中考数学核心考点一遍突破专题： 多边形与平行四边形(含解析)

A.5
B.6
C.8
D.10
考查角度2：正五边形的性质
4.(2023·重庆)如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数为 36° .
5.(2022·株洲)如图，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A，B在射线OM上，
顶点E在射线ON上，则∠AEO＝ 48
度.
考查角度3：正六边形的性质
①②④ .(填序号)
16.(2024·广安)如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝30°，点M为直线BC上
一动点，则MA＋MD的最小值为
.
考查角度2：跨学科整合
17.如图是脊柱侧弯的检查示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O
转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是( C )
＝
. 50°
10.(2023·南充)如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE＝∠ADF.
(1)求证：AE＝CF.
(2)求证：BE∥DF.
答案：证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠DAF＝
∠＝∠
∠BCE.在△ADF与△CBE中， ＝
6.(2024·威海)如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I.若
∠EFG＝20°，则∠ABI＝ 50° .
7.(2022·遂宁)如图，正六边形ABCDEF的顶点A，F分别在正方形BMGH的边BH，GH
上.若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为 4
.
平行四边形的性质与判定
，∴△ADF≌△CBE(ASA)，∴AF＝CE，
∠＝∠
∴AF－EF＝CE－EF，∴AE＝CF.

在 Rt△BEH 中,EH2＋BH2＝BE2,即(8－x)2＋(2 3)2＝x2,
解得 x＝ 19 .当∠OED＝90°时, 4
如图 4 所示.此时 OE∥BH,且 O 为 BD 的中点,
∴DE＝ 1 DH＝4.综上所述,DE＝ 19或 4.
2
4
(5)点 E 在运动过程中,△EBC 的面积不发生改变,始终为平行四 边形 ABCD 面积的一半,S△EBC＝6 3.
考向 2 综合探究题
2.如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,DE 平分∠ADC 交 AB 于点 E,∠BCD＝60°,AD＝1AB,连接 OE.下列结论:
2
①S▱ABCD＝AD·BD;②DB 平分∠CDE;③AO＝DE;
④S△ADE＝5S△OFE.其中正确的结论有( B )
A.1个 C.3个
【答案】(1)∵AB∥CD,∴∠ABC＋∠BCD＝180°. 又∵∠ABC＝∠ADC,∴∠ADC＋∠BCD＝180°, ∴AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形.
(2)20;12 3. 提示:由(1)可知四边形 ABCD 为平行四边形,∴AB＝CD＝4, AD＝BC＝6,∴周长为 2×(4＋6)＝20.如图 1,过点 B 作 BH⊥AD, 垂足为 H.∵∠ADC＝60°,∴∠HAB＝60°, ∴AH＝2,BH＝2 3,∴S▱ABCD＝6×2 3＝12 3.
A.30° B.40° C.45° D.50°
【解析】∵将▱ABCD绕点B顺时针旋转到▱A1BC1D1的位置 ,∴∠C1＝70°.∵BC＝BC1,∴∠BCC1＝∠C1＝70°, ∴∠ABA1＝∠CBC1＝180°－70°－70°＝40°.
在初中阶段除了位似变换外,其他的变换:平移、翻折(轴对 称是翻折)、旋转(中心对称是旋转)都是恒等变换,即这些变 换只改变图形的位置,不改变图形的大小和形状,变换前后的 图形是全等的.

考点25〖多边形与平行四边形〗【命题趋势】1.近三年来中考多边形及其性质的考查内容与：1.多边形的内角和与外角和，正多边形每个内角、外角的计算。

2.平行四边形的性质及判定考查形式有：①利用全等性质考查平行四边形的判定；根据平行四边形的性质求线段长度、面积及角度；③在压轴题中涉及四边形为平行四边形时满足的条件。

一般命基础题、中档题。

【考查题型】选择题、填空题、解答题【常考知识】1.多边形的内角和与外角和，正多边形每个内角、外角的计算。

2.平行四边形的性质及判定考查形式有：①利用全等性质考查平行四边形的判定；根据平行四边形的性质求线段长度、面积及角度；③在压轴题中涉及四边形为平行四边形时满足的条件。

