北京市朝阳区2020届高三上学期期中质量检测数学试题含答案

北京市朝阳区2020~2021学年度第一学期期中质量检测高三数学试卷2020.11(考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一､选择题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项｡(1)已知集合2{|20},{1,0,1,2,3}A x x x B =--≤=-,则A∩B= A.{-1,0,1} B.{-1,0,1,2} C.{0,1,2} D.{0,1,2,3}(2)已知ππ3(0,),sin(),225x x ∈-=则sin2x = A.1225B.2425C.1225-D.2425- (3)已知132,a -=21211log ,log ,33b c ==则 A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a (4)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点.若,,AB AD == a b 则AC =A.3a -2bB.a -2bC.-a +2bD.1122+a b (5)“lna>lnb”是“33a b >”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(6)已知函数1()cos (0)22f x x x ωωω=->的图象与直线y=1的相邻两个交点间的距离等于π,则f(x)的图象的一条对称轴是 A.12x π=- B.12x π= C.3x π=- D.3x π= (7)在△ABC 中,AB=4,AC=3,且||||,AB AC AB AC +=- 则BC CA ⋅=A.-12B.-9C.9D.12(8)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且当x ∈(-∞,0]时,1()2,3x f x =+则23(log )2f = 1()2A B.1 C.76 D.116(9)已知函数22|1|,7,()ln ,.x x e f x x e x e --⎧+-≤<=⎨≤≤⎩若存在实数m,使得2()24f m a a =-成立,则实数a 的取值范围是 A.[-1,+∞) B.(-∞,-1]∪[3,+∞) C.[-1,3] D.(-∞,3](10)已知奇函数f(x)的定义域为(,),22ππ-且()f x '是f(x)的导函数.若对任意(,0),2x π∈-都有()c o s ()s i n f x x f x x '+<则满足()2cos ()3f f πθθ<⋅的θ的取值范围是 A.(,)23ππ-B.(,)(,)2332ππππ--⋃C.(,)33ππ-D.(,)32ππ 第二部分(非选择题共110分)二､填空题共5小题,每小题5分,共25分｡(11)已知向量a =(3,1),b =(t,2),若a //b ,则实数t=________.(12)已知x>0,y>0,xy=1,则x+4y 的最小值为________,此时x 的值为________.(13)在一个房间使用某种消毒剂后,该消毒剂中的某种药物含量y(mg/m³)随时间t(h)变化的规律可表示为1,0211,0) 2(at t y a att ⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥>⎪⎩，如图所示,则a=_____;实验表明,当房间中该药物含量不超过30.75mgm 时对人体无害,为了不使人体受到该药物的伤害,则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过________小时方可进入.(14)设{}n a 是公差为d 的等差数列,n S 为其前n 项和.能说明“若d>0,则数列{}n S 为递增数列”是假命题的一组1a 和d 的值为________.(15)公元前2世纪的古希腊天文学家和数学家希帕科斯是三角学的创立者之一,他因天文观测的需要编制了有关三。

数学第1页（共6页）北京市朝阳区2022~2023学年度第一学期期中质量检测高三数学试卷2022.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知复数i (2i)z =-，则||z =（A（B（C ）3（D ）5（2）已知集合={0,1,2}A ，{|03}B x x =∈<<N ，则A B =（A ）{0,1}（B ）{1,2}（C ）{0,1,2}（D ）{0,1,2,3}（3）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（A ）2log y x=（B ）2xy -=（C）y =（D ）3y x =（4）“0a b >>”是“33a b >”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知球O 的半径为2,球心到平面α的距离为,则球O 被平面α截得的截面面积为（A ）π（B（C ）3π（D）（6）在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，其终边过点(4,3)P ，则πtan()4α+的值为（A ）7-（B ）17-（C ）1（D ）7（7）已知()f x 为定义在R 上的函数，(2)2f =，且2()(2)g x f x x =+为奇函数，则(2)f -=数学第2页（共6页）（A ）4-（B ）2-（C ）0（D ）2（8）如图，在四棱锥P ABCD -中，1AB AD ==，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（A ）116（B ）136（C）3（D（9）已知ABC △是边长为2的等边三角形，点D 在线段AB 上，2AD DB =，点E 在线段CD上，且CAE △与CDB △的面积相等，则AE BC ⋅的值为（A ）23-（B ）13-（C ）13（D ）23（10）现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数2e ()(0,e 2.71828)e x xa bf x ab +=≠= 来表示．