10 以椭圆为情景的探索性问题
典例分析
角度一、以探索多边形形状为情景的问题
1、已知椭圆C ：()，直线不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，
线段AB 的中点为M ．
（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．
2.已知椭圆的一个焦点在直线上，且离心率.
（1）求该椭圆的方程；
（2）若与是该椭圆上不同的两点，且线段的中点在直线上，试证： 轴上存在定点，对于所有满足条件的与，恒有；
（3）在（2）的条件下， 能否为等腰直角三角形？并证明你的结论. 角度二、以探索定点存在性为情景的问题
1、如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b
=>>
，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两
点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E
截得的线段长为 （1）求椭圆E 的方程；
（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得
QA PA
QB PB
=
恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
2
2
2
9x y m +=0m >l l (
,)3
m
m 22
221(0)x y a b a b
+=>>:10l x -=12e =P Q PQ T l x R P Q RP RQ =PQR
∆
角度三、以探索直线与圆锥曲线位置关系为情景的问题
1、椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量
120BF BF ⋅=.
（1）若(2,0)A ，求椭圆的标准方程；
（2）设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过1F ，问是否存在过2F 的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由.
2、已知抛物线2:4C y x =与过点(2,0)的直线l 交于,M N 两点.
（1）若MN =l 的方程； （2）若1
2
MP MN =
，PQ y ⊥轴，垂足为Q ，探究：以PQ 为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
角度四、以探索定值存在性为情景的问题
1、已知定点()30A -,
，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为1
9
-，记动点M 的轨迹为曲线C 。 （1）求曲线C 的方程；
（2）过点()1,0T 的直线与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点()0,0S x ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在，求出S 坐标；若不存在，请说明理由。 角度五、以探索最值存在性为情景的问题
1、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心、过椭圆左顶点M 的圆与直线
3x －4y ＋12＝0相切于点N ，且满足MF 1―→＝12
F 1F 2―→
.
(1)求椭圆C 的标准方程．
(2)过椭圆C 右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于不同的A ，B 两点，问：△F 1AB 内切圆的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由． 角度六、以探索直线存在性为情景的问题
1、如图，已知A (−1,0)、B (1,0)，Q 、G 分别为△ABC 的外心，重心，QG //AB .
（1）求点C 的轨迹E 的方程；
（2）是否存在过P (0,1)的直线L 交曲线E 于M ，N 两点且满足MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2PN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，若存在求出L 的方程，若不存在请说明理由.
2、设经过点()(),00M a a <的直线1l 与抛物线24y x =相交于P 、Q 两点，经过点M 的直线2l 与抛物线
24y x =相切于点H .
（1）当1a =-时，求11
PM QM
+的取值范围；
（2）问是否存在直线1l ，2l 使得MH MP MQ =⋅成立，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.
方法点拨
1、探索性问题：此类问题一般分为探究条件、探究结论两种。若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论。 2.圆锥曲线中存在性问题的求解方法：
(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法． (3)当条件和结论不唯一时要分类讨论.
(4)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.
(5)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.
巩固练习
1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，己知F 是椭圆()222:10x C y a a
+=>的右焦点，P 是椭圆C 上位于x
轴上方的任意一点，过F 作垂直于PF 的直线交其右准线:2l x =于点Q .
（1）求椭圆C 的方程； （2）若9
8
PQ PF ⋅=
，求证：直线PQ 与椭圆C 相切； （3）在椭圆C 上是否存在点R ，使四边形OQPR 是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点R 的坐标：若不存在，请说明理由.
2、已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且此抛物线的准线被
椭圆C 截得的弦长为1. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为()1,M t ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，试问直线m 是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
3、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C 的短轴长
为2 3.
(1)求椭圆C 的标准方程．
(2)是否存在过点P (0,2)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，且满足OM ―→·ON ―→
＝2(O 为坐标原点)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
4、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2
2
，直线x ＋y －1＝0被圆x 2＋y 2＝b 2截得的弦长为 2.
(1)求椭圆C 的方程．
(2)过点(1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴上是否存在定点P ，使得P A ―→ ·PB ―→
为定值？若存在，求出点P 的坐标和P A ―→·PB ―→
的值；若不存在，请说明理由．
5、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 2与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且其离心率为1
2
.
(1)求椭圆C 的方程．
(2)已知与坐标轴不垂直的直线l 与C 交于M ，N 两点，线段MN 中点为P ，问：k MN ·k OP (O 为坐标原点)
是否为定值？请说明理由．
6．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为23
3，
O 为坐标原点．设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．
(1)求椭圆E 的方程．
(2)是否存在直线l ，使得△OPQ 的面积为4
5
？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．
7.在平角坐标系中，椭圆的离心率，
且过点，椭圆的长轴的两端点为，，点为椭圆上异于，
的动点，定直线与直线，分别交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）在轴上是否存在定点经过以为直径的圆，若存在，求定点坐标；若不存在，说明理由．
8. 已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；
（Ⅰ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使
得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
9、已知椭圆C ：()，直线不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，
线段AB 的中点为M ．
（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．
10．如图所示，在平面直角坐标系中，已知椭圆：，过点的动直线与椭圆相交于两点，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
xOy )0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 21=e )3,0(C A B P A B 4=x PA PB M N C x MN C ()222210x y a b a b +=>>2
2
()01P ，
()A m n ，()0m ≠C PA x M C M m n O B A x PB x N y Q OQM ONQ ∠=∠Q 2
2
2
9x y m +=0m >l l (
,)3
m
m xOy E 22
142
x y +=(0,1)P l ,A B P Q QA PA QB PB
=Q
11、在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为3． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆O ： 相交于不同
的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由．
12、一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON
连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且，．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线 总与曲线有
且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
13、已知椭圆C ：y 2
a 2+x 2
b 2=1(a >b >0)的离心率为1
2，短轴长为2√3. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设过点A(0,4)的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，F 是椭圆C 的上焦点.问：是否存在直线l ，使得S ΔMAF =S ΔMNF ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由
.
xOy C 22
221(0)x y a b a b
+=>
>e =
C (0,2)Q C C (,)M m n l 1mx ny +=22
1x y +=,A B OAB ∆M OAB ∆O AB 1DN ON ==3MN =O O AB x l 1:20l x y -=2:20l x y +=,P Q l
C
14．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22
221x y a b +=()0a b >>的焦距为2，且过点⎛ ⎝⎭
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M ，N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为
BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由.