【夺分技巧】①常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形问题。

②有平行线时，常作平行线构造平行四边形。

③有中线时，常作加倍中线构造平行四边形。

【易错点】①一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。

②一组对边相等且一组对角相等的四边形不一定是平行四边形。

③一组对角相等且对角的顶点所连对角线被一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形。

④一组对角相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定是平行四边形。

一、选择题1.（2020·西藏·中考真卷）一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形的边数是（）A.8B.9C.10D.11【答案】C【考点】多边形内角与外角【解析】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式以及多边形的外角和为360∘即可列出关于n的一元一次方程，解方程即可得出结论．2.（2020·湖南·中考真卷）正多边形的一个外角等于60∘，则这个正多边形的边数是()A.6B.7C.8D.4【答案】A【考点】多边形内角与外角【解析】多边形的外角和等于360∘，因为所给正多边形的每个外角均相等，故又可表示成60∘⋅n，列方程可求解．3.（2020·山东·中考真卷）若一个多边形的内角和为1080∘，则这个多边形的边数为（）A.6B.7C.8D.9【答案】C【考点】多边形内角与外角，多边形的对角线，正多边形和圆【解析】多边形内角和定理．设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180∘(n−2)，即可得方程180(m−2)=1080解此方程即可求得答案：n=8．故选C．4.（2020·贵州·中考真卷）内角和为360∘的多边形是（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】B【考点】多边形内角与外角【解析】多边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180∘，根据内角和为360∘列方程可求解．5.（2020·四川·中考真卷）多边形的内角和不可能为（）A.180∘B.540∘C.1080∘D.1200∘【答案】D【考点】多边形内角与外角【解析】多边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180∘（n≥3且n是整数），则多边形的内角和是180度的倍数，由此即可求出答案．6.（2020·四川·中考真卷）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30∘的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠1+∠2的度数为（）A.210∘B.110∘C.150∘D.100∘【答案】A【考点】多边形内角与外角【解析】根据多变的内角和定理可求解∠B+∠C+∠D+∠E=510∘，∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E= (6−2)×180∘=720∘，进而可求解．7.（2020·湖北·中考真卷）已知一个正多边形的一个外角为36∘，则这个正多边形的边数是（）A.7B.8C.9D.10【答案】D【考点】多边形内角与外角【解析】利用多边形的外角和是360∘，正多边形的每个外角都是36∘，即可求出答案．8.（2020·湖南·中考真卷）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC=6，BD=8，则AB的长可能是()A.10B.8C.7D.6【考点】三角形三边关系，平行四边形的性质【解析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得出AB的取值范围，进而得出结论．9.（2020·湖南·中考真卷）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB // DC，AD // BCB.AB＝DC，AD＝BCC.AB // DC，AD＝BCD.OA＝OC，OB＝OD【答案】C【考点】平行四边形的判定【解析】根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形．10.（2020·山东·中考真卷）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45∘，再沿直线前进8米，又向左转45∘，⋯照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为()A.80米B.96米C.64米D.48米【考点】多边形内角与外角【解析】根据多边形的外角和即可求出答案．二、填空题11.（2020·四川·中考真卷）已知一个正多边形的内角和为1440∘，则它的一个外角的度数为________度．【答案】36【考点】多边形内角与外角【解析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180(n−2)＝1440，即可求得n＝10，再由多边形的外角和等于360∘，即可求得答案．12.（2020·重庆·中考真卷）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是________．【答案】6【考点】多边形内角与外角【解析】n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180∘，外角和为360∘，根据题意列方程求解．13.（2020·辽宁·中考真卷）一个多边形每个内角都为108∘，这个多边形是________边形．【答案】五【考点】多边形内角与外角【解析】根据平角的定义，先求出每一个外角的度数，多边形的边数等于360∘除以外角的度数，列式计算即可．14.（2020·陕西·中考真卷）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是________．【答案】144∘【考点】多边形内角与外角15.（2020·广东·中考真卷）从n边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成________个三角形．