下列结论正确的是（A ）若0ab >，则函数()f x 为奇函数（B ）若0ab >，则函数()f x 有最小值（C ）若0ab <，则函数()f x 为增函数（D ）若0ab <，则函数()f x 存在零点第（8）题数学第3页（共6页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。

北京市朝阳区2020届高三数学上学期抽样检测试题（含解析）第一部分（选择题共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合={x R|3x+2>0}A ∈，B={x R|(x+1)(x-3)>0}∈，则A B ⋂=（ ） A. (,1)-∞-B. 2(1,)3--C. 2(,3)3-D.(3,)+∞【答案】D 【解析】 试题分析：，或，所以，故选D.考点：集合的运算【此处有视频，请去附件查看】2.已知等比数列{}n a ，满足23210log log 1a a +=，且3681116a a a a =，则数列{}n a 的公比为（） A. 4 B. 2C. 2±D. 4±【答案】B 【解析】 【分析】利用对数运算公式和对数定义可由23210log log 1a a +=得到3102a a =，由等比数列的下标性质和等比数列各项正负性的性质，可由3681116a a a a =得到3114a a =，最后可以求出等比数列的公比.详解】等比数列{}n a 中，232102310310log log 1log 1()2a a a a a a +=⇒=⇒=①，36821131116)16(a a a a a a =⇒=，由等比数列各项正负性的性质可知：311,a a 同号，故3114a a =②，②除以①，得：等比数列的公比3113102a a a a q ==，故本题选B. 【点睛】本题考查了对数的运算性质及对数的定义，考查了等比数列的下标性质，考查了求等比数列的公比，考查了数学运算能力.3.已知命题:p n N ∀∈，2n >p ⌝是A. n ∀∈N ，2n ≤B. n ∀∈N ，2n <C. n N ∃∈，2n ≤D. n N ∃∈，2n >【答案】C 【解析】p ⌝为：n N ∃∈，2n ≤选C.4.已知函数84()()2x xa f x a ⨯-=∈R 是奇函数，()ln(e 1)()xg x bx b =+-∈R 是偶函数，则log b a =（） A. 3- B. 13-C.13D. 3【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质(0)0f =，可以求出a 的值，由偶函数的性质()()g x g x =-，可以求出b 的值，利用对数的运算公式，可以求出log b a 的值.【详解】因为函数84()()2x xaf x a ⨯-=∈R 奇函数，所以(0)0f =，即808a a -=⇒=，因为()ln(e 1)()xg x bx b =+-∈R 是偶函数，所以()()g x g x =-，1ln(e 1)ln(e 1)ln(e 1)ln(e 1)22,2x x x x bx bx bx x bx x b --+-=++⇒+-+=⇒=∈∴=R Q因此12log log 83b a ==-，故本题选A. 【点睛】本题考查了奇偶函数的性质，考查了对数的运算，考查了数学运算能力.5.设点P 是圆22(1)(2)2x y ++-=上任一点，则点P 到直线10x y --=距离的最大值为（）B. C. D.2+【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆心到直线10x y --=距离，然后利用圆的性质可以求出点P 到直线10x y --=距离的最大值.【详解】因为22(1)(2)2x y ++-=的圆心坐标为(1,2)-，半径为r =线10x y --=的距离为d ==P 到直线10x y --=距离的最大值为d r += C.【点睛】本题考查了圆上的点到定直线距离的最大值问题，利用圆的几何性质是解题的关键. 6.设{}n a 为等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式p q k l a a a a +>+，得到等差数列公差的正负性和p ，q ，k ，l 之间的关系，结合充分性、必要性的定义选出正确答案即可. 【详解】设等差数列的公差为d ，1111(1)(1)(1)(1)p q k l a p d a q d a a a a a k d a l d ⇒+-+++->+>++-+-[()()]0d p q k l ⇒+-+>0d p q k l >⎧⇒⎨+>+⎩或0d p q k l<⎧⎨+<+⎩，显然由p q k l +>+不一定能推出p q k l a a a a +>+，由p q k l a a a a +>+也不一定能推出 p q k l +>+， 因此p q k l +>+是p q k l a a a a +>+的既不充分也不必要条件，故本题选D. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了充要条件的判断.7.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当43a =-时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点； ③当[0,1]a ∈时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有两个公共点． 其中所有正确结论的序号是（） A. ① B. ②C. ③D. ①②【答案】D 【解析】 【分析】①:根据圆的对称性可以阴影部分的面积是圆的面积一半，可以求出在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小； ②：当43a =-时，可以求出阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标，求出圆心到直线(2)y a x =-距离，这样可以判断出半圆与直线的关系，最后可以判断出直线(2)y a x =-与黑色阴影部分是否有公共点；③：当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，所以可以判断出本结论是否正确.【详解】①：因为阴影部分的面积是圆的面积一半，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小为12，故本结论是正确的； ②：当43a =-时，阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标为(0,1)，半径为1，它到直线(2),4380y a x x y =-+-=的距离为1d ==，所以直线与半圆相切，因此直线与黑色阴影部分有公共点，故本结论是正确的；③：当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，故本结论是错误的，因此只有结论①②是正确的，故本题选D.【点睛】本题考查了几何概型，考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的对称性. 8.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+，记第n 个k 边形数为(,)N n k (3)k ≥，下面列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数211(,3)22N n n n =+， 正方形数2(,4)N n n =， 五边形数231(,5)22N n n n =-， 六边形数2(,6)2N n n n =-， 以此类推，下列结论错误的是（） A. (5,4)25N =B. (3,7)18N =C. (5,10)145N =D.(10,24)1000N =【答案】C 【解析】【分析】根据三角形数、正方形数、五边形数、六边形数中第n 个数的表达式，可以得到k 边形数中第n 个数的表达式，对四个选项依次判断即可.【详解】因为三角形数221132(,3)222432N n n n n n -+=-=+， 正方形数2244242(,4)2N n n n n --=+=， 五边形数223152(,5)222452N n n n n n -+=-=-， 六边形数2262(,6)22462N n n n n n -=-=-+， 所以可以类推得到：第n 个k 边形数为22(,)242k N n k kn n =-+-(3)k ≥， 于是有(5,4)25N =，(3,7)18N =，(5,10)85N =，(10,24)1000N =，因此选项C 是错误的，故本题选C.【点睛】本题考查了合情推理的归纳推理，考查了代数式恒等变形的能力，属于基础题. 9.在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点与O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为13．将角α沿逆时针方向旋转([,])2πββπ∈角后，得到角θ，则（）A. sin θ的最大值为13，sin θ的最小值为13-B. sin θ的最大值为3，sin θ的最小值为13C. cos θ的最大值为13-，cos θ的最小值为1- D. cos θ的最大值为13-，cos θ的最小值为3-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由三角函数的定义，可以求出锐角α的正弦，利用同角的三角函数关系式，可以求出锐角α的余弦值，结合正弦函数和余弦函数的单调性，求出sin θ、cos θ的最值，最后选出正确答案.【详解】由题意可知：1sin 3α=，(0,)6πα∈，所以有cos α==[,][,]22ππβπαβααπ∈∴+∈++Q ，即[,]2πθααπ∈++， 因为(0,)6πα∈，所以3[,][,]222πππααπ++⊆，因为sin y θ=在3[,]22ππ上单调递减，所以sin y θ=的最大值为sin()cos 2παα+==， sin y θ=的最小值为1sin()sin 3απα+=-=-；因为[,]2πθααπ∈++，所以当θπ=时，cos y θ=有最小值，最小值为1-，1cos()sin 23παα+=-=-，cos()cos απα+=-=所以cos θ的最大值为13-，故本题选C.