宽象限相依随机变量部分和的中偏差及其在保险中的应用

数学年刊　２０１５，３６Ａ（４）：３７５—３８８　ＤＯｈ　１０．１６２０５￣．ｃｎｋｉ．ｃａｍａ．２０１５．００３５　

宽象限相依随机变量部分和的中偏差及其在　保险中的应用木　

杨　洋　林金官　王定成。　提要研究了控制变换尾分布的宽象限相依实值随机变量部分和的中偏差．相应于所得到的理论结果，　进一步给出了在相依保险风险模型中的两个应用：一是在基于顾客到达过程的保险风险模型中，保险　公司盈余的渐近估计；二是在复合更新风险模型中，有限时和无限时破产概率的一致渐近估计．　

关键词中偏差，宽象限相依，控制变换，基于顾客到达过程的保险风险模型，复合更新风险模型　ＭＲ　ｆ２０００）主题分类６０Ｆ１０，６２Ｅ２０，６２Ｐ０５　中图法分类ｏ２１１．４　文献标志码Ａ　文章编号１０００—８３１４（２０１５）０４－０３７５—１４　

１引　言　假设｛　，扎≥１）是一列相依同分布的实值随机变量（简称ｒ．Ｖ．ｓ），具有共同的分布　函数（简称ｄ．ｆ＿）Ｆ（ｘ）＝１一－Ｆ（ｘ）＜１对所有的ｘ＞０，和有限均值　．对ｋ≥１，记　ｋ　｛　，礼≥１）的部分和为Ｓｋ＝∑Ｘｉ．在本文中，将在对｛　，几≥１）施加一定的约束条　

＝ｌ　件下，研究尾概率ｐ（　一凡　＞ｘ）在ｘ的某个区域中的一致渐近性态，其中ｎ—ｏｏ．该　

领域已有的诸多研究主要集中在精致大偏差上，即研究对任意固定的，ｙ＞０，渐近关系式　

ｐ（　一礼　＞ｘ）＾一ｎＦ（ｘ），　ｎ．＿＋∞　是否对所有的ｘ≥　几一致成立．　（１．１）中的一致性是指　ｐ（Ｓｎ一礼　＞ｘ）　ｎＦ（ｘ）　

（１．１）　

早期关于精致大偏差的经典结果要求｛　，几≥１）是非负且独立的随机变量．对于实值　相依｛　，ｎ≥１）的情形，参见Ｔａｎｇ［　，Ｌｉｕ［　，Ｌｉｕ［引，Ｗａｎｇ等［４］，Ｙａｎｇ和Ｗａｎｇ［　１等．　

相对于大偏差，中偏差的应用更为广泛．记ａ（ｔ）（ｔ≥０）是正函数，且满足　

（１．２）　

本文２０１４年７月１５日收到，２０１５年４月７日收到修改稿．　通信作者．南京审计学院江苏省金融工程重点实验室，南京２１１８１５；东南大学经济管理学院，南京２１００９６．　Ｅ—ｍａｉｌ：ｙｙａｎｇ＠ｎａｕ．ｅｄｕ．ｃｎ；ｙｙａｎｇｍａｔｈ＠ｇｍａｉｌ．ｃｏｒｎ　东南大学数学系，南京２１００９６．Ｅ—ｍａｉｌ：ｊｇｌｉｎ＠ｓｅｕ．ｅｄｕ．ａｎ　０南京审计学院江苏省金融工程重点实验室，南京２１１８１５．Ｅ—ｍａｉｌ：ｗａｎｇｄｃＱｎａｕ．ｅｄｕ．ｃｎ　本文受到国家自然科学基金（Ｎｏ．７１４７１０９０，Ｎｏ．７１２７１０４２），教育部人文社会科学研究青年基金（Ｎｏ．１４　ＹＪＣＺＨ１８２），中国博士后科学基金（Ｎｏ．２０１４Ｔ７０４４９，Ｎｏ．２０１２Ｍ５２０９６４），江苏省自然科学基金（Ｎｏ．ＢＫ　２０１３１３３９），江苏省高校自然科学基金重大项目（Ｎｏ．１５ＫＪＡｌｌ０００１），江苏省青蓝工程，江苏省高校优秀科　技创新团队项目，江苏高校优势学科建设工程，江苏省高校金融工程重点实验室和江苏省十二五重点建设学　科（统计学）项目的资助．　３７６　数学年刊　３６卷Ａ辑　其中对于实数Ｙ，ｌ　表示小于或等于Ｙ的最大整数．本文通篇假设，对某个１＜　＜　ｍｉｎ｛２，　）（参见下文中对　的定义），有　

