历届二次函数中考题集锦 (2).doc

中考数学二次函数压轴题集锦1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围．3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l 与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若=，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．6．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．7．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L 1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．8．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m （m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．9．如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为；（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；（3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．10．如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．11．已知顶点为A抛物线经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x 轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．12．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．13．如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m（k＜0）与y2=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标14．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：（1）已知抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b= ，顶点坐标为，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．（2）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：（3）已知抛物线y=ax2+2ax﹣b（a≠0）①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为y n ，其顶点为An…（n为正整数）．求AnAn+1的长（用含n的式子表示）．15．如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC =S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C 为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．17．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．18．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．19．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．21．如图1，抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．22．如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．27．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．（1）求a，b的值．（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．29．抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B 2 C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．30．综合与探究如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．31．如图，二次函数y=﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b= ，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．32．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．33．如图，已知二次函数y=ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y 轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．34．已知，点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由．（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y 2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP 的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．36．已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．37．直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx ﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q 在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．38．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP 为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．40．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣6），将Rt△AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90°，180°得到Rt△A1OC，Rt△EOF．抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F．（1）点C的坐标为，点E的坐标为；抛物线C的解析式1的解析式为；为．抛物线C2上的一个动点．（2）如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线C1①若∠PCA=∠ABO时，求P点的坐标；②如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C于点N，记2h=PM+NM+BM，求h与x的函数关系式，当﹣5≤x≤﹣2时，求h的取值范围．41．如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．42．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y 轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y≤9时，直接写出L的取值范围．43．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN与直线y=﹣2x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题：①求证：BC平分∠MBN；②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．44．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y 轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．45．如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．46．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．47．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由．48．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．