15．已如椭圆E ：22
221x y a b +=（0a b >>）的离心率为12，点A ⎭
在E 上. （1）求E 的方程：
（2）斜率不为0的直线l 经过点1,02B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，且与E 交于P ，Q 两点，试问：是否存在定点C ，使得PCB QCB ∠=∠？若存在，求C 的坐标：若不存在，请说明理由
10 以椭圆为情景的探索性问题
典例分析
角度一、以探索多边形形状为情景的问题
1、已知椭圆C ：()，直线不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，
线段AB 的中点为M ．
（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．
【解析】(Ⅰ)设直线，，，．
将代入得， 故，． 于是直线的斜率，即．所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值． （Ⅰ）四边形能为平行四边形．
因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，． 由(Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．
由得，即． 将点的坐标代入直线的方程得，因此． 四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即．
．解得，． 因为，，，所以当的斜率为
为平行四边形．
2
2
2
9x y m +=0m >l l (
,)3
m
m :l y kx b =+(0,0)k b ≠≠11(,)A x y 22(,)B x y (,)M M M x y y kx b =+2
2
2
9x y m +=2
2
2
2
(9)20k x kbx b m +++-=12229M x x kb x k +=
=-+299
M M b
y kx b k =+=+OM 9
M OM M y k x k
=
=-9OM k k ⋅=-OM l OAPB l (,)3
m
m l C 0k >3k ≠OM 9
y x k =-P P x 2229,9,
y x k x y m ⎧
=-⎪⎨⎪+=⎩
222
2981P k m x k =+P x =(
,)3m m l (3)3m k b -=2(3)3(9)
M mk k x k -=+OAPB AB OP 2P M x x ==2
(3)
23(9)
mk k k -⨯
+14k =24k =0,3i i k k >≠1i =2l 44+OAPB
2.已知椭圆的一个焦点在直线上，且离心率.
（1）求该椭圆的方程；
（2）若与是该椭圆上不同的两点，且线段的中点在直线上，试证： 轴上存在定点，对于所有满足条件的与，恒有；
（3）在（2）的条件下， 能否为等腰直角三角形？并证明你的结论.
【答案】（1）（2）见解析（3）见解析 【解析】（1）∵椭圆的一个焦点在直线上，∴，
又，∴，∴该椭圆的方程为
. （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
，， 设，则， ，
∵弦的中点在直线上，∴ ， ∴ ，∴，将代入得，
假设在轴上存在定点， ， ∴ ， ∴ ，即，
当直线的斜率不存在时，直线垂直于轴，此时显然成立，
综上， 轴上存在定点. 22
221(0)x y a b a b
+=>>:10l x -=12e =P Q PQ T l x R P Q RP RQ =PQR ∆22
143
x y +=22
221(0)x y a b a b
+=>>:10l x -=1c =12e
=122c a b a =⇒=⇒=22
143
x y +=PQ PQ y kx b =+2
2
{ 143
y kx b x y =+⇒+=()2224384120k x kbx b +++-=()()222244330k b k b ∆=-+->()()1122,,,P x y Q x y 122843kb x x k -+=+212241243
b x x k -=+PQ T l 122
82243kb x x k -+=⇒
=+3
4b k k
⇒=--()12122y y k x x b +=++=22k b +1232y y k +=-34b k k =--0∆>2
14
k >x (),P m n RP RQ =⇒()()2
2
22
1122
m x y m x y -+=-+()()2
2
12m x m x ---=()()22
212122y y m x x -⇒--=()213
2y y k
-
-()2121332222y y m k x x --=-
⨯=--14m ⇒=1,04R ⎛⎫
⎪⎝⎭
PQ PQ x RP RQ =x 1,04R ⎛⎫
⎪⎝⎭
（3）假设能为等腰直角三角形，则，∴， ， ，又，
∴ ， ，符合（*），∴在（2）的条件下， 能为等腰直角三角形. 角度二、以探索定点存在性为情景的问题
1、如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b
=>>
的离心率是2，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两
点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E
截得的线段长为 （1）求椭圆E 的方程；
（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得
QA PA
QB PB
=
恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1
）由已知，点在椭圆E 上．
因此，22222
21
1,,a b a b c c a
⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪
⎪=⎪⎩解得2a =
，b =22142x y +=． （2）当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点．
PQR ∆0RP RQ ⋅=112211,,044x y x y ⎛⎫⎛⎫
-
⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()()12121211
0416x x x x kx b kx b -
+++++=()121211416x x x x ⇒-++()2212120k x x kb x x b ++++=123
2,4x x b k k +==--()2
2
2
34127414316k k k k ⎛
⎫--- ⎪⎝⎭+-++2
332044k k k k k ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭()()
2
212710k
k -+=
⇒6
k =±
PQR
∆
如果存在定点Q 满足条件，则
||||
1||||
QC PC QD PD ==，即||||QC QD =． 所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为0(0,)y ．
当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N
两点．则M
，(0,N ， 由
||||
||||QM PM QN PN =
=，解得01y =或02y =． 所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q ． 下面证明：对任意的直线l ，均有
||||
||||
QA PA QB PB =． 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．
当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．
联立22
1,42
1x y y kx ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
得22(21)420k x kx ++-=．其判别式22168(21)0k k ∆=++>， 所以，121222
42,2121k x x x x k k +=-
=-++．因此12
1212
112x x k x x x x ++==． 易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为22(,)B x y '-．
又1211221
22111
,QA QB y y k k k k k x x x x x '--=
=-==-+=--，所以QA QB k k '=，即,,Q A B '三点共线． 所以
12||||||||
||||||||x QA QA PA QB QB x PB ==='．故存在与P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||||||
QA PA QB PB =恒成立．
角度三、以探索直线与圆锥曲线位置关系为情景的问题
1、椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量
120BF BF ⋅=.
（1）若(2,0)A ，求椭圆的标准方程；
（2）设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过1F ，问是否存在过2F 的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由.
