微专题04 追及与相遇问题【核心方法点拨】1．分析技巧：可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口． 2．能否追上的判断方法物体B 追赶物体A ：开始时，两个物体相距x 0.若v A ＝v B 时，x A ＋x 0<x B ，则能追上；若v A ＝v B 时，x A ＋x 0＝x B ，则恰好不相撞；若v A ＝v B 时，x A ＋x 0>x B ，则不能追上．3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动． 【微专题训练】在一大雾天，一辆小汽车以30 m/s 的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m 处有一辆大卡车以10 m/s 的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵．如图7a 、b 分别为小汽车和大卡车的v －t 图线，以下说法正确的是( )A ．因刹车失灵前小汽车已减速，不会追尾B ．在t ＝5 s 时追尾C ．在t ＝3 s 时追尾D ．由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾【解析】由v －t 图象可知，小汽车刹车失灵前做匀减速运动，刹车失灵后加速度减小但仍做匀减速运动，大卡车一直做匀速运动，5 s 时两车速度相等，此时两者位移差为x 小汽车－x大卡车＝12×(10＋20)×1 m ＋12×4×10 m ＝35 m>30 m ，所以在t ＝5 s 前已追尾，A 、B 错误；t ＝3 s 时，由图象知小汽车的位移为x 1＝30＋202×1 m ＋20＋20＋1022×2 m ＝60 m ，大卡车的位移为30 m ，它们的位移差为30 m ，所以t ＝3 s 时追尾，C 正确；如果刹车过程中刹车不失灵，由图可知，刹车的加速度大小为a ＝10 m/s 2，速度相等时，时间t ＝30－1010 s ＝2 s ，小汽车的位移为x 2＝30×2 m －12×10×22 m ＝40 m ，大卡车的位移为20 m ，它们的位移差为20 m ，所以不会发生追尾，D 错误． 【答案】C如图所示，A 、B 两物体相距x ＝7 m ，物体A 以v A ＝4 m/s 的速度向右匀速运动，而物体B 此时的速度v B ＝10 m/s ，只在摩擦力作用下向右做匀减速运动，加速度a ＝－2 m/s 2，那么物体A 追上物体B 所用的时间为( )A ．7 sB ．8 sC ．9 sD ．10 s【解析】B 物体减速到零所需的时间t ＝0－v B a ＝0－10－2 s ＝5 s在5 s 内A 物体的位移x A ＝v A t ＝4×5 m ＝20 m B 物体的位移x B ＝v B ＋02t ＝10＋02×5 m ＝25 m则在5 s 时两物体相距Δx ＝x B ＋7 m －x A ＝(25＋7－20) m ＝12 m 则A 追上B 所需的时间为t ′＝t ＋Δx v A ＝5 s ＋124s ＝8 s ． 【答案】B甲乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的v t 图像如图所示．两图像在t ＝t 1时相交于P 点，P 在横轴上的投影为Q ，△OPQ 的面积为S .在t ＝0时刻，乙车在甲车前面，相距为d .已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为t ′，则下面四组t ′和d 的组合可能是( )A ．t ′＝t 1，d ＝SB ．t ′＝12t 1，d ＝12SC ．t ′＝12t 1，d ＝12SD ．t ′＝12t 1，d ＝34S【解析】在t 1时刻如果甲车没有追上乙车，以后就不可能追上了，故t ′＜t 1，从图像中甲、乙与坐标轴围成的面积即对应的位移看：因为要相遇两次，所以第一次相遇不可能在t 1时刻，故A 项错误；当t ′＝12t 1时，由几何关系可知甲的面积为S ，乙的面积为S4，所以甲的面积比乙的面积多出34S ，即相距d ＝34S 时正好相遇，故B 、C 项组合不可能，D 项组合可能，故选D 项． 