高中数学 第二章 变化率与导数 2.5 简单复合函数的求导法则 北师大版选修2-2

2.5简单复合函数的求导法则（讲义+典型例题+小练）

复合函数(())yfgx的导数求法：

①换元，令()ugx（内函数），则()yfu（外函数）

②分别求导再相乘'()'()'ygxfu

③回代()ugx

规律：复合函数的导数=内函数的导数乘以外函数的导数

例：1．设2ln333fxxx，则1f（ ）

A．112 B．356 C．0 D．356

2．设0sin2cos2fxxx，10fxfx，21fxfx，…，1nnfxfx，nN，则2022fx（ ）

A．20212cos2sin2xx B．20222cos2sin2xx

C．20212cos2sin2xx D．20222cos2sin2xx

3．函数()2cos26fxx，其导函数为函数()fx，则6f__________．

4．函数212e()xfxx在点11,22f处的切线方程是_________．

5．求下列函数的导数：

(1)cos34yx；

(2)214xy；

(3)521yx；

(4)3log51yx.

举一反三：

1．已知函数()cos2fxx，那么()6f的值为（ ）

A．32 B．32 C．3 D．3

2．已知函数fx及其导函数fx，若存在0x使得00fxfx，则称0x是fx的一个“巧值点”.下列选项中没有“巧值点”的函数是( )

A．2fxx B．lnfxx C．exfx D．cosfxx

3．已知函数2e0ln4xffxx，则0f______．

4．求下列函数的导数：

课时跟踪训练(九) 简单复合函数的求导法则

1．下列函数不是复合函数的是( )

A．y＝－x3－1x＋1 B．y＝cosx＋π4

C．y＝1ln x D．y＝(2x＋3)4

2．函数y＝2－1x2的导数为( )

A．22－1x B．22－1x2

C．22－1x·1x2 D．21x－2·1x2

3．函数y＝x2cos 2x的导数为( )

A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x

B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x

C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x

D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x

4．某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝10t，则在时刻t＝40 min的降雨强度为( )

A．20 mm B．400 mm

C.12 mm/min D.14 mm/min

5．若f(x)＝ex＋e－x2，则f′(0)＝________.

6．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．

7．设f(x)＝aex＋bln x2，且f′(1)＝e＋1，f′(－1)＝1e－1，求实数a，b的值．

8．求下列函数的导数．

(1)y＝(2x2－x＋1)4；

(2)y＝11－2x2； (3)y＝xln(1－x)．

答 案

1．选A A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋π4，y＝cos u的复合函数，C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝1u的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选A.

2．选C y′＝22－1x2－1x′＝22－1x·1x2.

3．选B y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x.

（9）简单复合函数的求导法则

1、设3232fxaxx,若'14f,则a的值等于( )

A. 193 B. 163 C. 133 D. 103

2、函数cossinyxxx的导数为( )

A. sinxx B. sinxx C. cosxx D. cosxx

3、函数yxaxb在xa处的导数为( )

A. ab

B. aab

C. 0

D. ab

4、函数2sin2()yxx的导数是( )

A．2(cos2)yxx B．22sin2()yxxx

C．241cos()(2)yxxx D．2(4cos2)yxx

5、曲线sinxyxe在点0,1处的切线方程是( )

A. 330xy

B. 220xy

C. 210xy

D. 310xy

6、函数220xayax的导数为0,那么x等于( )

A. a

B. a

C. a

D. 2a

7、函数12xxyee的导数是( ) A.

12xxee

B. 12xxee

C.

xxee

D. xxee

8、12?fxxxxxn,则'0?f ( )

A. 0

B. 1

C. n

D. !n

9、曲线与在处的切线互相垂直,则的值为( )

A.

B.

C.

D.或

10、若23xfxxx,则'fx等于( )

A. 22233xxx

B. 22233xxx

C. 22233xxx

D. 2223xxx

11、若22fxxa,且220f,则 a__________. 12、2ln1? fxx的导数是__________.

[A 基础达标]

1．函数y＝x＋1x5的导数为( )

A．5x＋1x4 B．5x＋1x41＋1x

C．5x＋1x41－1x2 D．5x＋1x4x＋1x

解析：选C.函数y＝x＋1x5是函数y＝u5与u＝x＋1x的复合函数，

所以y′x＝y′u·u′x＝5x＋1x41－1x2.

2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )

A．ln(2x＋5)－x2x＋5 B．ln(2x＋5)＋2x2x＋5

C．2xln(2x＋5) D.x2x＋5

解析：选B.y′＝[xln(2x＋5)]′

＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′

＝ln(2x＋5)＋x·12x＋5·(2x＋5)′

＝ln(2x＋5)＋2x2x＋5.

3．某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝10t，则在时刻t＝40 min的降雨强度为( )

A．20 mm B．400 mm

C.12 mm/min D.14 mm/min

解析：选D.f′(t)＝1210t·10＝510t，

所以f′(40)＝5400＝14.

4．函数y＝sin 2x－cos 2x的导数是( )

A．22cos2x－π4 B．cos 2x－sin 2x

C．sin 2x＋cos 2x D．22cos2x＋π4

解析：选A.y′＝(sin 2x－cos 2x)′

＝(sin 2x)′－(cos 2x)′ ＝cos 2x·(2x)′＋sin 2x·(2x)′

＝2cos 2x＋2sin 2x

＝22cos2x－π4.

5．函数f(x)＝cos 2x在点π4，0处的切线方程是( )

A．4x＋2y＋π＝0 B．4x－2y＋π＝0

C．4x－2y－π＝0 D．4x＋2y－π＝0