2014-2015学年福建省莆田市仙游一中等三校联考高一(上)期末数学试卷

2014-2015学年福建省泉州市南安一中高一（上）期末数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 已知直线经过点A(0, 4)和点B(1, 2)，则直线AB的斜率为( )A.−2B.3C.不存在D.22. 圆x2+y2−2x＝0和x2+y2+4y＝0的位置关系是（）A.外切B.相离C.内切D.相交3. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n // α，则m⊥n②若α // β，β // γ，m⊥α，则m⊥γ③若m // α，n // α，则m // n④若α⊥γ，β⊥γ，则α // β其中正确命题的序号是()A.②和③B.①和②C.③和④D.①和④4. 如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A，B，C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于()A.60∘B.45∘C.90∘D.120∘5. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A.92B.2C.32D.36. 已知a、b是两条异面直线，c // a，那么c与b的位置关系（）A.一定是相交B.一定是异面C.不可能垂直D.不可能平行7. 自点A(3, 5)作圆C：(x−2)2+(y−3)2=1的切线，则切线的方程为（）A.3x−4y+11=0B.3x+4y−29=0C.y=3或3x−4y+11=0D.x=3或3x−4y+11=08. 如图，O′A′B′C′为四边形OABC的斜二测直观图，则原平面图形OABC是( )A.等腰梯形B.直角梯形C.不可能是梯形D.非直角且非等腰的梯形9. k是直线l的斜率，θ是直线l的倾斜角，若30∘<θ<90∘，则k的取值范围是（）A.√33<k<1 B.0<k<√33C.k<√33D.k>√3310. 两圆相交于点A(1, 3)、B(m, −1)，两圆的圆心均在直线x−y+c＝0上，则m+c的值为（）A.2B.−1C.3D.011. 在体积为15的斜三棱柱ABC−A1B1C1中，S是C1C上的一点，S−ABC的体积为3，则三棱锥S−A1B1C1的体积为（）A.32B.1C.2D.312. 若动点A(x1, y1)，B(x2, y2)分别在直线l1:x+y−7=0和l2:x+y−5=0上移动，点N在圆C:x2+y2= 8上移动，则AB中点M到点N距离|MN|的最小值为（）A.2(√3−√2)B.√2C.2√2D.√3二．填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．在空间直角坐标系o−xyz中，已知点A(1, −2, 1)，B(2, 1, 3)，点P在z轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为________．已知点A(1, 2)、B(3, 1)，则线段AB的垂直平分线的方程是________．过点(3, 1)作圆(x−2)2+(y−2)2=4的弦，其中最短的弦长为________．如图，三棱柱A1B1C1−ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列命题中：①CC1与B1E是异面直线；②AC⊥底面A1B1BA；③二面角A−B1E−B为钝角；④A1C // 平面AB1E．其中正确命题的序号为________．（写出所有正确命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．求经过直线l1:3x+4y−5=0与直线l2:2x−3y+8=0的交点M，且满足下列条件的直线方程.(1)与直线2x+y+5=0平行；(2)与直线2x+y+5=0垂直．如图，在底面是直角梯形的四棱锥S−ABCD中，∠ABC=90∘，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1．（1）求证：面SAB⊥面SBC；（2）求SC与底面ABCD所成角的正切值．如图中，图一的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在如图二画出（单位：cm），P为原长方体上底面A1B1C1D1的中心．（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图（直尺作图）；（2）以D为原点建立适当的空间直角坐标系（右手系），在图中标出坐标轴，并按照给出的尺寸写出点E，P 的坐标；（3）连接AP，证明：AP // 面EFG．已知圆C:x2+y2+4x+4y+m=0，直线l:x+y+2=0．（1）若圆C与直线l相离，求m的取值范围；（2）若圆D过点P(1, 1)，且与圆C关于直线l对称，求圆D的方程．如图1，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起为△D′AE，且平面D′AE⊥平面ABCE（如图2）．（1）求证：AD′⊥BE（2）求四棱锥D′−ABCE的体积；（3）在棱D′E上是否存在一点P，使得D′B // 平面PAC，若存在，求出点P的位置，不存在，说明理由．=√2，动点Q的轨迹为曲线C 已知直线l:y=kx−2，M(−2, 0)，N(−1, 0)，O为坐标原点，动点Q满足|QM||QN|（1）求曲线C的方程；（2）若直线l与圆O:x2+y2=2交于不同的两点A，B，当∠AOB=π时，求k的值；2，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否（3）若k=12过定点．参考答案与试题解析2014-2015学年福建省泉州市南安一中高一（上）期末数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.【答案】此题暂无答案【考点】斜率三州算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】圆与来的位德米系及米判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用空间验置且与脱面之间的位置关系空间使如得与平度之间的位置关系空间表直线擦直英之说的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】棱柱三实构特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】简单空间较形脱三视图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】空间表直线擦直英之说的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】圆的水射方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】斜二测来法画兴观图平面图射的直观初【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】正切函射的单调加直线于倾斜落直体的氯率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】圆与来的位德米系及米判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】柱体三锥州、台到的体建计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】轨表方擦直线和圆体方硫的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二．填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．【答案】此题暂无答案【考点】空间两点体的存离公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线的都特式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【答案】此题暂无答案【考点】过两较燥线自制的直线系方程直线的较般式划程皮直校的垂直关系直线的水根式方务式直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与正键所成的角平面与平明垂钾的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与平三平行定判定简单空间较形脱三视图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系圆的射纳方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线体平硫平行直线验周面垂直棱使、求族非棱台的体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】轨表方擦直线与都连位置关系圆锥曲三的综合度题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2014-2015学年福建省莆田市仙游一中高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）A． B． C． D．