【答案】（1）22142x y +=；
（2
）存在满足条件的直线，斜率12k =-±. 【分析】（1）由题易知a 2=，因为
120
BF BF ⋅=，所以12
BF F ∆为等腰三角形
所以b=c ，由此可求b ，即可得到椭圆的标准方程;
（2）由（1）可得2
2
b c =．22
2212x y c c
+=，P 的坐标为()00,x y
则()()1001,,,F P x c y F B c c =+=由题意得
120
BF BF ⋅=,即000x c y ++=，又因为P 在椭圆上，所以
22
0022
12x y c c
+=,联立可得41P ,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设圆心为()11,x y ，则1122,33x c y c =-=，利用两点间的距离公式可得圆的半径r ．设直线的方程为：()k y x c =-．利用直线与圆相切的性质即可得出． 【详解】（1）易知a 2=，因为
120
BF BF ⋅=，所以12
BF F ∆为等腰三角形，
所以b=c ，由2
2
2
a b c -=
可知b =22
142
x y +=
（2）由已知得2
2
b c =,22
2a c =，设椭圆的标准方程为22
2212x y c c
+=，P 的坐标为()00,x y
因为()()1,0,0,F c B c -,所以()()1001,,,F P x c y F B c c =+=，由题意得
120
BF BF ⋅=,
所以000x c y ++=，又因为P 在椭圆上，所以22002212x y c c
+=,由以上两式可得2
00340x cx +=，
因为P 不是椭圆的顶点，所以0041,33x c y c =-
=，故41P ,33c c ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，设圆心为()11,x y ， 则1122
,33
x c y c =-
=，圆的半径
r 3
==
， 假设存在过2F 的直线满足题设条件，并设该直线的方程为()k y x c =-
r =,
3
c =，即2202010k k +-=，
解得12k =- ，故存在满足条件的直线． 【点睛】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 2、已知抛物线2:4C y x =与过点(2,0)的直线l 交于,M N 两点. （1
）若MN =l 的方程； （2）若1
2
MP MN =
，PQ y ⊥轴，垂足为Q ，探究：以PQ 为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1
）20x -=
或20x -=；（2）过定点，(2,0) 【解析】 【分析】
（1）设出直线l 的方程2()x my m =+∈R ，联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系及弦长公式计算即可；
（2）设以PQ 为直径的圆经过点()00,A x y ，()
2
0022,2AP m x m y =+--，()00,2AQ x m y =--，利
用0AP AQ ⋅=得()222
0000042420x m y m x y x --++-=，令00220
00420
4020
x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩解方程组即可.
【详解】
（1）由题可知，直线l 的斜率不为0，设其方程为2()x my m =+∈R ，
将2x my =+代入2
4y x =，消去x 可得2
480y my --=，
显然216320m ∆=+>，设()11,M x y ，()22,N x y ，则124y y m +=，128y y =-，
所以
12||MN y y =
-==
因为||MN =
，所以
=m =
所以直线l 的方程为20x
--=或20x +-=.
（2）因为1
2
MP MN =
，所以P 是线段MN 的中点， 设(),P P P x y ，则由（1）可得()212124
2222
P m y y x x x m +++=
==+，1222P y y y m +==，
所以()
2
22,2P m m +，又PQ y ⊥轴，垂足为Q ，所以(0,2)Q m ，
设以PQ 为直径的圆经过点()00,A x y ，则()
2
0022,2AP m x m y =+--，()00,2AQ x m y =--，
所以0AP AQ ⋅=，即()
()2
2
0002220x m x m y -+-+-=，
化简可得()222
0000042420x m y m x y x --++-=①，令00220
00420
4020
x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩，可得0020x y =⎧⎨=⎩，
所以当02x =，00y =时，对任意的m ∈R ，①式恒成立， 所以以PQ 为直径的圆过定点，该定点的坐标为(2,0).
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线中的定点问题，考查学生的计算能力，是一道中档题.
角度四、以探索定值存在性为情景的问题
1、已知定点()30A -,
，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为1
9
-，记动点M 的轨迹为曲线C 。 （1）求曲线C 的方程；
（2）过点()1,0T 的直线与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点()0,0S x ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在，求出S 坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】(1) ()2
2139
x y x +=≠± ；(2) 存在定点()3,0S ±，见解析
【分析】（1）设动点(,)M x y ，则,(3)33MA MB y y k k x x x =
=≠±+-，利用1
9
MA MB k k =-，求出曲线C 的方程． （2）由已知直线l 过点(1,0)T ，设l 的方程为1x my =+，则联立方程组22
1
99x my x y =+⎧⎨
+=⎩
， 消去x 得2
2
(9)280m y my ++-=，设1(P x ，1)y ，2(x Q ，2)y 利用韦达定理求解直线的斜率，然后求解指向性方程，推出结果．
【详解】（1）设动点(),M x y ，则()33MA y k x x =
≠-+，()33MB y k x x =≠-，1
9
MA MB
k k ⋅=-， 即
1339y y x x ⋅=-+-，化简得：22
19x y +=，由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为()22139
x y x +=≠±。 （2）由已知直线l 过点()1,0T ，设l 的方程为1x my =+，则联立方程组22
1,
19
x my x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩， 消去x 得()22
9280m y my ++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122122
2,98.9m y y m y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨
⎪=-⎪+⎩
又直线SP 与SQ 斜率分别为1110101SP y y k x x my x =
=-+-，22
2020
1SQ y y k x x my x ==-+-，
则()()()()1222
21020008
11991SP SQ y y k k my x my x x m x -⋅=
=+-+--+-。
当03x =时，m R ∀∈，()
2
082991SP SQ k k x -⋅=
=--；
当03x =-时，m R ∀∈，()
208118
91SP SQ k k x -⋅=
=--。 所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值。
【点睛】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题． 角度五、以探索最值存在性为情景的问题
1、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心、过椭圆左顶点M 的圆与直线
3x －4y ＋12＝0相切于点N ，且满足＝1
2
.
(1)求椭圆C 的标准方程．
(2)过椭圆C 右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于不同的A ，B 两点，问：△F 1AB 内切圆的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由．
【详解】(1)因为圆F 2与直线3x －4y ＋12＝0相切且过椭圆左顶点M ，则MF 2为圆F 2的半径，且半径为a ＋c .椭圆右焦点F 2(c,0)，所以由点F 2到直线3x －4y ＋12＝0的距离等于a ＋c 得|3c ＋12|
5
＝a ＋c ，
则12＝5a ＋2c .又＝1
2
，则2c ＝a .由a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1.
故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△F 1AB 的内切圆半径为r ，
△F 1AB 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8，所以S △F 1AB ＝1
2×8×r ＝4r .
根据题意，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4＋y 2
3＝1，x ＝my ＋1得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，Δ＝(6m )2＋36(3m 2＋4)>0恒成立， 且y 1＋y 2＝－6m
3m 2＋4，y 1y 2＝－9
3m 2＋4，所以S △F 1AB ＝1
2|F 1F 2||y 1－y 2|＝
(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋1
3m 2＋4
.
令t ＝
m 2＋1，则t ≥1，所以S △F 1AB ＝
12t 3t 2＋1＝4t ＋1
3t
. 令f (t )＝t ＋13t ，则当t ≥1时，f ′(t )＝1－13t 2>0，所以f (t )＝t ＋1
3t
在[1，＋∞)上单调递增，
所以f (t )≥f (1)＝4
3，S △F 1AB ≤3，即当t ＝1，m ＝0，直线l 的方程为x ＝1时，S △F 1AB 的最大值为3，
此时内切圆半径最大，且r ＝34，所以△F 1AB 内切圆的面积有最大值9
16π.
