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2013年中考数学复习专题：动点型问题(三)(含答案)

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2012年中考数学复习专题讲座十三 动点型问题（三） （函数引动点产生的相似三角形问题、以圆为载体的动点问题） 一、中考专题诠释 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. “动点型问题” 题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。 二、解题策略和解法精讲 解决动点问题的关键是“动中求静”. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 三、中考考点精讲 专题五：函数引动点产生的相似三角形问题 函数因动点产生的相似三角形问题一般有三个解决途径： ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出

已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

例1 （2012•义乌市）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）． （1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度； （2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由； （3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？ 思路分析： （1）利用待定系数法求出直线y=kx的解析式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度； （2）如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H，构造相似三角形△QHM与△QGN，将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比，即

为定值．需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立； （3）由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED．设OE=x，则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式

（），这是一个二次函数．借助此二次函数图象（如答图3），可见m在不同取值范围时，x的取值（即OE的长度，或E点的位置）有1个或2个．这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题． 另外，在相似三角形△ABE与△OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度．如答图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得AB的长度． 解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得； ∵6=3k， ∴k=2， ∴y=2x．（2分）

OA=．…（3分）

（2）是一个定值，理由如下： 如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H． ①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，

此时； ②当QH与QM不重合时， ∵QN⊥QM，QG⊥QH 不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上， ∴∠MQH=∠GQN， 又∵∠QHM=∠QGN=90° ∴△QHM∽△QGN…（5分），

∴，

当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得． …（7分）①① （3）如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴 ∵∠AOD=∠BAE， ∴AF=OF，

∴OC=AC=OA= ∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC， ∴△AOR∽△FOC，

∴，

∴OF=， ∴点F（，0）， 设点B（x，）， 过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF， ∴，

即， 解得x1=6，x2=3（舍去）， ∴点B（6，2）， ∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4， ∴AB=5 …（8分）； （求AB也可采用下面的方法）

设直线AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（，0）代入得

k=，b=10， ∴， ∴， ∴（舍去），， ∴B（6，2）， ∴AB=5…（8分） （其它方法求出AB的长酌情给分） 在△ABE与△OED中 ∵∠BAE=∠BED， ∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB， ∴∠ABE=∠DEO， ∵∠BAE=∠EOD， ∴△ABE∽△OED．…（9分）

设OE=x，则AE=﹣x （），

由△ABE∽△OED得， ∴ ∴（）…（10分） ∴顶点为（，） 如答图3，当时，OE=x=，此时E点有1个； 当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个． ∴当时，E点只有1个…（11分） 当时，E点有2个…（12分）． 点评： 本题是中考压轴题，难度较大，解题核心是相似三角形与抛物线的相关知识，另外也考查了一次函数、勾股定理等重要知识点．解题的难点在于转化思想的运用，本题第（2），（3）问都涉及到了问题的转化，要求同学们能够将所求解的问题转化为常见的数学问题，利用自己所熟悉的数学知识去解决问题，否则解题时将不知道从何下手而导致失分． 对应训练

1．（2012•绍兴）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x2﹣4x﹣2经过A，B两点． （1）求A点坐标及线段AB的长； （2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒． ①当PQ⊥AC时，求t的值； ②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值

范围． 1．解：（1）由抛物线y=x2﹣4x﹣2知：当x=0时，y=﹣2， ∴A（0，﹣2）． 由于四边形OABC是矩形，所以AB∥x轴，即A、B的纵坐标相同；

当y=﹣2时，﹣2=x2﹣4x﹣2，解得x1=0，x2=4， ∴B（4，﹣2）， ∴AB=4． （2）①由题意知：A点移动路程为AP=t， Q点移动路程为7（t﹣1）=7t﹣7．

当Q点在OA上时，即0≤7t﹣t＜2，1≤t＜时， 如图1，若PQ⊥AC，则有Rt△QAP∽Rt△ABC． ∴=，即，

∴t=． ∵＞， ∴此时t值不合题意． 当Q点在OC上时，即2≤7t﹣7＜6，≤t＜时， 如图2，过Q点作QD⊥AB． ∴AD=OQ=7（t﹣1）﹣2=7t﹣9． ∴DP=t﹣（7t﹣9）=9﹣6t． 若PQ⊥AC，则有Rt△QDP∽Rt△ABC，