3．（5分）下列命题中是假命题的是（）A．∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•是幂函数，且在（0，+∞）上递减B．∀a＞0，函数f（x）=ln2x+lnx﹣a有零点C．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+sinβD．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数4．（5分）将函数y=f′（x）sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=1﹣2sin2x 的图象，则f（x）是（）A．2sinx B．cosx C．sinx D．2cosx5．（5分）（文）若sin（α﹣β）sinβ﹣cos（α﹣β）cosβ=，且α是第二象限的角，则=（）A．7 B．﹣7 C．D．6．（5分）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]8．（5分）函数y+1=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．89．（5分）已知向量，，满足||=4，||=2，与的夹角为，（﹣）•（﹣）=﹣1，则|﹣|的最大值为（）A．+B．+1 C．D．+110．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2﹣4||；当x＞1时，f（x）=af（x﹣1），a∈R，a为常数．下列有关函数f（x）的描述：①当a=2时，；②当|a|＜1，函数f（x）的值域为[﹣2，2]；③当a＞0时，不等式在区间[0，+∞）上恒成立；④当﹣1＜a＜0时，函数f（x）的图象与直线y=2a n﹣1（n∈N*）在[0，n]内的交点个数为n﹣．其中描述正确的个数有（）A．4 B．3 C．2 D．1二．填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时，f（x）=xe﹣x，则当x＞0时，f（x）=．12．（4分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）13．（4分）过函数f（x）=x3﹣3x上的点M（﹣2，﹣2）的切线方程是．14．（4分）在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足，，，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为．15．（4分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c取值范围为．三．解答题（本大题有5小题，共80分）16．（13分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，集合B为函数y=x2﹣2x+a的值域，集合C={x|x2﹣ax﹣4≤0}，命题p：A∩B≠∅；命题q：A⊆C．（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．17．（13分）叙述并证明余弦定理．18．（13分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．19．（13分）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．20．（14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设∠BOC=θ，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求θ的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．21．（4分）已知函数f（x）=x+，h（x）=．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣h（x），求F（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程log4[f（x﹣1）﹣]=log2h（a﹣x）﹣log2h（4﹣x）；（Ⅲ）试比较f（100）h（100）﹣与的大小．四、自主招生题：（10分，供学有余力的同学选做，可按实际得分加入本科目考试总分）22．（10分）求函数f（x）=+++++的最大值．2014-2015学年福建省莆田市仙游一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵•=，若a，b为零向量，显然成立；若⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选：C．2．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）A． B． C． D．【解答】解：=∴角α的终边在第四象限∵到原点的距离为1∴∴α的最小正值为故选：D．3．（5分）下列命题中是假命题的是（）A．∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•是幂函数，且在（0，+∞）上递减B．∀a＞0，函数f（x）=ln2x+lnx﹣a有零点C．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+sinβD．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数【解答】解：A中由幂函数的定义m﹣1=1，所以f（x）=x﹣1，在（0，+∞）上递减正确；B中函数f（x）=ln2x+lnx﹣a有零点⇔方程ln2x+lnx=a有解，而y=ln2x+lnx∈故a∈，所以结论正确；C中取时成立，故正确；D中φ=时，函数f（x）=sin（2x+φ）=cos（2x），是偶函数，故错误故选：D．4．（5分）将函数y=f′（x）sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=1﹣2sin2x 的图象，则f（x）是（）A．2sinx B．cosx C．sinx D．2cosx【解答】解：y=1﹣2sin2x=cos2x，向右平移个单位得y=cos2（x﹣）=cos（2x ﹣）=sin2x=2cosx•sinx的图象，就是函数y=f′（x）sinx的图象，故f′（x）=2cosx，∴f（x）=2sinx，故选：A．5．（5分）（文）若sin（α﹣β）sinβ﹣cos（α﹣β）cosβ=，且α是第二象限的角，则=（）A．7 B．﹣7 C．D．【解答】解：依题意，由得，又α是第二象限角，所以，，故选：C．6．（5分）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：对于①：[sin x•cos x]dx=（sinx）dx=﹣cosx=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x2﹣1）dx=（）≠0，∴f（x），g（x）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：x3dx=（）=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，故选：C．7．（5分）函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]【解答】解：对于f（x），有3≤x≤4，则0≤x﹣3≤1，令，则=∵，∴．函数的值域为[1，2]故选：D．8．（5分）函数y+1=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：函数y+1=可以化为y=，函数y1=与y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，当1＜x≤4时，y1≥，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（2，）上是单调增且为正数函数，y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（，3）上是单调减且为正数，∴函数y2在x=处取最大值为2≥，而函数y2在（1，2）、（3，4）上为负数与y1的图象没有交点，所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中C、D），根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（﹣2，1）上也有两个交点（图中A、B），并且：x A+x D=x B+x C=2，故所求的横坐标之和为4．故选：B．9．