2019-2020学年广西南宁三中2018级高二下学期期末考试(重点班)理科数学试卷及解析

2019-2020学年广西省南宁三中重点班高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B＝{x|2x+1＞1}，则∁B A＝（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2．设i为虚数单位，复数z满足z（i﹣2）＝5，则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．已知函数f（x）＝x3﹣2x2，x∈[﹣1，3]，则下列说法不正确的是（）A．最大值为9B．最小值为﹣3C．函数f（x）在区间[1，3]上单调递增D．x＝0是它的极大值点5．函数f（x）＝+x的值域是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（0，+∞）D．[1，+∞）6．以下四个命题：①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∉R，x2+x+1≥0；③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件；④f（x）＝sin（ωx+φ）为偶函数的充要条件是φ＝．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．47．已知函数f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2）＝10，那么f（2）等于（）A．﹣10B．﹣18C．﹣26D．108．已知f（x）＝alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）9．已知函数f（x）＝2x3﹣3x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则t 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（0，1）10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（）＝f（），当时，f（x）＝16x﹣1，则f（100）＝（）A．﹣B．﹣1C．﹣D．﹣211．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝2f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1，则当x∈[﹣10，10]时，y＝f（x）与g（x）＝log4|x|的图象的交点个数为（）A．13B．12C．11D．1012．已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[0，e3﹣4]B．[0，+2]C．[+2，e3﹣4]D．[e3﹣4，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．计算：2+2log31﹣3log77+3ln1＝．14．函数f（x）＝x2﹣9lnx的单调减区间为．15．若曲线y＝ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a＝．16．已知函数f（x）＝﹣2klnx+kx，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值集合是．三、解答题（解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.第17-21题每题12分，选做题10分，共70分.）17．如图，△ABC中，AC＝2，，D是边BC上一点．（1）若，BD＝2，求∠C；（2）若BD＝3CD，求△ACD面积的最大值．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）若△ABC是边长为2的正三角形，且BC＝BB1，∠CBB1＝60°，平面ABC⊥平面BB1C1C，求三棱锥A﹣DCA1的体积．19．近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表所示：土地使用面积12345 x（单位：亩）管理时间y（单810132524位：月）并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x，求x的分布列及数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828参考数据：≈25.220．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，直线FM 的斜率为，且原点到直线FM 的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不经过点F的直线l：y＝kx+m（k＜0，m＞0）与椭圆C交于A，B两点，且与圆x2+y2＝1相切．试探究△ABF的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣2ax2+x，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）内单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x2＞．选做题：考生需从第22题和第23题中选一道作答.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）设点M的极坐标为，求△ABM面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|，x∈R．