含有x,其系数为
C%X3X24=5X 3X16=240.
故此题应选B.
例7 (x-l)-(x-l)2+ (x-l)3-(x-l) + (x-l)"的展开式中的x，的系数等于 _________________
解：此题可视为首项为x-l,公比为-(x-l)的等比数列的前5项的和，则其和为
(X+1)[1 +(X_1)1(X・1) +(X・1)6
l + (x・l) X
在(X-1)6中含/的项是CW(-1)3=-20X3,因此展开式中/的系数是-20.
(五) 综合例题赏析
例 8 若(2X+A/3 )4=ao+a]X+a2x2+a3X3+a4X4,则(血+出+创尸-倚+為)'的值为( )
A. 1 B.-l C. 0 D. 2
解：A.
例9把6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法共有( )
A. 126 种 B.84 种 C. 35 利| D.2"p
解：此种排法相当于6个元素的全排列，6! =720.
・•・应选C.
例10从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要冇卬型与乙型电视机各1台，则不同
取法共有() A. 140 种 B.84 种 C. 70 种 D. 35 种
解：取出的3台电视机屮，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.
VC24 ・ +C25 • C^SX 6+10X4=70.
・・・应选c. 例11某小组共冇10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少冇1名女生当选的不同选法冇
A.27 种 B.48 种 C.21 种
解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类：
VC's ・ C^+CMX7+3=24,
・•・应选D.
例12由数学0,1,2, 3, 4, 5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）.
A.210 个 B. 300 个 C. 464 个 D. 600 个
解：先考虑可纽成无限制条件的六位数有多少个?应有P：・P>600个.
山对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半.
・•・有丄X 600=300个符合题设的六位数. 应选B. 2
例13以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）•
A. 70 个 B. 64 个 C. 58 个 D. 52 个
解：如图，正方体有8个顶点，任取4个的组合数为O70个.
其屮共面四点分3类：构成侧面的有6组；构成垂直底面的对角面的有2组；形如（ADBQ）的冇4组. ・・・能形成四面体的有70-6-2-4=58 （组）
应选C.
例14如果把两条界而直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，杲面直线共有（ A. 12 对 B. 24 对 C. 36 对 D. 48 对
解：设正六棱锥为0—ABCDEF.
任取一侧棱0A©）则0A与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对.
・・・共冇C,X4二24对片面直线.
应选B.
例15正六边形的屮心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共—个（以数字作答）.
解：7点中任取3个则有07=35组.
其屮三点共线的侑3组（正六边形有3条玄径）.
・・・三角形个数为35-3=32个.
例16同室四人各写一张贺年卡，先集屮起来，然后每人从屮拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年
卡不同的分配方式有（ ）
A. 6 利| B. 9 利| C. 11 利| D. 23 利】
解：设2143表示笫一人拿笫二人的卡、笫二人拿笫一人的卡，笫三人拿笫四人的卡，笫四人拿笫三
人的卡，它是符合题设的分配方法.
第一人只能拿二、三、四人的卡之一（P；）.
设第一人拿的是第二人的卡，则2143,2341,2413是全部可能的分配方式，计3种，共有P 1 3 -3=9
种不同的分配方式・・.应选B.
例17在50件产品中有4件是次品，从中任意抽了 5件，至少有3件是次品的抽法共 ________ 种（用
数字作答）.
解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次胡”.
.\C34 • C216+C\ • ^46=4186（种）
例18有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三 项任务，不同的选法共有（ ）• D. 24 种
). A. 1260 种 B. 2025 种 C. 2520 种 D. 5040 种
解：先从10人屮选2个承担任务甲（C210） 再从剩余8人屮选1人承担任务乙（C0
又从剩余7人中选1人承担任务乙（6*7）
・••有C爲・C；CA2520（种）.
应选C.
例19用1, 2, 3, 4, 5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，具屮偶数共有（ ）・
A. 24 个 B. 30 个 C. 40 个 D. 60 个
解：末位数字只能是2或4（PlJ
剩下四个数字考虑顺序任取其2 （P2.）,
・・・共有P： • P\=24个偶数.
应选A.
例20 假设在200件产品屮有3件是次吊，现在从屮任意抽取5件，其屮至少有两件次品的抽法有
（ ）.
A. C„7 种 B. C〈C爲7+C：C爲7 C. C52OO—C5]97 D. cloi）-c\c'】97
解：5件中恰有二件为次品的抽法为C；C爲7,
5件中恰三件为次品的抽法为C3aC2197,
至少有两件次占占的抽法为c^c'^+Cc%.
应选B.
例21两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一个座位），则不同 座法的总数是（ ）•
A. C5sC3s B. P,ClC‘8 C. P5sP3s D. P88
解：对于8个人的任意一个排列均可“按先而排从左到右再后排从左到右”的次序入座.
・•・应冇W种不同的入座法.
应选D.
例22 7人并排站成一•行，如果甲、乙必须不相邻，那么不同排法的总数是（ ）.
A. 1440 B. 3600 C. 4320 D. 4800
解：7人的全排列数为P：
若甲乙必须相邻则不同的排列数为P22P66.
・・・甲乙必须不相邻的排列数为P77-P22P66=5P6e=3600.
应选B.
例23甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁各承包2
项，问共有多少种承包方式？
解：甲（d乙©）〜丙©）.
・••冇C^C^C2F1680种承包方式.
例24用1, 2, 3, 4,四个数字组成没有重复的四位奇数的个数是 ___________ 个（用具体数字作答）.
解：末位数©）,前三位数（P33）.
・••有C；咛12个四位奇数.
例25用1, 2, 3, 4,四个数字组成的比1234人的数共有 __________ 个（用具体数字作答）.
解：若无限制,则可组成4! =24个四位数,其中1234不合题设.
・••有24-1=23个符合题设的数.
例26用0, 1, 2, 3, 4这五个数字纟H.成没有重复数字的四位数，那么在这些四位数屮，是偶数的总 共有（ ）.