（5分）已知向量，，满足||=4，||=2，与的夹角为，（﹣）•（﹣）=﹣1，则|﹣|的最大值为（）A．+B．+1 C．D．+1【解答】解：设，，；以OA所在直线为x，O为坐标原点建立平面直角坐标系，∵||=4，||=2，与的夹角为，则A（4，0），B（2，2），设C（x，y）∵（﹣）•（﹣）=﹣1，∴x2+y2﹣6x﹣2y+9=0，即（x﹣3）2+（y﹣1）2=1表示以（3，1）为圆心，以1为半径的圆，|﹣|表示点A，C的距离即圆上的点与点A（4，0）的距离；∵圆心到A的距离为，∴|﹣|的最大值为，故选：D．10．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2﹣4||；当x＞1时，f（x）=af（x﹣1），a∈R，a为常数．下列有关函数f（x）的描述：①当a=2时，；②当|a|＜1，函数f（x）的值域为[﹣2，2]；③当a＞0时，不等式在区间[0，+∞）上恒成立；④当﹣1＜a＜0时，函数f（x）的图象与直线y=2a n﹣1（n∈N*）在[0，n]内的交点个数为n﹣．其中描述正确的个数有（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：由题意知，．在描述①中，由x＞1，将a=2及代入f（x）=af（x﹣1）中，得=，可知描述①正确．在描述②中，（1）若0＜a＜1，当0≤x≤1时，，其图象是一条折线段，当x＞1时，则f（x）的图象向右依次平移一个单位长度，且每条折线段的转折点到x轴的距离是上一条折线段的转折点到x轴距离的a倍，由知，0≤f（x）≤2．其图象如图1所示．（2）若a=0，则，此时亦有0≤f（x）≤2．（3）若﹣1＜a＜0，则f（x）的图象向右依次平移一个单位长度，每条折线段在x轴上下交替出现，且从第二段起，每条折线段的转折点到x轴的距离是上一条折线段的转折点到x 轴距离的|a|倍，此时，﹣2＜f（x）≤2．其图象如图2所示．综合（1），（2），（3）知，f（x）的值域为（﹣2，2]，所以描述②错．在描述③中，取a=44，，则，而＜1，故描述③错．在描述④中，由图2知，当n=1时，f（x）的图象与直线y=2a1﹣1即y=2在[0，1]内的交点个数为1，即；当n=2时，f（x）的图象与直线y=2a2﹣1即y=2a在[0，2]内的交点个数为1，即；当n=3时，f（x）的图象与直线y=2a3﹣1即y=2a2在[0，3]内的交点个数为3，即；当n=4时，f（x）的图象与直线y=2a4﹣1即y=2a3在[0，4]内的交点个数为3，即；…由此猜想：当﹣1＜a＜0时，函数f（x）的图象与直线y=2a n﹣1（n∈N*）在[0，n]内的交点个数为n﹣．现用数学归纳法证明之．（1）由上可知，当n=1时，猜想成立．（2）假设n=k时，猜想成立，即函数f（x）的图象与直线y=2a k﹣1（k∈N*）在[0，k]内的交点个数为k﹣．则当n=k+1时，如图2所示，若k为奇数，则交点个数与n=k时情形相同；若k为偶数，则交点个数在n=k时的基础上增加2个，所以当n=k+1时的交点个数在n=k时的基础上增加了1+（﹣1）k个，从而交点个数为=，得，即当n=k+1时，猜想也成立．综合（1），（2）知，猜想成立，所以描述④正确．故选：C．二．填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时，f（x）=xe﹣x，则当x＞0时，f（x）=xe x．【解答】解：∵x＞0，∴﹣x＜0，又x＜0时，f（x）=xe﹣x，∴f（﹣x）=﹣xe x，又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=xe x．故答案为：xe x．12．（4分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于60m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，AB=，根据正弦定理，，得BC===60m．故答案为：60m．13．（4分）过函数f（x）=x3﹣3x上的点M（﹣2，﹣2）的切线方程是y=﹣2和y=9x+16．【解答】解：设切点坐标为（t，t3﹣3t），∵f′（x）=3x2﹣3，∴切线斜率为3t2﹣3=3（t2﹣1），则切线方程为y﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（x﹣t），∵切线过点M（﹣2，﹣2），故坐标M满足切线方程，∴﹣2﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（﹣2﹣t），整理得2t3+6t2﹣8=（t+2）2（t﹣1）=0解得t=﹣2或t=1．当t=﹣2时，t3﹣3t=﹣2，3t2﹣3=9；当t=1时，t3﹣3t=﹣2，3t2﹣3=0；故切点为（﹣2，﹣2）时，切线斜率为9，则切线方程为y+2=9（x+2）；切点为（1，﹣2）时，切线斜率为0，则切线方程为y+2=0（x﹣1）；∴切线方程为9x﹣y+16=0或y=﹣2故答案为：9x﹣y+16=0或y=﹣2．14．（4分）在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足，，，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为1：3．【解答】解：由可得，∴==，∴=2∴P为线段AC的一个三等分点，同理可得Q、R分别AB，BC的一个三等分点，△PQR的面积为△ABC的面积减去三个小三角形面积，∴S=S△ABC﹣△PQR（++）=S△ABC﹣（×+×+×）=S△ABC﹣（S△ABC+S△ABC+S△ABC）=S△ABC∴所求的面积比为1：3，故答案为：1：315．（4分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c取值范围为（2e+，e2+2）．【解答】解：函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），如图，不妨设a＜b＜c，由已知条件可知：0＜a＜1＜b＜e＜c＜e2，∵﹣lna=lnb，∴ab=1∵lnb=2﹣1nc∴bc=e2，∴a+b+c=b+，（1＜b＜e），由（b+）′=1﹣＜0，故（1，e）为减区间，∴2e+＜a+b+c＜e2+2，∴a+b+c的取值范围是：（2e+，e2+2）．故答案为：（2e+，e2+2）．三．解答题（本大题有5小题，共80分）16．（13分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，集合B为函数y=x2﹣2x+a的值域，集合C={x|x2﹣ax﹣4≤0}，命题p：A∩B≠∅；命题q：A⊆C．（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+a﹣1≥a﹣1∴A={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={y|y≥a﹣1}，C={x|x2﹣ax﹣4≤0}，（1）由命题p为假命题可得A∩B=∅∴a﹣1＞2∴a＞3（2）∵命题p∧q为真命题命题∴p，q都为真命题即A∩B≠∅且A⊆C．∴解可得0≤a≤317．（13分）叙述并证明余弦定理．【解答】解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．证法一：如图，====b2﹣2bccosA+c2即a2=b2+c2﹣2bccosA同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；证法二：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0），∴a2=|BC|2=（bcosA﹣c）2+（bsinA）2=b2cos2A﹣2bccosA+c2+b2sin2A=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．18．（13分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，解得．…．（6分）（2）由已知可得f（x）=x+﹣2，所以，不等式f（2x）﹣k•2x≥0可化为2x+﹣2≥k•2x，可化为1+﹣2•≥k，令t=，则k≤t2﹣2t+1．因x∈[﹣1，1]，故t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上能成立．记h（t）=t2﹣2t+1，因为t∈[，2]，故h（t）max =h（2）=1，所以k的取值范围是（﹣∞，1]．…（14分）19．（13分）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=•+λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx ×2cosωx+λ=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z∴ω=+，又ω∈（，1）∴k=1时，ω=∴函数f（x）的最小正周期为=（2）∵f（）=0∴2sin（2××﹣）+λ=0∴λ=﹣∴f（x）=2sin（x﹣）﹣由x∈[0，]∴x﹣∈[﹣，]∴sin（x﹣）∈[﹣，1]∴2sin（x﹣）﹣=f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]故函数f（x）在区间[0，]上的取值范围为[﹣1﹣，2﹣]20．