2020高二数学人教选修1-2同步练习：第2章 推理与证明 章末检测 Word版含解析

第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理A级基础巩固一、选择题1．下列推理是归纳推理的是()A．F1，F2为定点，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|，得P 的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n 项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知，B项为归纳推理．答案：B2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111A．111 1110B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113解析：由1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1 111；1 234×9＋5＝111 111；…归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同，所以123 456×9＋7＝1 111 111.答案：B3．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()解析：观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形．答案：A4．设n是自然数，则18(n2－1)[1－(－1)n]的值()A．一定是零B．不一定是偶数C．一定是偶数D．是整数但不一定是偶数解析：当n为偶数时，18(n2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数；当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，18(n2－1)[1－(－1)n]＝18(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)为偶数．所以18(n 2－1)[1－(－1)n ]的值一定为偶数． 答案：C5．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y b＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和b 的直线，拓展到空间，在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋z c＝1 B.x ab ＋y bc ＋z ca ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zx ca ＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：从方程x a ＋y b＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是x a ＋y b ＋z c＝1. 答案：A二、填空题6．已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3，猜想a n ＝________．解析：计算得a 2＝4，a 3＝9，所以猜想a n ＝n 2.答案：n 27．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2.则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 答案：1∶88．观察下列各式：①(x3)′＝3x2；②(sin x)′＝cos x；③(e x－e－x)′＝e x＋e－x；④(x cos x)′＝cos x－x sin x.根据其中函数f(x)及其导数f′(x)的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是__________________________________________．解析：对于①，f(x)＝x3为奇函数，f′(x)＝3x2为偶函数；对于②，g(x)＝sin x为奇函数，f′(x)＝cos x为偶函数；对于③，p(x)＝e x－e－x为奇函数，p′(x)＝e x＋e－x为偶函数；对于④，q(x)＝x cos x 为奇函数，q′(x)＝cos x－x sin x为偶函数．归纳推理得结论：奇函数的导函数是偶函数．答案：奇函数的导函数是偶函数三、解答题9．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2；(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2；(132＋52)(102＋72)≥(13×10＋5×7)2.请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性结论，并证明你的结论．解：一般性结论为(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.证明：因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2－(a2c2＋2abcd＋b2d2)＝b2c2＋a2d2－2abcd＝(bc－ad)2≥0，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.10．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.B级能力提升1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为() A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.答案：C2．等差数列{a n}中，a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系________．解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.答案：b4＋b8>b5＋b73．观察下列等式： ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34； ②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：由①②知，两角相差30°，运算结果为34， 猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 证明：左边＝1－cos 2α2＋1＋cos （2α＋60°）2＋sin αcos(α＋30°)＝1－cos 2α2＋cos 2αcos 60°－sin 2αsin 60°2＋ sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－sin α2 ＝1－12cos 2α＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－1－cos 2α4＝34＝右边 故sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 2.1.2 演绎推理A 级 基础巩固一、选择题1．若大前提是“任何实数的平方都大于0”，小前提是“a∈R”，结论是“a2>0”，那么这个演绎推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．没有错误解析：因为“任何实数的平方非负”，所以“任何实数的平方都大于0”是错误的，即大前提错误．答案：A2．在“△ABC中，E，F分别是边AB，AC的中点，则EF∥BC”的推理过程中，大前提是()A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边长的一半C．E，F为AB，AC的中点D．EF∥BC解析：大前提是“三角形的中位线平行于第三边”．答案：A3．下列四个推导过程符合演绎推理“三段论”形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，均为大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理“三段论”形式．答案：B4．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的是()A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．