49．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D （4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．50．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．一．解答题（共50小题）1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB2=20，AC2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形．（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD=（n+2），然后根据S△AMN =S△ABN﹣S△BMN得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x 轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），∴，解得．∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形．令y=0，则﹣x2+x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得，在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形．（3）∵A（0，4），C（8，0），∴AC==4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）如图，AB==2，BC=8﹣（﹣2）=10，AC==4，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°．∴AC⊥AB．∵AC∥MN，∴MN⊥AB．设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，∵MN∥AC，△BMN∽△BAC∴=，∴=，BM==，MN==，AM=AB﹣BM=2﹣==AM•MN∵S△AMN=××=﹣（n﹣3）2+5，当n=3时，△AMN面积最大是5，∴N点坐标为（3，0）．∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）根据点A、B、C三点的坐标作出△ABC，利用“闭距离”的定义即可得；（2）由题意知y=kx在﹣1≤x≤1范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过（1，﹣1）和（﹣1，﹣1）时k的值即可得；（3）分⊙T在△ABC的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．【解答】解：（1）如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2，∴d（点O，△ABC）=2；（2）y=kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1范围内，函数图象为线段，当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k=﹣1，此时d（G，△ABC）=1；当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k=1，此时d（G，△ABC）=1；∴﹣1≤k≤1，∵k≠0，∴﹣1≤k≤1且k≠0；。

二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)一、中考要求：1．经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．2．能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考和语言表达能力；能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系．3．会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验．4．能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．5．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．6．能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测．二、中考卷研究(一)中考对知识点的考查：:(二)中考热点：二次函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容，本章主要考查二次函数的概念、图象、性质及应用，这些知识是考查学生综合能力，解决实际问题的能力．因此函数的实际应用是中考的热点，和几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题． 三、中考命题趋势及复习对策二次函数是数学中最重要的内容之一，题量约占全部试题的10％～15％，分值约占总分的10％～15％，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法，全面地考查学生的计算能力，逻辑思维能力，空间想象能力和创造能力。

针对中考命题趋势，在复习时应首先理解二次函数的概念，掌握其性质和图象，还应注重其应用以及二次函数与几何图形的联系，此外对各种函数的综合应用还应多加练习. ★★★(I)考点突破★★★考点1：二次函数的图象和性质 一、考点讲解：1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数． 2．二次函数的图象及性质：⑴ 二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．y=a(x －h)2＋k 的对称轴是x=h ，顶点坐标是（h ，k ）。

沪科版九年级数学上册二次函数的图象和性质中考题汇编二（含答案）一、 选择题1. (2018·岳阳)抛物线y ＝3(x －2)2＋5的顶点坐标是( ) A. (－2，5) B. (－2，－5) C. (2，5) D. (2，－5)2. (2018·山西)用配方法将二次函数y ＝x 2－8x －9化为y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式为( )A. y ＝(x －4)2＋7B. y ＝(x －4)2－25C. y ＝(x ＋4)2＋7D. y ＝(x ＋4)2－253. (2018·攀枝花)抛物线y ＝x 2－2x ＋2的顶点坐标为( ) A. (1，1) B. (－1，1) C. (1，3) D. (－1，3)4. (2018·陕西)对于抛物线y ＝ax 2＋(2a －1)x ＋a －3，当x ＝1时，y ＞0，则这条抛物线的顶点一定在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. (2018·上海)下列对二次函数y ＝x 2－x 的图象的描述，正确的是( ) A. 开口向下 B. 对称轴是y 轴C. 经过原点D. 对称轴右侧部分是下降的6. (2018·成都)关于二次函数y ＝2x 2＋4x －1，下列说法正确的是( ) A. 图象与y 轴的交点坐标为(0，1) B. 图象的对称轴在y 轴的右侧C. 当x ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小D. y 的最小值为－37. (2018·莱芜)函数y ＝ax 2＋2ax ＋m (a ＜0)的图象过点(2，0)，则使函数值y ＜0成立的x 的取值范围是( )A. x ＜－4或x ＞2B. －4＜x ＜2C. x ＜0或x ＞2D. 0＜x ＜28. (2018·襄阳)已知二次函数y ＝x 2－x ＋14m －1的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( )A. m ≤5B. m ≥2C. m ＜5D. m ＞2 9. (2018·河北)对于题目“一段抛物线L ：y ＝－x (x －3)＋c (0≤x ≤3)与直线l ：y ＝x ＋2有唯一公共点，若c 为整数，确定所有c 的值．”甲的结果是c ＝1，乙的结果是c ＝3或4，则( ) A. 甲的结果正确 B. 乙的结果正确C. 甲、乙的结果合在一起才正确D. 甲、乙的结果合在一起也不正确10. (2018·黄冈)当a ≤x ≤a ＋1时，函数y ＝x 2－2x ＋1的最小值为1，则a 的值为( ) A. －1 B. 2 C. 0或2 D. －1或211. (2018·潍坊)已知二次函数y ＝－(x －h )2(h 为常数)，当自变量x 的值满足2≤x ≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为－1，则h 的值为( ) A. 3或6 B. 1或6 C. 1或3 D. 4或612. (2018·泸州)已知二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋3a 2＋3(其中x 是自变量)，当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，且当－2≤x ≤1时，y 的最大值为9，则a 的值为( ) A. 1或－2 B. －2或 2 C. 2 D. 113. (2018·广安)抛物线y ＝(x －2)2－1可以由抛物线y ＝x 2平移而得到，下列平移正确的是( ) A. 