随机信号分析[常建平 李海林]习题答案解析

1-9 已知随机变量X的分布函数为

20,0(),011,1XxFxkxxx

求：①系数k； ②X落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X的概率密度。

解：

第①问 利用()XFx右连续的性质 k＝1

第②问 0.30.70.30.70.70.30.7PXPXFPXF

第③问 201()()0XXxxdFxfxelsedx

1-10已知随机变量X的概率密度为()()xXfxkex（拉普拉斯分布），求：

①系数k ②X落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X的分布函数

解：

第①问 112fxdxk

第②问 211221xxPxXxFxFxfxdx

随机变量X落在区间12(,]xx的概率12{}PxXx就是曲线yfx下的曲边梯形的面积。

1010101112PXPXfxdxe

第③问

102102xxexfxex

00()110022111010222xxxxxxxxFxfxdxedxxexedxedxxex

1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？

,(01)pqn=1n,p0,np=n成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布

汽车站出事故的次数不小于2的概率

P(2)101kPkPk

答案 0.1P(2)11.1ke100.1np实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布np!kePXkk＝＝

1-12 已知随机变量(,)XY的概率密度为

(34)0,0(,)0xyXYkexyfxy,,其它

求：①系数k？②(,)XY的分布函数？③{01,02}PXX？

第③问

方法一：

联合分布函数(,)XYFxy性质：

若任意四个实数1212,,,aabb，满足

1212,aabb，则

121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XYXYXYXYPaXabYbFabFabFabFab

{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XYXYXYXYPXYFFFF

方法二：利用{(,)},XYDPxyDfuvdudv

2100{01,02},XYPXYfxydxdy

1-13 已知随机变量(,)XY的概率密度为

101,(,)0xyxfxy,,其它

①求条件概率密度(|)Xfxy和(|)Yfyx？②判断X和Y是否独立？给出理由。

先求边缘概率密度()Xfx、()Yfy

注意上下限的选取

X2,01,01(),00,xxXYxxdyxfxfxydyelseelse，

11,011||(),,100011,yYXYydxyyfyfxydxdxyelseyelse

1-14 已知离散型随机变量X的分布律为

X 3 6 7

P 0.2 0.1 0.7

求：①X的分布函数 ②随机变量31YX的分布律

1-15 已知随机变量X服从标准高斯分布。求：①随机变量XYe的概率密度？②随机变量ZX的概率密度？

分析:①()'()()YXfyhyfhy

②1122()|'()|[()]|'()|[()]YXXfyhyfhyhyfhy

答案:

22ln221200()()200yzYZeyezfyfzyelseelse

1-16 已知随机变量1X和2X相互独立，概率密度分别为

11121111,0()20,0xXexfxx ， 22132221,0()30,0xXexfxx

求随机变量12YXX的概率密度？

解：设11221()YYXXYX任意的 求反函数，求雅克比J＝－1

12121136121210,60yyYYeyyfyyelse

11111321100yyYeeyfyelse

1-17 已知随机变量,XY的联合分布律为

532m,,,0,1,2,!!mnePXYnmnmn

求：①边缘分布律m(0,1,2,)PXm和(0,1,2,)PYnn？

②条件分布律m|PXYn和|mPYnX？

分析：32532m,,,0,1,2,!!32!!mnmnePXYnmnmneemn

泊松分布 ,0,1,2,!kePXkkk

0001!!kkkkkPXkeeekek P19 （1－48）

解：①121332m!m,!nmnnePXPXYnenm

21nm2,!nnPYPXYnen同理

②m,nPXYnPXmPY＝

即X、Y相互独立

1-18 已知随机变量12,,,nXXX相互独立，概率密度分别为1122(),(),,()nnfxfxfx。又随机变量

1121212nnYXYXXYXXX

证明：随机变量12,,,nYYY的联合概率密度为

12112211(,,,)()()()Ynnnnfyyyfyfyyfyy

11212121212323211211121nnnnnnnnYXYXXXYYYXXXXYYYXXXXYYYXXXX

10000110001001000011000011J

因为|J|＝1,故

已知随机变量12,,,nXXX相互独立，概率密度分别为1122(),(),,()nnfxfxfx X121211(,,,)(,,,)nYnnfyyyfyyyyy12121111221X1(,,,)(,,,)()()()nnnnnnYfyyyfyyyyyfyfyyfyy

1-19 已知随机变量X服从拉普拉斯分布，其概率密度为

1(),2xXfxex

求其数学期望与方差？

解:

222222000000121(022222)()XxxxXxxxxxEXxdxxdxEXxdxxdxxdxxeedxexdxxeefxedfxxee奇函数偶函数

1-20 已知随机变量X可能取值为{4,1,2,3,4}，且每个值出现的概率均为15。求：①随机变量X的数学期望和方差？②随机变量23YX的概率密度？③Y的数学期望和方差？

①③

答案:

②

Y 3 12 27 48

P 1/5 1/5 1/5 2/5

离散型随机变量的概率密度表达式 P12，1-25式

1kkkfxpxx 其中,00,0xxx 为冲激函数

1312272485Yfyyyyy 21212[][()]()[]D[][]kkkkkkEXxpEgXgxpEXXEXEX22446214[][]D55251388406[][]1098D525EXEXXEYEYY