余弦函数解析：只有指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)满足条件．答案：C5．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为() A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．答案：C二、填空题6．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴a<b，画线部分是演绎推理的________．解析：结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．答案：小前提7．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是________．解析：要使函数有意义，则log 2x －2≥0，解得x ≥4，所以函数y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)．答案：函数y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)8．下面几种推理过程是演绎推理的是________(填序号)．①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质③某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人④在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式．解析：①为演绎推理，②为类比推理，③④为归纳推理．答案：①三、解答题9．设m 为实数，利用三段论求证方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两个相异实根．证明：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式Δ＝b 2－4ac >0，那么方程有两相异实根．(大前提)一元二次方程x 2－2mx ＋m －1＝0的判别式Δ＝(2m )2－4(m －1)＝4m 2－4m ＋4＝(2m －1)2＋3>0，(小前提)所以方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两相异实根．(结论)10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数f (x )的单调增区间．解：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z. ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4. (2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由题意，得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， ∴k π＋π8≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z. 故函数f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z. B 级 能力提升1．某人进行了如下的“三段论”：如果f ′(x 0)＝0，则x ＝x 0是函数f (x )的极值点，因为函数f (x )＝x 3在x ＝0处的导数值f ′(0)＝0，所以x ＝0是函数f (x )＝x 3的极值点．你认为以上推理的( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确解析：若f ′(x 0)，则x ＝x 0不一定是函数f (x )的极值点，如f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，故大前提错误．答案：A2．设a >0，f (x )＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数，则a 的值为________． 解析：因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0对于一切x ∈R 恒成立，由此得a －1a ＝0，即a 2＝1.又a >0，所以a ＝1.答案：13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1(n ∈N *)．(1)证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)证明不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立．(1)证明：由已知a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *，又a 1－1＝2－1＝1≠0，所以数列{a n －n }是首项为1，公比为4的等比数列．(2)解：由(1)得a n －n ＝4n －1，所以a n ＝4n －1＋n .所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝4n －13＋n （n ＋1）2. (3)证明：对任意的n ∈N *，S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋（n ＋1）（n ＋2）2－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4n －13＋n （n ＋1）2＝－12(3n 2＋n －4)＝－12(3n ＋4)(n －1)≤0. 所以不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立．2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法第1课 时综合法A 级 基础巩固一、选择题1．在下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：由题设知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，由f (x )＝1x，得f ′(x )＝－1x2<0，所以f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数． 答案：A2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( ) A ．bB ．－b C.1b D ．－1b解析：f (x )定义域为(－1，1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a －1＝－lg 1－a 1＋a ＝－f (a )＝－b .答案：B3．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．与n 取值有关解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －5又a 1＝S 1＝2×12－3×1＝－1适合上式．∴a n ＝4n －5(n ∈N *)，则a n －a n －1＝4(常数)故数列{a n }是等差数列．答案：B4．若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( )A ．lg(1＋a 2)>0B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)C ．a 2＋3ab >2b 2 D.a b <a ＋1b ＋1解析：在B 中，因为a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立．答案：B5．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则该三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：由sin A cos A ＝sin B cos B 得sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以该三角形是等腰或直角三角形．答案：D二、填空题6．命题“函数f(x)＝x－x ln x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－x ln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”，应用了________的证明方法．解析：本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法．