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度14. (2018·哈尔滨)将抛物线y ＝－5x 2＋1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线为( )A. y ＝－5(x ＋1)2－1B. y ＝－5(x －1)2－1C. y ＝－5(x ＋1)2＋3D. y ＝－5(x －1)2＋315. (2018·南宁)将抛物线y ＝12x 2－6x ＋21向左平移2个单位长度后，得到新抛物线对应的函数解析式为( )A. y ＝12(x －8)2＋5B. y ＝12(x －4)2＋5C. y ＝12(x －8)2＋3D. y ＝12(x －4)2＋316. (2018·绍兴)若抛物线y ＝x 2＋ax ＋b 与x 轴的两个交点间的距离为2，则称此抛物线为定弦抛物线．已知某定弦抛物线的对称轴为直线x ＝1，将此抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线过点( )A. (－3，－6)B. (－3，0)C. (－3，－5)D. (－3，－1)17. (2018·永州)在同一平面直角坐标系中，反比例函数y ＝bx(b ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx (a ≠0)的图象大致是( )A B C D18. (2018·青岛)一次函数y ＝bax ＋c 的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在平面直角坐标系中的图象可能是( )A B C D第18题第19题19. (2018·泰安)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则反比例函数y ＝a x与一次函数y ＝ax ＋b 在同一坐标系内的大致图象是( )A B C D20. (2018·通辽)已知抛物线y ＝x 2＋2x ＋k ＋1与x 轴有两个不同的交点，则一次函数y ＝kx －k 与反比例函数y ＝kx在同一坐标系内的大致图象是( )A B CD21. (2018·德州)如图，函数y ＝ax 2－2x ＋1和y ＝ax －a (a 是常数，且a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A B C D22. (2018·宁波)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点P .若点P 的横坐标为－1，则一次函数y ＝(a －b )x ＋b 的图象大致是( )A B C D第22题第23题23. (2018·菏泽)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝bx ＋a 与反比例函数y ＝a ＋b ＋cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是( ) A B CD24. (2018·枣庄)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，且过点A (3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，下列结论正确的是( )A. b 2＜4ac B. ac ＞0 C. 2a －b ＝0 D. a －b ＋c ＝0第24题 第25题25. (2018·遂宁)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则以下结论同时成立的是( )A. ⎩⎪⎨⎪⎧abc >0，b 2－4ac <0B. ⎩⎪⎨⎪⎧abc <0，2a ＋b >0C. ⎩⎪⎨⎪⎧abc >0，a ＋b ＋c <0D. ⎩⎪⎨⎪⎧abc <0，b 2－4ac >0 26. (2018·抚顺)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (0＜2a ≤b )与x 轴最多有一个交点．以下四个结论：① abc＞0；② 该抛物线的对称轴在直线x ＝－1的右侧；③ 关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋1＝0无实数根；④a ＋b ＋cb≥2.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个27. (2018·烟台)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A (－1，0)，B (3，0)．下列结论：① 2a －b ＝0；② (a ＋c )2＜b 2；③ 当－1＜x ＜3时，y ＜0；④ 当a ＝1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y ＝(x －2)2－2.其中正确的是( ) A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④第27题 第28题28. (2018·衡阳)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1，0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0，2)，(0，3)之间(包含端点)．下列结论：① 3a ＋b ＜0；② －1≤a ≤－23；③ 对于任意实数m ，a ＋b ≥am 2＋bm 总成立；④ 关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个29. (2018·安顺)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，分析下列四个结论：① abc ＜0；② b2－4ac ＞0；③ 3a ＋c ＞0；④ (a ＋c )2＜b 2.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个第29题第30题30. (2018·资阳)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，OA ＝OC ，则由抛物线的特征写出如下含有a ，b ，c 三个字母的等式或不等式：① 4ac －b 24a ＝－1；② ac ＋b ＋1＝0；③ abc ＞0；④ a －b ＋c ＞0.其中正确的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 131. (2018·达州)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A (－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝2.下列结论：① abc ＜0；② 9a ＋3b ＋c ＞0；③ 若点M (12，y 1)，N (52，y 2)是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；④ －35＜a ＜－25.其中正确的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第31题第32题32. (2018·荆门)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(－2，－9a)，下列结论：① 4a＋2b ＋c ＞0；② 5a－b ＋c ＝0；③ 若方程a(x ＋5)(x －1)＝－1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则－5＜x 1＜x 2＜1；④ 若方程|ax 2＋bx ＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为－4.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个33. (2018·乐山)二次函数y ＝x 2＋(a －2)x ＋3的图象与一次函数y ＝x (1≤x ≤2)的图象有且仅有一个交点，则实数a 的取值范围是( )A. a ＝3±2 3B. －1≤a ＜2C. a ＝3＋23或－12≤a ＜2D. a ＝3－23或－1≤a ＜－1234. (2018·呼和浩特)若满足12＜x ≤1的任意实数x ，都能使不等式2x 3－x 2－mx ＞2成立，则实数m 的取值范围是( )A. m ＜－1B. m ≥－5C. m ＜－4D. m ≤－435. (2018·湖州)在平面直角坐标系xOy 中，已知点M ，N 的坐标分别为(－1，2)，(2，1)．若抛物线y ＝ax 2－x ＋2(a≠0)与线段MN 有两个不同的交点，则a 的取值范围是( ) A. a ≤－1或14≤a ＜13 B. 14≤a ＜13C. a ≤14或a ＞13D. a ≤－1或a ≥1436. (2018·桂林)如图，在平面直角坐标系中，M ，N ，C 三点的坐标分别为(12，1)，(3，1)，(3，0)，A 为线段MN 上的一个动点，连接AC ，过点A 作AB⊥AC 交y 轴于点B.当点A 从点M 运动到点N 时，点B 随之运动．