（1）当a＝4时，求不等式f（x）＞9的解集；（2）对任意x∈R，恒有f（x）≥5﹣a，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B＝{x|2x+1＞1}，则∁B A＝（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【分析】根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得∁B A．解：A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|2x+1＞1}＝{x|x＞﹣1}，∁B A＝[3，+∞）．故选：A．2．设i为虚数单位，复数z满足z（i﹣2）＝5，则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．解：z（i﹣2）＝5，则z＝﹣＝﹣＝﹣2﹣i．则在复平面内，＝﹣2+i对应的点（﹣2，1）位于第二象限．故选：B．3．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】此题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论．解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，故选：A．4．已知函数f（x）＝x3﹣2x2，x∈[﹣1，3]，则下列说法不正确的是（）A．最大值为9B．最小值为﹣3C．函数f（x）在区间[1，3]上单调递增D．x＝0是它的极大值点【分析】对f（x）求导，分析f′（x）的正负，进而得f（x）的单调区间，极值可判断C错误，D正确，再计算出极值，端点处函数值f（1），f（3），可得函数f（x）的最大值，最小值，进而可判断A正确，B正确．解：f′（x）＝3x2﹣4x，令f′（x）＝3x2﹣4x＞0，解得x＜0或x＞，所以当x∈[﹣1，0），（，3]时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，C错误，所以x＝0是它的极大值点，D正确，因为f（0）＝0，f（3）＝27﹣2×9＝9，所以函数f（x）的最大值为9，A正确，因为f（﹣1）＝﹣1﹣2＝﹣3，f（）＝﹣2×＝﹣，所以函数f（x）的最小值为﹣3，B正确，故选：C．5．函数f（x）＝+x的值域是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（0，+∞）D．[1，+∞）【分析】由y＝[，+∞）和y＝x在[，+∞）上均为增函数，可得故f（x）＝+x 在[，+∞）上为增函数，求出函数的定义域后，结合单调性，求出函数的最值，可得函数的值域解：函数f（x）＝+x的定义域为[，+∞）∵y＝[，+∞）和y＝x在[，+∞）上均为增函数故f（x）＝+x在[，+∞）上为增函数∴当x＝时，函数取最小值，无最大值，故函数f（x）＝+x的值域是[，+∞）故选：A．6．以下四个命题：①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∉R，x2+x+1≥0；③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件；④f（x）＝sin（ωx+φ）为偶函数的充要条件是φ＝．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用命题的否定的应用，真值表的应用，三角函数关系式的恒等变换，指数函数的性质的应用求出结果．解：①若p∧q为假命题，则命题p和q为一真一假和全部为假，故p，q均为假命题错误；②对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∈R，x2+x+1≥0；故错误．③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数；当函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数，则a＞1．故③“a＝2”是“函数f（x）＝log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件；正确．④f（x）＝sin（ωx+φ）为偶函数则φ＝kπ+（k∈Z），故错误．故选：A．7．已知函数f（x）＝x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2）＝10，那么f（2）等于（）A．﹣10B．﹣18C．﹣26D．10【分析】令g（x）＝x5+ax3+bx，由函数奇偶性的定义得其为奇函数，根据题意和奇函数的性质求出f（2）的值．解：令g（x）＝x5+ax3+bx，易得其为奇函数，则f（x）＝g（x）﹣8，所以f（﹣2）＝g（﹣2）﹣8＝10，得g（﹣2）＝18，因为g（x）是奇函数，即g（2）＝﹣g（﹣2），所以g（2）＝﹣18，则f（2）＝g（2）﹣8＝﹣18﹣8＝﹣26，故选：C．8．已知f（x）＝alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立”转换成f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x2，构造函数h（x）＝f（x）﹣2x，根据增减性求出导函数，即可求出a的范围．