答案：综合法7．角A，B为△ABC内角，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”)．解析：在△ABC中，A>B⇔a>b由正弦定理asin A＝bsin B，从而sin A>sin B.因此A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，为充要条件．答案：充要8．已知p＝a＋1a－2(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p，q的大小关系为________．解析：因为p＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2≥2（a－2）·1a－2＋2＝4，又－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2(a>2)，所以q＝2－a2＋4a－2<4≤p.答案：p>q三、解答题9．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.证明：因为a >0，b >0且a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2 b a ·a b ＝4. 当且仅当b a ＝a b，即a ＝b 时，取等号， 故1a ＋1b≥4. 10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数y ＝f (x ＋1)与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，求证：函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数． 证明：∵函数y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称．∴f (x ＋1)＝f (－x )则y ＝f (x )的图象关于x ＝12对称 ∴－b 2a ＝12，∴a ＝－b . 则f (x )＝ax 2－ax ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋c －a 4 ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋c －a 4为偶函数． B 级 能力提升1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.答案：A2．已知sin x＝55，x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan⎝⎛⎭⎪⎫x－π4＝________．解析：∵sin x＝55，x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴cos x＝－45，∴tan x＝－12，∴tan⎝⎛⎭⎪⎫x－π4＝tan x－11＋tan x＝－3.答案：－33．(2016·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，所以DE∥A1C1.因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1，因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.又因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.第2课时分析法A级基础巩固一、选择题1．关于综合法和分析法的说法错误的是()A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D．分析法又叫逆推证法或执果索因法解析：由综合法和分析法的意义与特点，知C错误．答案：C2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a，则证明的依据应是() A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔(a－c)·(2a ＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.答案：C3．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是()A．a2<b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2解析：要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝b2＋c2－a22bc，所以只需b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2.答案：C4．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是()A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，l⊂αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，m⊂α解析：对于选项A，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；对于选项B，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；对于选项C，这两个平面有可能平行或重合；根据面面垂直的判定定理知选项D正确．答案：D5．设P＝2，Q＝7－3，R＝6－2，则P，Q，R的大小关系是()A．P>Q>R B．P>R>QC．Q>P>R D．Q>R>P解析：先比较Q与R的大小．Q－R＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(6＋3)．因为(7＋2)2－(6＋3)2＝7＋2＋214－(6＋3＋218)＝2(14－18)<0，所以Q<R.又P＝2>R＝2(3－1)，所以P>R>Q.答案：B二、填空题6．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．解析：a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a＋b)(a－b)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b7．当x>0时，sin x与x的大小关系为________．解析：令f(x)＝x－sin x(x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此f(x)>f(0)＝0，则x>sin x.答案：x>sin x8．如图，在直四棱柱A1B1C1D1­ABCD(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．解析：要证明A 1C ⊥B 1D 1只需证明B 1D 1⊥平面A 1C 1C因为CC 1⊥B 1D 1只要再有条件B 1D 1⊥A 1C 1，就可证明B 1D 1⊥平面A 1CC 1 从而得B 1D 1⊥A 1C 1.答案：B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)三、解答题9．已知a >1，求证：a ＋1＋a －1<2a .证明：因为a >1，要证a ＋1＋a －1<2a ，只需证(a ＋1＋a －1)2<(2a )2，只需证a ＋1＋a －1＋2（a ＋1）（a －1）<4a ， 只需证（a ＋1）（a －1）<a ，只需证a 2－1<a 2，即证－1<0.该不等式显然成立，故原不等式成立．10．求证：2cos(α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α. 证明：欲证原等式2cos(α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α成立． 只需证2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，①因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝sin β＝右边．所以①成立，所以原等式成立．B 级 能力提升1．设a ，b ，c ，d 为正实数，若a ＋d ＝b ＋c 且|a －d |<|b －c |，则有( )A ．ad ＝bcB ．ad <bcC ．ad >bcD ．ad ≤bc解析：∵|a －d |<|b －c |⇔(a －d )2<(b －c )2⇔a 2＋d 2－2ad <b 2＋c 2－2bc ①又a ＋d ＝b ＋c∴a 2＋d 2＋2ad ＝b 2＋c 2＋2bc ②由②－①，得4ad >4bc ，即ad >bc .