2019高考数学文一轮分层演练：第10章 概率、统计和统计案例 章末总结 Word版含解析

第4讲用样本估计总体一、选择题1．(2018·长春质量检测(二))如图是民航部门统计的2017年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是( )A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门解析：选D．由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故A正确；由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B正确；由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C正确；由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故D错误．选D．2．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A．200，20 B．100，20C．200，10 D．100，10解析：选A．该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20，故选A ．3．(2017·高考山东卷)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )A ．3，5B ．5，5C ．3，7D ．5，7解析：选A ．根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以56＋62＋65＋74＋（70＋x ）5＝59＋61＋67＋（60＋y ）＋785，解得x ＝3．故选A ．4．某高校从参加今年自主招生考试的1 000名学生中随机抽取100名学生的成绩进行统计，得到如图所示的样本频率分布直方图．若规定60分及以上为合格，则估计这1 000 名学生中合格的人数是( )A ．600B ．650C ．700D ．750解析：选C ．样本中合格的频率是1－0．1－0．2＝0．7，故估计这1 000名学生中合格的人数是1 000×0．7＝700．故选C ．5．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：8 7 79 4 0 1 0 x 9 1则7个剩余分数的方差为( ) A ．1169B ．367C ．36D ．677解析：选B ．根据茎叶图，去掉1个最低分87，1个最高分99， 则17[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x )＋91]＝91， 所以x ＝4．所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝367．6．若正数2，3，4，a ，b 的平均数为5，则其标准差的最小值为( ) A ．2 B ．4105C ．3D ．215解析：选B ．由已知得2＋3＋4＋a ＋b ＝5×5，整理得a ＋b ＝16．其方差s 2＝15[(5－2)2＋(5－3)2＋(5－4)2＋(5－a )2＋(5－b )2]＝15[64＋a 2＋b 2－10(a ＋b )]＝15(a 2＋b 2－96)＝15[a 2＋(16－a )2－96]＝15(2a 2－32a ＋160)＝25(a 2－16a )＋32＝25(a －8)2＋325，所以当a ＝8时，s 2取得最小值，最小值为325，此时标准差为4105．故选B ．二、填空题7．已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x －＝5，则样本数据2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n＋1的均值为________．解析：由条件知x －＝x 1＋x 2＋…＋x n n ＝5，则所求均值x －0＝2x 1＋1＋2x 2＋1＋…＋2x n ＋1n＝2（x 1＋x 2＋…＋x n ）＋n n＝2x －＋1＝2×5＋1＝11．答案：118．(2018·湖南长沙模拟)空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．从某地一环保人士某年的AQI 记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如下．根据该统计数据，估计此地该年AQI 大于100的天数约为________．(该年为365天)解析：该样本中AQI 大于100的频数是4，频率为25，由此估计该地全年AQI 大于100的频率为25，估计此地该年AQI 大于100的天数约为365×25＝146．答案：1469．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列{a n }，已知a 2＝2a 1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为________．解析：因为小长方形的面积由小到大构成等比数列{a n }，且a 2＝2a 1， 所以样本的频率构成一个等比数列，且公比为2，所以a 1＋2a 1＋4a 1＋8a 1＝15a 1＝1160． 答案：16010．某电器公司对5 000名购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0．3，0．9]内，其频率分布直方图如图所示，在这些购物者中，消费金额在区间[0．4，0．7)内的购物者的人数为________．解析：在这些购物者中，消费金额在区间[0．4，0．7)内的频率为2．5×0．1＋3．0×0．1＋2．0×0．1＝0．75，所以消费金额在区间[0．4，0．7)内的购物者的人数为0．