第8章-名字空间_V2

第九章-欧几里得空间复习题一、判断题1、欧氏空间中两两正交的向量组是线性无关的.2、欧氏空间中保持向量夹角不变的线性变换一定是正交变换.3、两个正交矩阵的乘积一定是正交矩阵.4、n 维欧氏空间n R 的恒等变换，既是正交变换，也是对称变换.5、有限维欧氏空间不同的基的度量矩阵是合同的.6、欧氏空间中保持向量长度不变的变换必是正交变换.7、任意一个(1)n n ≥维欧氏空间都存在标准正交基.8、n 维欧氏空间V 的正交变换在V 的任一组基下的矩阵必是正交矩阵.9、设V 为欧氏空间，βαβα⊥∈,,V ，则222βαβα+=+.10、设V 为有限维欧氏空间，是V 上对称线性变换，1V 为的不变子空间，则⊥1V 也为的不变子空间.11、设1V ，2V 是欧氏空间V 的两个正交子空间，则{}021=V V .12、实对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交.13.欧氏空间是定义了内积的线性空间.14.若实对称矩阵A 的特征值全不等于零，则A 必正定.15.若A 是实对称矩阵，则必存在正交矩阵P ，使B =P -1AP =P T AP 为以A 的特征值为对角元的对角矩阵.16.n 阶矩阵A 是正交矩阵的充要条件是||=1A .17.欧氏空间中的正交变换是保持向量内积不变的线性变换.18.与任意向量都正交的向量不一定是零向量.19.同构的两个欧氏空间具有相同的维数.20.对n 维欧氏空间V 中任意两个向量α，β，必有|(α,β)|≤|α|⋅|β|.21.任一n 维欧氏空间V 与R n 同构.22.n 维欧氏空间V 中一定存在某组基的度量矩阵是非正定的.23.设n 维欧氏空间V 的一组基的度量矩阵为A,则在这组基下向量的内积由A 完全确定.24.同一个线性空间对于不同内积构成不同欧氏空间.25.n 维欧氏空间V 中向量α与β正交当且仅当α与β的夹角为π/2.26.设V 为有限维欧氏空间,则V 中任意两个向量在标准正交基下的内积等于它们的对应分量的乘积之和.27.欧氏空间V 的正交变换是V 到自身的同构映射.28.对称变换在标准正交基下的矩阵一定是实对称矩阵.29.实对称矩阵A 的正、负惯性指数分别为正、负特征值的个数.30.任意n 元实二次型都可经过正交线性替换化为标准形.二、选择题1、设21,V V 是欧氏空间V 的两个子空间，则下列推断正确的是.A 、11)(V V =⊥⊥；B 、⊥⊥⊥=)(2121V V V V ；C 、121)(V V V =+⊥⊥⊥+2V ；D 、若21V V ⊂，则⊥⊥⊂21V V .2、设A 是一个n 级实对称矩阵，则下列结论正确的有.A 、A 的特征根都大于零；B 、A 的特征向量都正交；C 、A 一定有n 个不同的特征值；D 、一定存在正交矩阵T ，使AT T '为对角矩阵.3、设A 是n 级实对称矩阵，则下列结论正确是.A 、A 的特征值都是实数；B 、A 的特征向量都正交；C 、A 必有n 个不同的特征值；D 、A 的特征值必不为0.4、设{}R b a b a V ∈=,),(，V b b a a ∈==),(),,(2121βα，则下列定义的内积中使V 为欧氏空间.A 、1221),(b a b a +=βα；B 、1),(2211++=b a b a βα；C 、2211),(b a b a -=βα；D 、221153),(b a b a +=βα.5、设是n 维欧氏空间V 的一个线性变换，则是正交变换的充分必要条件是.A 、在任一组基下的矩阵是正交矩阵；B 、保持V 中元素的正交关系，即⇒⊥∈∀βαβα,,V ⊥αβ；C 、保持V 中的非零元素的夹角不变，即>=<<∈∀βαβα,,,V ,α>β；D 、如果n εεε,,,21 是标准正交基，那么,1ε,,2 εn ε也是标准正交基.6、)1(≥n n 维欧氏空间的标准正交基.A 、不存在；B 、存在不唯一；C 、存在且唯一；D 、不一定存在.7.设V 是n 维欧氏空间，则对V 的同一内积而言，不同基的度量矩阵之间的关系是.A 、等价；B 、相似；C 、合同；D 、以上说法都不对.8.以下关于正交变换说法错误的是.A 、正交变换保持n 维欧氏空间中的标准正交基不变；B 、正交变换保持向量间的距离不变；C 、正交变换在标准正交基下的矩阵为正交矩阵；D 、正交变换的逆变换不一定是正交变换.9.下列关于欧氏空间同构的说法正确的是.A 、设V ，V′都是n 维欧氏空间，则V 与V′同构；B 、数乘变换是欧氏空间V 到自身的同构映射；C 、若是线性空间V 到V′的同构映射，则也是欧氏空间V 到V′的同构映射；D 、若是欧氏空间V 到V′的一个映射，且保持线性运算，则是V 到V′的同构映射.10.设V 是n 维欧氏空间，则下列关于V 的标准正交基的说法错误的是.A 、标准正交基的度量矩阵是单位矩阵；B 、任意两组标准正交基之间的过渡矩阵是单位矩阵；C 、若ε1，ε2，…，εn 是V 的一组标准正交基，A 是正交矩阵，若(η1，η2，…，ηn)=(ε1，ε2，…εn)A ，则η1，η2，…，ηn 也是V 的一组标准正交基；D 、V 的标准正交基与它的任意一组基等价.11.设V 是n 维欧氏空间，α1，α2，…，αm 是V 中的正交向量组，则m 和n 满足.A 、m<n ；B 、m=n ；C 、m ≥n ；D 、m ≤n.12.若A,B 是正交矩阵，下列说法中错误的是.A.T A A =-1； B.11或－=A ；C.AB 不是正交阵； D.A 的列向量都是单位向量，且两两正交．13．设A 是n 阶正交阵，①1-A 也是正交阵；②1-=A ；③A 的列向量都是单位向量且两两正交；④A 的行向量组都是单位向量且两两正交.则以上说法正确的有.A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．三、综合题1.在R 4中求一单位向量与()()()3,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1---正交。

