电磁感应中的动力学和能量问题

mgRsin θ 答案 2 2 BL
2、电磁感应现象中涉及的具有收尾速度的力学问题，
关键是要抓好受力情况和运பைடு நூலகம்情况的动态分析：
周而复始地循环，加速度等于零时，导体达到 稳定运动状态.
3、两种状态处理 （1） 导体匀速运动， 受力平衡 ，应根据平衡条件列式
分析；
（2） 导体做匀速直线运动之前，往往做变加速运动 ，
机械能 的变化。 (5)安培力做的功等于 电能 的变化。
2Rt I 5.焦耳定律：Q＝
。
一、电磁感应中的动力学问题
1 、具有感应电流的导体在磁场中将受到安培力作用， 所以电磁感应问题往往与力学问题联系在一起，处理此 类问题的基本方法是： (1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大
小和方向；
减小，当加速度a减小到0时，速度达到最大.
B L vm 此时有 F－μmg－ ＝0 R＋r
F－μmgR＋r 可得：vm＝ ＝10 m/s 2 2 BL
答案 10 m/s
2 2
⑥
⑦
(2)试定性画出导体棒运动的速度—时间图象。
解析：棒的速度—时间图象如图所示.
答案 见解析图
例2：如图2甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ 平行放置在倾角为 θ 的绝缘斜面上，两导轨间距为 L ， M、P两点间接有阻值为R的电阻，一根质量为m的均匀 直金属杆 ab 放在两导轨上，并与导轨垂直，整套装置 处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜 面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略，让 ab 杆沿导轨 由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们 之间的摩擦。
3、求解电磁感应现象中能量问题的一般思路 (1)确定回路，分清电源和外电路。 (2)分析清楚有哪些力做功，明确有哪些形式的能量发生 了转化。如： ①有摩擦力做功，必有内能产生； ②有重力做功，重力势能必然发生变化； ③克服安培力做功，必然有其他形式的能转化为电能， 并且克服安培力做多少功，就产生多少电能；如果安培 力做正功，就是电能转化为其他形式的能. (3)列有关能量的关系式。
处于非平衡状态，应根据牛顿第二定律结合功能关系分
析。
例3： 如图3所示，竖直平面内有足够长的金属导轨，轨 距为0.2m，金属导体ab可在导轨上无摩擦地上下滑动， ab 的电阻为 0.4Ω ，导轨电阻不计，导体 ab 的质量为 0.2g ， 垂直纸面向里的匀强磁场的磁感应强度为 0.2T，且磁场 区域足够大，当导体ab自由下落0.4s时，突然闭合开关S， 则：
导体棒切割磁感线运动，产生的感应电动势： E＝BLv ①
E I＝ R＋r
导体棒受到的安培力F安＝BIL
②
③
棒运动过程中受到拉力F、安培力F安和摩擦力Ff的作用，根 据牛顿第二定律： F－μmg－F安＝ma ④
B2L2v 由①②③④得：F－μmg－ ＝ma R＋r
⑤
由上式可以看出，随着速度的增大，安培力增大，加速度a
电阻，不计空气阻力，若力F的大小保持不变，且F＝1.0 N，求：
(1)导体棒能达到的最大速度大小vm.
解析 导体棒达到最大速度 vm 时受力平衡， 有 F＝F 安 m， B2L2vm 此时 F 安 m＝ ，解得 vm＝12.5 m/s. R
答案 12.5 m/s
(2)导体棒的速度v＝5.0 m/s时，导体棒的加速度大小.
