第六章 方差分析(1)

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§6.2 单因素方差分析 一.基本概念
记水平 Ai 下的 ni 个试验结果为 xij ，则
xij = i + ij
i = 1, 2,· · · , a；j = 1, 2,· · · , ni
ij ～ N(0, 2 )，且相互独立
其中 ij 是由各种无法控制的因素引起的随机误差。
上式说明，试验结果 xij 受到两方面的影响：
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一. 方差分析的基本概念
记 A, B, C · · ·为试验中状态发生变化的因素， 称因素在试验中所取的不同状态为水平。 设因素 A 有 a 个水平，记为 A1, A2, · · · , Aa；因素 B 有 b个水平，记为 B1, B2, · · · , Bb 等。 若试验中只有一个变动的因素，就称为单因素试验； 若有两个变动的因素，就称为双因素试验； 若有两个以上的变动因素，则称为多因素试验。
超市管理部门希望了解： ⑴不同促销方式对销售量是否有显著影响？ ⑵哪种促销方式的效果最好？
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【案例2】如何确定最优生产工艺
影响某化工厂化工产品得率的主要因素是反应温度和 催化剂种类。 为研究产品的最优生产工艺，在其他条件不变的情况 下，选择了四种温度和三种催化剂，在不同温度和催化 剂的组合下各做了一次试验，测得结果如下： 化工产品得率试验(得率：%)
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【案例1】哪种促销方式效果最好？
某大型连锁超市为研各种促销方式的效果，选 择下属 4 个门店，分别采用不同促销方式，对包装 食品各进行了4 个月的试验。 试验结果如下：
促销方式 A1 (广告宣传) A2 (有奖销售) A3 (特价销售) A4 (买一送一) 与上年同期相比(%) 104.8 95.5 104.2 103.0 112.3 107.1 109.2 99.2 143.2 145.6 150.3 111.0 184.7 139.8 154.5 122.7

求矫正数：C＝T 2 ＝3362 ＝7056 kn 4 4
4.2 各变异平方和的分解
❖总和T＝336；y＝21
nk
2 nk
SST ( yij y) yij2 C＝7278－7056＝222
处理
重复
A
B
C
D
1
19
21
20
22
2
23
24
18
25
3
21
27
19
27
4
13
20
15
22
Sum
76
92
72
96
Average 19
23
18
24
4.1 各项自由度分解
总变异： df kn 1 4 4 1 15 不同药剂间：df k 1 4 1 3 不同药剂内：df k(n -1) 4(4 -1) 12
k
SSt n (xi. x..)2 i 1
kn
式中，
(xij xi.)2为 各处 理内离均差平方和之
i1 j 1
和，反映了各处理内的变异即误差，称为处理内平方和
或误差平方和，记为SSe，即
于是有
kn
SSe
(xij xi. )2
i1 j1
SST =SSt+SSe
这个关系式中三种平方和的简便计算公式如下：
理间均方和处理内均方， 分别记为 MST（或 ST2 ）、
MSt（或
St2
）和MSe（或
S
2 e
）。
即
MST ST2 SST / dfT
MSt St2 SSt / dft
MSe Se2 SSe / dfe
总均方一般不等于处理间均方加处理内均方。

练习
• 以小鼠研究正常肝核糖核酸（RNA）对癌细 胞的生物学作用，试验分为对照组（生理 盐水）、水层 RNA组和酚层RNA组，分别用 此三种不同处理诱导肝细胞的FDP酶活力， 得数据如下。该三组资料均服从正态分布， 试比较三组均数有无差别?
ex_36.sas
表 6.1 对照组
2.79 2.69 3.11 3.47 1.77 2.44 2.83 2.52
复相关系数（确定系数），变异系数，均方根，总均数
对自变量的检验
R-Square:等于模型的平方和除以总 平方和，用于度量在因变量的变差 里能够由模型决定的比例有多少， 越接近1，效果越好。
检验的显著水平、自由度、 误差均方
具有相同字母的组间 均值差异没有统计学意义。
第2组具有A和B两个字母，所以 第二组和第三组，第一组均没有差异。
单因素方差分析
假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n次重 复，共有nk个观测值。这类试验资料的数据模式
如下表所示。
（一）总平方和的分解 在上表中，反映全部观测值总变异的总平方和
是各观测值xij与总平均数的离均差平方和，记 为SST。即
kn
SST
( xij x.. ) 2
i1 j 1
nj 组内样本容量j 1,2,,n ki 组数，即水平数i 1,2,,k x.. 总平均数 xij i水平下第 j个样样本
变 差
组间 变差
总 变 差 组内 变差
组数（水平数）
（二）总自由度的剖分
在计算总平方和时，资料中的各个观测值要
kn
受 (xij x这..) 一0 条件的约束，故总自由度等于 i1 j1
资料中观测值的总个数减1，即kn-1。
dfT kn 1 df t k 1 df e dfT df t

二、方差分析的基本思想
• 方差分析就是通过对水平之间的方差和 水平内部的方差的比较，做出 来自不同地区的大学生每个月的平均 生活费支出是否不同呢？
家电的品牌对它们的销售量是否有显 著影响呢？
不同的路段和不同的时段对行车时间 有影响吗？
用平方和除以相应的自由度 均方也称方差(variance)
组间均方也称组间方差(between-groups variance)， 反映各因子间误差的大小
MSA=SSA÷自由度(因子个数-1)
组内均方也称组内方差(within-groups variance) ，反 映随机误差的大小
第二节 误差分解与F检验
• 一、误差分解
1. 组内误差(within groups)
样本数据内部各观察值之间的差异
• 比如，同一位置下不同超市之间销售额的差异的差异
反映随机因素的影响，称为随机误差
2. 组间误差(between groups)
不同样本之间观察值的差异
• 比如，不同位置超市之间销售额的差异
著性检验不宜用t检验法，必须采用方差 分析法。
（二）概念及术语
• 方差分析(Analysis of Variance)是由英国统计学 家R.A.Fisher于1923年提出的。这种方法是将k 个处理的观测值作为一个整体看待，把观测值 总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变 异来源的平方和及自由度，进而获得不同变异 来源总体方差估计值；通过计算这些总体方差 的估计值的适当比值，就能检验各样本所属总 体平均数是否相等。方差分析实质上是关于观 测值变异原因的数量分析，它在科学研究中应 用十分广泛。
MSE=SSE÷自由度(数据个数-因子个数) 总平方和(SST)的自由度为n-1