【点睛】本题考查了三角函数定义，考查了同角的三角函数关系式，考查了正弦函数、余弦函数的在闭区间上的最值.10.在平面直角坐标系xOy 中，设Ω为边长为1的正方形内部及其边界的点构成的集合．从Ω中的任意点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为P M ，p N ．所有点P M 构成的集合为M ，M 中所有点的横坐标的最大值与最小值之差记为()x Ω；所有点P N 构成的集合为N ，N 中所有点的纵坐标的最大值与最小值之差记为()y Ω．给出以下命题：①()x Ω：②()()x y Ω+Ω的取值范围是；③()()x y Ω-Ω恒等于0．其中所有正确结论的序号是（） A. ①② B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义画图，通过正方形对角线的位置，数形结合可以选出正确的答案.【详解】由题意，根据正方形的对称性，设正方形的初始位置为正方形OABC ,画出图形，如下图所示：正方形的边长为12.当正方形OABC 绕O 顺时针旋转时，可以发现当对角线OB 在横轴时，如图所示：()x Ω的2，故结论①正确；此时 ()2,()2x y Ω=Ω=，所以有()()2x y Ω+Ω= 当正方形OABC 绕O 顺时针旋转时，当正方形有一边在横轴时，()x Ω，()y Ω有最小值为1，即()1,()1x y Ω=Ω=，所以()()x y Ω+Ω有最小值为2，所以有()()2x y Ω+Ω=，故结论②正确；由于()()x y Ω=Ω，所以()()x y Ω-Ω恒等于0，故结论③正确，综上所述：结论①②③都正确，故本题选D.【点睛】本题考查了新定义的理解与运用，考查了数学阅读能力，考查了分类思想、数形结合思想.第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）11.已知向量(1,2)m =-u r ，(1,)n λ=r ．若m n ⊥u r r ，则2m n +u r r 与m ur 的夹角为_________．【答案】4π 【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合m n ⊥u r r，可以求出λ的值，再根据平面向量夹角公式求出2m n +u r r 与m u r的夹角.【详解】因为m n ⊥u r r ，所以1011202m n λλ⋅=⇒-⨯+=⇒=u r r ，即(12)1,n =r ，因此2(1,3)m n +=u r r ，设2m n +u r r 与m ur 的夹角为θ，因此有(2)2cos 21052m m n m m n θ+⋅===⨯+⋅u r r u u r r r u r ，因为[0,]θπ∈，所以4πθ=.【点睛】本题考查了平面向量夹角公式，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了平面向量垂直的性质，考查了数学运算能力.12.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为_______，最长棱长为_______．【答案】 (1). 2 (2). 3 【解析】 【分析】画出四棱锥的图形，由三视图求出几何元素的长度，求出体积和最长棱长即可， 【详解】四棱锥P ABCD -如下图所示：底面是直角梯形，,//,2,1AD AB AD BC AD AB BC ⊥===，PA ⊥底面ABCD ，且2PA =，所以四棱锥的体积为11(21)22232V =⨯⨯+⨯⨯=； 2222PD PA AD =+=, 2222PB PA AB =+=222223PC PA AC PA AB BC +=++=, 22(21)25DC =-+=所以最长棱长为3.【点睛】本题考查了四棱锥体积的求法，考查了勾股定理的应用，考查了数学运算能力. 13.已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =-相切，则a 的值为_________． 【答案】3- 【解析】 【分析】设出切点坐标，对函数进行求导，求出该切点处的切线的斜率，结合直线2y x =+与曲线ln()y x a =-相切，可以求出a 的值.【详解】设直线2y x =+与曲线ln()y x a =-相切于点00(,)P x y ，'1ln()y x a y x a=-⇒=-，所以过点00(,)P x y 的切线的斜率为01k x a =-，因此有：0000000110223ln()3x a y y x x a y x a a ⎧=⎪-=⎧⎪⎪⎪=+⇒=-∴=-⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎪⎪⎩. 【点睛】本题考查了已知曲线切线求参数问题，设切点、求导是解题关键，考查了数学运算能力.14.若函数2log ,0()2,0xx x f x a x >⎧=⎨--≤⎩有且只有一个零点，则a 的取值范围是_______． 【答案】(,1)[0,)-∞-+∞U 【解析】 【分析】先判断当0x >时，函数是否有且只有一个零点，如果有且只有一个零点，那么当0x ≤时函数就不存在零点；如果函数在0x >时，没有零点，那么函数在0x ≤时，有且只有一个零点，这样就可以求出a 的取值范围.