解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，假设x1＞x2，f（x1）﹣f（x2）＞2x1﹣2x2，即f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x2对于任意x1＞x2＞0成立，令h（x）＝f（x）﹣2x，h（x）在（0，+∞）为增函数，∴h'（x）＝+x﹣2≥0在（0，+∞）上恒成立，+x﹣2≥0，则a≥（2x﹣x2）max＝1故选：D．9．已知函数f（x）＝2x3﹣3x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则t 的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（0，1）【分析】设出切点，由斜率的两种表示得到等式，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，得解．解：设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x，2x3﹣3x），则＝6x2﹣3，化简得，4x3﹣6x2+3+t＝0，令g（x）＝4x3﹣6x2+3+t，则令g′（x）＝12x（x﹣1）＝0，则x＝0，x＝1．g（0）＝3+t，g（1）＝t+1，又∵过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则（t+3）（t+1）＜0，解得，﹣3＜t＜﹣1．故选：B．10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（）＝f（），当时，f（x）＝16x﹣1，则f（100）＝（）A．﹣B．﹣1C．﹣D．﹣2【分析】根据题意，分析可得f（x+）＝﹣f（x），变形可得f（x+）＝﹣f（x+）＝f（x），即函数f（x）是周期为的周期函数，据此可得f（100）＝﹣f（），结合函数的解析式分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（）＝f（），则有f（﹣x）＝f（+x），又由f（x）为定义在R上的奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x+）＝﹣f（x），变形可得f（x+）＝﹣f（x+）＝f（x），即函数f（x）是周期为的周期函数；则f（100）＝f（﹣+67×）＝f（﹣）＝﹣f（），又由f（）＝f（+）＝f（﹣）＝f（）＝﹣1＝1；故f（100）＝﹣f（）＝﹣1；故选：B．11．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝2f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1，则当x∈[﹣10，10]时，y＝f（x）与g（x）＝log4|x|的图象的交点个数为（）A．13B．12C．11D．10【分析】在同一坐标系中画出函数f（x）与函数y＝log4|x|的图象，结合图象容易解答本题．解：由题意，函数f（x）满足：定义域为R，且f（x+2）＝2f（x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣|x|+1；在同一坐标系中画出满足条件的函数f（x）与函数y＝log4|x|的图象，如图：由图象知，两个函数的图象在区间[﹣10，10]内共有11个交点；故选：C．12．已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[0，e3﹣4]B．[0，+2]C．[+2，e3﹣4]D．[e3﹣4，+∞）【分析】根据题意，可以将原问题转化为方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，构造函数g（x）＝x3﹣3lnx，利用导数分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，进而分析可得方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，若函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则方程﹣x3+1+a＝﹣3lnx在区间[，e]上有解，﹣x3+1+a＝﹣3lnx⇔a+1＝x3﹣3lnx，即方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，设函数g（x）＝x3﹣3lnx，其导数g′（x）＝3x2﹣＝，又由x∈[，e]，g′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点，分析可得：当≤x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最小值g（1）＝1，又由g（）＝+3，g（e）＝e3﹣3；比较可得：g（）＜g（e），故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最大值g（e）＝e3﹣3，故函数g（x）＝x3﹣3lnx在区间[，e]上的值域为[1，e3﹣3]；若方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，则有0≤a≤e3﹣4，即a的取值范围是[0，e3﹣4]；故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．计算：2+2log31﹣3log77+3ln1＝0．【分析】进行对数的运算即可．解：原式＝3+2×0﹣3×1+3×0＝0．故答案为：0．14．函数f（x）＝x2﹣9lnx的单调减区间为（0，3]．【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解．