（14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设∠BOC=θ，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求θ的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．【解答】解：（1）梯形ABCD的面积S==sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，）．…（2分）体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）．…（3分）（2）V′（θ）=10（2cos2θ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．令V′（θ）=0，得cosθ=，或cosθ=﹣1（舍）．∵θ∈（0，），∴θ=．…（5分）当θ∈（0，）时，＜cosθ＜1，V′（θ）＞0，V（θ）为增函数；当θ∈（，）时，0＜cosθ＜，V′（θ）＜0，V（θ）为减函数．…（7分）∴当θ=时，体积V最大．…（8分）（3）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=20（cosθ+2sin+1），θ∈（0，）．侧∴表面积S=2（siθcosθ+sinθ）+20（cosθ+2sin+1），θ∈（0，）．…（10分）设g（θ）=cosθ+2sin+1，θ∈（0，）．∵g（θ）=﹣2sin2+2sin+2，∴当sin=，即q=时，g（q）最大．…（12分）又由（2）知θ=时，sinθcosθ+sinθ取得最大值，∴θ=时，木梁的表面积S最大．…（13分）综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大．…（14分）21．（4分）已知函数f（x）=x+，h（x）=．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣h（x），求F（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程log4[f（x﹣1）﹣]=log2h（a﹣x）﹣log2h（4﹣x）；（Ⅲ）试比较f（100）h（100）﹣与的大小．【解答】解：（Ⅰ）由F（x）=f（x）﹣h（x）=x+﹣（x≥0）知，F′（x）=，令F′（x）=0，得x=．当x∈（0，）时，F′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，F′（x）＞0．故x∈（0，）时，F（x）是减函数；故x∈（，+∞）时，F（x）是增函数．F（x）在x=处有极小值且F（）=．（Ⅱ）原方程可化为log4（x﹣1）+log2 h（4﹣x）=log2h（a﹣x），即log2（x﹣1）+log2=log2，⇔⇔①当1＜a≤4时，原方程有一解x=3﹣；②当4＜a＜5时，原方程有两解x=3；③当a=5时，原方程有一解x=3；④当a≤1或a＞5时，原方程无解．（Ⅲ）设数列{a n}的前n项和为s n，且s n=f（n）g（n）﹣从而有a1=s1=1．当2＜k≤100时，a k=s k﹣s k﹣1=，a k﹣=[（4k﹣3）﹣（4k﹣1）]==＞0．即对任意的2＜k≤100，都有a k＞．又因为a1=s1=1，所以a1+a2+a3+…+a100＞=h（1）+h（2）+…+h（100）．故f（100）h（100）﹣＞．四、自主招生题：（10分，供学有余力的同学选做，可按实际得分加入本科目考试总分）22．（10分）求函数f（x）=+++++的最大值．【解答】解：设：）a1+a2+a3+a4+a5+a6=（f（x），f（x））|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|=所以：当且仅当：==即sinx=0，即x=kπ时，函数第21页（共21页）。

2014-2015学年福建省漳州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．（5.00分）下列式子中，不正确的是（）A．3∈{x|x≤4}B．{﹣3}∩R={﹣3} C．{0}∪∅=∅D．{﹣1}⊆{x|x＜0} 2．（5.00分）如果和是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（）A．= B．•=1 C．2≠2D．||2=||23．（5.00分）函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域为（）A．[0，1） B．（0，1） C．（0，1]D．[0，1]4．（5.00分）与﹣463°终边相同的角可以表示为（k∈Z）（）A．k•360°+463° B．k•360°+103° C．k•360°+257° D．k•360°﹣257°5．（5.00分）已知a，b∈R，若a＞b，则下列不等式成立的是（）A．lga＞lgb B．0.5a＞0.5b C．D．6．（5.00分）已知向量，满足||=||=2，与的夹角为120°，则|﹣|的值为（）A．1 B．C．D．127．（5.00分）函数f（x）=3x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（1，2） B．（0，1） C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，0）8．（5.00分）已知函数，则它的一条对称轴方程为（）A．B．x=0 C．D．9．（5.00分）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（）A．向左平移个单位纵坐标不变B．向左平移个单位纵坐标不变C．向右平移个单位纵坐标不变D．向右平移个单位纵坐标不变10．（5.00分）函数f（x）=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．11．（5.00分）sinπ+cosπ的值是（）A．4 B．1 C．﹣4 D．﹣112．（5.00分）已知函数f（x）=x，g（x）为偶函数，且当x≥0时，g（x）=x2﹣2x．记．给出下列关于函数F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R）的说法：①当x≥3时，F（x）=x2﹣2x；②函数F（x）为奇函数；③函数F（x）在[﹣1，1]上为增函数；④函数F（x）的最小值为﹣1，无最大值．其中正确的是（）A．①②④B．①③④C．①③D．②④二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（4.00分）已知函数f（x）的定义域和值域都是{1，2，3，4，5}，其对应关系如下表所示，则f（f（4））=．x12345f（x）5431214．（4.00分）已知向量=（3，1），=（x，﹣3），若⊥，则x=．15．（4.00分）16．（4.00分）设定义在R上的函数f（x）满足：f（tanx）=，则f（2）+f （3）+…+f（2015）+f（）+f（）+…+f（）=．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12.00分）已知tanα=﹣2，求：α的值．18．（12.00分）已知二次函数f（x）满足：f（0）=f（1）=1，且．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）在的值域．19．（12.00分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最值及取得最值时自变量x的取值．20．（12.00分）某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商品可分别获得y1，y2万元的利润，利润曲线P1，P2如图所示．问怎样分配投资额，才能使投资获得最大利润？21．（12.00分）已知f（α）=．（Ⅰ）化简f（α）；（Ⅱ）若f（α）=﹣cosα，且α∈（0，π），求sinα﹣cosα的值．22．（14.00分）已知函数为奇函数．（Ⅰ）若f（1）=5，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当a=﹣2时，不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，求实数t的最小值；（Ⅲ）当a≥1时，求证：函数g（x）=f（2x）﹣c（c∈R）在（﹣∞，﹣1]上至多有一个零点．2014-2015学年福建省漳州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．（5.00分）下列式子中，不正确的是（）A．3∈{x|x≤4}B．{﹣3}∩R={﹣3} C．{0}∪∅=∅D．{﹣1}⊆{x|x＜0}【解答】解：对于A，3≤4，故A正确对于B，{﹣3}∩R={﹣3}，故B正确对于C，{0}∪∅={0}，故C错误对于D，﹣1＜0，故D正确故选：C．