【答案】n−2【考点】多边形的对角线【解析】根据从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个n边形分割成(n−2)个三角形的规律作答．16.（2020·四川·中考真卷）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝________．【答案】2【考点】平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理【解析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解∠CBE＝∠BEC，即可得CB＝CE，利用等腰三角形的性质可怎么BF＝EF，进而可得GF是△ABE的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．17.（2020·四川·中考真卷）如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝40∘，则∠BCE的度数为________．【答案】50∘【考点】平行四边形的性质【解析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠EAD＝40∘，由角的互余关系得出∠BCE＝90∘−∠B＝50∘即可．18.（2020·辽宁·中考真卷）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，AE，BC的延长线交于点F．若△ECF的面积为1，则四边形ABCE的面积为________．【答案】3【考点】全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质【解析】根据▱ABCD的对边互相平行的性质及中位线的性质知EC是△ABF的中位线；然后根证明△ABF∽△CEF，再由相似三角形的面积比是相似比的平方及△ECF的面积为1求得△ABF的面积；最后根＝S△ABF−S△CEF＝3．据图示求得S四边形ABCE三、解答题19.（2020·重庆·中考真卷）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．(1)若∠AOE=50∘，求∠ACB的度数；(2)求证：AE=CF．【考点】全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，角平分线的性质【解析】（1）利用三角形内角和定理求出∠EAO，利用角平分线的定义求出∠DAC，再利用平行线的性质解决问题即可．（2）证明△AEO≅△CFO(AAS)可得结论．【解答】(1)解：▱ AE⊥BD，▱ ∠AEO=90∘.▱ ∠AOE=50∘，∴∠EAO=40∘.▱ CA平分∠DAE，▱ ∠DAC=∠EAO=40∘.▱ 四边形ABCD是平行四边形，▱ AD // BC，∴∠ACB=∠DAC=40∘.(2)证明：▱ 四边形ABCD是平行四边形，▱ OA=OC.▱ AE⊥BD，CF⊥BD，▱ ∠AEO=∠CFO=90∘.▱ ∠AOE=∠COF，▱ △AEO≅△CFO(AAS)，▱ AE=CF．20.（2020·浙江·中考真卷）如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F．(1)若AD的长为2，求CF的长．(2)若∠BAF=90∘，试添加一个条件，并写出∠F的度数．【考点】全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，平行四边形的性质【解析】（1）由平行四边形的性质得出AD // CF，则∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，由点E是CD的中点，得出DE＝CE，由AAS证得△ADE≅△FCE，即可得出结果；（2）添加一个条件当∠B＝60∘时，由直角三角形的性质即可得出结果（答案不唯一）．【解答】解：(1)▱ 四边形ABCD是平行四边形，▱ AD // CF，▱ ∠DAE=∠CFE，∠ADE=∠FCE，▱ 点E是CD的中点，▱ DE=CE，在△ADE和△FCE中，{∠DAE=∠CFE，∠ADE=∠FCE，DE=CE，▱ △ADE≅△FCE(AAS)，▱ CF=AD=2；(2)添加一个条件：∠B=60∘（答案不唯一）．▱ ∠BAF=90∘，∠B=60∘，▱ ∠F=90∘−60∘=30∘．21.（2020·黑龙江·中考真卷）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．【考点】全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质【解析】（1）在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，可得AD // BC，AO＝CO，可以证明△AOM≅△CON 可得AM＝CN，进而证明四边形ANCM为平行四边形；（2）根据MN⊥AC，可得四边形ANCM为菱形；根据AD＝4，AB＝2，AM＝AN＝NC＝AD−DM，即可在Rt△ABN中，根据勾股定理，求DM的长．【解答】证明：▱ 在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，▱ AD // BC，AO＝CO，▱ ∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，{∠OAM=∠OCN ∠AMO=∠CNOAO=CO，▱ △AOM≅△CON(AAS)，▱ AM＝CN，▱ AM // CN，▱ 四边形ANCM为平行四边形；▱ 在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，▱ DM＝BN，▱ 四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，▱ 平行四边形ANCM为菱形，▱ AM＝AN＝NC＝AD−DM，▱ 在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，▱ (4−DM)2＝22+DM2，解得DM=32．22.（2020·广西·中考真卷）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≅△DEF；（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．【考点】全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定【解析】（1）证出BC＝EF，由SSS即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出∠B＝∠DEF，证出AB // DE，由AB＝DE，即可得出结论．