全国高考新课标3卷理科数学试题(解析版)

第1 页共7 页2019年普通高等学校招生全国统一考试新课标3卷

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1．(1+i)(2-i)=( )

A．-3-i B．-3+i C．3-i D．3+i

解析：选D

2．已知集合A={x|x-1≥0}， B={0,1,2}，则A∩B=( )

A．{0} B．{1} C．{1,2} D．{0,1,2}

解析：选C

3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边

的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构

件的俯视图可以是( )

解析：选A

4．若sinα=1

3，则cos2α= ( )

A．8

9B．7

9C．- 7

9D．- 8

9

解析：选B cos2α=1-2sin2α=1-1

9=8

9

5．(x2+2

x)5的展开式中x4的系数为( )

A．10 B．20 C．40 D．80

解析：选C 展开式通项为T

r+1=C

5rx10-2r(2

x)r= C

5r2rx10-3r， r=2, T

3= C

5222x4，故选C

6．直线x+y+2=0分别与x轴， y轴交于A,B两点，点P在圆(x-2)2+y2=2上，则ΔABP面积的取值范围是( )

A．[2,6] B．[4,8] C．[2,32] D．[22,32]

第2 页共7 页解析：选A，线心距d=22,P到直线的最大距离为32，最小距离为2， |AB|=22,S

min=2, S

max=6

7．函数y=-x4+x2+2的图像大致为( )

解析：选D 原函数为偶函数，设t=x2， t≥0， f(t)=-t2+t+2,故选D

8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位

成员中使用移动支付的人数， DX=2.4， P(X=4)

A．0．7 B．0．6 C．0．4 D．0．3

解析：选B X～B(10,p),DX=10p(1-p)=2.4,解得p=0.4或p=0.6，p=0.4时，

p(X=4)=C104(0.4)4(0.6)6>P(X=6)= C106(0.4)6(0.6)4，不合。

9．ΔABC的内角A， B， C的对边分别为a， b， c，若ΔABC的面积为a2+b2-c2

4，则C=( )

A．π

2B．π

3C．π

4D．π

6

解析：选C a2+b2-c2=2abcosC,S=1

2absinC=a2+b2-c2

4=1

2abcosC tanC=1

10．设A， B， C， D是同一个半径为4的球的球面上四点，ΔABC为等边三角形且其面积为93，则三

棱锥D-ABC体积的最大值为( )

A．123 B．183 C．243 D．543

解析：选B，ΔABC的边长为a=6, ΔABC的高为33，球心O到ΔABC的距离=42-(23)2=2,当D到ΔABC

的距离为R+2=6时， D-ABC体积的最大，最大值=1

3×93×6=183

11．设F

1， F

2是双曲线C: x2

a2－y2

b2＝1(a＞0， b＞0)的左，右焦点， O是坐标原点．过F

2作C的一条渐近

线的垂线，垂足为P．若|PF1|=6|OP|，则C的离心率为( )

A．5 B．2 C．3 D．2

解析：选C 设P(t,- b

at),∵PF

2与y=- b

ax垂直，∴-bt

a(t-c)=a

b解得t=a2

c即P(a2

c,- ab

c )

∴|OP|=(a2

c)2+(-ab

c)2=a， |PF

1|=(a2

c+c)2+(-ab

c)2，依题有(a2

c+c)2+(- ab

c)2=6a2，

化简得c2=3a2，故选C

12．设a=log

0.20.3， b=log

20.3，则( )

A．a+b

C．a+b<0

解析：选B 0

ab=1

a+1

b=1+log

20.2

log20.3=log

22+log

20.2

log20.3=log

20.4

log20.3<1,a+b>ab

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a=(1,2)， b=(2,-2)， c=(1,λ)．若c//(2a+b)，则λ=________．

解析：2a+b=(4,2), c//(2a+b)则4λ=2，λ=1

2

14．曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2，则a=________．

解析：f′(x)=(ax+a+1) ex，f′（0)=a+1=-2,a=-3

第3 页共7 页15．函数f(x)=cos(3x+π

6)在[0,π]的零点个数为________．

解析：由3x+π

6=kπ+π

2得x=kπ

3+π

9,k∈Z，π

9，4π

9，7π

9为[0,π]的零点

16．已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点．若∠AMB=900，则

k=________．

解析：k=2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

等比数列{a

n}中， a

1=1， a

5=4a

3．

（1）求{a

n}的通项公式；

（2）记S

n为{a

n}的前n项和．若S

m=63，求m．

解：（1）设{a

n}的公比为q，由已知得q4=4q2，解得q=0（舍去）， q=-2或q=2．

故an=(-2)n-1或an=2n-1．

（2）若a

n=(-2)n-1，则S

m=1-(-2)m

3．由S

m=63得(-2)m=-188，此方程没有正整数解．

若an=2n-1，则Sm=2n-1．由Sm=63得2m=64，解得m=6．

综上， m=6．

18．（12分）

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较

两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方

式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的

工人数填入下面的列联表：

超过m 不超过m

第一种生产方式

第二种生产方式

（3）根据（2）中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附：K2＝n(ad－bc)2

(a＋b)(a＋c)(b＋d)(c＋d)，

临界值表：

P(K2≥ｋ0) 0.050 0.010 0.001

k

03.841 6.635 10.828

解：（1）第二种生产方式的效率更高．

理由如下：

（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，

用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效

第4 页共7 页率更高．

（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85．5分钟，用第二

种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73．5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．

（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生

产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．

（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8

大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对

称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式

完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更

高．

※以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．

（2）由茎叶图知m=79+81

2=80．

列联表如下：

超过80 不超过80

第一种生产方式15 5

第二种生产方式5 15

（3）由于K2=40(15×15-5×5)2

20×20×20×20=10>6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．

19．（12分）

如图，边长为2的正方形ABCD所在平面与半圆弧CD?

所在平面垂直， M是CD?

上异于C， D的点．

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．

19．解：

（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD， BC平面ABCD，所以BC⊥平面

CMD，故BC⊥DM．

因为M为CD?

上异于C， D的点，且DC为直径，所以 DM⊥CM．

又 BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．

而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．

（2）以D为坐标原点， DA→

的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．

当三棱锥M-ABC体积最大时， M为CD?

的中点．

由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),

AM→

=(-2,1,1)， AB→

=(0,2,0)， DA→

=(2,0,0)

设n=(x,y,z)是平面MAB的法向量，则-2x+y+z=0

2y=0可取n=(1,0,2)．