75×5 000＝3 750．答案：3 750 三、解答题11．(2018·西安模拟)随着生活水平的提高，人们对空气质量的要求越来越高，某机构为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了40人，并将调查情况进行整理后制成下表：年龄约为多少岁？(2)若从年龄在[15，25)，[45，55)的被调查人员中各随机选取1人进行调查．请写出所有的基本事件，并求选取的2人中恰有1人持不赞成态度的概率．解：(1)被调查人员年龄的频率分布直方图如图所示．被调查人员中持赞成态度人员的平均年龄x －＝4×20＋6×30＋8×40＋4×50＋9×604＋6＋8＋4＋9≈42．6(岁)．(2)设年龄在[15，25)的被调查人员中持赞成态度的4人分别为A 1，A 2，A 3，A 4，持不赞成态度的1人为a ，设年龄在[45，55)的被调查人员中持赞成态度的4人分别为B 1，B 2，B 3，B 4，持不赞成态度的1人为b ．基本事件为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 1，b )，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(A 2，b )，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)，(A 3，b )，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)，(A 4，b )，(a ，B 1)，(a ，B 2)，(a ，B 3)，(a ，B 4)，(a ，b )，共有25个，其中恰有1人持不赞成态度的基本事件有8个，所以恰有1人持不赞成态度的概率为825．12．(2018·惠州第一次调研)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x (单位：盒，100≤x ≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y (单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的众数和平均数； (2)将y 表示为x 的函数；(3)根据直方图估计利润y 不少于4 000元的概率．解：(1)由频率分布直方图得，这个开学季内市场需求量x 的众数是150盒，需求量在[100，120)内的频率为0．005 0×20＝0．1，需求量在[120，140)内的频率为0．010 0×20＝0．2， 需求量在[140，160)内的频率为0．015 0×20＝0．3， 需求量在[160，180)内的频率为0．012 5×20＝0．25， 需求量在[180，200]内的频率为0．007 5×20＝0．15．则平均数x －＝110×0．1＋130×0．2＋150×0．3＋170×0．25＋190×0．15＝153(盒)． (2)因为每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元，所以当100≤x <160时，y ＝30x －10×(160－x )＝40x －1 600，当160≤x ≤200时，y ＝160×30＝4 800，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40x －1 600，100≤x <160，4 800，160≤x ≤200.(3)因为利润y 不少于4 000元，所以当100≤x <160时，由40x －1 600≥4 000，解得160>x ≥140．当160≤x ≤200时，y ＝4 800>4 000恒成立，所以200≥x ≥140时，利润y 不少于4 000元．所以由(1)知利润y 不少于4 000元的概率P ＝1－0．1－0．2＝0．7．1．(2018·长春模拟)某销售公司为了解员工的月工资水平，从1 000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资；(2)该公司的工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4 500元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于4 500元的员工属于成熟员工，进行营销将会成功．现将该样本按照“学徒阶段工资”“成熟员工工资”分成两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动．活动中，每位员工若营销成功，将为公司赚得3万元，否则公司将损失1万元．试问在此次比赛中公司收入多少万元的可能性最大？解：(1)估计该公司员工的月平均工资为0．000 1×1 000×2 000＋0．000 1×1 000×3 000＋0．000 2×1 000×4 000＋0．000 3×1 000×5 000＋0．000 2×1 000×6 000＋0．000 1×1 000×7 000＝4 700(元)．(2)抽取比为5100＝120，从工资在[1 500，4 500)内的员工中抽出100×(0．1＋0．1＋0．2)×120＝2人，设这两位员工分别为1，2；从工资在[4 500，7 500]内的员工中抽出100×(0．3＋0．2＋0．1)×120＝3人，设这三位员工分别为A ，B ，C ．从中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：(1，2)，(1，A )，(1，B )，(1，C )，(2，A )，(2，B )，(2，C )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )．两人营销都成功，公司收入6万元，有以下3种不同的等可能结果：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，概率为310；其中一人营销成功，一人营销失败，公司收入2万元，有以下6种不同的等可能结果：(1，A )，(1，B )，(1，C )，(2，A )，(2，B )，(2，C )，概率为610＝35；两人营销都失败，公司收入－2万元，即损失2万元，有1种结果：(1，2)，概率为110．因为110<310<35，所以公司收入2万元的可能性最大．2．(2018·佛山模拟)某市户籍人口约有400万，其中老年人(年龄60岁及以上)约有66万，为了了解老年人的健康状况，政府从老年人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表．(1)若采用分层抽样的方法再从样本中不能自理的老年人中抽取16人，进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？(2)估算该市80岁及以上老年人占全市户籍人口的百分比；(3)政府计划为80岁及以上老年人或生活不能自理的老年人每人购买1 000元/年的医疗保险，为其余老年人每人购买600元/年的医疗保险，不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度预算．解：(1)数据整理如下表：理的80岁及以上老年人的人数为16×38＝6．抽取的80岁以下的老年人的人数为16－6＝10．(2)在600人中80岁及以上老年人在老年人中的占比为15＋20＋45＋20600＝16．用样本估计总体，该市80岁及以上老年人共有所以80岁及以上老年人占全市户籍人口的百分比为11400×100%＝2．75%．(3)先计算抽样的600人的预算，其中享受1 000元/年的人数为15＋25＋20＋45＋20＝125．享受600元/年的人数为600－125＝475人．抽样的600人的预算为125×1 000＋475×600＝4．1×105元．用样本估计总体，全市老年人的总预算为4．1×105×6.6×105600＝4．51×108元．故政府执行此计划的年度预算约为4．51亿元．。

§ 随机抽样最新考纲考情考向分析 .理解随机抽样的必要性和重要性．.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样的方法. 在抽样方法的考查中，系统抽样，分层抽样是考查的重点，题型主要以选择题和填空题为主，属于中低档题.．简单随机抽样()定义：一般地，设一个总体含有个个体，从中逐个不放回地抽取个个体作为样本(≤)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．()最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．()应用范围：总体个体数较少．．系统抽样的步骤一般地，假设要从容量为的总体中抽取容量为的样本．()先将总体的个个体编号；()确定分段间隔，对编号进行分段．当(是样本容量)是整数时，取＝；()在第段用简单随机抽样确定第一个个体编号 (≤)；()按照一定的规则抽取样本．通常是将加上间隔得到第个个体编号(＋)，再加得到第个个体编号(＋)，依次进行下去，直到获取整个样本．．分层抽样()定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．()分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()简单随机抽样是一种不放回抽样．(√)()简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．(×)()抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．(×)()系统抽样在第段抽样时采用简单随机抽样．(√)()要从个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为的样本，需要剔除个学生，这样对被剔除者不公平．(×)()分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(×)题组二教材改编．[组]在“世界读书日”前夕，为了了解某地名居民某天的阅读时间，从中抽取了名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，名居民的阅读时间的全体是()．总体．个体。

[学生用书P277(单独成册)]一、选择题1．(2018·西安八校联考)某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是( )(注：下表为随机数表的第8行和第9行)⎭⎬⎫63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 5071 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79第8行⎭⎬⎫33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54第9行A ．07B ．25C ．42D ．52解析：选D ．依题意得，依次选出的个体分别是12，34，29，56，07，52，…因此选出的第6个个体是52，选D ．2．为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三所中学抽取60名教师进行调查，已知A ，B ，C 三所学校中分别有180，270，90名教师，则从C 学校中应抽取的人数为( )A ．10B ．12C ．18D ．24解析：选A ．根据分层抽样的特征，从C 学校中应抽取的人数为90180＋270＋90×60＝10．3．