角度六、以探索直线存在性为情景的问题
1、如图，已知A (−1,0)、B (1,0)，Q 、G 分别为△ABC 的外心，重心，QG //AB .
（1）求点C 的轨迹E 的方程；
（2）是否存在过P (0,1)的直线L 交曲线E 于M ，N 两点且满足MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2PN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，若存在求出L 的方程，若不存在请说明理由. 【答案】（1）x 2+y 23
=1(xy ≠0)；
（2）不存在. 【分析】
（1）设点C (x,y )(xy ≠0)，利用重心的坐标公式得出点G 的坐标为(x 3,y 3)，可得出点Q (0,y
3)，由|QA |=|QC |可得出点C 的轨迹E 的方程；
（2）由题意得出直线L 的斜率存在，并设直线L 的方程为y =kx +1，设点M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)，将直线L 的方程与曲线E 的方程联立，并列出韦达定理，由MP
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2PN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，可得出x 1=−2x 2代入韦达定理求出k 的值，即可得出直线L 的方程，此时，直线L 过点(−1,0)或(1,0)，从而说明直线L 不存在. 【详解】
（1）设点C (x,y )(xy ≠0)，则点G (x 3,y 3)，由于QG //AB ，则点Q (0,y
3).
由|QA |=|QC |，可得出1+y 2
9
=x 2+4y 2
9
，化简得x 2+y
2
3
=1.
因此，轨迹E 的方程为x 2+
y 23
=1(xy ≠0)；
（2）当L 与y 轴重合时不符合条件.假设存在直线L:y =kx +1，设点M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2).
将直线L 的方程与曲线E 的方程联立{y =kx +1
x 2+y 2
3=1 ，消去y 得(k 2+3)x 2+2kx −2=0， 由韦达定理得x 1+x 2=−2k k 2+3，x 1x 2=−2
k 2+3.
MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−x 1,1−y 1)，PN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 2,y 2−1)，∵MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2PN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴−x 1=2x 2，得x 1=−2x 2， 即x 1
x
2
=−2，∵
(x 1+x 2)2x 1x 2
=4k 2
(k 2+3)2
⋅(−
k 2+32)=−2k 2
k 2+3，
另一方面
(x 1+x 2)2x 1x 2
=
x 1x 2
+
x 2
x
1
+2=−12
=−2k 2k 2+3
，得k 2=1，解得k =±1.
则直线L 过点(−1,0)或(1,0)，因此，直线L 不存在.
【点睛】本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了椭圆中的向量问题，在求解时可充分利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.
2、设经过点()(),00M a a <的直线1l 与抛物线24y x =相交于P 、Q 两点，经过点M 的直线2l 与抛物线
24y x =相切于点H .
（1）当1a =-时，求11
PM QM
+的取值范围；
（2）问是否存在直线1l ，2l 使得MH MP MQ =⋅成立，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1
）⎫
⎪⎪⎝⎭
；（2）10a -<<. 【分析】（1）设()11,P x y ，()22,Q x y ，因为直线l 经过定点()1,0M -，所以可设直线l 的方程为1x my =-，
则由214x my y x
=-⎧⎨=⎩得2440y my -+=，利用韦达定理和弦长公式，化简可得11PM QM
+=再根据函数的性质即可求出结果；
（2）假设存在直线1l ，2l
使得MH MP MQ =⋅成立，不妨设1l ：1x m y a =+，2l ：2x m y a =+，
则由124x m y a y x
=+⎧⎨=⎩得2
1440y m y a --=， 利用韦达定理和弦长公式可得
()
()221
121
114MP MQ MP MQ m
y y m a ⋅=⋅=+=+-；又224x m y a y x
=+⎧⎨=⎩得()2
22,2H m m ，所以
4
H a M =由
MH MP MQ =⋅得到()()()211414m a a a =+->--，由此
即可求出结果.
【详解】（1）设()11,P x y ，()22,Q x y ，因为直线l 经过定点()1,0M -，所以可设直线l 的方程为1x my =-，
则由214x my y x
=-⎧⎨=⎩得2
440y my -+=，()21610m ∆=->得21m >，∴124y y m +=，12
4y
y ，
∴
11
P M M Q +=
1
22111
y y y ⎛⎫=+=
⎪⎪
⎭
,12⎛⎫=
=== ⎪ ⎪
⎝⎭
. （2）假设存在直线1l ，2l 使得MH MP MQ =⋅成立，不妨设1l ：1x m y a =+，2l ：2x m y a =+，
则由12
4x m y a y x
=+⎧⎨
=⎩得21440y m y a --=，()21160m a ∆=+>得2
10m a +>， ∴1214y y m +=，124y y a =-，∴(
)()2
21
12
1
114MP MQ MP MQ m y y m a ⋅=⋅=+=+-，
由224x m y a y x
=+⎧⎨=⎩得22440y m y a --=，()22160m a ∆=+=得22m a =-， 得(
)
2
22,2H m
m ，∴(M m H =
=
由MH MP MQ =⋅得到()
()()2
11414m a a a =+->--，
两边平方得()()
2
2284444a a a a
->-，即2448a a -<，得10a -<<.
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了弦长公式，属于中档题.
方法点拨
1、探索性问题：此类问题一般分为探究条件、探究结论两种。若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论。 2.圆锥曲线中存在性问题的求解方法：
(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法． (3)当条件和结论不唯一时要分类讨论.
(4)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.
(5)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.
巩固练习
1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，己知F 是椭圆()2
22:10x C y a a
+=>的右焦点，P 是椭圆C 上位于x
轴上方的任意一点，过F 作垂直于PF 的直线交其右准线:2l x =于点Q .
（1）求椭圆C 的方程； （2）若9
8
PQ PF ⋅=
，求证：直线PQ 与椭圆C 相切； （3）在椭圆C 上是否存在点R ，使四边形OQPR 是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点R 的坐标：若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2
212x y +=（2）见解析（3）存在，R ⎛- ⎝
⎭. 【解析】 【分析】
（1）准线方程为2
a x c
=，结合221a c =+即可得到答案；
（2）98PQ PF ⋅=⇒324PF =⇒1,24P ⎛ ⎝⎭
，由点斜式写出FQ 的方程，进一步得到Q 的坐标，利用P 、Q 两点的坐标写出PQ 方程，再与椭圆方程联立消元，判断方程解的个数即可；
（3）当直线PF 的斜率不存在，则P ⎛ ⎝⎭
，()2,0Q .此时存在R ⎛-
⎝⎭，使得四边形OQPR 是平行四边形；当直线PF 的斜率存在，设()()0000,1,0P x y x y ≠>，分别求出,Q R 的坐标，利用RP OQ k k =及
22
0022x y +=解方程组即可判断.