设点B 的坐标为(0，b)，则b 的取值范围是( )第36题A. －14≤b ≤1B. －54≤b ≤1C. －94≤b ≤12D. －94≤b ≤1二、 填空题37. (2018·哈尔滨)抛物线y ＝2(x ＋2)2＋4的顶点坐标为________．38. (1) (2018·淮安)将二次函数y ＝x 2－1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是__________；(2) (2018·乌鲁木齐)把拋物线y ＝2x 2－4x ＋3沿x 轴向左平移1个单位长度，得到的抛物线的对应的函数解析式为__________．39. (2018·黔南州)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表，那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是________.40. (2018·湖州)已知抛物线＝＋－3(≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，那么a 的值为______，b 的值为______．41. (2018·孝感)如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A (－2，4)，B (1，1)，则关于x 的方程ax 2＝bx ＋c 的解为______________．第41题 第44题42. (2018·自贡)若函数y ＝x 2＋2x －m 的图象与x 轴有且只有一个公共点，则m 的值为________．43. (2018·镇江)已知二次函数y ＝x 2－4x ＋k 的图象的顶点在x 轴下方，则实数k 的取值范围是________．44. (2018·新疆)如图，已知抛物线y 1＝－x 2＋4x 和直线y 2＝2x .我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为y 1和y 2.若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较小值为M ；若y 1＝y 2，记M ＝y 1＝y 2.下列结论：① 当x ＞2时，M ＝y 2；② 当x ＜0时，M 随x 的增大而增大；③ 使得M 大于4的x 的值不存在；④ 若M ＝2，则x ＝1.其中正确的结论是________．(填序号)45. (2018·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx (a ＞0)的顶点为C ，与x 轴的正半轴交于点A ，它的对称轴与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)交于点B .若四边形ABOC 是正方形，则b 的值是________．第45题第46题46. (2018·长春)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋mx 交x 轴的负半轴于点A .B 是y 轴正半轴上一点，点A 关于点B 的对称点A ′恰好落在抛物线上．过点A ′作x 轴的平行线交抛物线于另一点C .若点A ′的横坐标为1，则A ′C 的长为________．47. (2018·遵义)如图，抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，P 是抛物线对称轴上任意一点．若D ，E ，F 分别是BC ，BP ，PC 的中点，连接DE ，DF ，则DE ＋DF 的最小值为________．第47题 第49题48. (2018·淄博)已知抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，将这条抛物线向右平移m (m ＞0)个单位长度，平移后的抛物线与x 轴交于C ，D 两点(点C 在点D 的左侧)．若B ，C 是线段AD 的三等分点，则m 的值为________．49. (2018·遂宁)如图，抛物线y ＝ax 2－4x ＋c (a ≠0)与反比例函数y ＝9x的图象相交于点B ，且点B 的横坐标为3，抛物线与y 轴交于点C (0，6)，A 是抛物线y ＝ax 2－4x ＋c 的顶点，P 是x 轴上一动点．当PA ＋PB 最小时，点P 的坐标为________．50.(2018·恩施州)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝－1，部分图象如图所示，下列判断：① abc＞0；② b 2－4ac ＞0；③ 9a－3b ＋c ＝0；④ 若点(－0.5，y 1)，(－2，y 2)均在抛物线上，则y 1＞y 2；⑤ 5a －2b ＋c ＜0.其中正确的判断是________．(填序号)第50题 第51题51. (2018·大庆)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(4，y 1)．若D(x 2，y 2)是抛物线上任意一点，有下列结论：① 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小值为－4a ；② 若－1≤x 2≤4，则0≤y 2≤5a；③ 若y 2＞y 1，则x 2＞4；④ 一元二次方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两个根为－1和13.其中正确的结论是________．(填序号) 三、 解答题52. (2018·绍兴)学校拓展小组研制了如图①所示的绘图智能机器人，顺次输入点P 1，P 2，P 3的坐标，机器人能根据图②，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数解析式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数解析式．（1）`P 1（4，0），P 2（0，0），P 3（6，6）；（2）`P 1（0，0），P 2（4，0），P 3（6，6）.53. (2018·云南)已知二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象经过A(0，3)，B(－4，－92)两点．(1) 求b ，c 的值．(2) 二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．54. (2018·南京)已知二次函数y ＝2(x －1)(x －m －3)(m 为常数)． (1) 求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点； (2) 当m 取什么值时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方？55. (2018·杭州)设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx －(a ＋b)(a ，b 是常数，a≠0)． (1) 判断该二次函数的图象与x 轴的交点的个数，并说明理由；(2) 若该二次函数的图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的两个，求该二次函数的解析式； (3) 若a ＋b ＜0，点P(2，m)(m ＞0)在该二次函数的图象上，求证：a ＞0.56. (2018·宁波)已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过点(1，0)，(0，32)．(1) 求该抛物线对应的函数解析式；(2) 将抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数解析式．57. (2018·苏州)如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于点A，B(点A位于点B的左侧)，C为顶点，直线y＝x＋m经过点A，与y轴交于点D.(1) 求线段AD的长．(2) 平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′.若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数解析式．第57题58. (2018·陕西)已知抛物线l：y＝x2＋x－6与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，并与y轴相交于点C.(1) 求A，B，C三点的坐标及△ABC的面积；(2) 将抛物线l向左或向右平移，得到抛物线l′，且l′与x轴相交于A′，B′两点(点A′在点B′的左侧)，并与y轴相交于点C′，要使△A′B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数解析式．59. (2018·温州)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx(a≠0)交x 轴正半轴于点A ，直线y ＝2x 经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x ＝2，交x 轴于点B. (1) 求a ，b 的值．(2) P 是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP ，BP.设点P 的横坐标为m ，△OBP 的面积为S ，记K ＝Sm，求K 关于m 的函数解析式及K 的取值范围．