【答案】Da 、b 两车在平直公路上沿同方向行驶，其v －t 图象如图5所示，在t ＝0时，b 车在a 车前方x 0处，在0～t 1时间内，a 车的位移为x ，下列说法正确的是( )A ．若a 、b 在t 1时刻相遇，则x 0＝x3B ．若a 、b 在t 12时刻相遇，则下次相遇时刻为2t 1C ．若a 、b 在t 12时刻相遇，则x 0＝x2D ．若a 、b 在t 1时刻相遇，则下次相遇时刻为2t 1【解析】由图可知a 车初速度等于2v 0，在0～t 1时间内发生的位移为x ，则b 车的位移为x3，若a 、b 在t 1时相遇，则x 0＝x －x 3＝23x ，A 错误；若a 、b 在t 12时刻相遇，则图中阴影部分为对应距离x 0，即x 0＝34×23x ＝x 2，由图象中的对称关系可知下次相遇时刻为t 1＋t 12＝32t 1，C 正确，B 错误；若a 、b 在t 1时相遇，之后v b >v a ，两车不可能再次相遇，D 错误．【答案】BC(2016·黄冈高三质检)如图所示，质量均为1 kg 的两个物体A 、B 放在水平地面上相距7 m ，它们与水平地面的动摩擦因数均为μ＝。
《追及与相遇问题》知识清单一、追及问题追及问题是指两个物体在同一直线上运动时，速度快的物体追赶速度慢的物体的问题。
1、速度小者追速度大者（1）类型一：两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者间有最小距离。
比如，一辆慢车在前面行驶，一辆快车在后面追赶。
当两车速度相等时，如果快车还没有追上慢车，那么之后就再也追不上了，而且此时两车的距离是最小的。
（2）类型二：两者速度相等时，若追者位移等于被追者位移，则恰好追上，也是两者相遇时避免碰撞的临界条件。
假设一个行人在前面走，后面有一辆摩托车以较快的速度追赶。
当摩托车的速度和行人的速度相等时，如果此时摩托车刚好追到行人，那么这就是恰好追上的情况。
（3）类型三：两者速度相等时，若追者位移大于被追者位移，则会追上并超过被追者，之后被追者还可能再次追上追者。
就像一辆汽车追赶一辆自行车，当汽车速度和自行车速度相等时，汽车已经超过了自行车。
但如果自行车继续前进，而汽车减速，自行车有可能又会追上来。
2、速度大者追速度小者（1）当两者速度相等时，若还没有追上，则永远追不上。
比如一辆快速行驶的跑车追赶一辆速度较慢的普通轿车，如果在跑车和轿车速度相等时，跑车还没追上轿车，那之后就追不上了。
（2）当两者速度相等时，两者间有最大距离。
例如，一只兔子在前跑，一只猎狗在后追。
当猎狗速度和兔子速度相等时，此时它们之间的距离是最大的。
二、相遇问题相遇问题是指两个物体相向运动，经过一段时间后在途中相遇。
1、相向运动的相遇两物体相向运动，相遇时它们走过的路程之和等于两物体初始位置之间的距离。
比如 A 地和 B 地相距 100 千米，一辆车从 A 地出发以 40 千米/小时的速度行驶，另一辆车从 B 地出发以 60 千米/小时的速度行驶，那么它们经过多长时间会相遇呢？这就是一个典型的相向运动的相遇问题，通过两者速度之和乘以时间等于总路程，可以计算出相遇时间。
2、同向运动的相遇这种情况通常发生在环形跑道上。
专题三 追及与相遇问题“追及”、“相遇”是运动学中研究同一直线上两个物体的运动时常常涉及的两类问题，也是匀变速直线运动规律在实际问题中的具体应用，两者的基本特征相同，都是在运动过程中两个物体处在同一位置，处理方法也大同小异．1． “追及”、“相遇”问题的特征“追及”的主要条件是两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：一是初速度为零的匀加速直线运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙时，一定能追上，在追上之前两者有最大距离的条件是两物体速度相等，即v甲=v 乙．