ｉ　ｍ　ｓ。。ｕｐ　

ａ　

＜　（　３）　

ｎ　。。ｌ【ｎ＂“　

该假设弱化了Ｌｉｕ［。】中的条件（２．１）．｛　，佗≥１｝满足一定的条件，中偏差结果揭示了，　对任意固定的　＞０，（１．１）对所有的Ｘ＞７０（ｎ）成立．显然，特别选取ａ（ｔ）＝ｔ，中偏差即　退化为大偏差．这表明中偏差可以在　更大的区域中一致成立，因而应用更加广泛．　受Ｌｉｕ［。１启发，本文考虑了相依随机变量｛　，－ｎ≥１）部分和的中偏差结果．近来，　Ｌｉｕ［。】在广义负相依结构下得到了一致变化尾分布随机变量的中偏差．本文的目标是将　Ｌｉｕ的结果推广到宽象限相依结构和控制变换尾分布随机变量的场合．　在给出本文的主要结果之前，首先介绍一些重尾分布族和宽象限相依结构的概念和　性质．一个重要的重尾分布族是控制变换尾分布族．称分布　是控制变换尾的，记为　Ｖ∈　，若对任意的０＜Ｙ＜１，ｌｉｍｓｕｐ　＜∞．一个略小的重尾分布族是一致变化尾　

分布族．称分布　是一致变化尾的，记为Ｖ∈ｃ，若！！ｍｌｉｒａｓｕｐ　Ｖ（ｘ　ｙ）＝１．与这两个重尾　族联系密切且更大的重尾族是长尾分布族．称分布　是长尾的，记为Ｖ∈ｃ，若对任意　的Ｙ＞０，ｌｉｍ　＝１．进一步地，对于分布　，定义其上和下Ｍａｔｕｓｚｅｗｓｋａ指标分别　为　

其中　：一ｉ…ｍｉｎ

Ｙ　ｆ　

Ｖ，　，　’　∞　ｌｏｇ　。。　（ｚ１　

：　ｍ　，其中　Ｙ）＝＝１ｉ…ｍ　ｓｕｐｙ－－＊ｏｏ　ｌｏｇＹ　Ｖ，　．　’　＿ｏ。　（　１　

此外，定义另一个重要的参数：　＝ｌｉｍ（　）．则下列命题等价：（ｉ）Ｖ∈　；（ｉｉ）一Ｖ　（　）＞　０，对任意Ｙ＞１；（ｉｉｉ）Ｌｖ＞０；（ｉｖ）　＜。。．注意到，当且仅当Ｌ　＝１时，Ｖ∈ｃ，参见　Ｂｉｎｇｈａｍ等［７］．下列命题源自Ｔａｎｇ和Ｔｓｉｔｓｉａｓｈｖｉｌｉ［　】的引理３．５．　

命题１．１　若分布Ｖ∈口，则　（ｉ）对任意的Ｐ＞　，有ｌｉｍ　＝０；　Ｘ——÷。。　，　（ｉｉ）对任意的Ｐ＞　，存在正常数　和Ｄｏ，使得对所有的ｘ≥Ｙ≥Ｄｏ，有　

近来，Ｗａｎｇ等［。］提出了一些宽泛的相依结构，其涵盖了常用的负相依结构和部分　正相依结构．称一列实值随机变量｛　，ｎ≥１）是宽上象限相依（Ｗｉｄｅｌｙ　Ｕｐｐｅｒ　Ｏｒｔｈａｎｔ　Ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ，简称ＷＵＯＤ）的，若存在一列有限实数列｛夕易（ｎ），佗≥１），使得对任意的ｎ≥１　和所有的Ｘ　，…，　，有　