第59题60. (2018·北京)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝4x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，抛物线y ＝ax 2＋bx －3a 经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C. (1) 求点C 的坐标； (2) 求抛物线的对称轴；(3) 若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．61. (2018·泰州)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2－2mx＋m2＋2m＋2的图象与x轴有两个交点．(1) 当m＝－2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；(2) 过点P(0，m－1)作直线l⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间(不包含点A在直线l 上)，求m的取值范围；(3) 在(2)的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．第61题62. (2018·金华)如图，抛物线y＝ax2＋bx(a＜0)过点E(10，0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边)，点C，D在抛物线上．设点A的坐标为(t，0)，当t＝2时，AD＝4.(1) 求抛物线的函数解析式．(2) 当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3) 保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．第62题63. (2018·昆明)如图，抛物线y＝ax2＋bx过点B(1，－3)，对称轴是直线x＝2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A.(1) 求抛物线对应的函数解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；(2) 在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．第63题64. (2018·菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－5交y轴于点A，交x轴于点B(－5，0)和点C(1，0)，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.(1) 求此抛物线的解析式；(2) E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；(3) 若P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P 的坐标和△ABP的最大面积．第64题65. (2018·贵港)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C(0，－3)．(1) 求这个二次函数的解析式．(2) 若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC.① 求线段PM的最大值；② 当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．第65题66. (2018·海南)如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋3交x轴于点A(－1，0)和点B(3，0)．(1) 求该抛物线所对应的函数解析式．(2) 如图②，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D(2，3)在该抛物线上．① 求四边形ACFD的面积；② P是线段AB上的动点(点P不与点A，B重合)，过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ，DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．第66题67. (2018·郴州)如图①，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t.(1) 求抛物线的解析式．(2) 设抛物线的对称轴为直线l，l与x轴的交点为D.在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S.① 求S关于t的函数解析式；② 求点P到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．第67题68. (2018·德州)如图①，在平面直角坐标系中，直线y＝x－1与抛物线y＝－x2＋bx＋c交于A(m，0)，B(4，n)两点，该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.(1) 求m，n的值及该抛物线的解析式．(2) 如图②，若P为线段AD上的一动点(不与点A，D重合)，分别以AP，DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角三角形APM和等腰直角三角形DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时点P的坐标．(3) 如图③，连接BD，CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第68题69. (2018·达州)如图，抛物线经过原点O(0，0)，点A 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(72，0)．(1) 求抛物线的解析式．(2) 连接OA ，过点A 作AC⊥OA 交抛物线于点C ，连接OC ，求△AOC 的面积．(3) M 是y 轴右侧抛物线上一动点，连接OM ，过点M 作MN⊥OM 交x 轴于点N.问：是否存在点M ，使以O ，M ，N 为顶点的三角形与(2)中的△AOC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．第69题参考答案一、1.C 2.B 3.A 4.C 5.C 6.D 7.A 8.A 9.D点拨：c ＝1，3，4，5. 10.D 11.B 12.D 13.D 14.A 15.D 16.B 17.D 18.A 19.C 20.D 21.B 22.D 23.B 24.D 25.C 26.C 27.D 28.D 29.B 30.A 31.D32.B 33.D 34.D 点拨：∵12＜x ≤1，∴x ≠0.在2x 3－x 2－mx ＞2两边同时除以x ，得2x 2－x －m >2x .不妨令y 1＝2x 2－x －m ，y 2＝2x ，则y 1>y 2.易得抛物线y 1＝2x 2－x －m 的对称轴为直线x ＝14，且与y 轴交于点(0，－m )．在y 2＝2x 中，令x ＝12，则y ＝4.当抛物线过点(12，4)时，易得－m ＝4.要使y 1>y 2，必须有－m ≥4，即m ≤－4. 35.A 36.B二、37. (－2，4) 38. (1) y ＝x 2＋2 (2) y ＝2x 2＋1 39. (3，0) 40.1 －2 41.x 1＝－2，x 2＝142.－1 43.k ＜4 44.②③ 45.－2 点拨：根据抛物线y ＝ax 2＋bx 与正方形的性质，可设点B 的坐标为(－b 2a ，－b 2a )，代入抛物线y ＝ax 2，可得b 1＝0(舍去)，b 2＝－2. 46.3 47.322 48.2或8 49. (125，0) 50.②③⑤ 51.①④三、52. (1) ∵P 1(4，0)，4－0＝4＞0，∴绘制线段P 1P 2，此时P 1P 2＝4 (2) ∵P 1(0，0)，0－0＝0，∴绘制抛物线．由题意，可设抛物线的函数解析式为y ＝ax(x －4)，把(6，6)代入，得6＝12a ，解得a ＝12，∴y＝12x(x －4)，即y ＝12x 2－2x 53. (1) 把A(0，3)，B(－4，－92)分别代入y ＝－316x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，－316×（－4）2－4b ＋c ＝－92，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝98，c ＝3(2) 由(1)，得该二次函数解析式为y ＝－316x 2＋98x ＋3.∵ (98)2－4×(－316)×3＝22564＞0，∴二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点．解－316x 2＋98x ＋3＝0，得x 1＝－2，x 2＝8，∴公共点的坐标是(－2，0)，(8，0)54. (1) 当y ＝0时，2(x －1)(x －m －3)＝0，解得x 1＝1，x 2＝m ＋3.当m ＋3＝1，即m ＝－2时，方程有两个相等的实数根；当m ＋3≠1，即m≠－2时，方程有两个不相等的实数根．∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点 (2) 当x ＝0时，y ＝2m ＋6，即该函数的图象与y 轴交点的纵坐标为2m ＋6.