答案：C2．设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝3a －4a ＋1，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )是周期为3的奇函数，且f (1)>1，所以f (2)＝f (－1)＝－f (1)，因此3a －4a ＋1<－1，则4a －3a ＋1<0， 解之得－1<a <34. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34 3．设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，证明：a x ＋c y＝2.证明：要证明ax＋cy＝2，只要证ay＋cx＝2xy，也就是证明2ay＋2cx＝4xy.由题设条件b2＝ac，2x＝a＋b，2y＝b＋c，所以2ay＋2cx＝a(b＋c)＋(a＋b)c＝ab＋2ac＋bc，4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋bc＋ac＝ab＋2ac＋bc，所以2ay＋2cx＝4xy成立，故ax＋cy＝2成立．2.2.2 反证法A级基础巩固一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③解析：由反证法的定义知，可把①②③作为条件使用，而④原命题的结论是不可以作为条件使用的．答案：C2．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根．”答案：A3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为()A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B4．否定结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．除去结论即为反设，应选D.答案：D5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于( )A ．0B.13C.12 D ．1解析：假设a ，b ，c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，与a ＋b ＋c ＝1矛盾，选项B 正确．答案：B二、填空题6．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a ，求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交， ∴应假设b 与c 平行或相交．答案：b 与c 平行或相交7．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：由假设p 为奇数可知(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为偶数．答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)8．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数，且a >b )，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，所以不存在n 使a n ＝b n .答案：0三、解答题9．设x ，y 都是正数，且x ＋y >2，试用反证法证明：1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．证明：假设1＋x y <2和1＋y x <2都不成立，即1＋x y ≥2，1＋y x≥2. 又因为x ，y 都是正数，所以1＋x ≥2y ，1＋y ≥2x .两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，则x ＋y ≤2，这与题设x ＋y >2矛盾，所以假设不成立．故1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立． 10．已知三个正数a ，b ，c ，若a 2，b 2，c 2成公比不为1的等比数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列．证明：假设a ，b ，c 成等差数列，则有2b ＝a ＋c ，即4b 2＝a 2＋c 2＋2ac ，又a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，且a，b，c为正数，所以b4＝a2c2且a，b，c互不相等，即b2＝ac，因此4ac＝a2＋c2＋2ac，所以(a－c)2＝0，从而a＝c＝b，这与a，b，c互不相等矛盾．故a，b，c不成等差数列．B级能力提升1．设a，b，c大于0，则3个数：a＋1b，b＋1c，c＋1a的值()A．都大于2 B．至少有一个不大于2 C．都小于2 D．至少有一个不小于2解析：假设a＋1b，b＋1c，c＋1a都小于2则a＋1b<2，b＋1c<2，c＋1a<2∴a＋1b＋b＋1c＋c＋1a<6，①又a，b，c大于0所以a＋1a≥2，b＋1b≥2，c＋1c≥2.∴a＋1b＋b＋1c＋c＋1a≥6.②故①与②式矛盾，假设不成立所以a＋1b，b＋1c，c＋1a至少有一个不小于2.答案：D2．对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫作函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，那么a的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C ．(－1，1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：假设函数f (x )存在好点，则x 2＋2ax ＋1＝x 有实数解，即x 2＋(2a －1)x ＋1＝0有实数解．所以Δ＝(2a －1)2－4≥0，解得a ≤－12或a ≥32. 所以f (x )不存在好点时，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 答案：A3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，c >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0且0<x <c 时，恒有f (x )>0.(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a与c 的大小． (1)证明：因为f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，所以f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2.因为f (c )＝0，所以x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a， 所以x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ， 所以1a是f (x )＝0的一个根． (2)解：假设1a<c ，又1a>0，且0<x <c 时，f (x )>0， 所以知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0，这与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾， 因此1a≥c ， 又因为1a≠c ， 所以1a>c .。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）章末综合测评(二)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于()A.28B.32C.33D.27【解析】观察知数列{a n}满足：a1＝2，a n＋1－a n＝3n，故x＝20＋3×4＝32.【答案】 B2.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根【解析】方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.【答案】 A3.下列推理过程是类比推理的是()A.人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为1 2B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C.