(2018·福州综合质量检测)在检测一批相同规格共500 kg 航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批航空用耐热垫片中非优质品约为( )A ．2．8 kgB ．8．9 kgC ．10 kgD ．28 kg解析：选B ．由题意，可知抽到非优质品的概率为5280，所以这批航空用耐热垫片中非优质品约为500×5280≈8．9 kg ，故选B ．4．为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( )A ．13B ．19C ．20D ．51解析：选C ．由系统抽样的原理知抽样的间隔为524＝13，故抽取的样本的编号分别为7，7＋13，7＋13×2，7＋13×3，从而可知选C ．5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A ，编号落入区间[451，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15解析：选C ．由题意知应将960人分成32组，每组30人．设每组选出的人的号码为30k ＋9(k ＝0，1，…，31)．由451≤30k ＋9≤750，解得44230≤k ≤74130，又k ∈N ，故k ＝15，16，…，24，共10人．6．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在A 营区，从301到495在B 营区，从496到600在C 营区，则三个营区被抽中的人数依次为( )A ．26，16，8B ．25，17，8C ．25，16，9D ．24，17，9解析：选B ．依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034，因此A 营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495，得1034<k ≤42，因此B营区被抽中的人数是42－25＝17．结合各选项知B 正确．二、填空题7．(2018·贵阳检测)某高校有教授120人，副教授100人，讲师80人，助教60人，现用分层抽样的方法从以上所有老师中抽取一个容量为n 的样本．已知从讲师中抽取的人数为16，那么n ＝________．解析：依题意得，80120＋100＋80＋60＝16n ，由此解得n ＝72． 答案：728．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．解析：因为12＝5×2＋2，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都应抽出第二个同学，所以第8组中抽出的号码为5×7＋2＝37号．答案：379．网络上流行一种“开心消消乐”游戏 ，为了了解本班学生对此游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01，02，03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03，09，则抽取的学生中最大的编号为________．解析：由最小的两个编号为03，09可知，抽取人数的比例为16，即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57．答案：5710．(2018·云南省第一次统一检测)某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢”态度，有3位对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有________人．解析：设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x 、x 、3x ，由题意得3x －x ＝12，x ＝6，所以持“喜欢”态度的有6x ＝36人．答案：36 三、解答题11．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：． (1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ 解：(1)因为x 2 000＝0．19，所以x ＝380．(2)初三年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为482 000×500＝12(名)．12．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n ．解：总体容量为 6＋12＋18＝36．当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n36，抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12＝n 3，技工人数为n 36×18＝n2，所以n 应是6的倍数，36的约数， 即n ＝6，12，18．当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6．即样本容量n ＝6．1．有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)其中从B 组抽取6人，请将其余各组抽取的人数填入下表；(2)在(1)中，若的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：(2)记从A 12312B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2，共4种，故所求概率P ＝418＝29．2．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号．