等差数列的概念与通项公式

第二章数列

2.2 等差数列

第1课时等差数列的概念与通项公式

A级基础巩固

一、选择题

1．有穷等差数列5，8，11，…，3n＋11(n∈N*)的项数是() A．n B．3n＋11

C．n＋4 D．n＋3

解析：在3n＋11中令n＝1，结果为14，它是这个数列的第4项，前面还有5，8，11三项，故这个数列的项数为n＋3.

答案：D

2．若{a n}是等差数列，则由下列关系确定的数列{b n}也一定是等差数列的是()

A．b n＝a2n B．b n＝a n＋n2

C．b n＝a n＋a n＋1D．b n＝na n

解析：{a n}是等差数列，设a n＋1－a n＝d，则数列b n＝a n＋a n＋1满足：

b n＋1－b n＝(a n＋1＋a n＋2)－(a n＋a n＋1)＝a n＋2－a n＝2d.

答案：C

3．数列{a n}中，a n＋1＝

a n

1＋3a n

，a1＝2，则a4为()

A.87

B.85

C.165

D.219

解析：因为1a n ＋1＝

1＋3a n

a n ，

所以1

a n ＋1

＝1

a n ＋3， 所以1

a n ＋1－1a n

＝3， 所以1

a n ＝12＋3(n －1)，

1a 4＝12＋3(4－1)＝192，

所以a 4＝219.

答案：D

4．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝(

) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97

解析：由已知，⎩⎨⎧9a 1＋36d ＝27，

a 1

＋9d ＝8，所以

a 1＝－1，d ＝1，a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99＝98，故选C.

答案：C

5．若lg 2，lg(2x －1)，lg(2x ＋3)成等差数列，则x 的值等于(

) A ．0 B ．log 25 C ．32 D ．0或32

解析：依题意得2lg(2x －1)＝lg 2＋lg(2x ＋3)，

所以(2x －1)2＝2(2x ＋3)，

所以(2x )2－4·2x －5＝0，

所以(2x －5)(2x ＋1)＝0，

所以2x ＝5或2x ＝－1(舍)，

所以x ＝log 2 5.

答案：B

二、填空题

6．已知a ，b ，c 成等差数列，那么二次函数y ＝ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴的交点有________个．

解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，又因为Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0

所以二次函数的图象与x 轴的交点有1或2个．

答案：1或2

7．若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R ，且

m ≠n )的四个根组成首项为14

的等差数列，则m ＋n 的值为________． 解析：设x 2－x ＋m ＝0，x 2－x ＋n ＝0的根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝1.设数列的首项为x 1，则根据等差数列的性

质，数列的第4项为x 2，由题意知x 1＝14

， 所以x 2＝34，数列的公差d ＝34－144－1＝16

， 所以数列的中间两项分别为14＋16＝512，512＋16＝712

.

所以x 1·x 2＝m ＝316.x 3·x 4＝n ＝512×712＝35144

. 所以m ＋n ＝316＋35144＝3172

. 答案：3172

8．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n ＝b n ，则n 的值为________．

解析：a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1，

b n ＝－2＋(n －1)×4＝4n －6，

令a n ＝b n ，得3n －1＝4n －6，所以n ＝5.

答案：5

三、解答题

9．在等差数列{a n }中，

(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ；

(2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9.

解：(1)因为a 5＝－1，a 8＝2，

所以⎩⎨⎧a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝－5，d ＝1.

(2)设数列{a n }的公差为d .由已知得，

⎩⎨⎧a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2.

所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，

所以a 9＝2×9－1＝17.

10．若等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 2是关于x 的方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两根，求数列{a n }的通项公式．

解：由题意知⎩⎨⎧a 1＋a 2＝a 3，a 1a 2＝a 4，

所以⎩⎨⎧2a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1（a 1＋d ）＝a 1＋3d .

解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝2，

所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .

故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .

B 级 能力提升

1．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，

b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1

等于( ) A.m n B.m ＋1n ＋1 C.n m D.n ＋1m ＋1

解析：设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2，第一个数列共(m ＋2)项，所以d 1＝y －x

m ＋1

； 第二个数列共(n ＋2)项，所以d 2＝y －x

n ＋1，这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1.