通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数【解析】A为归纳推理，C，D均为演绎推理，B为类比推理.【答案】 B4.下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③由f(x)＝sin x，满足f(－x)＝－f(x)，x∈R，推出f(x)＝sin x是奇函数；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A.①②B.①③④C.①②④D.②④【解析】合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理.【答案】 C5.设a＝21.5＋22.5，b＝7，则a，b的大小关系是()A.a>bB.a＝bC.a<bD.a>2(b＋1)【解析】因为a＝21.5＋22.5>221.5·22.5＝8>7，故a>b.【答案】 A6.将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比，易得到下列结论：①a·b ＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④|a·b|＝|a||b|；⑤由a·b＝a·c(a≠0)，可得b＝c.以上通过类比得到的结论中，正确的个数是()A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】①③正确；②④⑤错误.【答案】 A7.证明命题：“f (x )＝e x ＋1e x 在(0，＋∞)上是增函数”.现给出的证法如下：因为f (x )＝e x ＋1e x ，所以f ′(x )＝e x －1e x .因为x >0，所以e x >1，0<1e x <1.所以e x －1e x >0，即f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( )【导学号：37820030】A.综合法B.分析法C.反证法D.以上都不是【解析】 从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法. 【答案】 A8.已知c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A.a >b B.a <bC.a ＝bD.a ，b 大小不定【解析】 要比较a 与b 的大小，由于c >1，所以a >0，b >0，故只需比较1a 与1b 的大小即可，而1a ＝1c ＋1－c＝c ＋1＋c ，1b ＝1c －c －1＝c ＋c －1， 显然1a >1b ，从而必有a <b ，故选B. 【答案】 B9.设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，观察上述结果，可推测出一般结论( )A.f (2n )>2n ＋12 B.f (n 2)≥n ＋22C.f (2n )≥n ＋22D.以上都不对【解析】 f (2)＝32，f (4)＝f (22)>2＋22，f (8)＝f (23)>3＋22，f (16)＝f (24)>4＋22，f(32)＝f(25)>5＋2 2.由此可推知f(2n)≥n＋22.故选C.【答案】 C10.定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下面图1中的(1)(2)(3)(4)，则图中a，b对应的运算是()图1A.B*D，A*DB.B*D，A*CC.B*C，A*DD.C*D，A*D【解析】根据(1)(2)(3)(4)可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D 对应椭圆.由此可知选B.【答案】 B11.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A.28B.76C.123D.199【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.【答案】 C12.在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()A.b4＋b8>b5＋b7B.b4＋b8<b5＋b7C.b4＋b7>b5＋b8D.b4＋b7<b5＋b8【解析】在等差数列{a n}中，由于4＋6＝3＋7时，有a4·a6>a3·a7，所以在等比数列{b n}中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b4＋b8>b5＋b7或b4＋b8<b5＋b7.因为b4＝b1q3，b5＝b1q4，b7＝b1q6，b8＝b1q7，所以(b4＋b8)－(b5＋b7)＝(b1q3＋b1q7)－(b1q4＋b1q6)＝b1q6·(q－1)－b1q3(q－1)＝(b1q6－b1q3)(q－1)＝b1q3(q3－1)(q－1).因为q>1，b n>0，所以b4＋b8>b5＋b7.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.)13.已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时假设应为________.【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故假设应为“x，y 均不大于1”(或x≤1且y≤1).【答案】x，y均不大于1(或x≤1且y≤1)14.如图2，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1，2，3，…)，则第n－2(n>2)个图形中共有________个顶点.【导学号：37820031】图2【解析】设第n个图形中有a n个顶点，则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，a n＝(n＋2)＋(n＋2)·(n＋2)，a n－2＝n2＋n.【答案】n2＋n15.设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab)________12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)].【解析】 因为(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b )＝1＋2ab ＋ab －1－a －b －ab ＝2ab －(a ＋b )＝－(a －b )2≤0， 所以(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )， 所以lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]. 【答案】 ≤16.对于命题“如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0”将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0，将它类比到空间的情形应为：若O 是四面体ABCD 内一点，则有_____________________________________________.【解析】 根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为V O ­BCD ·OA →＋V O ­ACD ·OB →＋V O ­ABD ·OC →＋V O ­ABC ·OD →＝0.【答案】 V O ­BCD ·OA →＋V O ­ACD ·OB →＋V O ­ABD ·OC →＋V O ­ABC ·OD →＝0 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知a ，b ，c 成等差数列，求证：ab ＋ac ，b 2＋ac ，ac ＋bc 也成等差数列.【证明】 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以(ab ＋ac )＋(ac ＋bc )＝b (a ＋c )＋2ac ＝2(b 2＋ac ).所以ab ＋ac ，b 2＋ac ，ac ＋bc 也成等差数列.18.(本小题满分12分)在平面几何中，对于Rt △ABC ，∠C ＝90°，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则(1)a 2＋b 2＝c 2； (2)cos 2A ＋cos 2B ＝1把上面的结论类比到空间写出类似的结论，无需证明.【解】 在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.(1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，底面积为S ，则S 21＋S 22＋S 23＝S 2.