二是匀速运动的物体甲追赶同方向做匀加速运动的物体乙时，存在一个恰好追上或恰好追不上的临界条件是两物体速度相等，即v 甲=v 乙，此临界条件给出了一个判断此种追赶情形能否追上的方法，即可通过比较两物体处在同一位置时的速度大小来分析，具体方法是：假定在追赶过程中两者能处在同一位置，比较此时的速度大小，若v 甲>v 乙，则能追上；若v 甲< v 乙，则追不上，如果始终追不上，当两物体速度相等时，两物体的间距最小．三是匀减速直线运动的物体追赶同方向的匀速运动的物体时，情形跟第二种相类似． 两物体恰能“相遇”的临界条件是两物体处在同一位置时，两物体的速度恰好相同． 2． 解“追及”、“相遇”问题的思路 解题的基本思路是：（1）根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图．（2）根据两物体的运动性质，分别列出两个物体的位移方程．注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中．（3）由运动示意图找出两物体位移间的关联方程． （4）联立方程求解．3． 分析“追及”、“相遇”问题的注意事项（1）分析“追及”、“相遇”问题时，一定要抓住一个条件、两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体 距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等．两个关系是时间关系和位移关系，其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解决问题的关键．（2）若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意追上前该物体是否停止运动．（3）仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件．如“刚好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．4． 解决“追及”和“相遇”问题的方法大致分为两种方法，即数学方法和物理方法．求解过程中可以有不同的思路，如图象法等．【例1】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时，汽车以3m/s 2的加速度开始行驶，恰在此时一辆自行车以6m/s 的速度匀速同向驶过路口，求;（1）汽车在追上自行车之前和自行车之间的最大距离； （2）汽车追上自行车时，汽车的速度为多大？【析】这是一个“追及”和“相遇”问题，汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行车速度时定值．当汽车的速度小于自行车的速度时，两者的距离越来越大；当汽车的速度大于自行车的速度时，两者的距离越来越小，所以当两车速度相等时，两车间的距离最大．【解】（1）方法一：设汽车速度为v 1，自行车速度为v 2，当两车速度相等时，两车间距离最大．即 v 1=at =v 2，则22==av t s ．623212621222max =⨯⨯-⨯=-⋅=∆att v x m ．方法二（利用相对运动求解）：以自行车为参考系，汽车追上自行车之前，初速度：v 0=v 1－v 2=0－6=－6m/s ， 加速度：a =a 1－a 2=3m/s 2．汽车远离自行车减速运动（与自行车对地的运动方向相反），当末速度为v =0时，相对自行车最远． 因为ax v v 2202=-，故6202max -=-=∆av x m ，位移为负号表示汽车比自行车落后．方法三（极值法）：设汽车在追上自行车之前经时间t 相距最远，则：2221223621t t att v x x x -=-=-=∆，利用二次函数求极值条件知： 当2)23(26=-⨯-=t s 时，x ∆最大，6223262max =⨯-⨯=∆x m ．方法四（图象法）：如图2-42所示，作出v-t 图象． 设相遇前时刻t 两车速度相等，即： 汽车速度 v 1=3·t =6，解得t =2时两车相距最远． 两车的位移差：62621max =⨯⨯=∆x m ．（2）方法一：汽车追上自行车时，两车位移相等，即2//221attv =，代入数值得t /=4s ，汽车速度1243//1=⨯==atv m/s ．