解：定义域（0，+∞），＝，易得当0＜x≤3时，f′（x）≤0，函数单调递减，故函数的单调递减区间（0，3]，故答案为：（0，3]15．若曲线y＝ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a＝．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1时的导数值，由导数值等于0求得a 的值．解：由y＝ax2﹣lnx，得：，∴y′|x＝1＝2a﹣1．∵曲线y＝ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1＝0，即a＝．故答案为：．16．已知函数f（x）＝﹣2klnx+kx，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值集合是[﹣，+∞）．【分析】由已知可知x＝2是f′（x）＝0唯一的根，进而可转化为﹣k＝在x＞0时没有变号零点，构造函数g（x）＝，x＞0，结合导数及函数的性质可求．解：函数定义域（0，+∞），＝，由题意可得，x＝2是f′（x）＝0唯一的根，故e x+kx2＝0在（0，+∞）上没有变号零点，即﹣k＝在x＞0时没有变号零点，令g（x）＝，x＞0，则，当x＞2时，g′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2时，g′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝2时，g（x）取得最小值g（2）＝，故﹣k即k．故答案为：[﹣）．三、解答题（解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.第17-21题每题12分，选做题10分，共70分.）17．如图，△ABC中，AC＝2，，D是边BC上一点．（1）若，BD＝2，求∠C；（2）若BD＝3CD，求△ACD面积的最大值．【分析】（1）在△ADC中，应用正弦定理即可得出答案；（2）从面积公式入手，将面积的最大值问题转移到边的上面，然后通过已知条件，应用余弦定理找出边的关系．解：（1）∵∠B＝，，BD＝2，∴△ABD是等腰直角三角形，AD＝在△ADC中，由正弦定理得：又，∴∠C＝（2）在△ABC中，由余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos B，即∴，∵BD＝3CD．∴，当且仅当时，取“＝”．所以△AC面积的最大值为．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）若△ABC是边长为2的正三角形，且BC＝BB1，∠CBB1＝60°，平面ABC⊥平面BB1C1C，求三棱锥A﹣DCA1的体积．【分析】（Ⅰ）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接AC1交CA1于E，由三角形中位线定理可得DE∥BC1，再由直线与平面平行的判定，可得BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）取BC的中点H，连接B1H，证明B1H⊥平面ABC，得B1H 是三棱柱的高，且，再求出三角形ABC的面积，然后利用等体积法求三棱锥A﹣DCA1的体积．解：（Ⅰ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接AC1交CA1于E，∵D是AB的中点，E是AC1的中点，∴DE∥BC1．又DE⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）取BC的中点H，连接B1H，∵BC＝BB1，∠CBB1＝60°，∴△CBB1是等边三角形，得B1H⊥BC．∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，∴B1H⊥平面ABC，∴B1H 是三棱柱的高，且．∵△ABC是边长为2的正三角形，∴．则．19．近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表所示：土地使用面积12345 x（单位：亩）管理时间y（单810132524位：月）并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x，求x的分布列及数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828参考数据：≈25.2【分析】（1）分别求出＝3，＝16，从而＝10，＝254，＝47，求出＝≈0.933，从而得到管理时间y与土地使用面积x线性相关．（2）完善列联表，求出K2＝18.75＞10.828，从而有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）x的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，由此能求出X的分布列和数学期望．解：（1）依题意＝＝3，＝＝16，故＝4+1+1+4＝10，＝64+36+9+81+64＝254，＝（﹣2）×（﹣8）+（﹣1）×（﹣6）+1×9+2×8＝47，则＝≈0.933，故管理时间y与土地使用面积x线性相关．（2）依题意，完善表格如下：愿意参与管理不愿意参与管理总计男性村民15050200女性村民5050100总计200100300计算得K2的观测值为：＝＝＝18.75＞10.828，故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）依题意，x的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，故P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，故X的分布列为：X0123P则数学期望为：E（X）＝+3×＝．