（１．４）　４期　杨洋　林金官　王定成　宽相依随机变量的中偏差及其应用　３７７　称它们是宽下象限相依（Ｗｉｄｅｌｙ　Ｌｏｗｅｒ　Ｏｒｔｈａｎｔ　Ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ，简称ＷＬＯＤ）的，若存在一列　有限实数列｛９￡（ｎ），礼≥１），使得对任意的礼≥１和所有的　１，…，　，有　

（１．５）　若其既是ＷＵＯＤ又是ＷＬＯＤ的，则称它们是宽象限相依（Ｗｉｄｅｌｙ　Ｏｒｔｈａｎｔ　Ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ，　简称ＷＯＤ）的．　注意到，若存在某个常数Ｍ＞０，使得对所有的ｎ≥１，有（１．４）和（１．５）中的　９　（札）＝９｛　（ｎ）：Ｍ成立，则称随机变量列｛　，佗≥１）分别是上广义负相依（Ｕｐｐｅｒ　Ｅｘｔｅｎｄｅｄ　Ｎｅｇａｔｉｖｅｌｙ　Ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ，简称ＵＥＮＤ）和下广义负相依（Ｌｏｗｅｒ　Ｅｘｔｅｎｄｅｄ　Ｎｅｇａ－　ｔｉｖｅｌｙ　Ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ，简称ＬＥＮＤ）的，参见Ｃｈｅｎ等［１０］；若它们既是ＵＥＮＤ又是ＬＥＮＤ的，　则称它们是广义负相依（Ｅｘｔｅｎｄｅｄ　Ｎｅｇａｔｉｖｅｌｙ　Ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ，简称ＥＮＤ）的，参见Ｌｉｕ［引．由　此可见，ＷＵＯＤ和ＷＬＯＤ结构包含了很多常见的负相依随机变量和部分正相依随机变　量，参见Ｗａｎｇ等［９】第３章中的例子．　下列命题源自Ｗａｎｇ等【９】．它也可以从定义中直接得到．　

命题１．２　（ｉ）若ｒ＿ｖ－ｓ｛　，礼≥１｝是非负ＷＵＯＤ的，具有控制系数｛９　（礼），礼≥１），　则对任意的ｎ≥１，有　礼　礼　Ｅ｛ｎ　｝≤９　（竹）ＩＩ　Ｅ　．　

ｋ＝１　ｋ＝１　（ｉｉ）假设ｒ．ｖ．８｛　，礼≥１）是ＷＵＯＤ（ＷＬＯＤ）的，具有控制系数｛ｇ　（ｎ），ｎ≥　１）（｛Ｉ９￡（ｎ），ｎ≥１））．若函数｛＾（·），ｎ≥１）均是单调非降的，则｛，ｎ（　），ｎ≥１）是　ＷＵＯＤ（ＷＬＯＤ）的；若函数｛＾（．），礼≥１）均是单调非增的，则｛，札（　），礼≥１｝是　ＷＬＯＤ（ＷＵＯＤ）的．在上述每种情况中，控制系数均保持不变．　

本文主要研究宽象限相依控制变换尾分布随机变量部分和的中偏差．本文剩余的部　分分为两节：第２节给出了主要结果及其证明；在第３节中，给出了本文主要结果的两　个应用，分别关于基于顾客到达过程保险风险模型中保险公司的盈余和复合更新风险模　型中有限时和无限时破产概率的一致渐近性．　对两个正函数Ⅱ（　）和　（　），当Ｘ一。。时，记，“（　）　ｖ（ｘ）（等价地，　（　）　（　）），　若ｌｉｒａｓｕｐ　≤１；记ｕ（　）　ｕ（　），若ｌｉｒａ　＝１；记ｕ（　）＝ｏ（ｕ（　）），若ｌｉｍ　＝０；记　ｕ（ｘ）＝０（　（　）），若ｌｉｍ　ｓｕｐ　＜ＣＯ；记ｕ（　）≈”（　），若ｕ（　）＝ｏ（　（　））且　（　）＝０（　（　））．　对实数　，『Ｙ］表示大于或等于Ｙ的最小整数；　ｌＹＪ表示小于或等于Ｙ的最大整数．记　０＋＝ｍａｘ｛ａ，０　，ａ一＝一ｍｉｎ｛ａ，０｝．　