3 2 2
③
1 2 mgRq m g R 0.1×10×1×2 E ＝ mgh － mv m ＝ － 4 4＝ J－ 2 BL 2B L 1×0.5 0.1 ×10 ×1 4 4 J＝3.2 J 2×1 ×0.5
答案 3.2 J
3 2 2
对点练习
电磁感应中的动力学问题
1.如图6所示，在光滑水平桌面上有一边长为L、
(2)导体ab匀速下落的速度是多少？(g取10 m/s2)
解析 设匀速下落的速度为 vm， B L vm mgR 此时 F 安＝mg，即 ＝mg，vm＝ 2 2＝0.5 m/s. R BL
答案 0.5 m/s
2 2
二、电磁感应中的能量问题
1、电磁感应现象中的能量守恒 电磁感应现象中的“阻碍”是能量守恒的具体体现，在 这种“阻碍”的过程中，其他形式的能转化为电能。 2、电磁感应现象中的能量转化方式 外力克服安培力做功，把机械能或其他形式的能转化成 电能；感应电流通过电路做功又把电能转化成其他形式 的能 . 若电路是纯电阻电路，转化过来的电能也将全部 转化为电阻的内能(焦耳热)。
图5
解析 金属棒下落过程做加速度逐渐减小的加速运动，加速度 减小到零时速度达到最大，根据平衡条件得 B L vm mg＝ R
2 2
①
在下落过程中，金属棒减小的重力势能转化为它的动能和电能 E，由能量守恒定律得 1 2 mgh＝ mvm＋E 2 ②
通过棒某一横截面的电荷量为 BhL q＝ R 由①②③解得：
A.金属棒所受各力的合力所做的功等于零 B.金属棒所受各力的合力所做的功等于mgh 和电阻R上产生的焦耳热之和 C.恒力F与重力的合力所做的功等于棒克服 安培力所做的功与电阻R上产生的焦耳热之 和 D. 恒力 F 与重力的合力所做的功等于电阻 R 上产生的焦耳热
图4
解析：棒匀速上升的过程有三个力做功：恒力F做正功、重力G
知线框受到向左的安培力，阻碍线框的相对运动，v减小，由F安 ＝ 2 2 ，则安培力减小，故线框做加速度减小的减速运动；由 BLv 于 d ＞ L ，线框完全进入磁场后，线框中没有感应电流，不再受
安培力作用，线框做匀速直线运动，同理可知线框离开磁场时，
R
线框也受到向左的安培力，阻碍线框的相对运动，做加速度减
做负功、安培力F安做负功.根据动能定理：W＝WF＋WG＋W安＝ 0，故A对，B错； 恒力F与重力G的合力所做的功等于棒克服安培力做的功.而棒克 服安培力做的功等于回路中电能(最终转化为焦耳热)的增加量，
克服安培力做功与焦耳热不能重复考虑，故C错，D对.
答案：A D
例 5 ：如图 5 所示，足够长的光滑金属框竖直放置，框 宽L＝0.5m，框的电阻不计，匀强磁场的磁感应强度 B ＝1T，方向与框面垂直，金属棒MN的质量为100g，电 阻为1Ω，现让MN无初速度释放并与框保持接触良好的 竖直下落，从释放直至到最大速度的过程中通过棒某 一截面的电荷量为 2C，求此过程中回路产生的电能为 多少？(空气阻力不计，g＝10 m/s2)
(1)试说出S接通后，导体ab的运动情况； (2)导体ab匀速下落的速度是多少？(g取 10 m/s2)
图3
(1)试说出S接通后，导体ab的运动情况；
解析：闭合S之前导体自由下落的末速度为：v0＝gt＝4 m/s.
S 闭合瞬间，导体产生感应电动势，回路中产生感应电流，ab 立 即受到一个竖直向上的安培力. B L v0 F 安＝BIL＝ ＝0.016 N＞mg＝0.002 N. R
当加速度a为零时，速度达到最大或最小，物体
5、做功的过程就是 能量转化 的过程，做了多少功， 就有多少能量发生了 转化 ， 功
是能量转化的量度。
6、几种常见的功能关系
(1)合外力所做的功等于物体 动能 的变化。(动能定理)
(2)重力做的功等于 重力势能 的变化。
(3)弹簧弹力做的功等于 弹性势能 的变化。 (4)除了重力和系统内弹力之外的其他力做的功等于
4、电磁感应中焦耳热的计算技巧
(1)电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt.
(2)感应电流变化，可用以下方法分析：
①利用动能定理，求出克服安培力做的功，产生 的焦耳热等于克服安培力做的功，即Q＝W安. ②利用能量守恒，即感应电流产生的焦耳热等于 其他形式能量的减少，即Q＝ΔE其他.
例4：如图4所示，两根电阻不计的光滑平行金属导轨倾 角为θ，导轨下端接有电阻R，匀强磁场垂直斜面向上.质 量为m、电阻不计的金属棒ab在沿斜面与棒垂直的恒力F 作用下沿导轨匀速上滑，上升高度为 h ，在这个过程中 ( )
图2
(1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出 ab杆
下滑过程中某时刻的受力示意图；
解析
如图所示， ab 杆受重力 mg ，竖直向下；
支持力FN，垂直于斜面向上；安培力F安.