(1)如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取的3个人的编号；(下面摘取了第7行到第9行的数据)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54(2)抽取的100人的数学与地理的测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的人数共有20＋18＋4＝42．②在地理成绩及格的学生中，已知a ≥11，b ≥7．求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．解：(1)785，567，199． (2)①7＋9＋a100×100%＝30%，所以a ＝14，b ＝100－30－(20＋18＋4)－(5＋6)＝17． ②a ＋b ＝100－(7＋20＋5)－(9＋18＋6)－4＝31． 因为a ≥11，b ≥7，所以a ，b 所有可能的取值为：(11，20)，(12，19)，(13，18)，(14，17)，(15，16)，(16，15)，(17，14)，(18，13)，(19，12)，(20，11)，(21，10)，(22，9)，(23，8)，(24，7)，共14种．当a ≥7，b ≥7时，设“数学成绩优秀的人数比及格的人数少”为事件A ，则a ＋5＜b ． 事件A 包括：(11，20)，(12，19)，共2个基本事件． 所以P (A )＝214＝17，故数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为17．。

第 4 讲用样本预计整体一、选择题1．(2018 ·长春质量检测( 二 )) 如图是民航部门统计的2017 年春运时期12 个城市售出的来回机票的均匀价钱以及对比昨年同期变化幅度的数据统计图表，依据图表，下边表达不正确的选项是 ()A．深圳的变化幅度最小，北京的均匀价钱最高B．深圳和厦门的春运时期来回机票价钱同昨年对比有所降落C．均匀价钱从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D．均匀价钱的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门分析：选 D．由图可知深圳对应的小黑点最靠近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的均匀价钱最高，故 A 正确；由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价钱同昨年对比有所降落，故 B 正确；由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C正确；由图可知均匀价钱的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故 D 错误．选D．2．已知某地域中小学生人数和近视状况分别如图①和图②所示．为认识该地域中小学生的近视形成原由，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行检查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A． 200， 20 B． 100，20C． 200， 10 D． 100，10分析：选 A．该地域中小学生总人数为 3 500 ＋ 2 000 ＋ 4 500 ＝ 10 000 ，则样本容量为10 000 ×2%＝ 200，此中抽取的高中生近视人数为 2 000 ×2%× 50%＝ 20，应选 A．3．(2017 ·高考山东卷) 以下图的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据( 单位：件) ．若这两组数据的中位数相等，且均匀值也相等，则x 和 y 的值分别为()A． 3，5B． 5， 5C． 3，7D． 5， 7分析：选 A．依据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y，解得y＝ 5，又它们的均匀值相等，56＋ 62＋ 65＋ 74＋（ 70＋x）因此5＝ 59＋ 61＋ 67＋（ 60＋y）＋ 78，5解得 x＝3．应选A．4．某高校从参加今年自主招生考试的 1 000 名学生中随机抽取100 名学生的成绩进行统计，获取以下图的样本频次散布直方图．若规定 60 分及以上为合格，则预计这 1 000 名学生中合格的人数是()A． 600 B． 650C． 700 D． 750分析：选 C．样本中合格的频次是1－ 0． 1－ 0．2＝ 0． 7，故预计这1 000 名学生中合格的人数是 1 000 ×0． 7＝ 700．应选 C．5．将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分， 7 个节余分数的均匀分为91，现场作的 9 个分数的茎叶图以后有 1 个数据模糊，没法辨识，在图中以x 表示：8 7 79 4 0 1 0 x 9 1则 7 个节余分数的方差为 ( )116 36A．9 B．76 7 C ． 36D ． 7分析：选 B ．依据茎叶图，去掉1 个最低分 87， 1 个最高分 99，1则 7[87 ＋ 94＋ 90＋ 91＋ 90＋ (90 ＋ x ) ＋ 91] ＝91，因此 x ＝ 4．因此21 － 91) 2＋ (94 － 91) 2－ 91)2－ 91)2－ 91) 2＋ (94 － 91) 2 ＋s＝ [(87＋ (90 ＋ (91 ＋ (907(91 － 91) 2] ＝367．6．若正数 2， 3， 4， a ，b 的均匀数为 5，则其标准差的最小值为()A ． 24 10B ． 521 C ． 3D ． 5分析：选 B ．由已知得 2＋ 3＋ 4＋a ＋ b ＝5×5，整理得 a ＋ b ＝ 16．