【详解】当0x >时，函数2()log f x x =，显然函数单调递增，且(1)0f =，所以函数()f x 有且只有一个零点，要想函数()f x 在全体实数范围内，有且只有一个零点，只需当0x ≤时，20x a -->或20x a --<恒成立即可.当20x a -->在0x ≤恒成立时，min 202(2)1x x xa a a -->⇒<-⇒<-=-；当20x a --<在0x ≤恒成立时，202,0200x x xa a x a --<⇒>-≤∴-<⇒≥Q ， 综上所述：a 的取值范围是(,1)[0,)-∞-+∞U .【点睛】本题考查了已知分段函数的零点求参数问题，考查了不等式恒成立问题，考查了对数函数和指数函数的单调性应用.15.设函数()sin(2)3f x x π=+，若对于任意的1[,]44x ππ∈-，在区间[,]αβ上总存在唯一确定的2x ，使得12()()0f x f x +=，则||αβ-的最小值为________． 【答案】3π【解析】 【分析】 先求出当1[,]44x ππ∈-时，函数11()sin(2)3f x x π=+的值域，再根据12()()0f x f x +=，可以求出函数22()sin(2)3f x x π=+值域的子集，结合正弦型函数的单调性，可以求出||αβ-的最小值.详解】111121[,](2)[,]sin(2)[,1]4436332x x x ππππππ∈-∴+∈-∴+∈-Q ，即11()[,1]2f x ∈-，而12()()0f x f x +=，因此22()sin(2)3f x x π=+值域包含1[1,]2-，且2[,]x αβ∈，由题意可知在区间[,]αβ上总存在唯一确定的2x ，使得12()()0f x f x +=，因此有以下两种情形： （1）152636k k πππαππ+<+≤+且32()32k k Z πβππ+=+∈，此时2133παβπ-<-≤-，所以233παβπ≤-<，因此||αβ-的最小值为3π； （2）3232k παππ+=+且13172()636k k k Z πππβππ+≤+<+∈，此时2133παβπ-<-≤-，所以233παβπ≤-<，因此||αβ-的最小值为3π；综上所述：||αβ-的最小值为3π. 【点睛】本题考查了正弦型函数的值域问题，考查了已知正弦型函数在闭区间上值域求区间长度最小值问题，考查了数形结合思想.16.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，则r 的值为________．【解析】【详解】22225325539OC OA OB OA 2OA OB OB 44164416⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r即222225159r r r cos AOB r 16816=+∠+，整理化简得cos ∠AOB ＝－35，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则cos ∠AOB ＝2cos 2∠AOD －1＝－35，得cos 2∠AOD ＝15.又圆心到直线的距离为OD=，所以cos 2∠AOD ＝15＝22OD r＝22r ，所以r 2＝10，r. 三、解答题（共6小題，共80分。

北京市朝阳区2019～2020学年度第一学期高三年级抽样检测数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合={x R|3x+2>0}A ∈，B={x R|(x+1)(x-3)>0}∈，则A B ⋂=（ ） A. (,1)-∞- B. 2(1,)3--C. 2(,3)3-D. (3,)+∞【答案】D 【解析】 试题分析：，或，所以，故选D.考点：集合的运算【此处有视频，请去附件查看】2.已知等比数列{}n a ，满足23210log log 1a a +=，且3681116a a a a =，则数列{}n a 的公比为（） A. 4 B. 2C. 2±D. 4±【答案】B 【解析】 【分析】利用对数运算公式和对数定义可由23210log log 1a a +=得到3102a a =，由等比数列的下标性质和等比数列各项正负性的性质，可由3681116a a a a =得到3114a a =，最后可以求出等比数列的公比.详解】等比数列{}n a 中，232102310310log log 1log 1()2a a a a a a +=⇒=⇒=①，36821131116)16(a a a a a a =⇒=，由等比数列各项正负性的性质可知：311,a a 同号，故3114a a =②，②除以①，得：等比数列的公比3113102a a a a q ==，故本题选B. 【点睛】本题考查了对数的运算性质及对数的定义，考查了等比数列的下标性质，考查了求等比数列的公比，考查了数学运算能力.3.已知命题:p n N ∀∈，2n n >p ⌝是A. n ∀∈N ，2n n ≤B. n ∀∈N ，2n n <C. n N ∃∈，2n n ≤D. n N ∃∈，2n n >【答案】C 【解析】p ⌝为：n N ∃∈，2n n ≤选C .4.已知函数84()()2x xa f x a ⨯-=∈R 是奇函数，()ln(e 1)()xg x bx b =+-∈R 是偶函数，则log b a =（） A. 3- B. 13-C.13D. 3【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质(0)0f =，可以求出a 的值，由偶函数的性质()()g x g x =-，可以求出b 的值，利用对数的运算公式，可以求出log b a 的值.