(3)圆周运动半径与OC的大小关系． 【解析】 (1)画出粒子运动的轨迹如图示的三分之一圆弧(O1为粒子 在磁场中圆周运动的圆心)：∠PO1C＝120° 设粒子在磁场中圆周运动的半径为r，
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菜
单
新课标 ·物理
2 v0 mv0 qv0B＝m ，r＝ r qB
自 主 落 实 · 固 基 础
r＋rcos 60° ＝OC＝x，OC＝x＝3r/2 1 2πm 粒子在磁场中圆周运动的时间 t1＝ T＝ . 3 3 qB 粒子在电场中类平抛运动 OQ＝2x＝3r 2x 3r 3m t2＝ ＝ ＝ v0 v0 qB
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(3)较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合外力的 大小和方向 均变化，且与初速度方
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向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动
轨迹既不是圆弧，也不是抛物线． (4)分阶段运动
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带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情 况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成．
A．离子由加速器的中心附近进入加速器 B．离子由加速器的边缘进入加速器
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C．离子从磁场中获得能量 D．离子从电场中获得能量 图8－3－8
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【解析】 离子应从加速器的中心进入加速器，磁场使离子偏转
，电场使离子加速，故选A、D. 【答案】
自 主 落 实 · 固 基 础
(1)磁流体发电是一项新兴技术，它可以把物体的内能直接转化为 电能 ． (2)根据左手定则，如图8－3－4中的B是发电机 正极 ．

§１０-２
洛夫面波
洛夫面波是 1911年英国力学家洛夫(A.E.H.Love) 首先提出 的。这种波发生时，介质至少要有两层，上层中的Vs要小于下 层中的Vs。面波存在于分界面之下，传播速度介于上下层两个 横波速度之间。洛夫波是横波，其质点运动与分界面平行。它 是ＳＨ型的横面波。 形成要求：当横波速度较高的半无限弹性介质上覆盖以低 速层时，则在覆盖层和半无限弹性介质的分界面上可以形成这 种ＳＨ型的面波。 根据对洛夫波的认 识，求相应地满足波动 方程的解，解有下述特 点：
VR 2 VR 2 VR 2 2 16 1 2 1 2 瑞雷方程，用于求瑞雷 V Vs Vs 波的传播速度。 p
2 4
VR Vs 2 1 2 令 , 2 Vs V p 2(1 ) 8(2 ) 2 8 8 0 1 1
2 v1 Vs12 2 v1 , (h z 0) t 2 2 v2 Vs 2 2 2 v2 , (0 z ) t 2
vL

k
f1 z A cos b1 z B sin b1 z b1为正实数。k1 k f 2 z Ce b2 z Deb2 z b1为正实数。k2 k k1 k k2
u1 2 2 V p u1 2 t 2 v1 V p 2 2 v1 t 2
2
(a)
ｕ２和ｖ２满足等容波（横波）的波动方程
u2 2 2 Vs u2 2 t 2 v2 Vs 2 2 v2 2 t
2
(b)
取方程(a) 的解为：
u1 Bse ry sin( wt sx) v1 Bre ry cos( wt sx)(1) 公式中B s r都是常数。为确保随深度（y）的增加而位移速度 减小，要求r必须为正实数，将公式中wt sx改写成 s x vRt vR

8．2．3 范德瓦耳斯等温线 •范德瓦耳斯方程 在理想气体模型中，忽略了分子的体积和分子间的引力。范德瓦耳斯把气体分子看作有相
互吸引作用的刚球，将理想气体的压强加以修正，从而导出了范德瓦耳斯（J.D.van der Waals, 1837 ——1923,荷兰物理学家，1910 年获诺贝尔奖）方程。
液相存在的区域，右方表示气相存在的区域，而汽化曲线上的点就是两相平衡共存的区域。所
以，汽化曲线也可以说是液态和气态的分界线。而表示气液两相存在的区域的 p − T 图就称为气
液二相图。
p DK
BC O
A T
D K
CB A
Three-dimensional sketch of the equation for the typical pure PVT system.
第八章 相变（Phase Transitions）
So far we’ve dealt mostly with gases in this course, because they’re nicБайду номын сангаас and easy. Most of the concepts are transferable to liquids and solids also, but one thing we haven’t touched on at all is how substances behave, from a thermodynamic point of view, as they change from one phase to another.
缩，压缩过程中压强和体积的关系曲线称为等温线，见图。在液化过程 BC 中，压强保持 p0 不 变，气液两相的总体积则由于气体数量的减小而减小。