2015·全国卷1(理数)精校解析版

2015·全国卷Ⅰ(理科数学)

1．L4[2015·全国卷Ⅰ] 设复数z满足1＋z1－z＝i，则|z|＝( )

A．1 B.2

C.3 D．2

1．A [解析] 由1＋z1－z＝i，得z＝－1＋i1＋i＝i，所以||z＝1.

2．C5[2015·全国卷Ⅰ] sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(

)

A．－32 B.32

C．－12 D.12

2．D [解析] sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.

3．A3[2015·全国卷Ⅰ] 设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为( )

A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n

3．C [解析] 特称命题的否定是全称命题，故选C.

4．K4[2015·全国卷Ⅰ] 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )

A．0.648 B．0.432

C．0.36 D．0.312

4．A [解析] 记事件M＝{恰好投中2次}，N＝{3次都投中}，E＝{通过测试}，则事件M与N互斥，且E＝M∪N.又P(M)＝C23×(0.6)2×(1－0.6)＝0.432，P(N)＝C33×(0.6)3＝0.216，所以P(E)＝P(M∪N)＝P(M)＋P(N)＝0.648.故选A.

5．H6[2015·全国卷Ⅰ] 已知M(x0，y0)是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若MF1→·MF2→<0，则y0的取值范围是( )

A.－33，33 B.－36，36

C.－223，223 D.－233，233

5．A [解析] 由题意不妨取F1(－3，0)，F2(3，0)，所以MF1→＝(－3－x0，－y0)，MF2→＝(3－x0，－y0)，所以MF1→·MF2→＝x20＋y20－3<0.又点M在曲线C上，所以有x202－y20＝1，即x20＝2＋2y20，代入上式得y20<13，所以－33

6．G12[2015·全国卷Ⅰ] 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图1-1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( ) 图1-1

A．14斛 B．22斛

C．36斛 D．66斛

6．B [解析] 由题意，题中图形为四分之一圆锥，设圆锥的底面半径为R，则由πR2＝8得R＝16π，所以V米＝14V圆锥＝14×13×π×16π2×5＝3203π≈3209(立方尺)，所以3209÷1.62≈21.95≈22(斛)．

7．F1[2015·全国卷Ⅰ] 设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则( )

A.AD→＝－13AB→＋43AC→

B.AD→＝13AB→－43AC→

C.AD→＝43AB→＋13AC→

D.AD→＝43AB→－13AC→

7．A [解析] 由题意知AD→＝AC→＋CD→＝AC→＋13BC→＝AC→＋13(AC→－AB→)＝－13AB→＋43AC→.

8．C4[2015·全国卷Ⅰ] 函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图1-2所示，则f(x)的单调递减区间为(

)

图1-2

A.kπ－14，kπ＋34，k∈Z

B.2kπ－14，2kπ＋34，k∈Z

C.k－14，k＋34，k∈Z

D.2k－14，2k＋34，k∈Z

8．D [解析] 由图知T2＝54－14＝1，所以T＝2，即2π||ω＝2，所以ω＝±π.

因为函数f(x)的图像过点14，0，

所以当ω＝π时，ω4＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，

解得φ＝π4＋2kπ，k∈Z；

当ω＝－π时，ω4＋φ＝－π2＋2kπ，k∈Z， 解得φ＝－π4＋2kπ，k∈Z.

所以f(x)＝cosπx＋π4，由2kπ

9．L1[2015·全国卷Ⅰ] 执行图1-3所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝(

)

图1-3

A．5 B．6

C．7 D．8

9．C [解析] 逐次写出循环过程：

S＝1－12＝12，m＝14，n＝1，S>0.01；

S＝12－14＝14，m＝18，n＝2，S>0.01；

S＝14－18＝18，m＝116，n＝3，S>0.01；

S＝18－116＝116，m＝132，n＝4，S>0.01；

S＝116－132＝132，m＝164，n＝5，S>0.01；

S＝132－164＝164，m＝1128，n＝6，S>0.01；

S＝164－1128＝1128，m＝1256，n＝7，S<0.01，循环结束．故输出的n值为7.