答案 见解析图
(2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab
杆中的电流及其加速度的大小；
解析 当 ab 杆的速度大小为 v 时，感应电动势 E＝BLv，此时 E BLv 电路中的电流 I＝ ＝ R R
2、当导体做切割磁感线运动时E＝ Blv 感应电动势方向由 右手定则 判断。
，
3、垂直于匀强磁场放置、长为L的直导线通过的电流 为I时，它所受的安培力F＝ BIL ， 安培力方向的判断用 左手定则 。
4、牛顿第二定律：F＝ ma ，它揭示了力与运动的关系.
当加速度a与速度v方向相同时，速度 增大 度 减小 ， 做 匀速直线运动 。 ，反之速
小的减速运动.综上所述，正确答案为D.
答案 D
2.如图7所示，光滑金属直轨道MN和PQ固定
在同一水平面内，MN、PQ平行且足够长， 两轨道间的宽度L＝0.50 m.轨道左端接一阻值 图 7 R＝0.50 Ω的电阻.轨道处于磁感应强度大小为B＝0.40 T ，方向竖 直向下的匀强磁场中，质量m＝0.50 kg的导体棒ab垂直于轨道放 置.在沿着轨道方向向右的力F作用下，导体棒由静止开始运动， 导体棒与轨道始终接触良好并且相互垂直，不计轨道和导体棒的
BLv ab 杆受到安培力 F 安＝BIL＝ R
2 2
BLv 根据牛顿第二定律，有 ma＝mgsin θ－F 安＝mgsin θ－ R B2L2v a＝gsin θ－ . mR
2 2
BLv BLv 答案 gsin θ－ R mR
2 2
(3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值.
mgRsin θ 解析 当 a＝0 时，ab 杆有最大速度：vm＝ 2 2 . BL
(2)求回路中的感应电流的大小和方向；
(3)分析导体的受力情况(包括安培力)；
(4)列动力学方程或平衡方程求解。
例1：如图1所示，空间存在B＝0.5 T、方向竖直向下 的匀强磁场，MN、PQ是水平放置的平行长直导轨， 其间距L＝0.2 m，电阻R＝0.3 Ω接在导轨一端，ab是 跨接在导轨上质量m＝0.1 kg、电阻r＝0.1 Ω 的导体棒， 图 1 已知导体棒和导轨间的动摩擦因数为 0.2. 从零时刻开 始，对ab 棒施加一个大小为 F＝0.45 N、方向水平向 左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，过程中 棒始终保持与导轨垂直且接触良好，求：
2 2
此刻导体所受到合力的方向竖直向上，与初速度方向相反，加速 度的表达式为 F安－mg B2L2v a＝ ＝ －g，所以 ab 做竖直向下的加速度逐渐减小的 m mR 减速运动.当速度减小至 F 安＝mg 时，ab 做竖直向下的匀速运动.
答案：先做竖直向下的加速度逐渐减小的减速运动，后做匀速 运动
(1)导体棒所能达到的最大速度；
(2) 试 定 性 画 出 导 体 棒 运 动 的 速
度—时间图象。
(1)导体棒所能达到的最大速度；
解析：ab棒在拉力F作用下运动，随着ab棒切割磁感线运动
的速度增大，棒中的感应电动势增大，棒中感应电流增大，
棒受到的安培力也增大，最终达到匀速运动时棒的速度达 到最大值 .外力在克服安培力做功的过程中，消耗了其他形 式的能，转化成了电能，最终转化成了焦耳热.
选修3-2
习题课 电磁感应中的动力学和能量问题
宿豫中学 高二备课组
目标定位
1.综合运用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电 磁感应中的动力学问题； 2.会分析电磁感应中的能量转化问题。
知识点梳理
1、闭合回路的磁通量发生变化时，根据法拉第电磁感
Δ Φ 应定律E＝n ，计算电动势大小， Δt
根据 楞次定律 判定电动势方向。
解析 导体棒的速度 v＝5.0 m/s 时，感应电动势 E＝BLv＝ E 1.0 V，导体棒上通过的感应电流大小 I＝ ＝2.0 A，导体棒 R 受到的安培力 F 安＝BIL＝0.40 N，根据牛顿第二定律，有 F－F 安＝ma，解得 a＝1.2 m/s .
电阻为R的正方形导线框.在导线框右侧有一宽度 为d(d>L)的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导 线框的一边平行，磁场方向竖直向下.导线框以某 图6 一初速度向右运动，t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，
随后导线框进入并通过磁场区域.下列v－t图象中，可能正确描
述上述过程的是( )
解析
根据题意，线框进入磁场时，由右手定则和左手定则可