【详解】因为函数84()()2x xaf x a ⨯-=∈R 是奇函数，所以(0)0f =，即808a a -=⇒=，因为()ln(e 1)()xg x bx b =+-∈R 是偶函数，所以()()g x g x =-，1ln(e 1)ln(e 1)ln(e 1)ln(e 1)22,2x x x x bx bx bx x bx x b --+-=++⇒+-+=⇒=∈∴=R Q因此12log log 83b a ==-，故本题选A. 【点睛】本题考查了奇偶函数的性质，考查了对数的运算，考查了数学运算能力.5.设点P 是圆22(1)(2)2x y ++-=上任一点，则点P 到直线10x y --=距离的最大值为（） A.2 B. 22 C. 32 D. 222+【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆心到直线10x y --=距离，然后利用圆的性质可以求出点P 到直线10x y --=距离的最大值.【详解】因为22(1)(2)2x y ++-=的圆心坐标为(1,2)-，半径为2r =，因此圆心到直线10x y --=的距离为22112(1)1221(1)d -⨯+⨯--==+-，因此点P 到直线10x y --=距离的最大值为32d r +=，故本题选C.【点睛】本题考查了圆上的点到定直线距离的最大值问题，利用圆的几何性质是解题的关键. 6.设{}n a 为等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式p q k l a a a a +>+，得到等差数列公差的正负性和p ，q ，k ，l 之间的关系，结合充分性、必要性的定义选出正确答案即可.【详解】设等差数列的公差为d ，1111(1)(1)(1)(1)p q k l a p d a q d a a a a a k d a l d ⇒+-+++->+>++-+-[()()]0d p q k l ⇒+-+>0d p q k l >⎧⇒⎨+>+⎩或0d p q k l <⎧⎨+<+⎩，显然由p q k l +>+不一定能推出p q k l a a a a +>+，由p q k l a a a a +>+也不一定能推出 p q k l +>+，因此p q k l +>+是p q k l a a a a +>+的既不充分也不必要条件，故本题选D. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了充要条件的判断.7.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当43a =-时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点； ③当[0,1]a ∈时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有两个公共点． 其中所有正确结论的序号是（） A. ① B. ②C. ③D. ①②【答案】D 【解析】 【分析】①:根据圆的对称性可以阴影部分的面积是圆的面积一半，可以求出在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小； ②：当43a =-时，可以求出阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标，求出圆心到直线(2)y a x =-距离，这样可以判断出半圆与直线的关系，最后可以判断出直线(2)y a x =-与黑色阴影部分是否有公共点； ③：当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，所以可以判断出本结论是否正确. 【详解】①：因为阴影部分的面积是圆的面积一半，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小为12，故本结论是正确的； ②：当43a =-时，阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标为(0,1)，半径为1，它到直线(2),4380y a x x y =-+-=的距离为2204318143d ⨯+⨯-==+，所以直线与半圆相切，因此直线与黑色阴影部分有公共点，故本结论是正确的；③：当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，故本结论是错误的，因此只有结论①②是正确的，故本题选D.【点睛】本题考查了几何概型，考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的对称性.8.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+，记第n 个k 边形数为(,)N n k (3)k ≥，下面列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数211(,3)22N n n n =+， 正方形数2(,4)N n n =， 五边形数231(,5)22N n n n =-， 六边形数2(,6)2N n n n =-， 以此类推，下列结论错误的是（） A. (5,4)25N = B. (3,7)18N =C. (5,10)145N =D. (10,24)1000N =【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形数、正方形数、五边形数、六边形数中第n 个数的表达式，可以得到k 边形数中第n 个数的表达式，对四个选项依次判断即可.