20．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，直线FM的斜率为，且原点到直线FM的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不经过点F的直线l：y＝kx+m（k＜0，m＞0）与椭圆C交于A，B两点，且与圆x2+y2＝1相切．试探究△ABF的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）可设F（c，0），M（0，b），由直线的斜率公式和点到直线的距离公式，解方程可得b，c，进而得到a，可得椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（x1＞0，x2＞0），运用勾股定理和点满足椭圆方程，求得|AQ|＝x1，同理可得|BQ|＝x2，再由焦半径公式，即可得到周长为定值．解：（1）可设F（c，0），M（0，b），可得﹣＝﹣，直线FM的方程为bx+cy＝bc，即有＝，解得b＝1，c＝，a＝，则椭圆方程为+y2＝1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（x1＞0，x2＞0），连接OA，OQ，在△OAQ中，|AQ|2＝x12+y12﹣1＝x12+1﹣﹣1＝x12，即|AQ|＝x1，同理可得|BQ|＝x2，∴|AB|＝|AQ|+|BQ|＝（x1+x2），∴|AB|+|AF|+|BF|＝（x1+x2）+﹣x1+﹣x2＝2，∴△ABF的周长是定值2．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣2ax2+x，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）内单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x2＞．【分析】（I）令f′（x）≤0恒成立，分离参数得出4a≥，利用函数单调性求出函数g（x）＝的最大值即可得出a的范围；（II）令＝t，根据分析法构造关于t的不等式，再利用函数单调性证明不等式恒成立即可．解：（I）f′（x）＝lnx﹣4ax+2，若f（x）在（0，+∞）内单调递减，则f′（x）≤0恒成立，即4a≥在（0，+∞）上恒成立．令g（x）＝，则g′（x）＝，∴当0＜x＜时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴g（x）的最大值为g（）＝e，∴4a≥e，即a≥．∴a的取值范围是[，+∞）．（II）∵f（x）有两个极值点，∴f′（x）＝0在（0，+∞）上有两解，即4a＝有两解，由（1）可知0＜a＜．由lnx1﹣4ax1+2＝0，lnx2﹣4ax2+2＝0，可得lnx1﹣lnx2＝4a（x1﹣x2），不妨设0＜x1＜x2，要证明x1+x2＞，只需证明＜，即证明＞lnx1﹣lnx2，只需证明＞ln，令h（x）＝﹣lnx（0＜x＜1），则h′（x）＝＜0，故h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1）＝0，即＞lnx在（0，1）上恒成立，∴不等式＞ln恒成立，综上，x1+x2＞．选做题：考生需从第22题和第23题中选一道作答.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）设点M的极坐标为，求△ABM面积的最小值．【分析】（Ⅰ）利用参数方程，普通方程，极坐标方程之间的转化关系直接求解可；（Ⅱ）先表示出△ABM的面积，再利用余弦函数的有界性求解即可．解：（Ⅰ）将曲线C1化为普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，又，则曲线C1的极坐标方程为ρ1＝2cosθ；又根据题意有ρ1ρ2＝8，可知，即为曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）由＝，而cos2θ≤1，故△ABM面积的最小值为2．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|，x∈R．（1）当a＝4时，求不等式f（x）＞9的解集；（2）对任意x∈R，恒有f（x）≥5﹣a，求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝4代入f（x）中，然后将f（x）写为分段函数的形式，再根据f（x）＞9，分别解不等式可得解集；（2）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，然后根据对任意x∈R，恒有f（x）≥5﹣a，可得f（x）min≥5﹣a，再解关于a的不等式可得a的范围．解：（1）当a＝4时，f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣4|＝．∵f（x）＞9，∴或，∴x＜﹣1或，∴不等式的解集为；（2）∵f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|≥|（2x﹣1）﹣（2x﹣a）|＝|a﹣1|，∴f（x）min＝|a﹣1|．∵对任意x∈一、选择题，恒有f（x）≥5﹣a，∴f（x）min≥5﹣a，即|a﹣1|≥5﹣a，∴a≥3，∴a的取值范围为[3，+∞）．。