(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.19.(本小题满分12分)已知△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，且a >b ，求证：ab 1＋ab <a ＋b 1＋a ＋b.【证明】 依题意a >0，b >0， 所以1＋ab >0，1＋a ＋b >0. 所以要证ab 1＋ab <a ＋b 1＋a ＋b，只需证ab (1＋a ＋b )<(1＋ab )(a ＋b )， 只需证ab <a ＋b ，因为a >b ，所以ab <2ab <a ＋b ， 所以ab1＋ab <a ＋b 1＋a ＋b.20.(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n ，n ∈N +，求a 2，a 3，a 4，并猜想数列的通项公式，并给出证明.【解】 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，…，所以猜想{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1(n ∈N +).此猜想正确. 证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n ，所以1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12， 即1a n ＋1－1a n＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，公差为12的等差数列， 所以1a n＝1＋(n －1)12＝n 2＋12，即通项公式a n ＝2n ＋1(n ∈N +).21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－x 2，x ∈R .(1)若正数m ，n 满足m ·n >1，证明：f (m )，f (n )至少有一个不小于零； (2)若a ，b 为不相等的正实数且满足f (a )＝f (b )，求证：a ＋b <43. 【证明】 (1)假设f (m )<0，f (n )<0， 即m 3－m 2<0，n 3－n 2<0， ∵m >0，n >0， ∴m －1<0，n －1<0， ∴0<m <1，0<n <1， ∴mn <1，这与m ·n >1矛盾，∴假设不成立，即f (m )，f (n )至少有一个不小于零. (2)证明：由f (a )＝f (b )，得a 3－a 2＝b 3－b 2， ∴a 3－b 3＝a 2－b 2，∴(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )(a ＋b )， ∵a ≠b ，∴a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，∴(a ＋b )2－(a ＋b )＝ab <⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， ∴34(a ＋b )2－(a ＋b )<0， 解得a ＋b <43.22.(本小题满分12分)设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x2(其中a >0，且a ≠1). (1)5＝2＋3，请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示； (2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广. 【解】 (1)f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a3＋a－32·a2－a－22＋a3－a－32·a2＋a－22＝a5－a－52，又g(5)＝a5－a－52，∴g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2).(2)由(1)知g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，即g(3＋2)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，于是推测g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y).证明：∵f(x)＝a x＋a－x2，g(x)＝a x－a－x2，g(x＋y)＝a x＋y－a－（x＋y）2，g(y)＝a y－a－y2，f(y)＝a y＋a－y2，∴f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝a x＋a－x2·a y－a－y2＋a x－a－x2·a y＋a－y2＝a x＋y－a－（x＋y）2＝g(x＋y).。

高中数学人教a 版高二选修1-2_第二章_推理与证明_学业分层测评5有答案(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋b a≤－2成立的一个充分而不必要条件是( )A ．a ·b >0B ．a ·b <0C ．a >0，b <0D ．a >0，b >0【解析】 ∵a b ＋b a ≤－2，∴a 2＋b 2ab≤－2. ∵a 2＋b 2>0，∴ab <0，则a ，b 异号，故选C.【答案】 C2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA→＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形【解析】 ∵OA→＋OC →＝OB →＋OD →， ∴OA→－OB →＝OD →－OC →， ∴BA→＝CD →， ∴四边形ABCD 为平行四边形．【答案】 D3．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )A.12B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a【解析】∵a＋b＝1，a＋b>2ab，∴2ab<1 2.而a2＋b2>(a＋b)22＝12，又∵0<a<b，且a＋b＝1，∴a<12，∴a2＋b2最大，故选B.【答案】 B4．A，B为△ABC的内角，A>B是sin A>sin B的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若A>B，则a>b，又asin A＝bsin B，∴sin A>sin B；若sin A>sin B，则由正弦定理得a>b，∴A>B.【答案】 C5．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ【解析】对于A，m与α不一定垂直，所以A不正确；对于B，α与β可以为相交平面；对于C，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D，β与γ不一定垂直．【答案】 C二、填空题6．设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C 三点共线，则k ＝________.【解析】 若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λCB →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2， ∴{ λ＝2，λ＝k ， ∴{ λ＝2，k ＝6.【答案】 67．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________．【解析】 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c ，又∵c b ＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b . 【答案】 a >c >b8．已知三个不等式：①ab >0；②c a >d b；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题．【解析】 对不等式②作等价变形：c a >d b ⇔bc －ad ab >0.于是，若ab >0，bc >ad ，则bc －ad ab >0，故①③⇒②.若ab >0，bc －ad ab >0，则bc >ad ，故①②⇒③.若bc >ad ，bc －ad ab >0，则ab >0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题．【答案】 3三、解答题9．如图2-2-3，四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，求证：AF ∥平面PEC .图2-2-3【证明】∵四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，∴AB綊CD.