第三讲 多维随机变量及其分布
考试要求
1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.
2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件.
3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 .
4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.
一、 各种分布与随机变量的独立性
1. 各种分布
（1）一般二维随机变量 F （x , y ）=P { X ≤ x , Y ≤ y }, x ∈ （?∞, +∞）, y ∈ （?∞, +∞）的性质
F （x , y ）为联合分布函数 ? 1） 0 ≤F （x , y ）≤1 , ?x ∈ （?∞, +∞）,, y ∈ （?∞, +∞）;
2） F （?∞, y ）= F （x , ?∞）=0, F （+∞,+∞）=1;
3） F （x , y ）关于x , y 均为单调不减函数； 4） F （x , y ）关于x , y 均分别右连续.
（2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布
联合概率分布律 P {X = x i , Y = y j } = p i j , i , j =1, 2 ,??? , p i j
0,
1=∑∑i
j
j
i p
.
边缘分布律 p i
= P {X = x i }=
∑j
j
i p
, i =1, 2 ,??? , p
j = P { Y = y j }=
∑i
j
i p
, j =1, 2 ,??? ,
条件分布律 P {X = x i |Y = y j } =
j
j i p p ?, P { Y = y j | X = x i } =
?
i j i p p .
二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度
f （x , y ）为联合概率密度 ? 1? f （x , y ）≥0,
2?
1=??
∞+∞-∞
+∞
- ),(dxdy y x f .
设（ X , Y ）~ f （x , y ）则 分布函数:
??∞-∞
-=x
y
dxdy y x f y x F ),(),(;
边缘概率密度: ?
∞
+∞
-=
),()(dy y x f x f X , ?
∞
+∞
-= ),()(dx y x f x f Y .
条件概率密度: )(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =
, )
()
,()|(|x f y x f x y f X X Y =.
??=∈D
dxdy y x f D Y X P ),(}),{(
.)
,(),(y
x y x F y x f ???=2
2. 随机变量的独立性和相关性
X 和Y 相互独立 ? F （x , y ）= F X （x ）F Y （y ）;
? p i j = p i
p j （离散型）
? f （x , y ）= f X （x ）f Y （y ） （连续型）
【注】 1 X 与Y 独立, f （x ）, g （x ）为连续函数 f （X ）与g （Y ）也独立.
2 若X 1, ????, X m , Y 1, ????, Y n 相互独立, f , g 分别为m 元与 n 元连续函数 f （X 1, ????, X m ）与g （Y 1, ????, Y n ）也独立.
3 常数与任何随机变量独立. 3. 常见的二维分布
（1）二维均匀分布 （X , Y ）~ U （D ）, D 为一平面区域. 联合概率密度为
?????∈=.,
.),(,)(),(其他01
D y x D S y x f （2）二维正态分布 （X , Y ）~ N （μ1 , μ2, σ12 ,σ22,
）, ?∞ <μ1, μ2 < +∞, σ1>0, σ2 > 0,
| | <1. 联合概率密度为
2
21121
ρ
σπσ?-=
),(y x ???
?????-+------222
2
2121212122121
σμσσμμρσμρ)())(()()(y y x x e
性质:
（ a ） X ~ N （μ1, σ12 ）, Y ~ N （μ2, σ22 ） （ b ） X 与Y 相互独立
ρX Y =0 , 即 X 与Y 不相关.
（ c ） C 1X +C 2Y ~ N （C 1 μ1+ C 2 μ2, C 12 σ12 + C 22σ22 +2C 1C 2 σ1 σ2 ）.
（ d ） X 关于Y=y 的条件分布为正态分布: )](),([22122
1
11ρσμσσρ
μ--+y N 【 例1 】 设A ，B 为事件，且P （A ）＝
41, P （B |A ）＝2
1, P （A |B ）＝12
令 X ＝??
?否则发生若,0,1A , Y ＝???否则
发生
若,0B ,1
（1） 试求（X , Y ）的联合分布律； （2）计算Cov （ X , Y ）； （3） 计算 2
2
(2,43)Cov X Y +.
【 例2 】设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X , Y ）联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处.
【 例3 】设随机变量X 与Y 独立同分布, 且X 的概率分布为
3
13221P
X
记{}{}Y X V Y X U ,m in ,,m ax ==.