∴，即=，∴t=，

∵＜＜， ∴t=符合题意． 当Q点在BC上时，即6≤7t﹣7≤8，≤t≤时， 如图3，若PQ⊥AC，过Q点作QG∥AC， 则QG⊥PG，即∠GQP=90°． ∴∠QPB＞90°，这与△QPB的内角和为180°矛盾， 此时PQ不与AC垂直．

综上所述，当t=时，有PQ⊥AC．

②当PQ∥AC时，如图4，△BPQ∽△BAC， ∴=，

∴=， 解得t=2，即当t=2时，PQ∥AC． 此时AP=2，BQ=CQ=1， ∴P（2，﹣2），Q（4，﹣1）． 抛物线对称轴的解析式为x=2，

当H1为对称轴与OP的交点时， 有∠H1OQ=∠POQ， ∴当yH＜﹣2时，∠HOQ＞∠POQ． 作P点关于OQ的对称点P′，连接PP′交OQ于点M， 过P′作P′N垂直于对称轴，垂足为N，连接OP′， 在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1． ∴OQ=，

∵S△OPQ=S四边形ABCD﹣S△AOP﹣S△COQ﹣S△QBP=3=OQ×PM，

∴PM=， ∴PP′=2PM=， ∵NPP′=∠COQ． ∴Rt△COQ∽△Rt△NPP′

∴，

∴P′N=，PN=， ∴P′（，）， ∴直线OP′的解析式为y=x， ∴OP′与NP的交点H2（2，）． ∴当yH＞时，∠HOP＞∠POQ． 综上所述，当yH＜﹣2或yH＞时，∠HOQ＞∠POQ．

考点六：以圆为载体的动点问题 与圆有关的动点问题也是中考的热点，此类问题以圆为载体，主要研究几何图形在点的运动中的位置关系和数量关系；这类问题集几何、代数知识于一体，是数形结合思想的完美表现，具有较强的综合性、灵活性和多样性。 解决此类问题要充分利用圆的有关性质，同时要抓住图形运动的本质规律，用“静态”的方法来分解图形的运动过程，用静态的方法来研究运动中的变与不变的函数关系，吧复杂的运动过程化为简单的数学问题。

例2 （2012•湘潭）如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．

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中考总复习之动点问题经典习题及答案

中考总复习之动点问题经典习题及答案

. . .. . .【思考1】已知：如图（1），射线//AM 射线BN ，AB 是它们的公垂线，点D 、C 分别在AM 、BN 上运动（点D 与点A 不重合、点C 与点B 不重合），E 是AB 边上的动点（点E 与A 、B 不重合），在运动过程中始终保持EC DE ⊥，且a AB DE AD ==+． （1）求证：ADE ∆∽BEC ∆； （2）如图（2），当点E 为AB 边的中点时，求证：CD BC AD =+；（3）设m AE =，请探究：BEC ∆的周长是否与m 值有关？若有关，请用含有m 的代数式表示BEC ∆的周长；若无关，请说明理由．第25题（1）第25题（2）【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。

思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。

第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M 的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。

【思考2】 △ABC 是等边三角形，P 为平面的一个动点，BP=BA ，若0︒＜∠PBC ＜180°，且∠PBC 平分线上的一点D 满足DB=DA ，（1）当BP 与BA 重合时（如图1），∠BPD= °； （2）当BP 在∠ABC 的部时（如图2），求∠BPD 的度数；（3）当BP 在∠ABC 的外部时，请你直接写出∠BPD 的度数，并画出相应的图形．【思路分析】本题中，和动点P 相关的动量有∠PBC ，以及D 点的位置，但是不动的量就是BD 是平分线并且DB=DA ，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。