10．J3[2015·全国卷Ⅰ] (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )

A．10 B．20

C．30 D．60

10．C [解析] [(x2＋x)＋y]5的通项Tr＋1＝Cr5(x2＋x)ry5－r，由题意取r＝3，得

T4＝C35(x2＋x)3y2＝C35(x＋1)3x3y2，记(x＋1)3的通项T′r′＋1＝Cr′3xr′，

由题意得r′＝2，所以x5y2的系数为C35·C23＝30.

11．G2[2015·全国卷Ⅰ] 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图1-4所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( ) 图1-4

A．1 B．2

C．4 D．8

11．B [解析] 由三视图可知，此组合体的前半部分是一个底面半径为r，高为2r的半圆柱(水平放置)，后半部分是一个半径为r的半球，其中半圆柱的一个底面与半球的半个圆面重合，所以此几何体的表面积为2r·2r＋12πr2＋12πr2＋πr·2r＋2πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，解得r＝2.

12．B14[2015·全国卷Ⅰ] 设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是( )

A.－32e，1 B.－32e，34

C.32e，34 D.32e，1

12．D [解析] 令g(x)＝ex(2x－1)，则g′(x)＝ex(2x＋1)，由g′(x)>0得x>－12，由g′(x)<0得x<－12，故函数g(x)在－∞，－12上单调递减，在－12，＋∞上单调递增．又函数g(x)在x<12时，g(x)<0，在x>12时，g(x)>0，所以其大致图像如图所示．

直线y＝ax－a过点(1，0)．

若a≤0，则f(x)<0的整数解有无穷多个，因此只能a>0.

结合函数图像可知，存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，即存在唯一的整数x0，使得点(x0，ax0－a)在点(x0，g(x0))的上方，则x0只能是0，故实数a应满足f（－1）≥0，f（0）<0，f（1）≥0，即－3e－1＋2a≥0，－1＋a<0，e≥0，解得32e≤a<1.

故实数a的取值范围是32e，1.

13．B4[2015·全国卷Ⅰ] 若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．

13．1 [解析] 由f(－x)＝f(x)得－xln(－x＋a＋x2)＝xln(x＋a＋x2)，即x[ln(x＋a＋x2＋ln(－x＋a＋x2]＝xln a＝0对定义域内的任意x恒成立，因为x不恒为0，所以ln a＝0，所以a＝1.

14．H3[2015·全国卷Ⅰ] 一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．

14.x－322＋y2＝254 [解析] 设圆心为(t，0)(t>0)，则半径为4－t，所以4＋t2＝(4－t)2，解得t＝32，所以圆的标准方程为x－322＋y2＝254.

15．E5[2015·全国卷Ⅰ] 若x，y满足约束条件x－1≥0，x－y≤0，x＋y－4≤0，则yx的最大值为________．

15．3 [解析] yx的几何意义为点(x，y)与坐标原点连线的斜率．

画出可行域，如图中阴影部分所示．

由x＝1，x＋y－4＝0，得C(1，3)，

由题易知可行域上的C点与坐标原点连线的斜率最大，且最大值为3.

16．C8[2015·全国卷Ⅰ] 在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．

16．(6－2，6＋2) [解析] 如图所示． MB

17．D2、D4[2015·全国卷Ⅰ] Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a2n＋2an＝4Sn＋3.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和．

17．解：(1)由a2n＋2an＝4Sn＋3，可知a2n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3，

可得a2n＋1－a2n＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即

2(an＋1＋an)＝a2n＋1－a2n＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．

又an>0，所以an＋1－an＝2.

又由a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3，

所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.

(2)由an＝2n＋1可知

bn＝1anan＋1＝1（2n＋1）（2n＋3）＝1212n＋1－12n＋3.

设数列{bn}的前n项和为Tn，则

Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1213－15＋15－

 17＋…＋12n＋1－12n＋3＝n3（2n＋3）.

18．G5、G11[2015·全国卷Ⅰ] 如图1-5，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.

图1-5

(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．

18．解：(1)连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.

在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝3.

由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.

在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝22.

在Rt△FDG中，可得FG＝62.

在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22，可得EF＝322.

从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.