（I ）求（U , V ）的概率分布;
（II ）求（U , V ）的协方差C ov （U , V ）. 【详解】（I ）易知U , V 的可能取值均为: 1, 2. 且
{}{}})1,m in ,1,(m ax )1,1(=====Y X Y X P V U P
)1,1(===Y X P 9
4
)1()1(=
===Y P X P , {}{}0})2,m in ,1,(m ax )2,1(======Y X Y X P V U P , {}{}})1,m in ,2,(m ax )1,2(=====Y X Y X P V U P
)2,1()1,2(==+===Y X P Y X P
)2()1()1()2(==+===Y P X P Y P X P 9
4=
, {}{}})2,m in ,2,(m ax )2,2(=====Y X Y X P V U P
)2()2()2,2(======Y P X P Y X P 9
1=
, 故（U , V ）的概率分布为:
（II ） 9122941209411)(??+??++?
?=UV E 916
=, 而 914952941)(=?+?=U E , 9
10
912981)(=?+?=V E .
故 81
4
910914916)()()(),(=?-=-=V E U E UV E V U Cov .
【 例4】 设随机变量X 在区间（0, 1）上服从均匀分布, 在)10(<<=x x X 的条件下,随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布, 求
（Ⅰ）随机变量X 和Y 的联合概率密度;
（Ⅱ）Y 的概率密度; （Ⅲ）概率}1{>+Y X P .
二、 二维（或两个）随机变量函数的分布
1．分布的可加性
（1）若X ~B （m, p ）, Y ~B （n, p ）, 且X 与Y 相互独立，则 X +Y ~ B （m +n , p ）. （2）若X ~P （λ1）, Y ~P （λ2）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ P （λ1+λ2）.
（3）若X ~N （211,μσ）, Y ~P （222,μσ）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ N （22
1212,μμσσ++）.
一般地，若X i ~N （2,i i μσ）, i =1, 2, …, n , 且X 1，X 2，…，X n 相互独立，则Y =C 1X 1+C 2X 2+…+C n X n +C 仍服从正态分布，且此正态分布为
2
2
1
1
(
,),
n n
i i i i i i N C C C
μσ==+∑∑ 其中C 1，…，C n 为不全为零的常数.
2. 两个随机变量函数的分布. 【例
5】 设
X
与
Y
相互独立, 且~(1),~(2),X P Y P 则
{max(,)0}______;P X Y ≠=
{min(,)0}__________.P X Y ≠=
【 例6】 设X 与Y 相互独立, 其密度函数分别为:
1,01,
()X x f x <=??0,其他.
求Z ＝2X ＋Y 的概率密度.
【 例7】设二维随机变量（X , Y ）的概率密度为
2,01,01,
(,)0,x y x y f x y --<<<
其它.
（I ）求{}Y X P 2>；
（II ）求Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z . 【详解】（I ）{}Y X P 2>??>=
y
x dxdy y x f 2),(??--=1
221
)2(y
dx y x dy 24
7=
. （II ）方法一： 先求Z 的分布函数: ??≤+=
≤+=z
y x Z dxdy y x f Z Y X P z F ),()()(
当z <0时, 0)(=z F Z ; 当10<≤z 时, ??
=
1
),()(D Z dxdy y x f z F ?
?---=y
z z
dx y x dy 0
)2(
3
2
3
1z z -
=； 当21<≤z 时, ??
-
=2
),(1)(D Z dxdy y x f z F ?
?
-----=111
)2(1y
z z dx y x dy
3)2(3
1
1z --
=；
当2≥z 时, 1)(=z F Z . 故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度
)(z f Z =)(z F Z '??
?
??<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z
方法二： ?
∞+∞
--=
dx x z x f z f Z ),()(，
?
?
?<-<<<---=-.,0,
10,10),(2),(其他x z x x z x x z x f ?
?
?+<<<<-=.,0,
1,10,2其他x z x x z 当z ≤0 或z ≥ 2时, 0)(=z f Z ; 当01z <<时, ?-=z
Z dx z z f 0
)2()()2(z z -=；
当21<≤z 时, ?
--=11
)2()(z Z dx z z f 2)2(z -=；
故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度
)(z f Z ??
?
??<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z
【例8】 设随机变量X 与Y 相互独立, X 有密度函数f （x ）, Y 的分布律为
()i i P Y a p ==, i =1,2. 试求Z ＝X ＋Y 的概率分布.