第十章习题详解
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1 第十章
习题101
1. 指出下列各微分方程的阶数:
(1) x(y′)22yy′x0; (2) (y″)35(y′)4y5x60;
(3) yx2y″x2y0; (4) (x2y2)dx(x2y2)dy0.
解: (1) 因为方程中未知函数y的最高阶导数的阶数为1,故该方程为一阶微分方程.
(2) 二阶.
(3) 三阶.
(4) 一阶.
2. 验证下列给定函数是其对应微分方程的解:
(1) y(xC)ex, y′yex;
(2) xyC1exC2ex, xy″2y′xy0;
(3) xcos2tC1cos3tC2sin3t, x″9x5cos2t;
(4)
2212CyCx1, xyy″x(y′)2yy′0.
解: (1)
()()()()eeeeeeexxxxxxxyxcyyxcxcyxc
是微分方程exyy的解.
(2) 在方程12eexxxycc两边对x求导有12eexxyxycc上方程两边对x求导有122eexxyxycc,即2yxyxy 即 20xyyxy
所以12eexxxycc所确定的函数()yyx是方程20xyyxy的解.
(3)
121212122sin23sin33cos34cos29cos39sin394cos29cos39sin39cos29cos39sin35cos2
xtctctxtctctxxtctcttctctt
所以 12cos2cos3sin3xtctct是微分方程95cos2xxt的解. 2 (4) 方程22121xycc两边对x求导得
210(1) cxcyy
(1)式两边对x求导得
2211()0(2) ccycyy
(2)式两边同乘以x得
2211()0(3) cxcxycxyy
(3)-(2)得 2()0xyyxyyy
所以 22211xycc是方程2()0xyyxyyy的解.
3. 已知曲线的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求这曲线所满足的微分方程.
解: 设(,)xy是曲线()yfx上任一点,则过该点的切线方程为()YyyXx,由已知0X时,Yx,得xyxy 即 0xyyx为()yfx所满足得微分方程.
4. 求通解为yCexx的微分方程,这里C为任意常数.
解: 由exyCx得1exyC,而由已知exCyx得 1yyx 故通解为exyCx的微分方程为1yyx.
习题102
1.求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解:
(1) y′=xy11; (2) xydx21xdy0;
(3) (xy2x)dx(yx2y)dy0;
(4) sinxcos2ydxcos2xdy0;
(5)1,0110xyyxyxyxdd;
(6) yy′xey0, y(1)0;
(7) y′e2xy, 00xy.
解: (1) 原方程分离变量得 (10)11dd yxyyx ,两边积分得 3 1lnln11cyx 即 1ln(1)(1)cxy,
即1(1)(1)ecxy, 1(1)(1)ecxy,
记1ecc,有 (1)(1)(0)xycc, 而当 10y即 1y时,显然是方程的解,上式取0c时包含了1y,故方程的解为(1)(1)xyc (c为任意常数)
(2) 分离变量得: 2210,01dd xxyxyyx,两边积分得,
211lnxcy,可知 211eecxy,即 211cxyee
又 0y显然是方程的解.
方程的通解为 21exyc (c为任意常数).
(3) 分离变量得 222211ddyxyxyx, 两边积分得 221ln(1)ln1ycx,即
2121ln1ycx 从而 1221(1)ecyx,记 1ecc 有 22(1)1ycx.
(4) 分离变量得,22sincoscosddyxxyx,两边积分得,1tancosycx 即
tansecyxc.
(5) 原方程可化为:(1)(1)ddyyyxxx,两边积分得 23232323yyxxc
由 01xy 得 115236c, 所以原方程满足初始条件的特解为
2323523236yyxx 即 33222()3()5xyxy.
(6) 分离变量得 eddyyyxx, 两边积分得 22eeyyxyc
由 (1)0y 得 12c , 故原方程满足初始条件的特解为
21(1)(1)2eyyx.
(7) 分离变量得 2ededyxyx ,两边积分得 212eeyxc, 由 00xy 得 4 12c,所以,原方程满足初始条件的特解为 21(1)2eeyx.
2. 物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比,具有温度为T0的物体放在保持常温为的室内,求温度T与时间t的关系.
解: 设t时刻物体的温度为T,由题意有
()ddTkTt (k为比例系数)
分离变量得 ddTktT,两边积分得, 1lnktcT,得ektTc, 由题意有0t时,0TT,代入上式得, 0cT.
0()ektTT (k为比例系数).
3. 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解:
(1) xy′y22yx=0;
(2) y′xysinxy;
(3) 3xy2dy=(2y3x3)dx;
(4) x2y′xyy2, y(1)1;
(5) xy′y(lnylnx), y(1)1.
解: (1) 原方程可化为 21()yyyxx, 令 yux 则 yux, yuxu 代入原方程得: 21xuu 即 21dduxxu 两边积分得 21ln(1)lnuucx
即 21uucx
将yux代入得 222yxycx.
(2) 令yux,则 ,yuxyuxu 代入原方程得:
sindduux 即 sindduxux
两边积分得 1lntanln2uxc,则 tan,2arctan2ucxucx,
将yux代入得2arctanyxcx.
(3) 原方程可化为 221()()33ddyyxxxy, 令 yux,则 dddduyxuxx, 代入上式得,
2331dduxuux, 两边积分得 31ln(1)lnuxc, 即 3(1)xuc, 5 将 yux代入得 332xycx.
(4) 原方程可化为 2()yyyxx, 令 yux, 则 ,ddddyuyuxuxxx,代入上式得 22dduxuux, 即 11122dxxuu , 两边积分得 112lnln2ucxu
即 22ucux 将yux代入得 2ycxyx,
由 (1)1y 得 1c,
2yxyx, 即 221xyx
所以原方程满足初始条件的特解为221xyx.
(5) 原方程可化为 lnddyyyxxx, 令 yux 则 ddddyuuxxx, 上方程可化为
lndduuxuux 即 (ln1)dduxuux
两边积分得 1lnlnln1cux 即 1ln1() ecucxc
亦即 1ecxu 将 yux 代入得 1ecxyx
由初始条件(1)1y 得 1c
故原方程满足初始条件的特解为 1exyx.
4. 求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解:
(1) y′ysinx;
(2) y′xnyxnex;
(3) (x2y)dydx0;
(4) ‴(1xsiny)y′cosy0;
(5) y′1xy (x1)ex, y(0)1;
(6) y′2221212xxyxx,y(0)23;
(7) y′yx1x2lnx, y(1)1;
(8) y′2xy(xsinx)·2xe,y(0)1.
解: (1) 这是一阶非齐次线性微分方程, 6 ()()()1,()sin(())(sin)(sin)sincos()21(sincos)2dded eed eed
ePxdxPxxdxxxxxxxxPxQxxyQxexcxxcxxcxexeeccxx
(2) 这是一阶非齐次线性微分方程,(),()enxnPxQxxx
()()lnln(())()()()()()ddddeed eeedeed ddePxxPxxnnxxnxnxnxnxxxnnxnnxnxyQxxcxxcexxcxxexxcxexcxc
(3) 原方程可化为 2ddxxyy,这是一个关于y的一阶齐次线性微分方程,且
()1,()2PyQyy, 所以
()()(())(2)(2)(2(1))2(1)ddddeed eed eed ee ePyyPyyyyyyyyyxQyycyycyycycyc
(4) ‴原方程可化为 tansecddxxyyy,这是一个关于y的一阶非齐次线性微分方程,且 ()tan,()secPyyQyy, 所以