事实上，P 点的轨迹就是以B 为圆心，BA 为半径的一个圆，那D 点是什么呢？留给大家思考一下~【思考3】如图：已知，四边形ABCD 中，AD//BC ， DC ⊥BC ，已知AB=5，BC=6，cosB=35． 点O 为BC 边上的一个动点，连结OD ，以O 为圆心，BO 为半径的⊙O 分别交边AB 于点P ，交线段OD 于点M ，交射线BC 于点N ，连结MN ． （1）当BO=AD 时，求BP 的长；（2）点O 运动的过程中，是否存在BP=MN 的情况？若存在，请求出当BO 为多长时BP=MN ；若不存在，请说明理由；（3）在点O 运动的过程中，以点C 为圆心，CN 为半径作⊙C，请直接写出当⊙C 存在时，⊙O 与⊙C 的位置关系，以及相应的⊙C 半径CN 的取值围。

【中考数学压轴题】十大类型之动点问题(下)专项练习(含答案)

【中考数学压轴题】十大类型之动点问题(下)专项练习(含答案)

【中考数学压轴题】十大类型之动点问题（下）专项练习一、解答题(共1道，每道50分)1.如图-1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；（2）如图-2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标．答案：（1）D点坐标为（0，），E点坐标为（2,4）（2），当时，有最大值．（3）或时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，相应M点的坐标为或．解题思路：（1）先研究基本图形.，所以D点坐标为（0，），E点坐标为（2,4）（2）时间范围为0＜t＜5AP=t，PE=5-t如图①∵PM∥ED∴△APM∽△AED，，即，∴PM=，AM=而显然四边形PMNE为矩形，又0＜t＜5当时，有最大值．（3）分析知点A和点E为定点，M为动点（i）若以AE为底，则ME=MA（如图①）在△AEM中，ME=MA，且MP⊥AE于点P，∴点P为AE中点，即AP=AE=∵AP=t∴t=（在0＜t＜5范围内，满足题意）此时M点坐标为．（ii）若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5（如图②）∵AM=∴=5，则（在0＜t＜5范围内，满足题意）此时M点坐标为．综上，或时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，相应M点的坐标为或．试题难度：三颗星知识点：运动变化型问题。

山东省济宁市2013年中考数学专项复习 专题一 建立动点问题的函数解析式动点问题专题讲解

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专题一建立动点问题的函数解析式动点问题专题讲解所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·某某)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值X 围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验,6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时,2336312=+x ,解得0=x . 经检验,0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2. 二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·某某）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+= AEDCB 图2HM NG POAB图1xy∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴AC BD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·某某)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA =x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE,∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.●P DE AB3(2)OFO●FPDE CB3(1)∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·某某）如图,在△ABC 中,∠BA C=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x .∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ).(2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21. ABCO图8H。