【详解】（12
2=，解得a =
C 的方程为22
12
x y +=.
（2）因为()
2
9
8
PQ PF PF FQ PF PF FQ PF ⋅=+⋅=+⋅=
，由于FQ PF ⊥，所以0FQ PF ⋅=，
所以324
PF =
.设()()000,0P x y y >，则()0224x -=
，
所以012x =，即点P 的坐标为12⎛ ⎝⎭
.由直线PF 的斜率为，
所以直线FQ 的方程为)17y x =-，令2x =，得7Q y =，即2,7Q ⎛ ⎝⎭
，
高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 1.(2021·重庆八中月考)已知椭圆C :x 2 4+ y 23 =1的右焦点为F ,过点M (4,0)的直线l 交椭圆 C 于A ,B 两点,连接AF ,BF 并延长分别与椭圆交于异于A ,B 的两点P ,Q. (1)求直线l 的斜率的取值范围; (2)若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,证明:λμ为定值. 2.(2021·河北张家口三模)已知抛物线C :y 2=4px (p>0)的焦点为F ,且点M (1,2)到点F 的距离比到y 轴的距离大p. (1)求抛物线C 的方程; (2)若直线l :x-m (y+2)-5=0与抛物线C 交于A ,B 两点,问是否存在实数m ,使|MA|·|MB|=64√2?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由. 3.(2021·江苏南通适应性联考)已知双曲线C :x 2 a 2−y 2 b 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F 1,F 2,一条渐近线方程为y=bx (b ∈N *),且双曲线C 经过点D (√2,1). (1)求双曲线C 的方程; (2)设点P 在直线x=m (y ≠±m ,0
(1)求椭圆C 的方程; (2)过点P (-3,0)的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线HA ,HB 分别交x 轴于M ,N 两点,点G (-2,0),若PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1 λ+1 μ 为定值. 5.(2021·广东汕头三模)已知圆C :x 2+(y-2)2=1与定直线l :y=-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切. (1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程; (2)已知点P 是直线l 1:y=-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A ,B. ①求证:直线AB 过定点; ②求证:∠PCA=∠PCB. 6.(2021·北京东城一模)已知椭圆C :x 2 a 2+y 2 b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),且焦距为2√3. (1)求椭圆C 的方程; (2)过点A (-4,0)的直线l (不与x 轴重合)与椭圆C 交于P ,Q 两点,点T 与点Q 关于x 轴对称,直线TP 与x 轴交于点H ,是否存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
圆锥曲线常见题型归纳 一、基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意： （1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况； （3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中 222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=； 例题： （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ） A ．421=+PF PF B ．6 21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122 2 2 1 =+PF PF （答：C ）； （2） 方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支） （3）已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2） （4）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11 (3,) (,2)22 ---）； （5）双曲线的离心率等于25 ，且与椭圆14 922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2 214x y -=）； （6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为 _______（答：226x y -=） 二、定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理； 圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±； ③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为 2a ，短轴长为2b ； ④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 例：（1）若椭圆1522=+m y x 的离心率510 = e ，则m 的值是__（答：3或325）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答： p e c b a ,,,,
第三章解析几何 专题14 圆锥曲线中的探索性问题 【压轴综述】 纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等. 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解存在性和探索性问题等. 1.探究性问题求解的思路及策略 (1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在． (2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论； ②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． 在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别． 2.解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立. （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去. （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解. 【压轴典例】 例1.（2019·湖北高三开学考试（文））设O为坐标原点，动点M在椭圆E: 22 1 42 x y +=上，过点M作x 轴的垂线，垂足为N，点P满足2 NP NM =.
第2课时 定点、定值、探索性问题 考点一 定点问题 【例1】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2且F 2关于直线x －y ＋a ＝0的对称点M 在直线3x ＋2y ＝0上． (1)求椭圆的离心率； (2)若C 的长轴长为4且斜率为1 2 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，问是否存在定点P ，使得PA ， PB 的斜率之和为定值？若存在，求出所有满足条件的P 点坐标；若不存在，说明理由． 解 (1)依题知F 2(c ，0)，设M (x 0，y 0)，则y 0 x 0－c ＝－1且 x 0＋c 2 －y 0 2＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－a ， y 0＝a ＋c ， 即M (－a ，a ＋c )． ∵M 在直线3x ＋2y ＝0上，∴－3a ＋2(a ＋c )＝0，即a ＝2c ，∴e ＝c a ＝1 2. (2)存在．由(1)及题设得c a ＝1 2 且2a ＝4，∴a ＝2，c ＝1， ∴椭圆方程为x 24＋y 2 3 ＝1， 设直线l 方程为y ＝12x ＋t ，代入椭圆方程消去y 整理得x 2＋tx ＋t 2 －3＝0. 依题知Δ＞0，即t 2 －4(t 2 －3)＞0，t 2 ＜4， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－t ，x 1x 2＝t 2 －3， 如果存在P (m ，n )使得k PA ＋k PB 为定值，那么k PA ＋k PB 的取值将与t 无关， k PA ＋k PB ＝y 1－n x 1－m ＋y 2－n x 2－m ＝⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫n －32m t ＋2mn －3 t 2＋mt ＋m 2－3 ， 令 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫n －32m t ＋2mn －3t 2＋mt ＋m 2－3 ＝M ， 由Mt 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mM ＋32m －n t ＋m 2 M －3M －2mn ＋3＝0， 由题意可知该式对任意t 恒成立，其中t 2 ＜4，
10 以椭圆为情景的探索性问题 典例分析 角度一、以探索多边形形状为情景的问题 1、已知椭圆C ：()，直线不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ， 线段AB 的中点为M ． （Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由． 2.已知椭圆的一个焦点在直线上，且离心率. （1）求该椭圆的方程； （2）若与是该椭圆上不同的两点，且线段的中点在直线上，试证： 轴上存在定点，对于所有满足条件的与，恒有； （3）在（2）的条件下， 能否为等腰直角三角形？并证明你的结论. 角度二、以探索定点存在性为情景的问题 1、如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>> ，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两 点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为 （1）求椭圆E 的方程； （2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得 QA PA QB PB = 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2 2 2 9x y m +=0m >l l ( ,)3 m m 22 221(0)x y a b a b +=>>:10l x -=12e =P Q PQ T l x R P Q RP RQ =PQR ∆
角度三、以探索直线与圆锥曲线位置关系为情景的问题 1、椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量 120BF BF ⋅=. （1）若(2,0)A ，求椭圆的标准方程； （2）设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过1F ，问是否存在过2F 的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由. 2、已知抛物线2:4C y x =与过点(2,0)的直线l 交于,M N 两点. （1）若MN =l 的方程； （2）若1 2 MP MN = ，PQ y ⊥轴，垂足为Q ，探究：以PQ 为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 角度四、以探索定值存在性为情景的问题 1、已知定点()30A -, ，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为1 9 -，记动点M 的轨迹为曲线C 。 （1）求曲线C 的方程； （2）过点()1,0T 的直线与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点()0,0S x ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在，求出S 坐标；若不存在，请说明理由。 角度五、以探索最值存在性为情景的问题 1、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心、过椭圆左顶点M 的圆与直线 3x －4y ＋12＝0相切于点N ，且满足MF 1―→＝12 F 1F 2―→ . (1)求椭圆C 的标准方程． (2)过椭圆C 右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于不同的A ，B 两点，问：△F 1AB 内切圆的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由． 角度六、以探索直线存在性为情景的问题 1、如图，已知A (−1,0)、B (1,0)，Q 、G 分别为△ABC 的外心，重心，QG //AB .