2122 2 22122其方差 s ＝ 5[(5 － 2) ＋ (5 －3) ＋(5 － 4) ＋ (5 － a ) ＋ (5 － b ) ] ＝ 5[64 ＋ a ＋ b － 10( a ＋ b )] 1 221 2＋ 2＝ 1 2＝ 2 22 ＝( a ＋ b － 96) ＝ [ a(16 － a ) － 96](2 a － 32a ＋ 160)( a － 16a ) ＋ 32＝ ( a －5 55 552322324 108) ＋ 5 ，因此当 a ＝ 8 时， s 获得最小值，最小值为5 ，此时标准差为5 ．应选 B ．二、填空题－7．已知样本数据x 1， x 2， ， x n 的均值 x ＝ 5，则样本数据 2x 1＋ 1， 2x 2＋ 1， ， 2x n＋ 1 的均值为 ________．－ x 1＋ x－2x 1＋1＋ 2x 2＋ 1＋ ＋ 2x n ＋1分析：由条件知 x ＝2＋ ＋ xn＝ 5，则所求均值 x＝nn2（ x 1＋x 2＋ ＋ x n ）＋ n－＝＝ 2 x ＋ 1＝2×5＋ 1＝ 11．n答案： 118．(2018 ·湖南长沙模拟 ) 空气质量指数 (Air Quality Index ，简称 AQI) 是定量描绘空气质量状况的指数， 空气质量依照 AQI 大小分为六级， 0～ 50 为优； 51～ 100 为良； 101～150 为轻度污染； 151～ 200 为中度污染； 201～ 300 为重度污染；大于300 为严重污染．从某地一环保人士某年的 AQI 记录数据中， 随机抽取 10 个，用茎叶图记录以下． 依据该统计数据， 预计此地该年 AQI 大于 100 的天数约为 ________． ( 该年为 365 天)地地道道的达到2分析：该样本中AQI 大于 100 的频数是 4，频次为5，由此预计该地整年AQI 大于 1002 2的频次为5，预计此地该年AQI 大于 100 的天数约为365×5＝ 146．答案： 1469．在样本的频次散布直方图中，共有 4 个小长方形，这 4 个小长方形的面积由小到大组成等比数列 { a n} ，已知a2＝ 2a1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为________．分析：由于小长方形的面积由小到大组成等比数列{ a n} ，且a2＝ 2a1，因此样本的频次组成一个等比数列，且公比为2，1因此 a1＋2a1＋4a1＋8a1＝15a1＝1，因此 a1＝15，因此小长方形面积最大的一组的频数为300×8a1＝ 160．答案： 16010．某电器企业对 5 000 名购物者 2017 年度的花费状况进行统计，发现花费金额(单位：万元 ) 都在区间 [0 ． 3，0． 9] 内，其频次散布直方图以下图，在这些购物者中，花费金额在区间 [0 ．4， 0． 7) 内的购物者的人数为 ________．分析：在这些购物者中，花费金额在区间[0 ．4，0．7) 内的频次为2．5×0．1＋ 3．0×0．1 ＋2．0×0．1＝ 0．75，因此花费金额在区间[0 ．4，0．7) 内的购物者的人数为0．75× 5 000 ＝3750．答案： 3 750三、解答题11．(2018 ·西安模拟 ) 跟着生活水平的提升，人们对空气质量的要求愈来愈高，某机构为认识民众对“车辆限行”的态度，随机抽查了40 人，并将检查状况进行整理后制成下表：地地道道的达到年纪/ 岁[15 ， 25) [25 ， 35) [35 ，45) [45 ， 55) [55 ， 65] 频数 5 10 10 5 10同意人数 4 6 8 4 9(1)达成被检查人员年纪的频次散布直方图，并求被检查人员中持同意态度人员的均匀年纪约为多少岁？(2) 若从年纪在 [15 ， 25) ， [45 ， 55) 的被检查人员中各随机选用 1 人进行检查．请写出全部的基本领件，并求选用的 2 人中恰有 1 人持不同意态度的概率．解： (1) 被检查人员年纪的频次散布直方图以下图．－4×20＋6×30＋8×40＋4×50＋9×60 被检查人员中持同意态度人员的均匀年纪x ＝4＋ 6＋ 8＋4＋ 9≈42． 6( 岁) ．(2) 设年纪在 [15 ， 25) 的被检查人员中持同意态度的 4 人分别为A1，A2，A3，A4，持不赞成态度的 1 人为a，设年纪在 [45 ， 55) 的被检查人员中持同意态度的 4 人分别为B1，B2， B3， B4，持不同意态度的 1 人为b．基本领件为( A1，B1) ， ( A1，B2) ， ( A1，B3) ， ( A1，B4) ， ( A1，b) ， ( A2，B1) ，( A2，B2) ， ( A2，B3) ， ( A2，B4) ， ( A2，b) ，( A3，B1) ， ( A3，B2) ， ( A3，B3) ， ( A3，B4) ， ( A3，b) ，( A4，B1) ， ( A4，B2) ， ( A4，B3) ， ( A4，B4) ， ( A4，b) ， ( a，B1) ，( a，B2) ， ( a，B3) ， ( a，B4) ，( a，b) ，共有 25 个，此中恰有1人持不同意态度的基本领件有8 个，因此恰有 1 人持不赞8成态度的概率为25．12．(2018 ·惠州第一次调研) 某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出 1 盒该产品获取收益30 元，未售出的产品，每盒损失10 元．依据历史资料，获取开学季市场需求量的频次散布直方图，以下图．该同学为这个开学季购进了160 盒该产品，以x( 单位：盒，100≤x≤ 200) 表示这个开学季内的市场需求量，y(单位：元) 表示这个开学季内经销该产品的收益．地地道道的达到(1) 依据直方图预计这个开学季内市场需求量x 的众数和均匀数；(2)将 y 表示为 x 的函数；(3)依据直方图预计收益 y 许多于4 000元的概率．解： (1) 由频次散布直方图得，这个开学季内市场需求量x 的众数是150 盒，需求量在[100 ， 120) 内的频次为 0．