2020数学中考复习课件 二次根式

解：(1)原式 (x y)(x y) x y .
xy(x y)
xy
当x 3 1, y 3 1时，
原式 3 1 - ( 3 1) 1. ( 3 1)( 3 1)
继续拓展
1已知x
3 1，y
3

1，求代数式
x2 x2 y

y2 xy
2
的值
(2)比较大小,并说明理由. 4 6与 2 5
解:(2)∵( 4 6)2 10 4 6
( 2×5)2=2× 5=10
且 4 + 6 ＞0 , 2 × 5 ＞ 0
4 6 2 5
再见！
若x2-4x+1=0，求
x
2

1 x2
5
的值.
解:
由x2-4x+1=0 x+ 1 -4=0 x+ 1 =4.
x
x
∴原式= ( x 1 ) 2 2 5 42 7 9 3
x
1.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的约 分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次根式 化成最简二次根式，再约分.
3.一个台阶如图，阶梯每一层高15cm，宽25cm，长
60cm.一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是多少？
解：
B
B
60
25 AB 602 802
60
25
15
10000 15
100
25
15
60
25
15
60
A
A
拓展1
设a、b为实数,且|2 -a|+ √ b-2 =0
(1)求a2-2 2a+2+b2的值。 a 2， b 2
4.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
5.已知x,y为实数,且 为( D )
A.3
B.-3
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值
C.1
D.-1
本章知识
2.二次根式的性质：
DP
C
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
wk.baidu.com
DP
C
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
2
2原2 式
2(2a

2)24b212 (
7
22

212)42 22
4 ∴三角形的面积为 1 2 14 7
2
22
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
D PC
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
二次根式的定义:
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
注意：被开方数大于或等于零
典型例题解析
【例1】 x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：
(1) 2 x (2) x 2 ;(3) x 5
x3
3 x
解:(1)由2-x≥0 x≤2，
∴x≤2时， 2 x在实数范围的有意义.
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这
个等解腰: 三(角1)形∵的|面2积-a.|≥0, √ b-2≥0
解:∴若三a为角腰形,的b为而面底|2积,2为此a-时a|012底+ √，边bb上2-22的=1高00为
（
1
2）2 1 1
若a为底,b为a腰 ,此2时，底b 边 2上的高为
b
b
怎样化去被开方数中的分母呢？
a b
ab
bb
ab b2
ab b2
ab b
(a≥0，b>0)
怎样化去分母中的根号呢？
a

a b
ab
b b b b
(a≥0，b>0)
注意：进行根式化简，关键是要搞清楚分式的分子 和分母都乘什么，有时还要对分母进行化简。
二次根式加减法的步骤：
D PC
拓展3
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
A
若点P为线段CD上动点。
①则AD=__2__ BC=___1_
B
② 设DP=a,请用含a的代数式表
示AP，BP。则AP=___a_2__4____，
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP C
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
归纳 （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
一化 二找 三合并
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号；
根号内不含小数
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
例2 计算： (3 48 4 27 ) 2 3
(2)由
x x
2 3
0 0

x x

2 3
∴x＞3时，
x 2 x 3
在实数范围内有意义.
(3)由
x 5 3 x
0 0

x x
5 3
∴-5≤x＜3时，
x x
5 3
在实数范围内有意义.
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1.当x_≤__3__时， 3 x 有意义。
2. a 4 + 4 a 有意义的条件是 a=4 .
3.求下列二次根式中字母的取值范围.
x 5 1 3x
解： x 5 0 ① 3- x 0 ②
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
题型2:二次根式的非负性的应用.
2.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已知 式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
1.若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简
|3x+ x2| 的结果是（ C ）
A.-4x B.4x
C.-2x
D.2x
2.若方程 2 3x 6 0 ，则 x____12__2_
1.( a)2 a (a 0)
a （a 0）
2. a2 a
0 （a 0）
a （a 0）
3. ab a b (a 0 b 0)
4.
a b

a b
(a 0
b 0)
算一算：

2
2
2
1 2
92
3 4
2
2 1 3 2
3 2
3.二次根式的运算：
D
PC
B③P=当__a_(=_31__a时)_2_，_1_则。PA+PB=__2__5__,当a=3,则PA+PB=_1___1_3_
④ PA+PB是否存在一个最小值？
继续拓展
1已知x
3 1，y
3

1，求代数式
x2 x2 y

y2 xy
2
的值
(2)比较大小,并说明理由.
4 6与 2 5
二次根式乘法法则 a b ab (a 0 , b 0)
二次根式除法法则
aa b b
(a 0 , b 0)
二次根式的加减：
类似于合并同类项，把相同二次根式的项合并.
二次根式的混合运算：
原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，原 来所学的乘法公式（如(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2± 2ab+b2 ） 仍然适用.
化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成几个平方数。
2.应用 ab a b
3.将平方项应用 a2 a 化简.
根式运算的结果中，被开方数应不含能开 得尽方的因数或因式。 运算的结果应该是最简二次根式或整式。
二次根式的除法公式：
a a a 0,b 0
b
b
a a a 0,b 0
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP C
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
解：原式 (3 4 3 - 4 3 3) 2 3 0；
例3 (1)计算： 2 2 （1）0 2
(2)计算
12

2
5
sin
60
2
(
5 2)0
解：(1)原式 2 2 -1 2 3 2 -1；
(2)原式 2 3 - 2
3 -1
3 -1.
2
【例4】 求代数式的值.