2．（5.00分）如果和是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（）A．= B．•=1 C．2≠2D．||2=||2【解答】解：∵和是两个单位向量，∴．故选：D．3．（5.00分）函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域为（）A．[0，1） B．（0，1） C．（0，1]D．[0，1]【解答】解：要使函数f（x）的解析式有意义，得：解得：0≤x＜1；所以原函数的定义域是：[0，1）．故选：A．4．（5.00分）与﹣463°终边相同的角可以表示为（k∈Z）（）A．k•360°+463° B．k•360°+103° C．k•360°+257° D．k•360°﹣257°【解答】解：与﹣463°终边相同的角可以表示为：k•360°﹣463°，（k∈Z）即：k•360°+257°，（k∈Z）故选：C．5．（5.00分）已知a，b∈R，若a＞b，则下列不等式成立的是（）A．lga＞lgb B．0.5a＞0.5b C．D．【解答】解：对于A．取a=﹣1，b=﹣2，无意义，不正确；对于B．∵a＞b，∴0.5a＜0.5b，不正确；对于C．取a=﹣1，b=﹣2，无意义，不正确；对于D．由于函数f（x）=在R上单调递增，又a＞b，因此，正确．故选：D．6．（5.00分）已知向量，满足||=||=2，与的夹角为120°，则|﹣|的值为（）A．1 B．C．D．12【解答】解：由向量与的夹角为120°，||=||=2，则=2×2×cos120°=﹣2，即有||====2．故选：B．7．（5.00分）函数f（x）=3x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（1，2） B．（0，1） C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，0）【解答】解：易知函数f（x）=3x+x﹣2在R上单调递增且连续，且f（0）=1+0﹣2=﹣1＜0，f（1）=3+1﹣2=2＞0；故函数f（x）=3x+x﹣2的零点所在的一个区间是（0，1）；故选：B．8．（5.00分）已知函数，则它的一条对称轴方程为（）A．B．x=0 C．D．【解答】解：由2x+=kπ+，得x=+（k∈Z），令k=0，得x=，∴它的一条对称轴方程为x=，故选：C．9．（5.00分）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（）A．向左平移个单位纵坐标不变B．向左平移个单位纵坐标不变C．向右平移个单位纵坐标不变D．向右平移个单位纵坐标不变【解答】解：将函数的图象上所有点向左平移个单位纵坐标不变，可得函数y=sin（x+）=sin（+）=cos（﹣）=cos（﹣）的图象，故选：A．10．（5.00分）函数f（x）=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=a x﹣，为减函数，当a＞1时，函数f（x）=a x﹣，为增函数，且当x=﹣1时f（﹣1）=0，即函数恒经过点（﹣1，0），故选：D．11．（5.00分）sinπ+cosπ的值是（）A．4 B．1 C．﹣4 D．﹣1【解答】解：sinπ+cosπ=====﹣4．故选：C．12．（5.00分）已知函数f（x）=x，g（x）为偶函数，且当x≥0时，g（x）=x2﹣2x．记．给出下列关于函数F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R）的说法：①当x≥3时，F（x）=x2﹣2x；②函数F（x）为奇函数；③函数F（x）在[﹣1，1]上为增函数；④函数F（x）的最小值为﹣1，无最大值．其中正确的是（）A．①②④B．①③④C．①③D．②④【解答】解：因为函数f（x）=x，g（x）为偶函数，且当x≥0时，g（x）=x2﹣2x，所以g（x）=x2﹣2|x|，F（x）=，所以当x≥3时，F（x）=x2﹣2x，即①对；因为F（x）的图象不关于原点对称，所以函数F（x）不为奇函数，即②错；由图象知函数F（x）在[﹣1，3]上是增函数，所以在[﹣1，1]上是增函数，即③对；由图象易知函数F（x）的最小值为F（﹣1）=﹣1，无最大值．即④对．故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（4.00分）已知函数f（x）的定义域和值域都是{1，2，3，4，5}，其对应关系如下表所示，则f（f（4））=5．x12345f（x）54312【解答】解：∵函数f（x）的定义域和值域都是{1，2，3，4，5}，由其对应关系表得到f（4）=1，f（1）=5，∴f（f（4））=f（1）=5，故答案为：5．14．（4.00分）已知向量=（3，1），=（x，﹣3），若⊥，则x=1．【解答】解：由=（3，1），=（x，﹣3），若⊥，则=0，即为3x﹣3=0，解得，x=1．故答案为：115．（4.00分）【解答】解：由图象可得A=1，周期T满足==﹣，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），又图象过点（，﹣1），∴﹣1=sin（+φ），又∵，∴φ=∴所求函数的解析式为：f（x）=sin（2x+）故答案为：f（x）=sin（2x+）16．（4.00分）设定义在R上的函数f（x）满足：f（tanx）=，则f（2）+f （3）+…+f（2015）+f（）+f（）+…+f（）=0．【解答】解：∵f（tanx）==，∴f（x）=，f（）===∴f（x）+f（）=0∴f（2）+f（3）+…+f（2015）+f（）+f（）+…+f（）=0故答案为：0三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12.00分）已知tanα=﹣2，求：α的值．【解答】解：∵tanα=﹣2，∴原式=+cos2α=+=+=+=1．18．（12.00分）已知二次函数f（x）满足：f（0）=f（1）=1，且．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）在的值域．【解答】解：（Ⅰ）【解法一】设f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），由已知得，解得a=1，b=﹣1，c=1，∴f（x）=x2﹣x+1；【解法二】∵f（0）=f（1）=1，且，∴f（x）的对称轴是，顶点为，∴设，∵，解得a=1；∴；（Ⅱ）∵f（x）=x2﹣x+1的对称轴是，且，，f（2）=4﹣2+1=3，∴f（x）的值域为．19．（12.00分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最值及取得最值时自变量x的取值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴f（x）的最小正周期．由，得，∴f（x）的单调增区间为．（Ⅱ）∵，∴，∴当，即时，f（x）min=﹣2，∴当，即x=0时，．20．（12.00分）某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商品可分别获得y1，y2万元的利润，利润曲线P1，P2如图所示．问怎样分配投资额，才能使投资获得最大利润？【解答】解：由图可得，（x≥0），，（x≥0），设用x万元投资甲商品，那么投资乙商品为（10﹣x）万元，总利润为y万元．，（0≤x≤10）当且仅当即时，答：用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润．（也可把投资乙商品设成x万元，把投资甲商品设成（10﹣x）万元）21．（12.00分）已知f（α）=．（Ⅰ）化简f（α）；（Ⅱ）若f（α）=﹣cosα，且α∈（0，π），求sinα﹣cosα的值．【解答】解：（Ⅰ）（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（α）=sinα，∴，即，两边平方得，∴又α∈（0，π），则，∴sinα﹣cosα＞0由，故22．（14.00分）已知函数为奇函数．（Ⅰ）若f（1）=5，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当a=﹣2时，不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，求实数t的最小值；（Ⅲ）当a≥1时，求证：函数g（x）=f（2x）﹣c（c∈R）在（﹣∞，﹣1]上至多有一个零点．【解答】解：（Ⅰ）∵函数为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即，∴b=0，又f（1）=4+a+b=5，∴a=1∴函数f（x）的解析式为．（Ⅱ）a=﹣2，．∵函数在[1，4]均单调递增，∴函数f（x）在[1，4]单调递增，∴当x∈[1，4]时，．∵不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，∴，∴实数t的最小值为．（Ⅲ）证明：，设x1＜x2≤﹣1，=，∵x 1＜x 2≤﹣1， ∴，∵a ≥1，即﹣a ≤﹣1， ∴，又，∴g （x 1）﹣g （x 2）＞0，即g （x 1）＞g （x 2）， ∴函数g （x ）在（﹣∞，﹣1]单调递减，又c ∈R ，可知函数g （x ）在（﹣∞，﹣1]上至多有一个零点．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m naa a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义 函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