又∵E，F分别为AB，CD的中点，∴CF綊AE.∴四边形AECF为平行四边形．∴AF∥EC.又AF⊄平面PEC，EC⊂平面PEC，∴AF∥平面PEC.10．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列．求证：△ABC为等边三角形．【证明】由A，B，C成等差数列知，B＝π3，由余弦定理知b2＝a2＋c2－ac，又a，b，c也成等差数列，∴b＝a＋c 2，代入上式得(a＋c)24＝a2＋c2－ac，整理得3(a－c)2＝0，∴a＝c，从而A＝C，而B＝π3，则A＝B＝C＝π3，从而△ABC为等边三角形．[能力提升]1．设x，y∈R，a>1，b>1，若a x＝b y＝3，a＋b＝23，则1x＋1y的最大值为()A．2 B.32C．1 D.1 2【解析】∵a x＝b y＝3，x＝log a3，y＝log b3，∴1x＋1y＝log3(ab)≤log3⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝1.故选C.【答案】 C2．在△ABC中，tan A·tan B>1，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解析】因为tan A·tan B>1，所以角A，角B只能都是锐角，所以tan A>0，tan B>0,1－tan A·tan B<0，所以tan(A＋B)＝tan A＋tan B1－tan A·tan B<0.所以A＋B是钝角，即角C为锐角．【答案】 A3．若0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b,2ab，a2＋b2,2ab中最大的是________.【解析】由0<a<1,0<b<1，且a≠b，得a＋b>2ab，a2＋b2>2ab.又a>a2，b>b2，知a＋b>a2＋b2，从而a＋b最大．【答案】a＋b4．如图2-2-4所示，M是抛物线y2＝x上的一点，动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点，且MA＝MB.若M为定点，求证：直线EF的斜率为定值．图2-2-4【证明】设M(y20，y0)，直线ME的斜率为k(k>0)，∵MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，∴直线MF的斜率为－k，∴直线ME的方程为y－y0＝k(x－y20)．由{y－y0＝k(x－y20)，y2＝x，消去x得ky2－y＋y0(1－ky0)＝0.解得y E＝1－ky0k，∴x E＝(1－ky0)2k2.同理可得y F＝1＋ky0－k，∴x F＝(1＋ky0)2k2.∴k EF＝y E－y Fx E－x F＝1－ky0k－1＋ky0－k(1－ky0)2k2－(1＋ky0)2k2＝2k－4ky0k2＝－12y0(定值)．∴直线EF的斜率为定值．。

选修1－2 第二章测试卷(时间：90分钟满分：150分)一、选择题(共12小题，满分60分，每小题5分)1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．以上答案都不是详细分析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.答案：C2．设{a n}，{b n}是两个等差数列，若c n＝a n＋b n，则{c n}也是等差数列，类比上述性质，设{s n}，{t n}是等比数列，则下列说法正确的是()A．若r n＝s n＋t n，则{r n}是等比数列B．若r n＝s n t n，则{r n}是等比数列C．若r n＝s n－t n，则{r n}是等比数列D．以上说法均不正确详细分析：在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时，加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘．故由“{a n}，{b n}是两个等差数列，若c n＝a n＋b n，则{c n}是等差数列”，类比推理可得：“设{s n}，{t n}是等比数列，若r n＝s n t n，则{r n}是等比数列”．故选B.答案：B3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法：①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．则说法中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3详细分析：可用反证法推出①②不正确，③正确．答案：B4．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)详细分析：(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．答案：D5．已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为()A．(3,9) B．(4,8)C．(3,10) D．(4,9)详细分析：因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)，故选D.答案：D6．求证：2＋3> 5.证明：因为2＋3和5都是正数，所以为了证明2＋3>5，只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，即证26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立．上述证明过程应用了( )A ．综合法B ．分析法C ．综合法、分析法配合使用D ．间接证法详细分析：证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．答案：B7．某同学在纸上画出如下若干个三角形：△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……若依此规律，得到一系列的三角形，则在前2 015个三角形中▲的个数是( )A ．62B ．63C ．64D ．61详细分析：前n 个▲中所包含的所有三角形的个数是1＋2＋3＋…＋n ＋n ＝n (n ＋3)2，由n (n ＋3)2＝2 015，解得n ＝62. 答案：A8．若数列{a n }是等比数列，则数列{a n ＋a n ＋1}( )A ．一定是等比数列B ．一定是等差数列C ．可能是等比数列也可能是等差数列D ．一定不是等比数列详细分析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＋a n ＋1＝a n (1＋q )．∴当q ≠－1时，{a n ＋a n ＋1}一定是等比数列；当q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，此时为等差数列．答案：C9．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( )A ．大于0B ．小于0C ．不小于0D ．不大于0详细分析：方法一：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0. 方法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a ，b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab <0，排除A ，B ，C 三项，故选D.答案：D10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c详细分析：令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34，所以a ＝12，b ＝c ＝14. 答案：A11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A ．S n ＝2n n ＋1B ．S n ＝3n －1n ＋1C ．S n ＝2n ＋1n ＋2D ．S n ＝2n n ＋2详细分析：由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43； 又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64； 又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85. 由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85， 可以猜想S n ＝2n n ＋1. 答案：A12．