2023 — 2024学年南宁市高二年级下学期期末高二数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.考查范国：高中全部内容。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改 动，用橡皮擦干净后写在本试卷 上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结来后，请将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合M ={χ|χ>−12},N ={χ|χ∈Z,−4<χ≤3|}, 则 M ∩N 中元素的个数为A.4B.3C.2D.12. 已知随机变量X~B(3,p),0<p<1, 且 E(X)=3D(X), 则 p=A.14B.13C.12D.233. 已知向量a=(2，χ2)，b=(1，1χ). 若a ⊥b, 则 a+2b=A.(3,4)B.(4,3)C.(0,5)D.(0,3)4.若椭圆χ2α2+y 23=1(α>0)的离心率为√32,则该椭圆的半焦距为 A.32 B.√3 C.3或√3 D.3或325. 已知等比数列|αn |的前n 项和为S n ,α5=27α2,S 4=80，则 α1=A.1B.2C.3D.46.在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,e,满足2b 2+c 2−a 2=0，则sin B 的最大值为A.√33B.13C.12D.237.设χ0为函数 f ( χ)=1n xe x 极值点，则A.χ0∈(0,1)B.χ0∈(1,3)C.χ0∈(3,4)D.χ0∈(4,5)8. 已知直线ı与圆O:x ²+y ²=36交于M,N 两点，若以MN 为直径的圆过点P(0,8), 则 |MN| 的最大值为A.4+2√2B.3+2√2C.8+2√2D.4+√2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对9. 已知(1-2i)z=1+3i, 则A.z=-1+iB.|z|=√3C.z̅在复平面上对应的点位于第三象限D.z+3z̅=-4-2i10.已知f(x)为定义在R上的奇函数，g(x) 为定义在R 上的偶函数，则A.f(x))=f(-f(-x))B.g(g(x))=g(-g(-x))C.f(g(x))=-f(-g(-x))D.g(f(x))=-g(-f(-x))11. 已知函数f (χ)={3sin2χ−1,sin χ≥0,sin2χ−1,sin χ≥0,x∈(0,2π), 若方程f(x)=a±1有6个根，则a的值可能A.0B.√22 C.√32D.1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.2024年高考于6月7日正式开考，某陪考老师记录了12名同学提前到考场的时间(单位：分钟) 分别为11.12.12.13.13.14.14,15.15.16,17.18.则该组数据的第75百分位数为13.若双曲线C:χ2−y 23=1的左、右焦点分别为F₁,F₂,P是C 右支上的动点，则|PF1|·|PF₂|的最小值为14.某高校的化学实验室内的电子微型质量测量仪的底座形似一个正四棱台，记该正四棱台为ABCD-A₁₁ . 下底面ABCD的边长分别为2,4,记 AC,BD交于点O ，A₁C₁，B₁D₁交于点O₁ . 则OA₁= 均在球O₂的表面上，则球O₂的表面积为 . (第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (13分)已知函数(x)=(x+1)ln x.记f(x) 为f 1(x)的导函数.(1)求曲线y=f(x) 在点(1,f(1)) 处的切线方程；(2)求f 1(x) 的最值16. (15分)2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作，某市经过初 次选拔后有小明、小王、小红三名同学成功进人决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道有关组合数论的试题，已知小明成功解出这道题的概率是34,小明、小红两名同学都解答错误的概率是112，,小王、小红两名同学都成功解出的概率是14 ,这三名同学解答是否正确相互独立.(1)分别求出小王、小红两名同学成功解出这道题的概率：(2)求三人中至少有两人成功解出这道题的概率.17. (15分)在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且PA=AB,PA ⊥底面ABCD,点 E 满足2PE⃑⃑⃑⃑⃑ =PC ⃑⃑⃑⃑⃑ (1)证明：BD ⊥平面PAC;(2)求平面ABE 与平面BDE 的夹角的大小18. (17分)已知抛物线C:y ²-2px(p>0) 的焦点F 在直线l:y=x-1=上.(1)求C 的方程；(2)过点P(0,-1)的直线交C 于 M,N 两点，又点Q 在线段MN 上，且|PM ||PN | = |QM ||QN |,,证明：点Q 在定直线上19. (17分)若数列{b n } 满足(n −54)π<b n <(n +34)π,b n+1−b n ∉{π2,5π2},且sinb n+1=cosb n ,则称数列{b n }为“正余弦错位数列".已知数列{a n }为“正余弦错位数列”。