圆锥曲线高考常见题型与分析 有关圆锥曲线的高考命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查．既有对基础知识的考查，又有与其他知识的综合考查，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，下面例谈圆锥曲线高考题常见类型． 一、轨迹问题 例1 椭圆方程为2 2 14y x +=，过点(01)M ，的直线l 交椭圆于点A B O ，，是坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程． 解：设()P x y ，，11()A x y ，，22()B x y ，， 由题意，得122x x x +=，122y y y +=，2121 1y y y x x x --=-． 又∵A B ，在椭圆上，代入椭圆方程并相减，得121212121()()()()04x x x x y y y y -++ -+=． 当12x x ≠时，有12121212 1()04y y x x y y x x -+++=-． 即112204y x y x -+=， 整理，得2240x y y +-=；① 当12x x =时，点A B ，的坐标分别为(02)， ，(02)-，，这时点P 的坐标为(00)，，也满足①． 故点P 的轨迹方程为：2 212111 1616 y x ??- ???+=． 评析：本题主要考查椭圆的方程和性质等基础知识及轨迹的求法与应用和综合解题能力．利用点差法是求解的关键． 二、对称问题 例2 已知椭圆C 的方程22 143 x y +=，试确定m 的取值范围，使得C 上有不同的两点关于直线4y x m =+对称． 解：设椭圆上两点为11()A x y ，，22()B x y ，， 代入椭圆方程并相减，得121212123()()4()()0x x x x y y y y +-++-=．① 又设AB 中点为()D x y ，，斜率为k ， 由题意得122x x x +=，122y y y +=，121214 y y k x x -==--， 代入①，得3y x =． 又由34y x y x m =??=+? ，，，解得D 点(3)m m --，． 要使D 点在椭圆内，则有22()(3)143m m --+<．解得2132131313 m -<<． 评析：在曲线上两点关于某直线对称问题，分三步：求两点所在的直线；求这两直线的交点；使交点在圆锥曲线内． 三、参数范围问题 例3 设双曲线2 22:1(0)x C y a a -=>与直线:1l x y +=相交于不同的点A B ，．试求C 的离心率e 的取值范围．
圆锥曲线中的探索性问题 一、常见基本题型： （1）探索图形的面积问题 1.斜率为2的直线BD 交椭圆22 : 124 x y C +=于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合。 则ABD ?面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （2）探索图形的形状问题 2.已知抛物线2:(0)C y mx m =>，焦点为F ，直线220x y -+= 交抛物线C 于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线 C 于点Q ,是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的 直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理 由。
(3)探索点、直线的存在性 3.如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点， 与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D． 当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由 4.已知B、C是曲线C：24(1) y x =+上不同两点，满足(0,) OB OC R λλλ =≠∈，在x轴上是否存在点(,0) A m，使得A B AC ⊥，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由。
5.设椭圆 22 :1 43 x y C+=的左、右焦点分别为 12 ,F F，过右焦点 2 F作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点， 在x轴上是否存在点(,0) P m，使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由。6.直线l与椭圆 2 21 4 y x +=交于 11 (,) A x y， 22 (,) B x y两点，已知 11 (2,) m x y =， 22 (2,) n x y =，若m n ⊥,试问：AOB ?的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
圆锥曲线 圆锥曲线部分历来是高考的重点,也是学生心中的难点,很多学生对圆锥曲线都有畏惧心理.从高考成绩分析上来看,圆锥曲线也是高考得分较低的部分;从考纲上来看,一般会"考查学生对解析几何基本概念的掌握情况,考查学生对解析几何基本方法的一般应用情况,适当地考查学生对几何学知识的综合应用能力,重视对数学思想方法的渗透".通过近几年的高考可以看到浙江高考题在圆锥曲线这一块考抛物线较多。圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题第（1）问起点较低，但在第（2）问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴题的形式呈现．解决此类问题的关键是找到已知条件和代求问题之间的联系，实现代求问题代数化，与已知条件得到的结论有效对接，难点在于代求问题的转化问题 方法总结 1.圆锥曲线中最值问题的求解方法 （1）几何法：通过利用圆锥曲线的定义和几何性质进行求解 （2）代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数 方法、不等式方法等进行求解．函数主要是二次函数、对勾函数或者导数求解，不等式主要是运用基 本不等式求解 2.圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 3定点、定值模板 1.寻找适合运动变化的量或者参数，如点坐标，直线的斜率，截距等，把相关问题用参数表示备用，或 者找寻带有参数的直线与曲线联立方程组，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用韦达定理列出x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2的关系式备用 2.根据已知条件把定点、定值问题转化为与参数有关的方程问题，与第一步的结论对接 3，确定与参数无关点、值，即为所求.