【解答】证明：▱ BE ＝CF ，▱ BE +EC ＝CF +EC ，▱ BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，{AB =DEAC =DF BC =EF，▱ △ABC ≅△DEF(SSS)；证明：由（1）得：△ABC ≅△DEF ，▱ ∠B ＝∠DEF ，▱ AB // DE ，又▱ AB ＝DE ，▱ 四边形ABED 是平行四边形．23.（2020·江苏·中考真卷）如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ， AD 上，AC 与EF 相交于点O ，且AO =CO ．(1)求证：△AOF ≅△COE ；(2)连接AE ，CF ，则四边形AECF （填“是”或“不是”）平行四边形．【考点】全等三角形的性质与判定，全等三角形的判定，平行四边形的性质，平行四边形的判定【解析】(1)由ASA 证明△AOF ≅△COE 即可；(2)由全等三角形的性质得出FO =EO ，再由AO =CO ，即可得出结论．【解答】(1)证明：▱ 四边形ABCD 是平行四边形，▱ AD // BC ，▱ ∠OAF =∠OCE .在△AOF 和△COE 中，.{ ∠ OAF = ∠ OCE ， AO = CO ， ∠ AOF = ∠ COE ，▱ △AOF ≅△COE(ASA).解：(2)四边形AECF 是平行四边形，理由如下：由(1)可知，△AOF ≅△COE ， ▱ FO =EO .又▱ AO =CO ， ▱ 四边形AECF 是平行四边形.24.（2020·重庆·中考真卷）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ，CF 分别平分∠BAD 和∠DCB ，交对角线BD 于点E ，F ．（1）若∠BCF ＝60∘，求∠ABC 的度数； （2）求证：BE ＝DF ．【考点】平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定【解析】（1）根据平行四边形的性质得到AB // CD ，根据平行线的性质得到∠ABC +∠BCD ＝180∘，根据角平分线的定义得到∠BCD ＝2∠BCF ，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到AB // CD ，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠DCB ，求得∠ABE ＝∠CDF ，根据角平分线的定义得到∠BAE ＝∠DCE ，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】▱ 四边形ABCD 是平行四边形，▱ AB // CD ，▱ ∠ABC +∠BCD ＝180∘，▱ CF 平分∠DCB ，▱ ∠BCD ＝2∠BCF ，▱ ∠BCF ＝60∘，▱ ∠BCD ＝120∘，▱ ∠ABC ＝180∘−120∘＝60∘；▱ 四边形ABCD 是平行四边形，▱ AB // CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，▱ ∠ABE＝∠CDF，▱ AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，▱ ∠BAE=12∠BAD，∠DCF=12∠BCD，▱ ∠BAE＝∠DCE，▱ △ABE≅△CDF(ASA)，▱ BE＝CF．25.（2020·四川·中考真卷）如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线AC上的两点，且AF=CE，连接DE，BF．求证：DE // BF．【考点】平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定【解析】根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，对边平行可得AB // CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAF=∠DCE，然后利用“边角边”证明△ABF和△CDE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DEF=∠BFA，进而得到DE // BF．【解答】证明：在▱ABCD中，AB=CD，AB // CD，▱ ∠BAF=∠DCE，在△ABF和△CDE中，{AB＝CD∠BAF＝∠DCEAF＝CE，▱ △ABF≅△CDE(SAS)，▱ ∠DEF=∠BFA，▱ ED // BF．26.（2020·湖南·中考真卷）如图，点E，F在▱ABCD的边BC，AD上，BE=13BC，FD=13AD，连接BF，DE．求证：四边形BEDF是平行四边形．【考点】平行四边形的性质与判定【解析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD // BC，进而得出DF＝BE，利用平行四边形的判定解答即可．【解答】▱ 四边形ABCD是平行四边形，▱ AD＝BC，AD // BC，▱ BE=13BC，FD=13AD，▱ BE＝DF，▱ DF // BE，▱ 四边形BEDF是平行四边形．27.（2020·湖北·中考真卷）已知：如图，在▱ABCD中，点O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E，求证：AD＝CE．【考点】全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质【解析】只要证明△AOD≅△EOC(ASA)即可解决问题；【解答】证明：▱ O是CD的中点，▱ OD＝CO，▱ 四边形ABCD是平行四边形，▱ AD // BC，▱ ∠D＝∠OCE，在△ADO和△ECO中，，▱ △AOD≅△EOC(ASA)，▱ AD＝CE．28.（2020·湖北·中考真卷）如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF．连接EF，分别与BC，AD交于点G，H．求证：EG＝FH．【考点】全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质【解析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：▱ 四边形ABCD是平行四边形，▱ AB // CD，∠ABC＝∠CDA，▱ ∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F，在△BEG与△DFH中，，▱ △BEG≅△DFH(ASA)，▱ EG＝FH．。