因此当2m ＋6＞0，即m ＞－3时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方55. (1) 交点个数为1或2 理由如下：在y ＝ax 2＋bx －(a ＋b)中，令y ＝0，得ax 2＋bx －(a ＋b)＝0.∵Δ＝b 2－4·a·[－(a ＋b)]＝b 2＋4ab ＋4a 2＝(2a ＋b)2，∴当2a ＋b ＝0，即Δ＝0时，二次函数的图象与x 轴有1个交点；当2a ＋b≠0，即Δ>0时，二次函数的图象与x 轴有2个交点． (2) 当x ＝1时，y ＝a ＋b －(a ＋b)＝0，∴函数图象不可能经过点C.∴函数图象经过A ，B 两点．把A(－1，4)，B(0，－1)分别代入y ＝ax 2＋bx －(a ＋b)，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝a －b －（a ＋b ），－1＝－（a ＋b ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.∴该二次函数的解析式为y ＝3x 2－2x －1 (3)∵点P(2，m)(m ＞0)在该二次函数的图象上，∴m＝4a ＋2b －(a ＋b)＝3a ＋b ＞0.∵a＋b ＜0，∴－(a ＋b)>0.∴3a＋b －(a ＋b)>0，即2a>0.∴a＞056. (1) 把(1，0)，(0，32)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋b ＋c ＝0，c ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝32.∴该抛物线对应的函数解析式为y ＝－12x 2－x ＋32 (2) ∵y＝－12x 2－x ＋32＝－12(x ＋1)2＋2，∴原抛物线的顶点坐标为(－1，2)．∴将抛物线y ＝－12x 2－x ＋32平移，使其顶点恰好落在原点的一种平移方法(答案不唯一)：先将抛物线y ＝－12x 2－x ＋32向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得顶点恰好落在原点的抛物线y ＝－12x 257. (1) 在y ＝x 2－4中，令y ＝0，得x 2－4＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2.∵点A 位于点B 的左侧，∴点A 的坐标为(－2，0)，OA ＝2.∵直线y ＝x ＋m 经过点A ，∴－2＋m ＝0，即m ＝2.∴y＝x ＋2.令x ＝0，得y ＝2.∴点D 的坐标为(0，2)，OD ＝2.∴AD＝OA 2＋OD 2＝2 2 (2) 由(1)，易得直线AD 的解析式为y ＝x ＋2.在y＝x 2－4中，令x ＝0，得y ＝－4.∴点C 的坐标为(0，－4)．根据平移的性质及新抛物线过点D(0，2)，可设新抛物线对应的函数解析式为y ＝x 2＋bx ＋2.配方，得y ＝(x ＋b 2)2＋2－b 24，则顶点C′的坐标为(－b2，2－b24)．∵CC′平行于直线AD ，且经过点C(0，－4)，∴易得直线CC′的函数解析式为y ＝x －4.把点C′的坐标代入y ＝x －4，得2－b 24＝－b 2－4，整理，得b 2－2b －24＝0，解得b 1＝－4，b 2＝6，∴新抛物线对应的函数解析式为y ＝x 2－4x ＋2或y ＝x 2＋6x ＋258. (1) 在y ＝x 2＋x －6中，令y ＝0，得x 2＋x －6＝0，解得x 1＝－3，x 2＝2，∴点A 的坐标为(－3，0)，点B 的坐标为(2，0)．此时AB ＝|－3－2|＝5.令x ＝0，得y ＝－6，∴点C 的坐标为(0，－6)．此时OC ＝6.∴△ABC 的面积为12·AB·OC＝12×5×6＝15 (2) y ＝x 2＋x －6＝(x ＋12)2－254.不妨设抛物线l 向右平移m 个单位长度，则抛物线l′的函数解析式为y ＝(x ＋12－m)2－254.由平移特征，得A′B′＝AB ＝5.∵△A′B′C′和△ABC 的面积相等，∴12×5·OC′＝15，即OC′＝6.∴点C′的坐标为(0，6)或(0，－6)．①把C′(0，6)代入y ＝(x ＋12－m)2－254，得(12－m)2－254＝6，解得m 1＝－3，m 2＝4，此时抛物线的函数解析式为y ＝x 2＋7x ＋6或y ＝x 2－7x ＋6；②把C′(0，－6)代入y ＝(x ＋12－m)2－254，得(12－m)2－254＝－6，解得m 1＝0(与抛物线l 重合，舍去)，m 2＝1，此时抛物线的函数解析式为y ＝x 2－x －6.综上所述，满足条件的抛物线的函数解析式为y ＝x 2＋7x ＋6或y ＝x 2－7x ＋6或y ＝x 2－x －659. (1) 由题意，得抛物线顶点M 的横坐标为2，代入直线y ＝2x 中，得y ＝4，即点M 的坐标为(2，4)．∵抛物线经过点O ，A ，且该抛物线的对称轴为直线x ＝2，∴易得点A 的坐标为(4，0)．把A(4，0)，M(2，4)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＝0，4a ＋2b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4 (2) 由(1)，得抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x.过点P 作PH⊥x 轴，垂足为H.将x P ＝m 代入y ＝－x 2＋4x ，得y P ＝－m 2＋4m ，∴点P 的坐标为(m ，－m 2＋4m)．∴PH＝－m 2＋4m.∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，∴点B 的坐标为(2，0)，即OB ＝2.∴S＝12OB·PH＝12×2·(－m 2＋4m)＝－m 2＋4m.∴K＝S m ＝－m 2＋4m m ＝－m ＋4.由(1)，得点A 的坐标为(4，0)，点M 的坐标为(2，4)．∵P 是对称轴的右侧第一象限内的一点，∴2＜m ＜4.∵K＝－m ＋4，即m ＝4－K ，∴2＜4－K ＜4，解得0＜K ＜260. (1) 在y ＝4x ＋4中，令x ＝0，得y ＝4，∴点B 的坐标为(0，4)．∵点B 向右平移5个单位长度，得到点C ，∴点C 的坐标为(5，4) (2) 在y ＝4x ＋4中，令y ＝0，得x ＝－1，∴点A 的坐标为(－1，0)．将A(－1，0)代入抛物线y ＝ax 2＋bx －3a 中，得0＝a －b －3a ，即b ＝－2a ，∴－b 2a ＝－－2a 2a ＝1.∴抛物线的对称轴为直线x ＝1 (3) 抛物线y ＝ax 2＋bx －3a ＝ax 2－2ax －3a.如图，情况1：当a>0时，将x ＝0代入y ＝ax 2－2ax －3a ，得y ＝－3a.将x ＝5代入y ＝ax 2－2ax －3a ，得y ＝12a.∵抛物线与线段BC 恰有一个公共点，对称轴为直线x ＝1，∴－3a<4，12a≥4.∴a>－43，a≥13.∴a≥13.情况2：当a<0时，类似情况1，得－3a>4.∴a<－43.情况3：当抛物线的顶点在线段BC 上时，易得顶点坐标为(1，4)．∴4＝a －2a －3a.∴a＝－1.综上所述，a 的取值范围是a≥13或a<－43或a ＝－1第60题 第61题61. (1) 当m ＝－2时，二次函数的解析式为y ＝x 2＋4x ＋2，令y ＝0，则x 2＋4x ＋2＝0，解得x 1＝－2＋2，x 2＝－2－2，∴抛物线与x 轴交点的坐标为(－2＋2，0)，(－2－2，0) (2) 如图，∵y＝x 2－2mx ＋m 2＋2m ＋2＝(x －m)2＋2m ＋2，∴顶点A 的坐标为(m ，2m ＋2)．∵抛物线与x 轴有两个交点，且开口向上，∴点A 在x 轴下方．又∵点A 在直线l 与x 轴之间(不包含点A 在直线l 上)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2<0，2m ＋2>m －1，解得－3＜m ＜－1 (3) 如图，由(2)，知抛物线的对称轴为直线x ＝m ，顶点为A(m ，2m ＋2)．∵－3＜m ＜－1，∴点A 在第三象限．∵点B 为抛物线对称轴与直线l 的交点，∴点B 的坐标为(m ，m －1)．易得点B 在点A 下方，∴AB＝2m ＋2－(m －1)＝m ＋3.∴S △ABO ＝12(m ＋3)(－m)＝－12(m ＋32)2＋98.∴当m ＝－32时，S △ABO 有最大值，为98.∴△ABO 的面积最大时m 的值为－3262. (1) ∵当t ＝2时，AD ＝4，∴点D 的坐标为(2，4)．将E(10，0)，D(2，4)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧100a ＋10b ＝0，4a ＋2b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，b ＝52，∴抛物线的函数解析式为y ＝－14x 2＋52x (2) 由抛物线及矩形的对称性得BE ＝OA ＝t ，∵E(10，0)，∴O E ＝10.∴AB＝10－2t.当x ＝t 时，AD ＝－14t 2＋52t ，∴矩形ABCD 的周长C＝2·(AB＋AD)＝2·[(10－2t)＋(－14t 2＋52t)] ＝－12t 2＋t ＋20＝－12(t －1)2＋412.∵－12＜0，∴当t ＝1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412 (3) 如图，当t ＝2时，易得点A ，B ，C ，D 的坐标分别为(2，0)，(8，0)，(8，4)，(2，4)，∴矩形ABCD 对角线的交点P 的坐标为(5，2)，OB ＝8.