专题 圆锥曲线中的探索性问题 1．(2016·课标全国乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ： y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． 2．(2016·)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个 顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标； (2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2 ＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值． 高考必会题型 题型一 定值、定点问题 例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为1 2 ，直线l 经过椭圆C 的右焦
点F交椭圆于A、B两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l交y轴于点M，且MA→＝λAF→，MB→＝μBF→，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由． 变式训练1 已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点M(5，－2)的动直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为－1时，点M恰为AB的中点． (1)求抛物线的方程； (2)抛物线上是否存在一个定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过点P，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 题型二定直线问题 例2 在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2＝ 2py(p>0)相交于A，B两点． (1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值； (2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦
高考中的圆锥曲线问题题型一范围问题 例1 已知椭圆C：x 2 a2+y2 b2 =1（a＞b＞0）的离心率e=√3 2 ，直线x+√3y-1=0被 以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为√3. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点M（4，0）的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ=|MA|∙|MB|，求λ的取值范围 思维总结：解决圆锥曲线中的取值范围问题需要从以下几个方面考虑： （1）利用圆锥曲线的几何关系或判别式构造不等关系，确定参数的取值范围（2）利用已知的范围求新参数范围时，着重去寻找并建立两个参数之间的等量关系式 （3）利用题目中隐含的不等关系构造不等式，确定参数的取值范围 （4）利用题目中已知的不等关系构造不等式，确定参数的取值范围 （5）利用函数中求值域的方法，把需要求的量表示为其他相关变量的函数，求函数的值域，确定出参数的取值范围。 变式1 已知F1，F2是椭圆C：x 2 a2+y2 b2 =1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的 点，O为坐标原点. （1）若△PO F2为等边三角形，求C的离心率 （2）如果存在点P，是的P F1⊥P F2，且△F1P F2的面积等于16，求b的值和a 的取值范围.
题型二最值问题 例2（几何法求最值）已知抛物线C1：y²=4x和C2：x²=2py（p＞0）的焦点分别为F1，F2，点P（-1，-1）且F1F2⊥OP（O为坐标原点）. （1）求抛物线C2的方程； （2）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN 面积的最小值. 例3（代数法求最值）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2，以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左右焦点的椭圆E恰好）. 经过点（1，√2 2 （1）求椭圆E的标准方程； （2）设经过点（-2，0）的直线l与椭圆E交于M、N两点，，求△F2MN面积的最大值. 思维总结：圆锥曲线最值问题的两种求解方法 1.利用几何法，利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质 等进行求解； 2.利用代数法，把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（某些）参数的 函数（或解析式），利用函数方法或不等式等方法进行求解. 变式2 已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y²=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 .
圆锥曲线中的探索性问题是高考命题的热点，主要以解答题的形式出现，难度较大，一般作为压轴题．解决这类问题往往采用“假设反证法”或“假设检验法”，也可先用特殊情况得到所求值，再给出一般性的证明．考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力，同时着重考查学生的分析问题与解决综合问题的能力． “大题规范解答——得全分”系列之(九 圆锥曲线中探索性问题的答题模板 [典例](2012福建高考·满分13分如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8. (1求椭圆E的方程； (2设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． [教你快速规范审题] 1．审条件，挖解题信息 ―→, 2．审结论，明解题方向 ―→―→
．建联系，找解题突破口 1．审条件，挖解题信息 ―→， 2．审结论，明解题方向 ―→ ,·,＝0恒 成立 3．建联系，找解题突破口 [教你准确规范解题] (1因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8， 即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，(1分 又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，(2分 所以4a＝8，a＝2. 又因为e＝，即＝，所以c＝1，(3分 所以b＝＝.
故椭圆E的方程是＋＝1.(4分 (2由消去y得(4k2＋3x2＋8kmx＋4m2－12＝0.(5分 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0，所以m≠0且Δ＝0，(6分 即64k2m2－4(4k2＋3(4m2－12＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(* (7分 此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝， 所以P. (8分 由得Q(4,4k＋m． (9分 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上． (10分 设M(x1,0，则·＝0对满足(*式的m，k恒成立． 因为＝，＝(4－x1,4k＋m， 由·＝0， 得－＋－4x1＋x＋＋3＝0， 整理，得(4x1－4＋x－4x1＋3＝0.(** (11分 由于(**式对满足(*式的m，k恒成立， 所以解得x1＝1. (12分 故存在定点M(1,0，使得以PQ为直径的圆恒过点M. (13分 [常见失分探因] ————————————[教你一个万能模板]—————————————————
专题11：椭圆中的存在探索性问题 1．已知椭圆C ：()22 2210x y a b a b +=>>，长轴为4，不过坐标原点O 且 不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值1 4 -. （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l 过右焦点2F ，问y 轴上是否存在点D ，使得三角形ABD 为正三角形，若存在，求出点D 坐标，若不存在，请说明理由. 2．已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上一动点，当12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3 b ，椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过1F 的直线与椭圆相交于点C ，D （不与顶点重合），过右顶点B 分别作直线BC ，BD 与直线4x =-相交于N ，M 两点，以MN 为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 3．椭圆E ：22x a ＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)经过点A (－2，0)，且离心率为2 . （1）求椭圆E 的方程； （2）过点P (4，0)任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N .在x 轴上是否存在点Q ，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知A 、B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a +=>的左顶点和下顶点，P 为
直线3x =上的动点，AP BP ⋅的最小值为594 ． （1）求E 的方程； （2）设PA 与E 的另一交点为D ，PB 与E 的另一交点为C ，问：是否存在点P ，使得四边形ABCD 为梯形，若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>． （1）求椭圆G 的方程； （2）过点(0,1)M 斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆G 于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点N 使得ANM BNM ∠=∠（点N 与点M 不重合），若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 6．已知椭圆22 2:1(0)3 x y C a a +=>的焦点在x 轴上，且经过点31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，左顶点为D ，右焦点为F ． （1）求椭圆C 的离心率和DEF 的面积； （2）已知直线1y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点，过点B 作直线 (y t t =>的垂线，垂足为G ，判断是否存在常数t ，使得直线AG 经过y 轴上的定点？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 7．已知椭圆E ：()22 2210x y a b a b +=>>.左焦点()1,0F -，点()0,2M 在 椭圆E 外部，点N 为椭圆E 上一动点，且 NMF 的周长最大值为 4. （1）求椭圆E 的标准方程； （2）点B ､C 为椭圆E 上关于原点对称的两个点，A 为左顶点，若直线AB ､AC 分别与y 轴交于P ､Q 两点，试判断以PQ 为直径
2018-2022高考真题 圆锥曲线 解答题全集 （学生版 解析版） 一．解答题（共60小题） 1．（2022•全国）已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），直线y =2√3 3x 交C 于A ，B 两点，|AB |＝2√7，四边形AF 1BF 2的面积为4√3． （1）求c ； （2）求C 的方程． 2．（2022•天津）椭圆 x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且 满足|BF| |AB|=√32 ． （1）求椭圆的离心率e ； （2）直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若|OM |＝|ON |，且△OMN 的面积为√3，求椭圆的标准方程． 3．（2022•上海）设有椭圆方程Γ： x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0），直线l ：x +y ﹣4√2=0，Γ下端 点为A ，M 在l 上，左、右焦点分别为F 1（−√2，0）、F 2（√2，0）． （1）a ＝2，AM 中点在x 轴上，求点M 的坐标； （2）直线l 与y 轴交于B ，直线AM 经过右焦点F 2，在△ABM 中有一内角余弦值为3 5， 求b ； （3）在椭圆Γ上存在一点P 到l 距离为d ，使|PF 1|+|PF 2|+d ＝6，随a 的变化，求d 的最小值． 4．（2022•浙江）如图，已知椭圆 x 212 +y 2＝1．设A ，B 是椭圆上异于P （0，1）的两点，且