设函数f (x )的定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 016等于( )A.1 B ．2C ．4D ．5详细分析：x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2 016＝x 4＝5，故选D.答案：D二、填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．详细分析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．答案：x ，y 都大于114．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b 2，则m ，n 的大小关系是________． 详细分析：ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒(a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >a ＋b⇒a ＋b 2>a ＋b 2⇒lg a ＋b 2>lg a ＋b 2. 答案：m >n15．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，6＋a b ＝6a b，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 的值，则a ＋b ＝________.详细分析：由题意归纳推理得 6＋a b ＝6a b ， b ＝62－1＝35，a ＝6.∴a ＋b ＝6＋35＝41.答案：41 16．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．详细分析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a 38. 答案：a 38三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2； (2)6＋10>23＋2.证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b 2≥ab ， ∴lg a ＋b 2≥lg ab ， ∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2. (2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即证260>248，这是显然成立的，∴原不等式成立．18．(12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n 1＋a n (n ＝1,2，…)． (1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n (不要求证明)． 详细分析：(1)证明：若a n ＋1＝a n ，即2a n 1＋a n＝a n ， 解得a n ＝0或1.从而a n ＝a n －1＝…＝a 2＝a 1＝0或1，这与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾，所以a n ＋1＝a n 不成立．故a n ＋1≠a n 成立．(2)由题意得a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝1617， 由此猜想：a n ＝2n －12n －1＋1. 19．(12分)已知函数f (x )＝x 2－2x .(1)当x ∈⎣⎡⎦⎤12，3时，求函数f (x )的值域；(2)若定义在R 上的奇函数g (x )对任意实数x ，恒有g (x ＋4)＝g (x )，且当x ∈[0,2]时，g (x )＝f (x )，求g (1)＋g (2)＋…＋g (2 017)的值．详细分析：(1)f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，∴当x ＝1时，f (x )min ＝－1；当x ＝3时，f (x )max ＝3.即当x ∈⎣⎡⎦⎤12，3时，函数f (x )的值域是[－1,3]．(2)由g (x ＋4)＝g (x )可得，函数g (x )的周期T ＝4，g (1)＝f (1)＝－1，g (2)＝f (2)＝0，g (3)＝g (－1)＝－g (1)＝1，g (4)＝g (0)＝f (0)＝0，∴g (1)＋g (2)＋g (3)＋g (4)＝0，故g (1)＋g (2)＋…＋g (2 017)＝g (1)＋504×0＝－1.20．(12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ＝3，AB ＝4，AC ＝CC 1＝5，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1的中点．(1)求证：MN ∥平面ACC 1A 1；(2)求点N 到平面MBC 的距离．详细分析：(1)证明：如图，连接AC 1，AB 1，∵该三棱柱是直三棱柱，∴AA 1⊥A 1B 1，则四边形ABB 1A 1为矩形，由矩形性质得AB 1过A 1B 的中点M ，在△AB 1C 1中，由中位线性质得MN ∥AC 1，又MN ⊄平面ACC 1A 1，AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴MN ∥平面ACC 1A 1.(2)∵BC ＝3，AB ＝4，AC ＝CC 1＝5，∴AB ⊥BC ，又∵BB 1⊥BC ，AB ∩BB 1＝B ，AB ，BB 1⊂平面ABB 1A 1，∴BC ⊥平面ABB 1A 1，同理AB ⊥平面BCC 1B 1，又∵BM ⊂平面ABB 1A 1，∴BC ⊥BM ，∴S △NBC ＝12×BC ×BB 1＝12×3×5＝152， ∴S △MBC ＝12×BC ×BM ＝12×3×412＝3414， 又点M 到平面BCN 的距离为h ′＝12AB ＝2， 设点N 到平面MBC 的距离为h ， 由V 三棱锥M -NBC ＝V 三棱锥N -MBC ，可得13S △NBC ·h ′＝13S △MBC ·h ， 即13×152×2＝13×3414×h ， 解得h ＝204141， 即点N 到平面MBC 的距离为204141. 21．(12分)某同学在研究相邻三个正整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：①1＋3<22；②2＋4<23；③3＋5<2 4.(1)已知2∈(1.41,1.42)，3∈(1.73,1.74)，5∈(2.23，2.24)，请从以上三个式子中任选一个，结合此范围，验证其正确性(注意不能近似计算)；(2)请将此规律推广至一般情形，并证明．详细分析：(1)验证①式成立：∵3<1.74，∴1＋3<2.74， ∵2>1.41，∴22>2.82，∴1＋3<2 2.(2)一般结论为：若n ∈N *， 则n ＋n ＋2<2n ＋1，证明如下： 要证n ＋n ＋2<2n ＋1， 只需证(n ＋n ＋2)2<(2n ＋1)2， 即证2n ＋2＋2n ·n ＋2<4n ＋4，即证n ·n ＋2<n ＋1，只需证n (n ＋2)<n 2＋2n ＋1，即证0<1，显然成立．故n ＋n ＋2<2n ＋1.22．(12分)已知函数f (x )＝2sin x －x cos x －x ，f ′(x )为f (x )的导数．(1)证明：f ′(x )在区间(0，π)存在唯一零点；(2)若x ∈[0，π]时，f (x )≥ax ，求a 的取值范围．详细分析：(1)设g (x )＝f ′(x )，则g (x )＝cos x ＋x sin x －1，g ′(x )＝x cos x .当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，g ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，g ′(x )<0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减．又g (0)＝0，g ⎝⎛⎭⎫π2>0，g (π)＝－2，故g (x )在(0，π)存在唯一零点．所以f ′(x )在(0，π)存在唯一零点．(2)由题设知f (π)≥a π，f (π)＝0，可得a ≤0.由(1)知，f ′(x )在(0，π)只有一个零点，设为x 0，且当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )>0；当x ∈(x 0，π)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，x 0)单调递增，在(x 0，π)单调递减．又f (0)＝0，f (π)＝0，所以，当x ∈[0，π]时，f (x )≥0.又当a ≤0，x ∈[0，π]时，ax ≤0，故f (x )≥ax .因此，a 的取值范围是(－∞，0]．。