近9年全国1卷文科数学统计大题真题解析

近年全国1卷文科数学统计大题真题解析

【2019年，第17题】

某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意 不满意

男顾客 40

10

女顾客 30 20

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附：．

P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828

解：

（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．

女顾客中对该商场服务满意的比率为，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．

（2）．

由于，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

【2018年，第19题】

某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7)

频数 1 3 2 4 9 26 5

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6)

频数 1 5 13 10 16 5

（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；

（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）

解：（1）

（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为

0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，

因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48．

（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

x1=150(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48

该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

x2=150(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35

估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3)．

【2017年，第19题】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：

抽取次序 1 2 3

4

5 6 7 8

零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04

抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16

零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95

经计算得16119.9716iixx，161622221111()(16)0.2121616iiiisxxxx，

1621(8.5)18.439iix，161()8.52.78iixxi，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1,2,…,16．

（1）求,ixi (i=1,2,…,16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)xsxs之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ⅱ）在(3,3)xsxs之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）

附：样本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相关系数12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy，0.0080.09．

【解析】（1）16118.516iiyy，161611()()()()2.78iiiiixxyyxxiy

162211()=()=40.848niiiixxxxs， 162211()=(8.5)18.439niiiyyi

故12211()()2.78=0.1780.84818.439()()niiinniiiixxyyrxxyy

0.178<0.25r. 所以可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.

(2)(i) 39.9730.2129.334xs,39.9730.21210.606xs

第13个零件的尺寸为9.22，9.229.334，

所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查.

(ii)剔除9.22，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为169.22169.979.2210.021515x，

方差为222221[(9.9510.02)(10.1210.02)(9.9610.02)(9.9610.02)(10.0110.02)15

222222(9.9210.02)(9.9810.02)(10.0410.02)(10.2610.02)(9.9110.02)(10.1310.02)2222(10.0210.02)(10.0410.02)(10.0510.02)(9.9510.02)]0.008

故标准差为0.09.

(ii)解法二：剔除9.22，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为169.22169.979.2210.021515x，由16162221111()(16)0.2121616iiiisxxxx，得162221=0.21216+169.97=1591.13iix，

试剔除离群值，这条生产线当天生产的零件尺寸的方差1622211(9.221510.220.0915iisx）

【2016年，第19题】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图.

161718192021频数更换的易损零件数0610162024

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．

（1）若19n，求y与x的函数解析式；

（2）若要求 “需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；

（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

解析 （1）当19x„时，192003800y（元）；

当19x时，19200195005005700yxx（元），

所以3800,,195005700,,19xxyxxxNN„．

（2）由柱状图可知更换易损零件数的频率如表所示.

更换的易损零件数 16 17 18 19 20 21

频率 0.06 0.16 0.24 0.24 0.20 0.10

所以更换易损零件数不大于18的频率为：0.060.160.240.460.5，

更换易损零件数不大于19的频率为：0.060.160.240.240.700.5，故n最小值为19．

（3）若每台都购买19个易损零件，则这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：

10019200205002105004000100（元）；

若每台都够买20个易损零件，则这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：

10020200105004050100（元）.

因为40004050，所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件．

【2015年，第19题】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi，和年销售量yi(i=1,2,3,…,8)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

表中811,8iiiix

(Ⅰ)根据散点图判断，y=a+bx与ycdx，哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：

(1)当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？

(2)当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

解：(Ⅰ) 由散点图可知ycdx适合作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型. …2分

(Ⅱ)设x，则线性回归方程为y=c+dω，由公式得

108.8=1.6=68，α=563-68×6.8=100.6，所以y=100.6+68ω，

所以y关于x的回归方程为100.6+68yx。 …6分

(Ⅲ) (1)当x=49时，年销售量的预报值y=100.6+68×7=576.6，

年利润的预报值z=0.2×576.6y-49=66.32， …9分 xr yur ur 21()niixx 21()nii

1()()niiixxyy

1()()niiiyy

46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8