2014-2015学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个答案中有且只有一个答案是正确的）1. 计算机执行如图的程序段后，输出的结果是（）A.1B.2C.3D.−22. 气象台预报“厦门市明天降雨的概率是80%”，下列理解正确的是（）A.厦门市明天将有80%的地区降雨B.厦门市明天将有80%的时间降雨C.明天出行不带雨具肯定要淋雨D.明天出行不带雨具淋雨的可能性很大3. 如图，在一个边长为2的正方形中有一封闭的“★”型阴影区域，向正方形中随机撒入200粒豆子，若恰有40粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为（）A.2 5B.45C.65D.1854. 如图，样本A和B分别来自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A¯和x B¯，样本标准差分别为S A和S B，则下列结论正确的是（）A.x A¯>x B¯，S A>S BB.x A¯>x B¯，S A<S BC.x A¯<x B¯，S A>S BD.x A¯<x B¯，S A<S B5. 执行如图所示的程序框图，则输出的S为（）A.3B.7C.10D.166. 已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则以下命题正确的是（）A.若m // n，n⊂α，则m // αB.若m // α，m // β，则α // βC.若m // α，n // α，则m // nD.若m // α，m⊂β，α∩β=n，则m // n7. 函数f(x)＝x2ln|x|的图象大致是（）B ．A. C.D.8. 某产品的广告费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表（一个数据上有污渍）：已知该公司根据原有统计数据（没有污渍前）得线性回归方程y ̂=9.4x +9.1，则污渍部分的数据是（ ）A.50B.52C.54D.589. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(−∞, 0]上是增函数，设a =f(log 47)，b =f(log 23)，c =f(0.20.6)，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.c <b <a B.b <c <aC.b <a <cD.a <b <c10. 已知函数f(x)=a(x −1)3+bx +c(a ∈R, b, c ∈Z)，对于取定的一组a ，b ，c 的值，若计算得到f(−1)=2，则f(3)的值一定不能等于（ ） A.4B.3C.2D.0二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）某商场对新进300袋奶粉采用系统抽样的方法，从中抽取20袋进行检查，先将所有奶粉从1∼300编号，按编号顺序平均分成15组（1∼20号，21∼40号，…，281∼300号），若第1组抽出的号码是6，则第3组抽出的号码为________．将二进制数10011（2）化为十进制数等于________．投掷一颗质地均匀的骰子两次，记向上一面的点数分别为a ，b ，则事件“a +b >4”发生的概率为________．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．已知函数f(x)={x +1,x >0−2x+1，x ≤0，如果f(a)+f(1)=0，则实数a 的值等于________．设方程2x +x +2=0和log 2x +x +2=0的根分别为p 和q ，凼数f(x)=(x +p)(x +q)，则关于x 的不等式f(x 2+2x +2)<f(0)的解集是________．三、解答题（本大题共6小题，共76分，解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）实数R ，集合A ={x|−1≤x <3}，B ={x|2x −4≥0}． （1）求∁R (A ∩B)；（2）若集合C ={x|y =log 2(x −a)}，且满足B ∪C =C ，求实数a 的取值范围．某甲计划到厦门探亲访友，有三种方式（动车、汽车、飞机）直达厦门，已知甲选择乘坐动车或汽车到厦门的概率为0.6，选择乘坐汽车到厦门的概率为0.3． （1）求甲不选择乘坐动车的概率；（2）甲选择哪种方式到厦门的可能性最大？写出理由．某校高一（1）班的一次数学考试成绩（满分为100分）的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图，解答下列问题：（1）求分数在[80, 90)的频率；（2）若用分层抽样的方法从分数在[50, 70)的试卷中任取9份分析无谓失分情况，求在[50, 60)中应抽取多少份？（3）从分数在[90, 100)的学生中选2名同学作经验介绍，请列出所有基本事件，并求成绩为99分的同学被选中的概率．如图是一个长方体ABCD−A1B1C1D1被一个平面截去一部分后，所得多面体的直观图，已知AB=6，AD=AA1=4，BE=CF=2．（1）若点M的棱DD1的中点，求证：BM // 平面A1EFD；（2）求此多面体的体积．某地区二手车的收购市场只收购使用10年（含）以内的车，且二手车的收购价计算方式如下：前四年每年递减新车购买总价的15%；从第五年开始，每年的收购价是上一年收购价的23（超过n年不到n+1年的按n+1年计算，0<n<10，n∈N），某人在2014年元旦以25万元的总价购买了一辆新车．（1）若此人在2017年5月卖车，则此人得到的卖车款是多少万元？（2）写出卖车款y（万元）关于新车购买后x（年）的函数关系；（3）若此人想得到不低于4万元的卖车款，则最迟应该在哪年卖车？（参考公式：loga b=log c blog c a，其中a>0且a≠1，c>0，且c≠1，b>0；参考数据lg2≈0.3，lg3≈0.5）已知定义在R上的函数f(x)=x+nx2+1为奇函数．（1）求实数n的值；（2）设函数g(x)=x2−2λx−2λ，若对于任意x1∈[0, 1]，总存在x2∈[0, 1]，使得g(x2)>f(x1)成立，求实数λ的取值范围；（3）请指出方程|f(x)|=log12|x|有几个实数解，并说明理由．参考答案与试题解析2014-2015学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个答案中有且只有一个答案是正确的）1.【答案】A【考点】伪代码【解析】模拟程序语言的运算过程，即可得出程序运行后输出的结果是什么．【解答】解：模拟程序语言的运算过程，如下；a=1，b=3，a=a+b=1+3=4，b=a−b=4−3=1，输出b=1．故选：A．2.【答案】D【考点】概率的意义【解析】“厦门市明天降雨的概率是80%”，是指“厦门市明天降雨的可能性达到80%”，由此分析四个选项，能求出正确结果．【解答】解：“厦门市明天降雨的概率是80%”，是指“厦门市明天降雨的可能性达到80%”，由此得到选项A、B、C均不正确，选项D正确．故选：D．3.【答案】B【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】先求出正方形的面积为4，由几何概型的概率知落在阴影区域内的豆子数与200粒豆子的比值等于阴影部分面积与正方形的面积的比．【解答】解：由题意，豆子落在阴影部分的数量与全部数量的比值恰好是阴影部分的面积与正方形的面积比，所以S阴影S正方形=40200，即S阴影4=15，所以S阴影=45．故选B.4.【答案】C【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】由图可知样本A的数据均不大于8，而样本B的数据均不小于8；A中数据波动程度较大，B中数据较稳定．由此能求出结果．【解答】解：∵样本A的数据均不大于8，而样本B的数据均不小于8，∴x A¯<x B¯，由图可知A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，∴S A>S B．故选：C．5.【答案】B【考点】程序框图【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=16时，不满足条件k<10，退出循环，输出S的值为7．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=1满足条件k<10，S=1，k=2满足条件k<10，S=2，k=4满足条件k<10，S=4，k=8满足条件k<10，S=7，k=16不满足条件k<10，退出循环，输出S的值为7．故选：B．6.