方法二：由图知，t=2s 以后，若两车位移相等，即速度图线与时间轴所夹的“面积”相等．由几何关系知，相遇时间为t /=4s ，此时汽车速度为1222/1==v v m/s ．【评】本题采用了多种解法，如综合法、相对运动法、极值法、图象法等，各有特色，这体现了对同一问题的理解角度不同，解法不同．在解决运动学问题时，在解题方法上可以从公式图象等多方面、多角度考虑问题，利用图象解决问题能把抽象的物理过程变得直观形象，易于打接受，且计算过程相对简化．【例2】一列快车正以20m/s 的速度在平直轨道上运行时，发现前方180m 处有一货车正以6m/s 速度匀速同向行驶，快车立即制动，加速度大小为0．5m/s 2．．问是否会发生撞车事故？【析】由于刹车开始阶段快车的速度比货车的速度大，所以它们之间的距离逐渐减小，到两车速度相等埋距离最小．如果此时快车没有撞上货车，之后就不会再撞上，因为速度相等以后，快车的速度将小于货车的速度，它们之间的距离将拉大．本题中是否发生撞车，决定于两车速度相等时快车位移x 1是否小于等于货车位移x 2加上180m ．如果小于等于则不会撞车，否则将发生撞车事故．【解】方法一：设快车的初速度为v 1，货车的速度为v 2，当快车的速度减小到6m/s 时所用的时间和发生的位移分别为285.012=--=v v t s ，364285.0212820212211=⨯⨯-⨯=+=att v x m ．这段时间内货车发生的位移16828622=⨯==t v x m ．由于x 2+180=348m<x 1，所以会发生撞车事故． 方法二（利用二次函数求解）：假定经过时间t 两车恰好相撞，则由位移关系有图2-42x 1=x 2+180m 而 21121at t v x +=t v x 22=由以上三式整理得 18065.021202+=⨯-t tt ，解得 t 1=20s ，t 2=36s ．以上两个解都有物理意义，t 1是快车追上货车的时间，，t 2则是假如快车能超过货车的话，货车又反过来追上快车的时间．但对本题，由于快车、货车在同一轨道上运动，故不存在后一种情况．很显然，在t 1时刻，快车的速度v =20－0．5×20=10m/s>6m/s ，所以会发生撞车事故．方法三（利用相对运动求解）：因快车、货车相对运动的初速度为v 0=v 1-v 2=14m/s ， 相对加速度大小为a =a 1=0．5m/s 2．所以当其相对速度为零，相对位移1965.021420220=⨯=--=av x m>180m ，因此会发生撞车事故．【评】追及问题往往可以用多种方法求解．另外，在一些物理问题的求解中，可能出现多解，且有的解是不符合本题情况的，但其物理意义是存在的．若注意对这些解的物理意义进行分析的探讨，会加深对物理问题的理解．【例3】甲、乙两汽车沿平直公路相向行驶，当它们之间相距150m 时甲车开始刹车，且刹车过程中甲车的位移（x ）随时间（t ）变化的规律为22520t t x -=，乙车的位移（x ）随时间（t ）变化的规律为t x 20=，问经过多少时间两车相遇？【析】首先应对两车的运动规律进行分析，从位移（x ）随时间（t ）变化的规律可以得出，甲车的初速度为20m/s ，加速度大小为5m/s 2的匀减速直线运动；而乙车是做速度为20m/s 的匀速直线运动．接着要判断乙车与甲车相遇是在甲车停止之前还是在停止之后，因为汽车刹车过程不可能反向行驶．【解】甲车开始刹车到速度为零需要的时间s a v t 452001===，在这段时间内甲车的位移404254202520221=⨯-⨯=-=tt x m ．在这段时间内乙车的位移80420202=⨯==t x m由于x 1+x 2=120m<150m ，，所以在甲车停止运动后乙车还得再运动一段时间，才能跟甲车相遇，这段时间为s t 5.1201201502=-=．因此，甲、乙两车相遇需要的总时间为t =t 1+t 2=5．5s ． 【评】（1）汽车刹车过程的运动规律随着刹车的结束，运动规律不再起作用．减速运动分可返回的减速运动和不可返回的减速运动，这一点在今后运算中要引起注意．（2）速度和位移公式中的时间t 一定是物体实际运动的时间，若物体有可能停下来时，要注意判断它能运动的实际时间．。