当平移后的抛物线过点A(点A ，G 重合)时，点H 的坐标为(4，4)，此时GH 不能将矩形的面积平分；当平移后的抛物线过点C(点C ，H 重合)时，点G 的坐标为(6，0)，此时GH 也不能将矩形的面积平分；当G ，H 中有一点落在线段AD 或BC 上时，直线GH 不可能将矩形的面积平分；当点G ，H 分别落在线段AB ，DC 上时，直线GH 过点P 时必平分矩形ABCD 的面积．连接DO ，设其中点为Q.∵在矩形ABCD 中，AB∥CD ，∴线段OD 平移后得到线段GH.∴线段OD 的中点Q 平移后的对应点是P.∴在△OBD 中，PQ 是中位线．∴PQ＝12OB ＝4.∴抛物线向右平移的距离是4个单位长度第62题 第63题63. (1) ∵抛物线y ＝ax 2＋bx 过点B(1，－3)，对称轴是直线x ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－3，－b 2a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4.∴抛物线对应的函数解析式为y ＝x 2－4x.令y ＝0，得x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝4.结合题中图象知，点A 的坐标为(4，0)，抛物线开口向上，∴当y≤0时，自变量x 的取值范围是0≤x≤4 (2) 设点P 的坐标为(t ，t 2－4t)．如图，先过点A 作x 轴的垂线CD ，再分别过点P ，B 作PC⊥CD，BD⊥CD.∵点B 的坐标为(1，－3)，点A 的坐标为(4，0)，∴AD＝BD ＝3，PC ＝4－t ，AC ＝t 2－4t.∴在Rt△ADB 中，∠BAD ＝45°.∵PA ⊥BA ，∴∠PAC ＝180°－90°－45°＝45°.又∵∠C ＝90°，∴∠APC ＝45°＝∠PAC .∴PC ＝AC ，即4－t ＝t 2－4t .解得t 1＝4(不合题意，舍去)，t 2＝－1，此时点P 的坐标为(－1，5)，∴PC ＝5，CD ＝8，AC ＝5.∴S △PAB ＝12(PC ＋BD )·CD －12PC ·AC －12BD ·AD ＝12×(5＋3)×8－12×5×5－12×3×3＝15 64. (1) ∵抛物线y ＝ax 2＋bx －5经过点B(－5，0)和点C(1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧25a －5b －5＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴抛物线的解析式是y ＝x 2＋4x －5 (2) ∵抛物线y ＝x 2＋4x －5交y 轴于点A ，∴易得点A 的坐标为(0，－5)．∵AD∥x 轴，点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，∴点E 的纵坐标为5，点D 的纵坐标为－5.∴点E到直线AD 的距离为5＋|－5|＝10.设点D 的坐标为(t ，－5)，则－5＝t 2＋4t －5，解得t 1＝0，t 2＝－4，∴点D 的坐标为(－4，－5)．∴AD＝4.∴S △EAD ＝12×4×10＝20 (3) 设过点A(0，－5)，B(－5，0)的直线AB 的函数解析式为y ＝mx ＋n.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－5，－5m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－5.∴直线AB 的函数解析式为y ＝－x －5.如图，过点P 作PN ⊥x 轴，垂足为N ，交直线AB 于点M.设点P 的坐标为(p ，p 2＋4p －5)，则点M 的坐标为(p ，－p －5)．易得－5<p<0.∴S △ABP ＝S △AMP ＋S △BMP ＝12MP·(x A －x M )＋12MP·(x M －x B )＝12MP·(x A －x B )＝12[(－p －5)－(p 2＋4p －5)] ×5＝－52(p 2＋5p)＝－52(p ＋52)2＋1258.∴当p ＝－52时，S △ABP 最大，最大值为1258.∵当p ＝－52时，p 2＋4p －5＝－354，∴此时点P 的坐标为(－52，－354)第64题65. (1) ∵抛物线与x 轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，∴可设y ＝a(x ＋1)(x －3)．将C(0，－3)代入，得－3＝a·1×(－3)，解得a ＝1，∴这个二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)，即y ＝x 2－2x －3 (2)①设直线BC 的函数解析式为y BC ＝kx ＋m ，代入B(3，0)，C(0，－3)，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋m ＝0，m ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，m ＝－3.∴y BC ＝x －3.设点M 的坐标为(n ，n －3)，则点P 的坐标为(n ，n 2－2n －3)，易得0<n<3.∴PM＝(n －3)－(n 2－2n －3)＝－n 2＋3n ＝－(n －32)2＋94.∴当n ＝32时，线段PM 取得最大值，为94 ②当PM ＝PC 时，∠PMC＝∠PCM.∵点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，－3)，∴OB＝OC.∴在Rt△BOC 中，∠OBC ＝∠OCB ＝45°.∴在Rt△BHM 中，∠HMB ＝45°＝∠HBM .∴∠PCM ＝∠PMC ＝∠HMB ＝45°.∴∠PCO ＝90°，即PC ⊥y 轴．由(2)①得PC ＝n ，此时n ＝－n 2＋3n ，解得n 1＝0(舍去)，n 2＝2，∴点P 的坐标为(2，－3)．当PM ＝CM 时，过点M 作MD ⊥y 轴交y 轴于点D ，由∠DCM ＝45°，易得△MDC 为等腰直角三角形，∴CM ＝2MD ＝2n .此时2n ＝－n 2＋3n ，解得n 1＝0(舍去)，n 2＝3－2，∴点P 的坐标为(3－2，2－42)．综上所述，点P 的坐标为(2，－3)或(3－2，2－42)66. (1) 把A(－1，0)，B(3，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.∴该抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3 (2) ①连接CD.在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，∴点C 的坐标为(0，3)．∵y＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴点F 的坐标为(1，4)．∵点C 的坐标为(0，3)，点D 的坐标为(2，3)，∴CD＝2，且CD∥x 轴．∵点A 的坐标为(－1，0)，∴S 四边形ACFD ＝S △ACD ＋S △FCD ＝12×2×3＋12×2×(4－3)＝4 ②∵点P 在线段AB 上，∴∠DAQ<∠CAO<90°.∴∠DAQ 不可能为直角．∴当△AQD 为直角三角形时，有∠ADQ ＝90°或∠AQD ＝90°.设点Q 的坐标为(t ，－t 2＋2t ＋3)．情况1：当∠ADQ ＝90°时，如图①(简图)，过点D 作DH ⊥x 轴，过点Q 作QE ⊥DH ，垂足分别为H ，E .∵点A 的坐标为(－1，0)，点D 的坐标为(2，3)，∴AH ＝DH ＝3.∴∠ADH ＝∠DAH ＝45°.∴∠QDE ＝180°－90°－45°＝45°.∴∠DQE＝45°＝∠QDE .∴QE ＝DE .∴2－t ＝－t 2＋2t ＋3－3，即t 2－3t ＋2＝0.解得t 1＝1，t 2＝2(此时点Q ，D 重合，舍去)．∴点Q 的坐标为(1，4)．情况2：当∠AQD ＝90°时，如图②(简图)，过点Q 作QH ⊥x 轴，过点D 作DE ⊥QH ，垂足分别为H ，E (此时点H 在点P 处)．易证△DEQ ∽△QHA ，∴DE QH ＝EQHA.∵点A 的坐标为(－1，0)，点D 的坐标为(2，3)，∴t －2－t 2＋2t ＋3＝3－（－t 2＋2t ＋3）t ＋1，即1－t ＋3＝t 1.∴t 2－3t ＋1＝0，解得t 1＝3＋52，t 2＝3－52.∴点Q 的坐标为(3＋52，5－52)或(3－52，5＋52)．综上，所有满足条件的点Q 的坐标为(1，4)，(3＋52，5－52)，(3－52，5＋52)第66题67. (1) 将A(－1，0)，B(3，0)代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0，－9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3 (2) 在题图①中，连接PC.∵A(－1，0)，B(3，0)是抛物线与x 轴的两个交点，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，即点D ，M 的横坐标都是1.假设在直线l 上存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形，则CP ，DM 互相平分，设CP ，DM 交于点E.