【详解】因为三角形数221132(,3)222432N n n n n n -+=-=+， 正方形数2244242(,4)2N n n n n --=+=， 五边形数223152(,5)222452N n n n n n -+=-=-， 六边形数2262(,6)22462N n n n n n -=-=-+， 所以可以类推得到：第n 个k 边形数为22(,)242k N n k kn n =-+-(3)k ≥， 于是有(5,4)25N =，(3,7)18N =，(5,10)85N =，(10,24)1000N =，因此选项C 是错误的，故本题选C.【点睛】本题考查了合情推理的归纳推理，考查了代数式恒等变形的能力，属于基础题.9.在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点与O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为13．将角α沿逆时针方向旋转([,])2πββπ∈角后，得到角θ，则（） A. sin θ的最大值为13，sin θ的最小值为13-B. sin θ的最大值为23，sin θ的最小值为13C. cos θ的最大值为13-，cos θ的最小值为1- D. cos θ的最大值为13-，cos θ的最小值为223-【答案】C【解析】 【分析】根据题意，由三角函数的定义，可以求出锐角α的正弦，利用同角的三角函数关系式，可以求出锐角α的余弦值，结合正弦函数和余弦函数的单调性，求出sin θ、cos θ的最值，最后选出正确答案.【详解】由题意可知：1sin 3α=，(0,)6πα∈，所以有22cos 1sin 23αα=-=[,][,]22ππβπαβααπ∈∴+∈++Q ，即[,]2πθααπ∈++， 因为(0,)6πα∈，所以3[,][,]222πππααπ++⊆，因为sin y θ=在3[,]22ππ上单调递减， 所以sin y θ=的最大值为2sin()cos 223παα+==， sin y θ=的最小值为1sin()sin 3απα+=-=-；因为[,]2πθααπ∈++，所以当θπ=时，cos y θ=有最小值，最小值为1-，1cos()sin 23παα+=-=-，2cos()cos 23απα+=-=cos θ的最大值为13-，故本题选C.【点睛】本题考查了三角函数定义，考查了同角的三角函数关系式，考查了正弦函数、余弦函数的在闭区间上的最值.10.在平面直角坐标系xOy 中，设Ω为边长为1的正方形内部及其边界的点构成的集合．从Ω中的任意点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为P M ，p N ．所有点P M 构成的集合为M ，M 中所有点的横坐标的最大值与最小值之差记为()x Ω；所有点P N 构成的集合为N ，N 中所有点的纵坐标的最大值与最小值之差记为()y Ω．给出以下命题：①()x Ω2：②()()x y Ω+Ω的取值范围是[2,22]；③()()x y Ω-Ω恒等于0． 其中所有正确结论的序号是（） A. ①② B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义画图，通过正方形对角线的位置，数形结合可以选出正确的答案.【详解】由题意，根据正方形的对称性，设正方形的初始位置为正方形OABC ,画出图形，如下图所示：正方形的边长为12.当正方形OABC 绕O 顺时针旋转时，可以发现当对角线OB 在横轴时，如图所示：()x Ω2，故结论①正确；此时 ()2,()2x y Ω=Ω=，所以有()()22x y Ω+Ω=当正方形OABC 绕O 顺时针旋转时，当正方形有一边在横轴时，()x Ω，()y Ω有最小值为1，即()1,()1x y Ω=Ω=，所以()()x y Ω+Ω有最小值为2，所以有()()2x y Ω+Ω=，故结论②正确；由于()()x y Ω=Ω，所以()()x y Ω-Ω恒等于0，故结论③正确，综上所述：结论①②③都正确，故本题选D. 【点睛】本题考查了新定义的理解与运用，考查了数学阅读能力，考查了分类思想、数形结合思想.第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）11.已知向量(1,2)m =-u r ，(1,)n λ=r ．若m n ⊥u r r ，则2m n +u r r 与m ur 的夹角为_________．【答案】4π 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合m n ⊥u r r ，可以求出λ的值，再根据平面向量夹角公式求出2m n +u r r与m u r的夹角.【详解】因为m n ⊥u r r ，所以1011202m n λλ⋅=⇒-⨯+=⇒=u r r ，即(12)1,n =r ，因此2(1,3)m n +=u r r ，设2m n +u r r 与m ur 的夹角为θ，因此有(2)52cos 21052m m n m m n θ+⋅===⨯+⋅u r r u u r r r u r ，因为[0,]θπ∈，所以4πθ=.