点Q （0，1 2 ）在线段AB 上，直线P A ，PB 分别交直线y =−12 x +3于C ，D 两点． （Ⅰ）求点P 到椭圆上点的距离的最大值； （Ⅱ）求|CD |的最小值． 5．（2022•新高考Ⅰ）已知点A （2，1）在双曲线C ：x 2a 2 − y 2a 2−1 =1（a ＞1）上，直线l 交 C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0． （1）求l 的斜率； （2）若tan ∠P AQ ＝2√2，求△P AQ 的面积． 6．（2022•乙卷）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A （0，﹣2），B （3 2，﹣1）两点． （1）求E 的方程； （2）设过点P （1，﹣2）的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT → =TH → ．证明：直线HN 过定点． 7．（2022•北京）已知椭圆E ：x 2 a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （0，1），焦距为2√3． （Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）过点P （﹣2，1）作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ．当|MN |＝2时，求k 的值． 8．（2022•甲卷）设抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点D （p ，0），过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，|MF |＝3． （1）求C 的方程； （2）设直线MD ，ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN ，AB 的倾斜角分别为α，β．当α﹣β取得最大值时，求直线AB 的方程．
圆锥曲线的综合问题 直线和圆锥曲线问题解法的一般规律 “联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”． 【一】．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断． 1.设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程f (x ，y )＝0. 由 Ax+0(,)0 {By c f x y +==，消元。如消去y 后得ax 2 ＋bx ＋c ＝0. ①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行或重合． ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac . a ．Δ ＞ 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； b ．Δ ＝ 0时，直线和圆锥曲线相切于一点； c ．Δ ＜ 0时，直线和圆锥曲线没有公共点． 2.“点差法”的常见题型 求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ>0是否成立． 3．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为k P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2| |P 1P 2|(2)当斜率k (利用轴上两点间距离公式)． 4．圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0， y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所 在直线的斜率k ＝b 2x 0 a 2y 0 ；在抛物线y 2＝2px (p >0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k
圆锥曲线选填练习 一．选择题（共8小题） 1．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与 椭圆交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为（） A．B．2﹣C．﹣2D．﹣ 2．已知椭圆x2+y2=a2（a＞0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共 点，则a的取值范围是（） A．B．或 C．或D． 3．如图所示，A，B，C是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经 过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（） A．B．C．D．3 4．已知双曲线的标准方程为，F为其右焦点，A1，A2是实轴的两端点，设P为双曲线上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x=a分别交于两点M，N，若，则a的值为（） A．B．C．D．
5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为（） A．B．C．D． 6．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（） A．B．C．D． 7．设F是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l1， l2，过F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A、B两点，且向量与同向．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线离心率e的大小为（） A．B．C．D．2 8．已知F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线上 的点P满足∠F1PF2=60°，且|OP|=a（O为坐标原点），则该双曲线的离心率是（） A．2B．C．D． 二．填空题（共7小题） 9．已知Q为椭圆C：上一动点，且Q在y轴的右侧，点M（2，0），线段QM的垂直平分线交y轴于点N，则当四边形OQMN的面积取最小值时，点Q的横坐标为． 10．已知点F（1，0）是抛物线C：y2=mx的焦点，经过点A（﹣1，0）的直线l 与抛物线C交于两点M，N，若∠MFN是锐角，且直线l与双曲线4x2+ny2=1只有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是．
圆锥曲线综合题高考常见题型与分析 本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题,从近几年的高考试题来看,除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外,在选择题或填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高,但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果. (1)关于圆锥曲线的方程求解,一般是由定义法求曲线的方程或由已知条件直接求曲线方程,有时也会以求轨迹的形式出现,难度中等. (2)除了方程的求解,还有如下考查内容,圆锥曲线的弦长问题、最值问题、定点定值问题、探索性问题等,考查的知识点较多,能力要求高,尤其在考查学生的运算求解变形能力上,此类问题体现的淋漓尽致,是高考试题中区分度较高的题目. (3)预测2015年的高考,对本节知识的考查仍以解答题为主,选择的载体一般是椭圆,主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题,有时会与向量的共线、模和内积等联系起来;对于方程的求解,不要忽视轨迹的求解形式,后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查,探索类和存在性问题考查的概率也很高. 一、直线和圆锥曲线经典结论 椭 圆 1. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 2. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 3. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 4. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则 切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 5. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12 F PF g ?，则椭圆的焦点角形的面积为1 2 2tan 2 F PF S b g D =. 6. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 7. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?-，即。 8. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 0000 2222 x x y y x y a b a b +=+ . 9. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22 002222x x y y x y a b a b +=+. ),(00y x 0 202 y a x b K AB -=
第27讲 圆锥曲线压轴大题十类 【题型一】 五个方程题型框架 【典例分析】 已知圆C 经过两点A (2，2)，B (3，3)，且圆心C 在直线x －y +1=0上. （1）求圆C 的标准方程； （2）设直线l ：y =kx +1与圆C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若64 5 OM ON ⋅= ，求|MN |的值. 【答案】（1）22(2)(3)1x y -+-=（225 【分析】 （1）设圆C 的方程为()222 ()()0x a y b r r -+->=，由已知列出关于a ，b ，r 的方程组求解即可得答案； （2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，将1y kx =+代入22(2)(3)1x y -+-=，利用根与系数的关系结合向量数量积的坐标运算求出k 值，再利用弦长公式即可求解． （1）解：设所求圆C 的标准方程为()222 ()()0x a y b r r -+->=， 由题意，有222222 (2)(2)(3)(3)10a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ ，解得231 a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆C 的标准方程为22(2)(3)1x y -+-=； （2）解：设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，将1)1y kx =+。。。。。。。。。。。。。。。。。。方程（ 代入22)(22)(3)1x y -+-=。。。。。。。。。。。。。。。。。。方程（， 整理得22)(1)4(1)703k x k x +-++=。。。。。。。。。。。。。。。。。。方程（， 所以 1224(1)4)1k x x k ++=+。。。。。。 方程（，122 5) 7 1x x k =+。。。。。。方程（ 0∆>，所以2121212122(1)()14(1)64 815 6)OM ON x x y y k x x k x x k k k ⋅=+=+++++= += +。。。。。。方程（， 解得2k =或3k =，