005 0 ×20＝ 0． 1，需求量在 [120 ，140) 内的频次为0．010 0 ×20＝ 0． 2，需求量在 [140 ，160) 内的频次为0．015 0 ×20＝ 0． 3，需求量在 [160 ，180) 内的频次为0．012 5 ×20＝ 0． 25，需求量在 [180 ，200] 内的频次为0．007 5 ×20＝ 0． 15．－则均匀数 x ＝110×0．1＋130×0．2＋150×0．3＋170×0．25＋190×0．15＝153(盒)．(2) 由于每售出 1 盒该产品获取收益30 元，未售出的产品，每盒损失10 元，因此当100≤x<160 时，y＝30x－10×(160 －x) ＝ 40x－1 600 ，当 160≤x≤200 时，y＝160×30＝ 4 800 ，40x－ 1 600 ，100≤x<160，因此 y＝4800 ， 160≤x≤ 200.(3)由于收益 y 许多于 4 000元，因此当100≤ x<160时，由40x－1 600≥4 000，解得160>x≥140．当 160≤x≤200 时，y＝ 4 800>4 000 恒建立，因此 200≥x≥140 时，收益y许多于 4 000 元．因此由 (1) 知收益y许多于 4 000 元的概率P＝1－0．1－0．2＝0．7．1．(2018 ·长春模拟) 某销售企业为认识职工的月薪资水平，从 1 000 位职工中随机抽取 100 位职工进行检查，获取以下的频次散布直方图：(1)试由此图预计该企业职工的月均匀薪资；(2)该企业的薪资发放是以职工的营销水平为重要依照来确立的，一般以为，薪资低于地地道道的达到4 500 元的职工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于 4 500 元的职工属于成熟职工，进行营销将会成功．现将该样本依照“学徒阶段薪资”“成熟职工薪资”分成两层，进行分层抽样，从中抽出 5 人，在这 5 人中任选 2 人进行营销活动．活动中，每位职工若营销成功，将为企业赚得 3 万元，不然企业将损失 1 万元．试问在此次竞赛中企业收入多少万元的可能性最大？解： (1) 预计该企业职工的月均匀薪资为0．000 1×1 000×2 000＋ 0．000 1×1 000×3 000＋ 0．000 2×1 000× 4 000＋ 0．000 3×1 000×5 000＋ 0．000 2×1 000×6 000＋ 0． 000 1×1 000 ×7 000 ＝ 4 700( 元) ．5 1(2) 抽取比为＝，100 201 从薪资在 [1 500 ， 4 500) 内的职工中抽出 100×(0 ． 1＋ 0．1＋ 0．2) ×20＝2 人，设这1 两位职工分别为1，2；从薪资在 [4 500，7 500] 内的职工中抽出100×(0 ．3＋ 0．2＋ 0．1) ×20 ＝3 人，设这三位职工分别为A， B， C．从中任选 2 人，共有以下10 种不一样的等可能结果：(1 ， 2) ，(1 ，A) ，(1 ，B) ，(1 ，C) ，(2，A) ，(2，B) ， (2，C) ，( A，B) ，( A，C) ，( B，C) ．两人营销都成功，企业收入 6 万元，有以下 3 种不一样的等可能结果：( A，B) ， ( A，C) ，3( B，C) ，概率为10；此中一人营销成功，一人营销失败，企业收入 2 万元，有以下 6 种不一样的等可能结果：6 3(1，A) ，(1，B) ， (1，C) ，(2 ，A) ，(2 ，B) ，(2 ，C) ，概率为10＝5；两人营销都失败，企业收入－2万元，即损失2万元，有1种结果：(1，2)，概率为1．101 3 3由于10<10<5，因此企业收入2 万元的可能性最大．2． (2 018·佛山模拟 ) 某市户籍人口约有400 万，此中老年人( 年纪 60 岁及以上 ) 约有66 万，为了认识老年人的健康状况，政府从老年人中随机抽取600 人并拜托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不可以自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80 岁为界线分红两个集体进行统计，样本散布被制作成以下列图表．(1) 若采纳分层抽样的方法再从样本中不可以自理的老年人中抽取16 人，进一步认识他们地地道道的达到的生活状况，则两个集体中各应抽取多少人？(2)估量该市 80 岁及以上老年人占全市户籍人口的百分比；(3) 政府计划为80 岁及以上老年人或生活不可以自理的老年人每人购置 1 000 元 / 年的医疗保险，为其他老年人每人购置600 元/ 年的医疗保险，不行重复享受，试预计政府履行此计划的年度估量．解： (1) 数据整理以下表：健康状况健康基本健康不健康不可以自理尚能自理80 岁及以上20 45 20 15 80 岁以下200 225 50 2580 15 316 人中不可以自从图表中知不可以自理的岁及以上老年人的占比为15＋ 25＝8．抽取的3理的 80 岁及以上老年人的人数为16×8＝ 6．抽取的 80 岁以下的老年人的人数为16－ 6＝10．15＋ 20＋ 45＋ 20 1(2) 在 600 人中 80 岁及以上老年人在老年人中的占比为600 ＝6．用样本估1计整体，该市 80 岁及以上老年人共有66×6＝ 11 万．因此 80 岁及以上老年人占全市户籍人口的百分比为11×100 %＝ 2． 75%．400(3) 先计算抽样的 600 人的估量，此中享受 1 000 元/ 年的人数为15＋25＋ 20＋45＋ 20 ＝125．享受 600 元 / 年的人数为 600－ 125＝ 475 人．抽样的 600 人的估量为 125× 1 000 ＋475×600＝ 4．1×10 5元．556.6 ×108用样本预计整体，全市老年人的总估量为4．1×10 ×＝4．51×10元．故政府履行此计划的年度估量约为4． 51 亿元．。