【答案】D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】利用线面平行的性质定理和判定定理对四个选项分别分析解答． 【解答】解：对于A ，若m // n ，n ⊂α，则m 可能在α内；故A 错误； 对于B ，若m // α，m // β，则α与β可能相交；故B 错误；对于C ，若m // α，n // α，则m 与n 的位置关系可能为相交、平行或者异面；故C 错误；对于D ，若m // α，m ⊂β，α∩β=n ，根据线面平行的性质定理可以得到m // n ；故D 正确； 故选D ． 7.【答案】 D【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】利用函数的奇偶性以及特殊点的坐标所在位置判断即可． 【解答】函数f(x)＝x 2ln |x|可知：f(−x)＝x 2ln |−x|＝x 2ln |x|＝f(x)，函数是偶函数，排除选项A 、C ； 当x ＝e 时，函数的图象经过(e, e 2)，是第一象限的点． 显然B 不满足题意． 8.【答案】 C【考点】求解线性回归方程 【解析】根据线性回归直线过样本中心点，即可求出m 的值． 【解答】解：设污渍部分的数据是m ， 由题意，x ¯=4+2+3+54=3.5，代入y ̂=9.4x +9.1，可得y ¯=42，∴ 14(49+26+39+m)=42，解得m =54． 故选C ．9. 【答案】 C【考点】对数值大小的比较 奇偶性与单调性的综合 函数奇偶性的性质 函数单调性的性质 【解析】由f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(−∞, 0]上是增函数，可得出自变量的绝对值越小，函数值越大，由此问题转化为比较自变量的大小，问题即可解决． 【解答】解：f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(−∞, 0]上是增函数， 得到函数在(0, +∞)上是减函数，由于0<0.20.6<1<log 47<log 49=log 23， 可得b <a <c . 故选C ． 10. 【答案】 B【考点】 函数的求值 【解析】由已知求出f(−1)和f(3)，由b ，c ∈Z ，得f(−1)+f(3)的值为偶数，由此根据f(−1)=2，得到f(3)的值一定不能是奇数． 【解答】解：∵ 函数f(x)=a(x −1)3+bx +c(a ∈R, b, c ∈Z)，对于取定的一组a ，b ，c 的值，若计算得到f(−1)=2，∴ f(−1)=−8a −b +c ，f(3)=8a +3b +c ， ∴ f(−1)+f(3)=2(b +c)，∵ b ，c ∈Z ，∴ f(−1)+f(3)的值为偶数， ∵ f(−1)=2，∴ f(3)的值一定不能是奇数， 故选：B ．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）【答案】 36【考点】 系统抽样方法 【解析】根据系统抽样求出样本间隔即可得到结论． 【解答】解：样本间隔为300÷20=15，若第1组抽出的号码是6，则第3组抽出的号码为6+2×15=36， 故答案为：36． 【答案】 19【考点】 进位制 【解析】根据二进制转换为十进制方法逐位进行转换，即可得到答案． 【解答】解：10011（2）=1+1×2+1×24=19． 故答案为：19．【答案】56【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】由分步计数原理可得将一枚骰子连掷两次，其基本事件的总个数，由列举法可得事件事件“a+b≤4”包含基本事件包含基本事件数目，再根据互斥事件概型公式，计算可得答案；【解答】由题意得，掷骰子1次，其向上的点数有6种情况，则将一枚骰子连掷两次，基本事件的总个数是6×6＝36，即(a, b)的情况有36种，事件“a+b≤4”包含基本事件：(1, 1)，(1, 2)，(2, 1)，(1, 3)，(3, 1)，(2, 2)共6个，故“a+b>4”发生的概率为1−636=56【答案】2π3【考点】由三视图求体积【解析】判断三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知，三视图复原的几何体是半球，半球的半径为1，半球的体积为：12×43π×13=2π3.故答案为：2π3.【答案】【考点】分段函数的应用【解析】先求得f(1)=2，再由f(a)=−2，即有−2a+1=−2，由指数函数的性质，即可得到a=0．【解答】解：由f(x)={x+1,x>0−2x+1，x≤0，可得f(1)=2，且x>0时，f(x)>1，则f(a)+f(1)=0，即f(a)=−2，则a≤0，即有−2a+1=−2，即a+1=1，解得a=0．故答案为：0．【答案】(−2, 0)【考点】函数与方程的综合运用【解析】把两个方程分别看作指数函数与直线y=−x−2的交点B和对数函数与直线y=−x−2的交点A的横坐标分别为p和q，而指数函数与对数函数互为反函数则关于y=x对称，求出AB的中点坐标得到p+q=−2；然后把函数f(x)化简后得到一个二次函数，对称轴为直线x=−p+q2=1，所以x2+2x+2≥1，f(2)=f(0)且当x>1时，函数为增函数，即可得到答案．【解答】解：方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0可以分别看作方程方程2x=−x−2和方程log2x=−x−2，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q即分别为函数y=2x与函数y=−x−2的交点B横坐标为p；y=log2x与y=−x−2的交点C横坐标为q．由y=2x与y=log2x互为反函数且关于y=x对称，所以BC的中点A一定在直线y=x上，联立得{y=xy=−x−2，解得A点坐标为(−1, −1)根据中点坐标公式得到p+q2=−1，即p+q=−2，则f(x)=(x+p)(x+q)+2=x2+(p+q)x+pq+2为开口向上的抛物线，且对称轴为x=−p+q2=1，因为x2+2x+2≥1，f(2)=f(0)且当x>1时，函数为增函数，所以由f(x2+2x+2)<f(0)，可得x2+2x+2<2，所以−2<x<0，故答案为：(−2, 0)．三、解答题（本大题共6小题，共76分，解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】解：（1）∵集合A={x|−1≤x<3}，B={x|2x−4≥0}={x|x≥2}∴A∩B={x|2≤x<3}∴∁R(A∩B)={x|x<2, 或x≥3}（2）∵集合C={x|y=log2(x−a)}，∴C={x|x>a}∵B∪C=C，∴B⊆C，∴a<2【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）先求出A∩B，再根据补集的运算法则计算即可（2）先根据对数函数的定义求出集合C，再根据B∪C=C，得到B⊆C，继而求出a的范围【解答】解：（1）∵集合A={x|−1≤x<3}，B={x|2x−4≥0}={x|x≥2}∴A∩B={x|2≤x<3}∴∁R(A∩B)={x|x<2, 或x≥3}（2）∵集合C={x|y=log2(x−a)}，∴C={x|x>a}∵B∪C=C，∴B⊆C，∴a<2【答案】解：（1）记甲选动车、汽车、飞机来厦门分别为事件A、B、C，则事件A、B、C互斥，P(A+B)=P(A)+P(B)=0.6，P(B)=0.3，∴P(A)=0.6−0.3=0.3，∴甲不选择乘坐动车的概率P=1−P(A)=0.7．（2）∵P(A)+P(B)+P(C)=1，∴P(C)=1−P(A)−P(B)=1−0.3−0.3=0.4，∴P(C)>P(A)=P(B)，∴甲选择乘飞机到厦门的可能性最大．【考点】互斥事件的概率加法公式【解析】（1）记甲选动车、汽车、飞机来厦门分别为事件A、B、C，则事件A、B、C互斥，由已知得P(A+B)=P(A)+P(B)=0.6，P(B)=0.3，从而P(A)=0.6−0.3=0.3，由此利用对立事件概率公式能求出甲不选择乘坐动车的概率．（2）由P(A)+P(B)+P(C)=1，利用对立事件概率计算公式求出P(C)=0.4，从而得到甲选择乘飞机到厦门的可能性最大．【解答】解：（1）记甲选动车、汽车、飞机来厦门分别为事件A、B、C，则事件A、B、C互斥，P(A+B)=P(A)+P(B)=0.6，P(B)=0.3，∴P(A)=0.6−0.3=0.3，∴甲不选择乘坐动车的概率P=1−P(A)=0.7．（2）∵P(A)+P(B)+P(C)=1，∴P(C)=1−P(A)−P(B)=1−0.3−0.3=0.4，∴P(C)>P(A)=P(B)，∴甲选择乘飞机到厦门的可能性最大．【答案】解：（1）由频率分布直方图，得分数在[50, 60)之间的频率为：0.008×10=0.08，由茎叶图知分数在[50, 60)之间的频数为4，∴全班人数为：40.08=50（人），∴分数落在[80, 90)的学生共有：50−(4+14+20+4)=8（人）．∴分数落在[80, 90)的频率为：850=0.16．（2）分数在[50, 70)的试卷共有18份，其中[50, 60)的有4份，现需抽取容量为9的样本，根据分层抽样原理，在[50, 60)中应抽取的份数为418×9=2，∴在[50, 60)中应抽取2份．