易得点C 的坐标为(0，3)，点P 的坐标为(t ，－t 2＋2t ＋3)，∴CP 的中点E 的坐标为(t 2，－t 2＋2t ＋62)．由t2＝1，得t ＝2，此时点E 的坐标为(1，3)．∵点D的坐标为(1，0)，DM 的中点也为E ，∴易得点M 的坐标为(1，6)．∴假设成立，此时点M 的坐标为(1，6)(3) ①在题图②中，过点P 作PF∥y 轴，交BC 于点F.设直线BC 的函数解析式为y ＝mx ＋n ，将B(3，0)，C(0，3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＝0，n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝3.∴y＝－x ＋3.∵点P 的坐标为(t ，－t 2＋2t ＋3)，∴点F 的坐标为(t ，－t ＋3)．∴PF＝－t 2＋2t ＋3－(－t ＋3)＝－t 2＋3t.∴S＝S △CPF ＋S △BPF ＝12PF·(x P －x C )＋12PF·(x B－x P )＝12PF·(x B －x C )＝12·(－t 2＋3t)·3＝－32t 2＋92t ②∵点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，3)，∴线段BC ＝32＋32＝32，为一定值．根据三角形的面积公式可知，要使点P 到直线BC 的距离最大，只要△PBC 的面积最大即可．在S ＝－32t 2＋92t ＝－32(t －32)2＋278中，∵－32＜0，易得0<t<3，∴当t ＝32时，S取最大值，最大值为278.∴点P 到直线BC 的距离的最大值为278×232＝928，此时点P 的坐标为(32，154)68. (1) 把A(m ，0)，B(4，n)分别代入y ＝x －1中，得m ＝1，n ＝3，∴点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(4，3)．∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A 与点B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b ＋c ＝0，－16＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝－5.∴该抛物线的解析式为y ＝－x 2＋6x －5 (2) ∵△APM 与△DPN 都为等腰直角三角形，∴∠APM＝∠DPN＝45°.∴∠MPN ＝90°.∴△MPN 为直角三角形．在y ＝－x 2＋6x －5中，令y ＝0，得x 1＝1，x 2＝5，∴点D 的坐标为(5，0)，即AD ＝5－1＝4.设AP ＝m ，则DP ＝4－m .易得0<m <4.∴易得PM ＝m 2，PN ＝4－m 2.∴S △MPN ＝12PM ·PN ＝12×m2×4－m 2＝－14m 2＋m ＝－14(m －2)2＋1.∴当m ＝2，即AP ＝2时，S △MPN 最大．此时OP ＝3，即点P 的坐标为(3，0) (3) 存在，点Q 的坐标为(73，－83)或(2，－3) 点拨：在y ＝－x 2＋6x－5中，令x ＝0，则y ＝－5.∴点C 的坐标为(0，－5)．又∵点D 的坐标为(5，0)，∴易得y CD ＝x －5.又∵点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(4，3)，∴直线AB ：y ＝x －1，AB ＝32，DA ＝4，BD ＝10.易得直线AB ∥CD .∴∠BAD ＝∠ADQ ，即点A 与点D 对应．设点Q 的坐标为(x ，x －5)，易得0<x <5.当△ABD ∽△DAQ 时，AB DA ＝BD AQ ，即324＝10AQ，解得AQ ＝453.过点Q 作QH ⊥x 轴，垂足为H ，在Rt△AHQ 中，(x －1)2＋(x －5)2＝(453)2，解得x 1＝73，x 2＝113.当x ＝113时，不满足△ABD ∽△DAQ ，舍去．∴x ＝73.此时点Q 的坐标为(73，－83)．当△ABD ∽△DQA 时，BD QA ＝AD DA ＝1，即AQ ＝10，同理可得(x －1)2＋(x －5)2＝(10)2，解得x 1＝2，x 2＝4.当x ＝4时，不满足△ABD ∽△DQA ，舍去．∴x ＝2.此时点Q 的坐标为(2，－3)．69. (1) 由题意，可设抛物线的解析式为y ＝ax(x －72)，把A(1，1)代入，得a·1×(1－72)＝1，解得a ＝－25，∴抛物线的解析式为y ＝－25x(x －72)，即y ＝－25x 2＋75x (2) 如图，过点C 作CD⊥x 轴于点D ，延长CA 交y 轴于点E ，设AC 与x 轴交于点H.∵点A 的坐标为(1，1)，∴易得OA ＝2，∠EOA＝90°－45°＝45°.∵AC ⊥OA ，∴易得△AOE 为等腰直角三角形．∴OE ＝2OA ＝2.∴点E 的坐标为(0，2)．设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝k ＋b ，2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2.∴y ＝－x ＋2.联立直线AC 与抛物线的解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝－25x 2＋75x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．∴S △AOC ＝S △COE －S △AOE ＝12·OE ·x C －12·OE ·x A ＝12OE ·(x C －x A )＝12×2×(5－1)＝4(注：本小题也可以利用S △AOC ＝S △AOH ＋S △COH 求解) (3) 假设存在点M 满足条件．设点M 的坐标为(m ，－25m 2＋75m )．过点M 作MF ⊥x 轴于点F ，∴∠OMN ＝∠OFM ＝90°.又∵∠MON ＝∠FOM ，∴△MNO ∽△FMO .情况1：当点M 在x 轴上方时，由题意，易得∠MOB <∠AOC .∴△MNO ∽△AOC .∴△FMO ∽△AOC .∴FM AO ＝FO AC.∵点A 的坐标为(1，1)，点C 的坐标为(5，－3)，∴AO ＝2，AC ＝42.∴－25m 2＋75m 2＝m 42.易得m >0，∴－25m ＋75＝14，解得m ＝238.此时－25m 2＋75m ＝2332，∴点M 的坐标为(238，2332)．情况2：当点M 在x 轴下方时，①若△MNO ∽△AOC ，同上可得25m 2－75m 2＝m 42，易得m >0，∴25m －75＝14，解得m ＝338.此时－25m 2＋75m ＝－3332，∴点M 的坐标为(338，－3332)．②若△MNO ∽△ACO ，则△FMO ∽△ACO ，∴FM AC ＝FO AO .∴25m 2－75m 42＝m 2.易得m >0，∴25m －75＝4，解得m ＝272.此时－25m 2＋75m ＝－54，∴点M 的坐标为(272，－54)．综上所述，假设成立，满足条件的点M 的坐标为(238，2332)或(338，－3332)或(272，。

2013河北省24,9分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计）这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在5~50之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据，（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得利润是26元（利润=出厂价-成本价）。

①求一张薄板的利润与边长这之间满足的函数关系式。

②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？（2013山东省滨州中考，24,10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．（2013贵州遵义，27, 分）如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过原点O ，交x 轴于点A ，其顶点B 的坐标为（3，﹣）．（1）求抛物线的函数解析式及点A 的坐标； （2）在抛物线上求点P ，使S △POA =2S △AOB ；（3）在抛物线上是否存在点Q ，使△AQO 与△AOB 相似？如果存在，请求出Q 点的坐标；如果不存在，请说明理由．解析： （1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点（3，﹣）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A 的坐标．（2）根据题意可得点P 到OA 的距离是点B 到OA 距离的2倍，即点P 的纵坐标为 2，代入函数解析式可得出点P 的横坐标；（3）先求出∠BOA 的度数，然后可确定∠Q 1OA=的度数，继而利用解直角三角形的 知识求出x ，得出Q 1的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q 2的坐标．（2013呼和浩特，25，12分）（12分）如图，抛物线2y ax bx c=++(a<0)与双曲线kyx=相交于点A、B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（–2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E。