对称性与周期性
【复习指导】
本讲复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题．
基础梳理
1．奇、偶函数的概念
一般地，如果对于函数()y f x =的定义域内任意一个x ，都有
()()
f x f x -=，那么函数()y f x =就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数()y f x =的定义域内任意一个x ，都有
()()
f x f x -=-，那么函数()y f x =就叫做奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称． 2．奇、偶函数的性质
⑴．奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． ⑵．在公共定义域内：
①．两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②．两个偶函数的和、积都是偶函数； ③．一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数． 3．对称性
⑴．若对于R 上的任意的x 都有()()f a x f a x +=-或(2)()f a x f x -=或
(2)()f a x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称．
⑵．若对于R 上的任意的x 都有：(2)()f a x f x -=-或(2)()f a x f x +=--或
()f a x +=-()f a x -，则()y f x =的图象关于点(,0)a 对称．
⑶．若对于R 上的任意x 都有()2()f a x b f a x +=--，且
(2)2()f a x b f x -=-(其中a b <)，则(2)2()f a x b f x +=--，则()y f x =的图象关
于点(,)a b 对称． 4．周期性
⑴．周期函数：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()f x T f x +=，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期．
⑵．最小正周期：如果在周期函数()y f x =的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()y f x =的最小正周期．
一条规律
奇、偶函数的定义域关于原点对称．
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 函数的奇偶性与周期性均为全称命题． 两个性质
⑴．若奇函数()y f x =在0x =处有定义，则(0)0f =．
⑵．设()y f x =()y g x =的定义域分别是1D ，2D ，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
三种方法
判断函数的奇偶性，一般有三种方法：⑴．定义法；⑵．图象法；⑶．性
质法． 几条结论
⑴．若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=，且(2)()f b x f x -=(其中a b <)，则2()b a -是函数()y f x =的周期．
⑵．若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=-，且(2)()f b x f x -=-(其中
a b <)，则2()b a -是函数()y f x =的周期．
⑶．若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=，且(2)()f b x f x -=-(其中a b <)，则4()b a -为函数()y f x =的周期． ⑷．若()()f x a f x +=-或1()()
f x a f x +=
或1
()()f x a f x +=-，那么函数()y f x =是周期函数，其中一个周期为2T a =；
⑸．若()()()f x a f x b a b +=+≠，那么函数()y f x =是周期函数，其中一个周期为||T b a =-．
双基自测
1．函数1y x x
=-的图象关于_______________对称．
2．函数2
x x
e e y --=的图象关于_______________对称．
3．(浙江)若函数2()||f x x x a =-+为偶函数，则实数a =_____________． 法一：因()()f x f x -=对于x R ∈恒成立，故||||x a x a -+=+对于x R ∈恒成立，两边平方整理得0ax =对于x R ∈恒成立，故0a =． 法二：由(1)(1)f f -=得，0a =．
4．(福建)对于函数()sin f x a x bx c =++(其中,,a b R c Z ∈∈)，选取,,a b c 的一组
值计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能是_____________． ①．4和6 ②．3和1 ③．2和4 ④．1和2
【解】因(1)sin1,(1)sin1f a b c f a b c =++-=--+且c Z ∈，故(1)(1)2f f c +-=是偶数，只有④项中两数和为奇数，故不可能是④．
5．(全国)设()y f x =是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-，则
5
()2
f -=____． 【解】因()y f x =是周期为2的奇函数，故5511()()()2222
f f f -=-=-=-．
考点一 判断函数的奇偶性
【例1】判断下列函数的奇偶性：
①．2
2
()11f x x x =-+-；②．21
21
x x y -=+；③．11212x y =-+；④．1ln 1x y x -=+．
⑤．ln(1)2x
x y e =-++．变题：2ln(1)2
x x y x e =-++．
[审题视点] 利用函数奇偶性的定义判断．
变题：2121x x y +=-；1212x x y -=+；1212x
x
y +=-；1ln 1x y x +=-；1ln 1x y x -=+；1ln 1x y x +=-；ln
c x y c x -=+；ln c x y c x +=-；ln x c y x c +=-；ln x c y x c -=+；ln a bx
y a bx
-=+． 变：①．函数2
21
x
y =-
+的图像的对称中心？ (0,1)- ②．函数121x
y =-+的图像的对称中心？ 1
(0,)2
- ③．函数2
21
x
y =+的图像的对称中心？ (0,1) ④．函数121x
y =
+的图像的对称中心？ 1
(0,)2