【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】中考总复习：多边形与平行四边形--知识讲解（基础）【考纲要求】【：多边形与平行四边形考纲要求】1. 多边形A：了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系．B：会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形．(2)平行四边形A：会识别平行四边形．B：掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题．C：会运用平行四边形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、多边形1.多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段．2.多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n －2)个三角形．3．多边形的角：n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.【要点诠释】（1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形.（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.（3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.考点二、平面图形的镶嵌1．镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．2．平面图形的镶嵌(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.考点三、三角形中位线定理1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.考点四、平行四边形的定义、性质与判定1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．两条平行线间的距离：定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离．性质：夹在两条平行线间的平行线段相等．【要点诠释】1.平行四边形的面积=底×高；2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．【典型例题】类型一、多边形与平面图形的镶嵌1．（2015•葫芦岛）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．60° B．65° C．55° D．50°【思路点拨】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．【答案】A【解析】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，∴∠P=180°﹣120°=60°．故选：A．【总结升华】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．举一反三：【变式】如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=_________.【答案】40°.2．(2011·十堰)现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是( )A．正方形和正六边形 B．正三角形和正方形C．正三角形和正六边形 D．正三角形、正方形和正六边形【思路点拨】注意各正多边形的内角度数.【答案】A.【解析】正方形和正六边形的每个内角分别为90°和120°，要镶嵌则需要满足90°m＋120°n＝360°，但是m、n没有正整数解，故选A.【总结升华】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.举一反三：【变式】现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有( )A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】B.类型二：平行四边形及其他知识的综合运用3．（2014春•章丘市校级月考）如图，已知在▭ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，BM⊥AC、DN⊥AC，CF⊥BD垂足分别是E、M、N、F，求证：EN∥MF．【思路点拨】连接ME，FN，由四边形ABCD为平行四边形，得到对角线互相平分，利用AAS得到三角形AOE与三角形COF全等，利用全等三角形对应边相等得到OE=OF，同理得到三角形BOM与三角形DON全等，得到OM=ON，进而确定出四边形MEFN为平行四边形，利用平行四边形的对边平行即可得证．【答案与解析】证明：连接ME，FN，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE⊥BD，CF⊥BD，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF，同理△BOM≌△DON，得到OM=ON，∴四边形EMFN为平行四边形，∴EN∥MF．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．4.如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D，使，点E、F分别为边BC、AC 的中点.（1）求证：DF=BE；（2）过点A作AG∥BC，交DF于G，求证：AG=DG.【思路点拨】（1）E、F分别为BC、AC中点，则EF为△ABC的中位线，所以EF∥AB，.而.