南宁二中2018-2019学年高二下段考试题理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是21i -A. 1+i B. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B 【解析】分析：化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=21i -()()()21+=111i ii i =+-+∴z 的共轭复数为1﹣i.故选：B ．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．2.曲线在处的切线方程为( )32y x x =-(1,1)-A. B. C. D. 20x y --=20x y -+=20x y +-=20x y ++=【答案】A 【解析】试题分析：由已知，点在曲线上，所以切线的斜率为，(1,1)-32y x x =-211'|(32)|1x x y x ===-=由直线方程的点斜式得，故选.20x y --=A 考点：导数的几何意义，直线方程.3.函数的单调递减区间为（ ）()ln f x x x =-A. B. C. D. (,0)(1,)-∞+∞ (0,)+∞(1,)+∞(0,1)【答案】D 【解析】【分析】首先确定函数的定义域，然后求解函数的导函数，结合导函数的解析式即可确定函数的单调递减区间.【详解】由函数的解析式可知函数的定义域为，且，()0,∞+()1'1f x x =-求解不等式可得：，()1'10f x x =-<01x <<故函数的单调递减区间为，即.01x <<(0,1)故选：D .【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数的计算与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（ ）,a b b a <A. B. C. D. b aa b<2211aba b <22ba <22ab a b<【答案】B 【解析】A. ，不能判断正负；B. ，所以正确；C,D 做差后也不能判断正负，22b a b a a b ab --=2222110a b ab a b a b --=<故选B.5.（ ）22(cos )x x dx ππ-+=⎰A. B. C. 2D. 4π-π【答案】C 【解析】【分析】由题意结合微积分基本定理求解定积分的值即可.【详解】由题意可得：.22(cos )x x dx ππ-+=⎰22221sin 2x x ππ-⎛⎫+= ⎪⎝⎭2211288ππ⎛⎫⎛⎫=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C .【点睛】本题主要考查微积分基本定理及其应用，属于基础题.6.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为3，)0(2>=m mx y ,P Q PQ ，则=（ ）mPQ 45=m A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C 【解析】【分析】：先设的坐标，表示出线段中点的横坐标为3的表达式，因为过焦点，由过焦点的弦长公式PQ PQ PQ ，解出。

南宁三中2018～2019学年度下学期高二段考文科数学试题一、选择题（每题5分，共60分）1.设集合则=A. B. C. D.【答案】C【解析】A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}．B＝{x|x2－1<0}＝{x|－1<x<1}，∴A∪B＝{x|x>0}∪{x|－1<x<1}＝{x|x>－1}，故选C．2.若a，b都是实数，则“>0”是“a2－b2>0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由“>0”判断的取值范围，再由“a2－b2>0”计算的取值范围，比较两个命题所对应范围的大小，就可以得出答案。

【详解】由>0得a>b≥0，由a2－b2>0得a2>b2，即|a|＞|b|，所以“>0”是“a2－b2>0”的充分不必要条件．故选:A【点睛】本题是一道逻辑题，主要考察了充分不必要条件的判断方法，属于基础题。

3.若a＞b，则下列不等式中成立的是( )A. ＜B. a3＞b3C. a2＞b2D. a＞|b|【答案】B【解析】∵函数在上单调递增，∴若，则．故选．4.若实数满足，则的最小值为（）A. B. 2 C. D. 4【答案】C【解析】，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.考点：基本不等式【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．5.下列函数中，最小值为4的是( )A. y＝x＋B. y＝sinx＋(0<x<π)C. y＝e x＋4e－xD. y＝【答案】C【解析】分析：利用基本不等式的性质即可判断出.详解：对A，取，则最小值不可能是4；对B.，，其最小值大于；对C，，当且仅当时取等号，其最小值为4，正确；对D，，当且仅当时取等号，其最小值为. 故选：C.点睛：本题考查了基本不等式的性质，注意“一正二定三相等”的使用法则.6.一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分(如图)，若样本中数据在[20，60)内频率为0.8，则样本中在[40，60)内的数据个数为( )A. 15B. 16C. 17D. 19【答案】A【解析】因为样本中数据在[20，60)上的频率为0.8，由图知，样本中数据在[20，40)上的频率为4＋5＝9，所以样本中数据在[20，40)上的频率为9÷30＝0.3.所以样本在[40，50)，[50，60)内的数据的频率和为0.8－0.3＝0.5，所以样本在[40，50)，[50，60)内的数据的个数和为30×0.5＝15.7.某家庭连续五年收入与支出如下表：画散点图知：与线性相关，且求得的回归方程是，其中，则据此预计该家庭2017年若收入15万元，支出为（）万元.A. 11.4B. 11.8C. 12.0D. 12.2【答案】B【解析】【分析】回归方程一定经过样本中心点，求出样本中心点，代入方程可以求出，然后令，可以解出答案。