【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)

三角形“四心”向量形式的充要条件应用

在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：

一． 知识点总结

1）O是ABC的重心0OCOBOA;

若O是ABC的重心，则ABCAOBAOCBOCS31SSS故0OCOBOA;

1()3PGPAPBPCuuuruuuruuuruuurG为ABC的重心.

2）O是ABC的垂心OAOCOCOBOBOA;

若O是ABC(非直角三角形)的垂心，则CtanBtanAtanSSSAOBAOCBOC：：：：

故0OCCtanOBBtanOAAtan

3）O是ABC的外心|OC||OB||OA|(或222OCOBOA)

若O是ABC的外心

则C2sin:B2sin:A2sinAOBsinAOCsinBOCsinSSSAOBAOCBOC：：：：

故0OCC2sinOBB2sinOAA2sin

4）O是内心ABC的充要条件是

0)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA,BC,AB的单位向量为321e,e,e，则刚才O是ABC内心的充要条件可以写成：0)ee(OC)ee(OB)ee(OA322131

O是ABC内心的充要条件也可以是0OCcOBbOAa

若O是ABC的内心，则cbaSSSAOBAOCBOC：：：：

故 0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa或;

||||||0ABPCBCPACAPBPuuuruuuruuuruuuruuuruuurrABC的内心;

向量()(0)||||ACABABACuuuruuuruuuruuur所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；

二． 范例

(一)．将平面向量与三角形内心结合考查

例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满A

C B 1e2eP

B C H A

图6 足)(ACACABABOAOP，,0则P点的轨迹一定通过ABC的（ ）

（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心

解析：因为ABAB是向量ABuuur的单位向量设ABuuur与ACuuur方向上的单位向量分别为21ee和，又APOAOP，则原式可化为)(21eeAP，由菱形的基本性质知AP平分BAC，那么在ABC中，AP平分BAC，则知选B.

点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”

例2． H是△ABC所在平面内任一点，HAHCHCHBHBHA点H是△ABC的垂心.

由ACHBACHBHAHCHBHCHBHBHA00)(,

同理ABHC，BCHA.故H是△ABC的垂心.

（反之亦然（证略））

例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则P是△ABC的（D ）

A．外心 B．内心

C．重心

D．垂心

解析:由0PCPBPBPAPCPBPBPA得.

即0,0)(CAPBPCPAPB即

则ABPCBCPACAPB,,同理

所以P为ABC的垂心. 故选D.

点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”

等相关知识巧妙结合。

变式：若H为△ABC所在平面内一点，且222222ABHCCAHBBCHA

则点H是△ABC的垂心

证明: 2222BCCAHBHA

BACBCABAHBHA••)()(

•BACBCAHBHA)(得0

即•BAHCHC)(0

HCAB

同理HBAC，HABC

故H是△ABC的垂心

(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”

例4．

G是△ABC所在平面内一点，GCGBGA=0点G是△ABC的重心.

证明

作图如右，图中GEGCGB

连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.

将GEGCGB代入GCGBGA=0，

得EGGA=0GDGEGA2，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））

例5． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心)(31PCPBPAPG.

证明 CGPCBGPBAGPAPG)()(3PCPBPACGBGAGPG

∵G是△ABC的重心

∴GCGBGA=0CGBGAG=0，即PCPBPAPG3

由此可得)(31PCPBPAPG.（反之亦然（证略））

例6若O 为ABC内一点，0OAOBOCuuuruuuruuurr ，则O 是ABC 的（ ）

A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

解析：由0OAOBOCuuuruuuruuurr得OBOCOAuuuruuuruuur，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则OBOCODuuuruuuruuur，由平行四边形性质知12OEODuuuruuur，2OAOE，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。

点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为21。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。

变式：已知DEF，，分别为ABC△的边BCACAB，，的中点．则ADBECF0uuuruuuruuur．

证明：

GCCFGBBEGAAD232323

)(23GCGBGACFBEAD

0GCGBGA

ADBECFuuuruuuruuur0．．

变式引申：如图4，平行四边形ABCD的中心为O，P为该平面上任意一点，

则1()4POPAPBPCPDuuuruuuruuuruuuruuur．

证明：1()2POPAPCuuuruuuruuurQ，1()2POPBPDuuuruuuruuur， ABCEDO

A B(x1,0C(x2,y2) y

x H

Q G

D E F 1()4POPAPBPCPDuuuruuuruuuruuuruuur．

点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，

证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）

若P与O重合，则上式变OAOBOCODuuuruuuruuuruuur0．

(四)．将平面向量与三角形外心结合考查

例7若O 为ABC内一点，OAOBOCuuuruuuruuur，则O 是ABC 的（ ）

A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

解析：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。故O 是ABC 的外心 ，选B。

点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。

(五)将平面向量与三角形四心结合考查

例8．已知向量1OP，2OP，3OP满足条件1OP+2OP+3OP=0，|1OP|=|2OP|=|3OP|=1，

求证 △P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）

证明

由已知1OP+2OP=-3OP，两边平方得1OP·2OP=21，

同理 2OP·3OP=3OP·1OP=21，

∴|21PP|=|32PP|=|13PP|=3，从而△P1P2P3是正三角形.

反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有1OP+2OP+3OP=0且|1OP|=|2OP|=|3OP|.

即O是△ABC所在平面内一点，

1OP+2OP+3OP=0且|1OP|=|2OP|=|3OP|点O是正△P1P2P3的中心.

例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。

【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：

112222,0)(,)(,)22222xxxyxyEFD（、、

由题设可设1324,)(,)2xQyHxy（、,122(,)33xxyG

212243(,)(,)222xxyAHxyQFyuuuuruuur，

212(,)BCxxyuuur

2212422142()0()AHBCAHBCxxxyyxxxyy•uuuuruuurQuuuuruuur

212223221232()()0222()22QFACxxyQFACxyyxxxyyy•uuuruuuurQuuuruuuur