第十章习题详解

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1 第十章

习题101

1. 指出下列各微分方程的阶数:

(1) x(y′)22yy′x0; (2) (y″)35(y′)4y5x60;

(3) yx2y″x2y0; (4) (x2y2)dx(x2y2)dy0.

解: (1) 因为方程中未知函数y的最高阶导数的阶数为1,故该方程为一阶微分方程.

(2) 二阶.

(3) 三阶.

(4) 一阶.

2. 验证下列给定函数是其对应微分方程的解:

(1) y(xC)ex, y′yex;

(2) xyC1exC2ex, xy″2y′xy0;

(3) xcos2tC1cos3tC2sin3t, x″9x5cos2t;

(4)

2212CyCx1, xyy″x(y′)2yy′0.

解: (1)

()()()()eeeeeeexxxxxxxyxcyyxcxcyxc

是微分方程exyy的解.

(2) 在方程12eexxxycc两边对x求导有12eexxyxycc上方程两边对x求导有122eexxyxycc,即2yxyxy 即 20xyyxy

所以12eexxxycc所确定的函数()yyx是方程20xyyxy的解.

(3)

121212122sin23sin33cos34cos29cos39sin394cos29cos39sin39cos29cos39sin35cos2

xtctctxtctctxxtctcttctctt

所以 12cos2cos3sin3xtctct是微分方程95cos2xxt的解. 2 (4) 方程22121xycc两边对x求导得

210(1) cxcyy

(1)式两边对x求导得

2211()0(2) ccycyy

(2)式两边同乘以x得

2211()0(3) cxcxycxyy

(3)-(2)得 2()0xyyxyyy

所以 22211xycc是方程2()0xyyxyyy的解.

3. 已知曲线的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求这曲线所满足的微分方程.

解: 设(,)xy是曲线()yfx上任一点,则过该点的切线方程为()YyyXx,由已知0X时,Yx,得xyxy 即 0xyyx为()yfx所满足得微分方程.

4. 求通解为yCexx的微分方程,这里C为任意常数.

解: 由exyCx得1exyC,而由已知exCyx得 1yyx 故通解为exyCx的微分方程为1yyx.

习题102

1.求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解:

(1) y′=xy11; (2) xydx21xdy0;

(3) (xy2x)dx(yx2y)dy0;

(4) sinxcos2ydxcos2xdy0;

(5)1,0110xyyxyxyxdd;

(6) yy′xey0, y(1)0;

(7) y′e2xy, 00xy.

解: (1) 原方程分离变量得 (10)11dd yxyyx ,两边积分得 3 1lnln11cyx 即 1ln(1)(1)cxy,

即1(1)(1)ecxy, 1(1)(1)ecxy,

记1ecc,有 (1)(1)(0)xycc, 而当 10y即 1y时,显然是方程的解,上式取0c时包含了1y,故方程的解为(1)(1)xyc (c为任意常数)

(2) 分离变量得: 2210,01dd xxyxyyx,两边积分得,

211lnxcy,可知 211eecxy,即 211cxyee

又 0y显然是方程的解.

 方程的通解为 21exyc (c为任意常数).

(3) 分离变量得 222211ddyxyxyx, 两边积分得 221ln(1)ln1ycx,即

2121ln1ycx 从而 1221(1)ecyx,记 1ecc 有 22(1)1ycx.

(4) 分离变量得,22sincoscosddyxxyx,两边积分得,1tancosycx 即

tansecyxc.

(5) 原方程可化为:(1)(1)ddyyyxxx,两边积分得 23232323yyxxc

由 01xy 得 115236c, 所以原方程满足初始条件的特解为

2323523236yyxx 即 33222()3()5xyxy.

(6) 分离变量得 eddyyyxx, 两边积分得 22eeyyxyc

由 (1)0y 得 12c , 故原方程满足初始条件的特解为

21(1)(1)2eyyx.

(7) 分离变量得 2ededyxyx ,两边积分得 212eeyxc, 由 00xy 得 4 12c,所以,原方程满足初始条件的特解为 21(1)2eeyx.

2. 物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比,具有温度为T0的物体放在保持常温为的室内,求温度T与时间t的关系.

解: 设t时刻物体的温度为T,由题意有

()ddTkTt (k为比例系数)

分离变量得 ddTktT,两边积分得, 1lnktcT,得ektTc, 由题意有0t时,0TT,代入上式得, 0cT.

0()ektTT (k为比例系数).

3. 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解:

(1) xy′y22yx=0;

(2) y′xysinxy;

(3) 3xy2dy=(2y3x3)dx;

(4) x2y′xyy2, y(1)1;

(5) xy′y(lnylnx), y(1)1.

解: (1) 原方程可化为 21()yyyxx, 令 yux 则 yux, yuxu 代入原方程得: 21xuu 即 21dduxxu 两边积分得 21ln(1)lnuucx

即 21uucx

将yux代入得 222yxycx.

(2) 令yux,则 ,yuxyuxu 代入原方程得:

sindduux 即 sindduxux

两边积分得 1lntanln2uxc,则 tan,2arctan2ucxucx,

将yux代入得2arctanyxcx.

(3) 原方程可化为 221()()33ddyyxxxy, 令 yux,则 dddduyxuxx, 代入上式得,

2331dduxuux, 两边积分得 31ln(1)lnuxc, 即 3(1)xuc, 5 将 yux代入得 332xycx.

(4) 原方程可化为 2()yyyxx, 令 yux, 则 ,ddddyuyuxuxxx,代入上式得 22dduxuux, 即 11122dxxuu , 两边积分得 112lnln2ucxu

即 22ucux 将yux代入得 2ycxyx,

由 (1)1y 得 1c,

 2yxyx, 即 221xyx

所以原方程满足初始条件的特解为221xyx.

(5) 原方程可化为 lnddyyyxxx, 令 yux 则 ddddyuuxxx, 上方程可化为

lndduuxuux 即 (ln1)dduxuux

两边积分得 1lnlnln1cux 即 1ln1() ecucxc

亦即 1ecxu 将 yux 代入得 1ecxyx

由初始条件(1)1y 得 1c

故原方程满足初始条件的特解为 1exyx.

4. 求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解:

(1) y′ysinx;

(2) y′xnyxnex;

(3) (x2y)dydx0;

(4) ‴(1xsiny)y′cosy0;

(5) y′1xy (x1)ex, y(0)1;

(6) y′2221212xxyxx,y(0)23;

(7) y′yx1x2lnx, y(1)1;

(8) y′2xy(xsinx)·2xe,y(0)1.

解: (1) 这是一阶非齐次线性微分方程, 6 ()()()1,()sin(())(sin)(sin)sincos()21(sincos)2dded eed eed

ePxdxPxxdxxxxxxxxPxQxxyQxexcxxcxxcxexeeccxx

(2) 这是一阶非齐次线性微分方程,(),()enxnPxQxxx

()()lnln(())()()()()()ddddeed eeedeed ddePxxPxxnnxxnxnxnxnxxxnnxnnxnxyQxxcxxcexxcxxexxcxexcxc

(3) 原方程可化为 2ddxxyy,这是一个关于y的一阶齐次线性微分方程,且

()1,()2PyQyy, 所以

()()(())(2)(2)(2(1))2(1)ddddeed eed eed ee ePyyPyyyyyyyyyxQyycyycyycycyc

(4) ‴原方程可化为 tansecddxxyyy,这是一个关于y的一阶非齐次线性微分方程,且 ()tan,()secPyyQyy, 所以