实验报告
一、实验目的
熟悉信号采样过程，并通过本实验观察欠采样时信号频谱的混叠现象，了解采样前后信 号频谱的变化，加深对采样定理的理解，掌握采样频率的确定方法。
二、实验原理
模拟信号经过（A/D ）变换转为熟悉信号的过程称之为采样，信号采样后其频谱产生了 周期延拓，在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时样本值表示，这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原连续时间信号。采样定理的完整描述如下：
一个频谱在（-ωm ，ωm ）以外为零的频带有限信号f(t)，可唯一的由其在均匀时间间隔T s （T s <1
2f m ）上的样点值f s (t)=f(n T s )确定。 要从采样信号f s (t)中顺利恢复原信号f(t)，必须满足两个条件：(1)f(t)必须是频带有限信号；(2)取样频率不能过低，必须满足f s ?2f m ，称f s =2f m 为奈奎斯特速率。f m 为f(t)最高截止频率。
如前所述f(t)为带限信号其最高截止频率为f m 其频谱F(j ω)如图（a ）所示，采样时间间隔为Ts ，则f(t)经采样后的离散序列f(n)为：
f (n )=f s (t )=f (nT s )=f(t)∑δ(t ?nT s )=∑f(t)δ(t ?nT s )∞
n=?∞
∞n=?∞
其中，g(t)= ∑δ(t ?nT s )∞n=?∞—采样信号（周期单位脉冲时序列）
G(t)的频谱如图（b ）所示。F s (jω)的频谱如图（c ）所示，图中相当于原模拟信号的频谱称为基带频谱。如果f s <2f m 则F s (jω)按照采样频率f s 进行周期延拓时，形成频谱混叠现象如图（d ）所示。
f s (t )的频谱函数为：
F s (jω)=12πF(jω)×ωs ∑δ(ω?nωs )=1T s ∑F[j (ω?nωs )∞n=?∞∞n=?∞]；其中ωs =2πT s
可以看出，抽样信号的频谱F s (jω)是原信号频谱F(jω)的无数次平移之后的叠加。其频谱图如图1（c ）所示。可见，采样信号频谱F s (jω)= 1
T s ∑F[j (ω?nωs )∞n=?∞]中n=0
的部分频谱
即可得到原信号的频谱图，恢复原信号。但原信号必须是频谱在（-ωm，ωm）内的频带有限信号。
需要注意的是，在对信号进行采样时，满足采样定理，只能保证不发生频率混叠，对信号的频谱作逆傅里叶变换时，可以完全变换为原时域采样信号，而不能保证此时的采样信号能真实反映原信号。工程实际中采样频率通常大于信号中最高频率成分的3—5倍。
三、实验内容
1.
（1）编写采样定理程序框图
按照实验指导书绘出电路图并且做好连线，如下图2，波形发生器1设置为正弦（勾选上整数周期数选项，默认为缺省值），波形发生器2设置为方波，同样设置为整数周期，需要将幅度和偏移量连接起来，使滤波后信号相比原信号有一定的偏移量，这便于观察；滤波器选择低通，截止频率需要外部输入（本实验为输入信号频率加5Hz）；频谱测量1、2均需要设置为FFT-峰值，方可正确测量；最后使用合并信号，将四类信号合并为一个输出到波形图中；频谱测量结果分两个波形图输出。最后外加while循环，这样在改变生成波形参数和采样参数时能够立即看到处理结果。
图2.采样定理程序框图
（2）选择频率为50 Hz，幅值为1的单频正弦原信号作为输出信号，采样脉冲频率为200Hz，采样脉冲幅度为1，采样脉冲占空比为50%。结果如图3所示：
图3.抽样及恢复过程
如图可以看出滤波后信号幅度有所减小，同时通过频谱可以看出，最高峰值即为真实信号的信息，其余则是混合信号中的干扰成分，可以根据滤波图和频谱图进行分析进而滤除干扰信号，还原真实信号。
2.产生正弦波信号，然后选择不同的采样抽取率，分析和观察信号的时域波形和频谱变化。
图4.采样脉冲频率为60Hz
图5.采样脉冲频率为80Hz
图6.采样脉冲频率为100Hz
图7.采样脉冲频率为250Hz
图4、5为采样频率为60Hz、80Hz时的情况，此时不满足采样定理，无法还原信号，滤波后信号幅值变化大，且非正弦信波，频谱图也无法看出哪个信号是有效信号，采样到的信号已经完全失真。图6设置的采样频率为100Hz，刚好满足采样定理的下边界条件。可以看到，滤波后信号已经基本和输入原始信号相似，可以完全转换为原时域采样信号，并未完全还原原信号。如果输入信号中夹杂更多的噪声成分，则无法达到滤波还原效果。图7中采用的采样频率为250Hz，可以与图4进行对比，发现图7的滤波效果要更好一些，频谱图中的峰值也更加集中。原因在与采样频率越高，则采集到的点越密集，曲线拟合度越高。一般来说，采集频率高于原信号中最高频率的3~5倍就比较合适了。
3.三角波：采样频率为200Hz，幅值1
图8.仿真信号f(t)为三角波
可以看到，滤波后的图形并不是三角波，频谱图中有效成分较多。原因为三角波带宽是无限的，由采样定理知原信号必须是频谱在（-ωm，ωm）内的频带有限信号才能恢复为原信号，频谱上无限制的信号必然会引入混叠。
4.方波
图9.仿真信号f(t)为方波
同三角波类似，输入为方波时也无法还原原波形。因为方波带宽是无限的，由采样定理知原信号必须是频谱在（-ωm，ωm）内的频带有限信号才能恢复为原信号，频谱上无限制的信号必然会引入混叠。
四、实验结论
根据实验我们可以得到，要从采样信号f s(t)中顺利恢复原信号f(t)，需要满足两个条件：(1)f(t)必须是频带有限信号；(2)取样频率不能过低，必须满足f s?2f m。对于输入信号为正弦波，由于为带限信号，滤波信号效果较好，当f s?2f m能较好还原原始波形。而对于三角波、方波一类的输入信号，由于不是频带有限信号，经过滤波后仍然是近似正弦信号，并不能还原原始波形。所以需要结合频谱图进行分析，找出其中的有效成分，二者进行结合后才能得出正确的波形。
五、思考题
当采样频率大于输入信号中最高频率的两倍时，并不能顺利地从抽样信号中恢复原信号，在对信号进行采样肘，满足了采样定理，只能保证不发生频率混叠，对信号的频谱作逆傅立叶变换时，可以完全变换为原时域采样信号，而不能保证此时的采样信号能真实地反映原信号。因此工程实际中采样频率通常大于信号中最高频率成分的3~5倍。