（3）分数分布在[90, 100)的学生一共有4人，从中抽2人，其中成绩为99分的有1人，基本事件总数n=C42=6，成绩为99分的同学被选中包含的基本事件个数m=C31C11=3，∴成绩为99分的同学被选中的概率P=mn=36=12．【考点】古典概型及其概率计算公式分层抽样方法【解析】（1）由频率分布直方图，得分数在[50, 60)之间的频率为：0.008×10=0.08，由茎叶图知分数在[50, 60)之间的频数为4，由此能求出全班人数为50人，从而能求出分数落在[80, 90)的学生人数，进而能求出分数落在[80, 90)的频率．（2）分数在[50, 70)的试卷共有18份，其中[50, 60)的有4份，由此利用分层抽样原理，能求出在[50, 60)中应抽取的份数．（3）分数分布在[90, 100)的学生一共有4人，从中抽2人，其中成绩为99分的有1人，基本事件总数n=C42=6，成绩为99分的同学被选中包含的基本事件个数m=C31C11=3，由此能求出成绩为99分的同学被选中的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得分数在[50, 60)之间的频率为：0.008×10=0.08，由茎叶图知分数在[50, 60)之间的频数为4，∴全班人数为：40.08=50（人），∴分数落在[80, 90)的学生共有：50−(4+14+20+4)=8（人）．∴分数落在[80, 90)的频率为：850=0.16．（2）分数在[50, 70)的试卷共有18份，其中[50, 60)的有4份，现需抽取容量为9的样本，根据分层抽样原理，在[50, 60)中应抽取的份数为418×9=2，∴在[50, 60)中应抽取2份．（3）分数分布在[90, 100)的学生一共有4人，从中抽2人，其中成绩为99分的有1人，基本事件总数n=C42=6，成绩为99分的同学被选中包含的基本事件个数m=C31C11=3，∴成绩为99分的同学被选中的概率P=mn=36=12．【答案】（1）证明：连接ED1，∵点M为棱DD1的中点，DD1=AA1=4，∴BE=MD1=2，又BE // MD1，∴四边形D1MBE是平行四边形，∴BM // ED1，又BM⊄平面A1EFD，D1E // 平面A1EFD；∴BM // 平面A1EFD；（2）解：由题意此多面体是一个四棱柱，底面S ABEA1=(2+4)×62=18，高ℎ=AD=4，∴此多面体的体积V=sℎ=18×4=72．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面平行的判定【解析】（1）连接ED1，点M的棱DD1的中点，DD1=AA1=4，可得四边形D1MBE是平行四边形，BM // ED1，再利用线面平行的判定定理可得：BM // 平面A1EFD；（2）由题意此多面体是一个四棱柱，底面ABEA1是一个梯形，高ℎ=AD=4，即可得出此多面体的体积V= sℎ．【解答】（1）证明：连接ED1，∵点M为棱DD1的中点，DD1=AA1=4，∴BE=MD1=2，又BE // MD1，∴四边形D1MBE是平行四边形，∴BM // ED1，又BM⊄平面A1EFD，D1E // 平面A1EFD；∴BM // 平面A1EFD；（2）解：由题意此多面体是一个四棱柱，底面S ABEA1=(2+4)×62=18，高ℎ=AD=4，∴此多面体的体积V=sℎ=18×4=72．【答案】解：（1）由题意，25×(1−4×15%)=10，∴此人得到的卖车款是10万元；（2）∵前四年每年递减新车购买总价的15%；从第五年开始，每年的收购价是上一年收购价的23，∴卖车款y（万元）关于新车购买后x（年）的函数关系y={21.25,0<x≤117.5,1<x≤213.75,2<x≤310,3<x≤410⋅(23)x−4，4<x<10，n∈N；（3）由题意，10⋅(23)x−4≥4，解得x≤6，2014+6=2020，∵超过n年不到n+1年的按n+1年计算，∴最迟应该在2020年元旦（或2019）卖车．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）由题意，25×(1−4×15%)=10，可得此人得到的卖车款是10万元；（2）利用前四年每年递减新车购买总价的15%；从第五年开始，每年的收购价是上一年收购价的23，可得卖车款y（万元）关于新车购买后x（年）的函数关系；（3）由题意，10⋅(23)x−4≥4，解得x≤6，即可得出最迟应该在2020年元旦（或2019）卖车．【解答】解：（1）由题意，25×(1−4×15%)=10，∴此人得到的卖车款是10万元；（2）∵前四年每年递减新车购买总价的15%；从第五年开始，每年的收购价是上一年收购价的23，∴卖车款y（万元）关于新车购买后x（年）的函数关系y={21.25,0<x≤117.5,1<x≤213.75,2<x≤310,3<x≤410⋅(23)x−4，4<x<10，n∈N；（3）由题意，10⋅(23)x−4≥4，解得x≤6，2014+6=2020，∵超过n年不到n+1年的按n+1年计算，∴最迟应该在2020年元旦（或2019）卖车．【答案】解：（1）∵函数f(x)=x+nx2+1为R上的奇函数，∴f(0)=n=0；经检验，当n =0时，f(x)=xx 2+1是R 上的奇函数；故n =0；（2）由题意，对于任意x 1∈[0, 1]，g(x 2)>f(x 1)在x 2∈[0, 1]上有解， 即g(x 2)max >f(x 1)在[0, 1]上恒成立； 即g(x 2)max >f(x 1)max ， 对于f(x)=x x 2+1，易知其在[0, 1]上单调递增，故f(x 1)max =f(1)=12，对于二次函数g(x)=x 2−2λx −2λ，对称轴为x =λ， ①当λ≥12时，g(x 2)max =g(0)=−2λ， 令−2λ>12得，λ<−14（舍去）；②当λ<12时，g(x 2)max =g(1)=1−4λ，令1−4λ>12得，λ<18；综上所述，λ<18．（3）方程|f(x)|=log 12|x|只有2个实数解，∵ 函数ℎ(x)=|f(x)|−log 12|x|=|x|x 2+1−log 12|x|是定义在(−∞, 0)∪(0, +∞)上的偶函数，故先讨论ℎ(x)在(0, +∞)上的零点个数， 此时ℎ(x)=x x 2+1−log 12x ，①当x ≥1时，xx 2+1−log 12x >0恒成立，故不存在零点，②当0<x <1时，f(x)=xx 2+1在(0, 1)上单调递增， y =log 12x 在(0, 1)上单调递减；故ℎ(x)=x x 2+1−log 12x 在(0, 1)上单调递增，且连续不断，ℎ(12)=25−1<0，ℎ(1)=12>0，故函数ℎ(x)在(0, 1)上有一个零点，综上可知，函数ℎ(x)在(0, +∞)上有一个零点， 故函数ℎ(x)在(−∞, 0)∪(0, +∞)上只有两个零点． 即方程|f(x)|=log 12|x|只有2个实数解．【考点】根的存在性及根的个数判断函数奇偶性的性质 二次函数的性质 【解析】（1）由函数f(x)=x+n x 2+1为R 上的奇函数知f(0)=n =0；从而检验即可．（2）由题意，对于任意x 1∈[0, 1]，g(x 2)>f(x 1)在x 2∈[0, 1]上有解可化为g(x 2)max >f(x 1)max ，从而化为函数的最值问题求解即可．（3）易知函数ℎ(x)=|f(x)|−log 12|x|=|x|x 2+1−log 12|x|是定义在(−∞, 0)∪(0, +∞)上的偶函数，故可先讨论ℎ(x)在(0, +∞)上的零点个数，再分两类讨论即可． 【解答】解：（1）∵ 函数f(x)=x+n x 2+1为R 上的奇函数，∴ f(0)=n =0；经检验，当n =0时，f(x)=xx 2+1是R 上的奇函数；故n =0；（2）由题意，对于任意x 1∈[0, 1]，g(x 2)>f(x 1)在x 2∈[0, 1]上有解， 即g(x 2)max >f(x 1)在[0, 1]上恒成立； 即g(x 2)max >f(x 1)max ，对于f(x)=xx 2+1，易知其在[0, 1]上单调递增，故f(x 1)max =f(1)=12，对于二次函数g(x)=x 2−2λx −2λ，对称轴为x =λ， ①当λ≥12时，g(x 2)max =g(0)=−2λ， 令−2λ>12得，λ<−14（舍去）；②当λ<12时，g(x 2)max =g(1)=1−4λ， 令1−4λ>12得，λ<18； 综上所述，λ<18．（3）方程|f(x)|=log 12|x|只有2个实数解，∵ 函数ℎ(x)=|f(x)|−log 12|x|=|x|x 2+1−log 12|x|是定义在(−∞, 0)∪(0, +∞)上的偶函数，故先讨论ℎ(x)在(0, +∞)上的零点个数， 此时ℎ(x)=xx +1−log 12x ，①当x ≥1时，xx 2+1−log 12x >0恒成立，故不存在零点，②当0<x <1时，f(x)=xx 2+1在(0, 1)上单调递增， y =log 12x 在(0, 1)上单调递减；故ℎ(x)=xx 2+1−log 12x 在(0, 1)上单调递增，且连续不断，ℎ(12)=25−1<0，ℎ(1)=12>0，故函数ℎ(x)在(0, 1)上有一个零点，综上可知，函数ℎ(x)在(0, +∞)上有一个零点， 故函数ℎ(x)在(−∞, 0)∪(0, +∞)上只有两个零点． 即方程|f(x)|=log 12|x|只有2个实数解．。