２主要结果及其证明　在本节中，研究了部分和的中偏差。下文中，ｃ均指一个有限正常数，在不同地方　的值可以不同．　下面给出本文的主要结果．　

≤　Ⅱ　ｎ　∈Ｌ　９　≤　＼、●／　≤　ｎ　＼　ｐ　３７８　数学年刊　３６卷Ａ辑　定理２．１假设｛　，ｎ≥１）是一列ＷＯＤ　ｒ　ｓ，具有控制系数｛９ｘ（ｎ），ｎ≥１）和共　同的分布Ｆ∈　；ａ（ｔ）（￡≥０）是一个正函数并且满足（１．２）一（１．３）．假设对于某个　＞　，　Ｅ（　）。＜ｏｏ，并且　

ｇ　（ｎ）＝ｏ（（０（礼））　一　），ｎ一。。．　（２．１）　若　Ｆ（一ｚ）：ｏ（Ｆ（ｚ）），Ｘ一。。，　（２．２）　则对任意固定的　＞０及所有的ｚ≥　ｎ（礼），当ｎ—ＯＯ时，一致地有　（ｓ　一ｎｌｔ＞Ｘ）　Ｌ≥ｎＦ（　）．　（２．３）　定理２．２假设｛Ｘ　，ｎ≥１）是一列ＷＵＯＤ　ｒ．ｖ．ｓ，具有控制系数｛９　（ｎ），ｎ≥１）和　共同的分布Ｆ∈　；ｎ（ｔ）（ｔ≥０）是一个正函数并且满足（１．２）一（１．３）．假设对于某个　＞　，　皿（　）　＜０（３，并且对某个０＜　＜１，有　

ｇ　（ｎ）：ｏ（ｅｘｐ｛（一ｌｏｇｎ＋　ｌｏｇｎ（ｎ））　一　）），　佗—　。。，　（２．４）　则对于任意固定的　＞０及所有的　≥　ｎ（ｎ），当礼一。。时，一致地有　ｐ（ｓ竹～ｒｉｔｚ＞　）　ｉ。礼Ｆ（ｚ）．　（２．５）　

注２．１在定理２．２中，特别选取ｎ（ｎ）＝佗及９ｕＸ（ｎ）＝（１ｏｇ　ｎ）。，对任意的ｂ＞０，显然　（２．４）成立．进一步地，（２．１）也成立．这意味着对于任意的ｂ＞０，精致大偏差结果（１．１）　对ＷＯＤ　ｒ．ｖ＿ｓ成立，并且控制系数９ｘ（ｎ）：（１ｏｇ礼）　．　

精致大偏差结果可以由定理２．１—２．２可得．　推论２．１假设｛Ｘ　，ｆ／，≥１）是一列ＷＯＤ　ｒ．ｖ－ｓ，具有控制系数｛９ｘ（ｎ），佗≥１）和共　同的分布Ｆ∈ｃ．假设对于某个Ｑ＞１，Ｅ（　）　＜ｏｏ，并且对某个０＜　＜１，有　

９　（ｎ）＝Ｄ（ｅｘｐ｛（（Ｑ一１）１ｏｇ礼）　一ｐ）），　礼＿÷ＯＯ．　（２．６）　若（２．２）成立，则对于任意固定的７＞Ｏ及所有的ｚ≥＂ｙｎ，当ｎ—ＣＯ时，　（１．１）一致成　立．