则EF=AD.从而易证△DAF≌△EFC, 则DF=CE=BE.(2) AG与DG在同一个三角形中,只需证∠D=∠DAG即可.【答案与解析】（1）∵点E、F分别为BC、AC的中点，∴ EF是△ABC的中位线.∴ EF∥AB，.又∵，∴ EF=AD.∵ EF∥AB，∴∠EFC=∠BAC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAF=90.又∵ F是AC的中点，∴AF=CF，∴△DAF≌△EFC.∴DF=EC=BE.（2）由(1)知∵△DAF≌△EFC，∴∠D=∠FEC.又∵ EF∥AB，∴∠B=∠FEC.又∵ AG∥BC，∴∠DAG=∠B，∴∠ DAG=∠FEC∴∠D=∠DAG.∴AG=DG.【总结升华】三角形中位线定理的作用：位置关系——可以证明两条直线平行；数量关系——可以证明线段的相等或倍分.此外应注意三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形.举一反三：【变式】如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C.5．如图：六边形ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD ⊥BD．已知FD=4cm，BD=3cm．则六边形ABCDEF的面积是_________cm2．【思路点拨】连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC=FD，EH=BG．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积．【答案与解析】连接AC交BD于G，AE交DF于H．∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，∴AE=BD，AC=FD，∵FD⊥BD，∴∠GDH=90°，∴四边形AHDG是矩形，∴AH=DG∵EH=AE-AH，BG=BD-DG∴EH=BG．∴六边形ABCDEF的面积=平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=3×4=12cm2．故答案为：12.【总结升华】注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．6 .（2012•厦门）已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P 作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF．（1）如图，若PE=3，EO=1，求∠EPF的度数；（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+32-4，求BC的长．【思路点拨】（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解；（2）根据三角形中位线定理可得PF∥AO，且PF=12AO，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠AOD=∠PFD=90°，再根据同位角相等，两直线平行可得PE∥OD，所以PE也是△AOD的中位线，然后证明四边形ABCD是正方形，根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解．【答案与解析】（1）如图，连接PO，∵PE⊥AC，PE=3，EO=1，∴tan∠EPO=33 EOPE=，∴∠EPO=30°，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠PFO=90°，在Rt△PEO和Rt△PFO中，PO PO PE PF=⎧⎨=⎩，∴R t△PEO≌Rt△PFO（HL），∴∠FPO=∠EPO=30°，∴∠EPF=∠FPO+∠EPO=30°+30°=60°；（2）如图，∵点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴PF∥AO，且PF=12 AO，∵PF⊥BD，∴∠PFD=90°，∴∠AOD=∠PFD=90°，又∵PE⊥AC，∴∠AEP=90°，∴∠AOD=∠AEP，∴PE∥OD，∵点P是AD的中点，∴PE是△AOD的中位线，∴PE=12 OD，∵PE=PF，∴AO=OD，且AO⊥OD，∴平行四边形ABCD是正方形，设BC=x，则BF=22x+12×22x=324x，∵BF=BC+32-4=x+32 -4，∴x+32-4=324x，解得x=4，即BC=4．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质，（2）中判定出平行四边形ABCD是正方形是解题的关键．举一反三：【变式】如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（－2，－1），且P（－1，－2）是双曲线上的一点，Q为坐标平面上的一动点，PA⊥x轴，QB⊥y轴，垂足分别为A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，是否可以使△OBQ与△OAP面积相等？（3）如图2，点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．图1 图2【答案】（1）正比例函数解析式为，反比例函数解析式为．（2）当点Q在直线MO上运动时，设点Q的坐标为，，解得.所以点Q的坐标为和．（3）因为P（，），由勾股定理得OP＝，平行四边形OPCQ周长=．因为点Q在第一象限中的双曲线上，所以可设点Q的坐标为，由勾股定理可得，通过图形分析可得：OQ有最小值2，即当Q为第一象限中的双曲线与直线的交点时，线段OQ的长度最小．所以平行四边形OPCQ周长的最小值：．中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。