八年级数学专题复习：“动点”问题专题解析汇编(,含解析、点评和练习).doc

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八年级数学专题复习：“动点”问题专题解析汇编八年级数学下册中的“动点”题型主要集中在《勾股定理》、《平行四边形》和《一次函数》三个章节，常常是这三个章节综合起来的题型比较多.动点问题的题型一直统考和中考的热点题型，但由于动点变化较大，所以也是学生感到比较头疼的一类题型；下面我精选了一部分含动点的典型题进行分析、解答、点评并附有少量追踪练习，希望同学们能从屮悟出一些道理，总结破题的思路，同时感受到这类题型所蕴含的数学魅力.、在动点中求最小值例1.如图，在正方形ABCD中，E为A3上的一点，BE = 2,P是AC上一动点，则PB + PE的最小值是多少?分析：如分析图所示，过B作关于4C的对称点，根据正方形的性质其对称点恰好在D点处, 连结ED交AC于点P,根据轴对称的性质、三角形三边之间的关系以及连接D、E两点之间线段最短，可以知道此时的PB+PK值最小.（这里有个“将军饮马”的故事与同学们分享.）略解：过B作关于AC的对称点，根据正方形的性质其对称点恰好在D点处，连结仞交AC于点连接PW•/ BE = 2, AE = 3BE :. AE = 6 :. AB = 8•根据正方形的性质的性质可知：= = 8, ZDAB = 9(T ・在RtZ\DAE中勾股定理易求ED 二yJAE2 +AD2 = ^62 +82 =10.・・・B和D关于AC对称，根据轴对称的性质可知：P'B = P'D,DAE:.P'B+P'E = P'D+P'E=DE=10.变式：正方形ABCD的边长为4, ZDAC的平分线交DC于点E,若P、0分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 .分析：本题和刚才的例题相比是两个动点，难度增加了不少.英实我们可以假设P先是定点, 作出D 关于AE的对称点如图根据角平分线的定义、轴对称的性质和全等三角形（即图中的△4DF9ZX4Z/F）可以知道D关于AE 的对称点D恰好落在正方形的对角线AC上；但问题是我们是把P假设为定点，实际上P为动点，那么P应该运动到什么位置上才使D到AD最短距离最短呢？显然根据垂线段最短，我们过D作的垂线段DP即可找到P、0能使DQ + P Q有最小值的位置（见图中P\ 0的位置），此时DP'最小；根据轴对称的性质可知・•・= = 根据正方形的性质可以得出ZDAC=45°，在RtA AP'D1中，ZAD'P' = 90° -45° =45° , A ZDAC = ZAD,P, A P'D'^P'A V A ADF A AD*F ・•・AD'=AD = 4在RtA4P'D r 中容易算出DPjgxQ =^8 = 2^2 .故应填2逅.例2.如图，在直角坐标系xOy中，点M（x,0）可在x轴上移动，且它到点P（5,5）, 0（2, /）两点的距离分别为MP和M0, 若MP + MQ有最小值时：（1）•请作图找岀满足MP + MQ最小值的M点的位置.（保留作图痕迹，不写作法）（2）.求此时点M的坐标.分析：本题的⑴问和例1的道理是一样的.；据轴对称的性质、三角形三边之间的关系以及连接P、0'两点之间线段最短，M点的位置就满足MP + MQ的值最小.木题的⑵问可以利用轴对称的性质求出Q'的坐标，在你利用待定 系数法求出P 、0两点所在直线的解析式，进而求出M 的坐标. 略解：(1).过Q 作关于x 轴的对称点0,连接P0交x 轴于M 点，连接Q'M ,此时MP + MQ 的值最小.⑵.根据轴对称的性质求出0的坐标^(2,-7) 设P0所在的直线的解析式为y= kx + b,因为P(5,5), 0(2,-7)7 、故点M 的坐标为-,0 .丿点评：在一直线上求作一点，使其到直线同一侧的两定点的距离之和最小，往往要通过作其 屮一个点关于此直线的对称点，把两定点转化到直线的两侧，连接对称点和另一定点就可以 找到这个动点的使其有最小值的位置，根据的是“两点之间，线段最短”、“垂线段最最短”. 在动点中求最小值容易和多个知识点串联以来，能较好的考查的数学的基本功和数学素养.追踪练习：1、 正方形ABCD 的面积为64, DE = gcE,P 为AC 上的一动点；求PD+PE 的最小值？2、 菱形ABCD 的对角线分别为12和16, M 、N 分別为BC 、CD 的屮点，P 是对角线BD 上的一动点，贝ij PM+PN 的最小值为 ____所以5k + b = 5 2k + b = -I 贝 ij y = 3x-73、如图，在矩形ABCD 中，AB = 4, AD = 6t E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将分析： (1) .由角平分线的的定义和平行线的性质容易推出上1 = Z5,Z3二Z6 ,贝WE = OC.OF = OC ； 等量代换后0E 二OF. (2) . CO 是AECF 的EF 的中线，根据题中的提供的数据，无非△ ECF 是特殊三角形才能求出 CO ；4 EBF 沿EF 所在直线折叠得到4 EB F ,连接皮D,则30的附值是A. 2/10-2B. 6C. 2^73-2 ED. 44、如图，直线y = kx-6经过点A(4,0),直线y = -3x + 3与x 轴交 于B点,口两直线交于点C.(1).求k 的值； (2) .求△ABC 的面积；⑶•若点P 是坐标轴上的一个动点，当PB+PC 的值最小时，求P 点的坐标.• • • •二、在动点中来探究四边形的形状B F例1・如图，△ABC 中，点0是AC 边上的一个动点，过点0作直线MN 〃BC, 设MN 交ZBCA若AECF是直角三角形，一切问题解决了；根据题中交ZBCA的平分线于点E,交ZBCA的外角平分线于点F,可以证得ZECF = 90° .而点0在4C的位置是发生变化的.要证四边形AECF是矩形，已经知道ZECF = 90。