【点睛】本题考查了平面向量夹角公式，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了平面向量垂直的性质，考查了数学运算能力.12.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为_______，最长棱长为_______．【答案】 (1). 2 (2). 3 【解析】 【分析】画出四棱锥的图形，由三视图求出几何元素的长度，求出体积和最长棱长即可， 【详解】四棱锥P ABCD -如下图所示：底面是直角梯形，,//,2,1AD AB AD BC AD AB BC ⊥===，PA ⊥底面ABCD ，且2PA =，所以四棱锥的体积为11(21)22232V =⨯⨯+⨯⨯=； 2222PD PA AD =+=, 2222PB PA AB =+=,222223PC PA AC PA AB BC =+=++=, 22(21)25DC =-+=,所以最长棱长为3.【点睛】本题考查了四棱锥体积的求法，考查了勾股定理的应用，考查了数学运算能力. 13.已知直线2y x =+与曲线ln()y x a =-相切，则a 的值为_________．【答案】3- 【解析】 【分析】设出切点坐标，对函数进行求导，求出该切点处的切线的斜率，结合直线2y x =+与曲线ln()y x a =-相切，可以求出a 的值.【详解】设直线2y x =+与曲线ln()y x a =-相切于点00(,)P x y ，'1ln()y x a y x a =-⇒=-，所以过点00(,)P x y 的切线的斜率为01k x a =-，因此有：0000000110223ln()3x a y y x x a y x a a ⎧=⎪-=⎧⎪⎪⎪=+⇒=-∴=-⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎪⎪⎩. 【点睛】本题考查了已知曲线切线求参数问题，设切点、求导是解题的关键，考查了数学运算能力.14.若函数2log ,0()2,0xx x f x a x >⎧=⎨--≤⎩有且只有一个零点，则a 的取值范围是_______． 【答案】(,1)[0,)-∞-+∞U 【解析】 【分析】先判断当0x >时，函数是否有且只有一个零点，如果有且只有一个零点，那么当0x ≤时函数就不存在零点；如果函数在0x >时，没有零点，那么函数在0x ≤时，有且只有一个零点，这样就可以求出a 的取值范围.【详解】当0x >时，函数2()log f x x =，显然函数单调递增，且(1)0f =，所以函数()f x 有且只有一个零点，要想函数()f x 在全体实数范围内，有且只有一个零点，只需当0x ≤时，20x a -->或20x a --<恒成立即可.当20x a -->在0x ≤恒成立时，min 202(2)1x x xa a a -->⇒<-⇒<-=-；当20x a --<在0x ≤恒成立时，202,0200x x xa a x a --<⇒>-≤∴-<⇒≥Q ， 综上所述：a 的取值范围是(,1)[0,)-∞-+∞U .【点睛】本题考查了已知分段函数的零点求参数问题，考查了不等式恒成立问题，考查了对数函数和指数函数的单调性应用.15.设函数()sin(2)3f x x π=+，若对于任意的1[,]44x ππ∈-，在区间[,]αβ上总存在唯一确定的2x ，使得12()()0f x f x +=，则||αβ-的最小值为________．【答案】3π【解析】 【分析】 先求出当1[,]44x ππ∈-时，函数11()sin(2)3f x x π=+的值域，再根据12()()0f x f x +=，可以求出函数22()sin(2)3f x x π=+值域的子集，结合正弦型函数的单调性，可以求出||αβ-的最小值.【详解】111121[,](2)[,]sin(2)[,1]4436332x x x ππππππ∈-∴+∈-∴+∈-Q ，即11()[,1]2f x ∈-，而12()()0f x f x +=，因此22()sin(2)3f x x π=+值域包含1[1,]2-，且2[,]x αβ∈，由题意可知在区间[,]αβ上总存在唯一确定的2x ，使得12()()0f x f x +=，因此有以下两种情形：（1）152636k k πππαππ+<+≤+且32()32k k Z πβππ+=+∈，此时2133παβπ-<-≤-，所以233παβπ≤-<，因此||αβ-的最小值为3π； （2）3232k παππ+=+且13172()636k k k Z πππβππ+≤+<+∈，此时2133παβπ-<-≤-，所以233παβπ≤-<，因此||αβ-的最小值为3π；综上所述：||αβ-的最小值为3π. 【点睛】本题考查了正弦型函数的值域问题，考查了已知正弦型函数在闭区间上值域求区间长度最小值问题，考查了数形结合思想.16.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，则r 的值为________．10【解析】【详解】22225325539OC OA OB OA 2OA OB OB 44164416⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r即222225159r r r cos AOB r 16816=+∠+，整理化简得cos∠AOB＝－35，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则cos∠AOB ＝2cos 2∠AOD－1＝－35，得cos 2∠AOD＝15.又圆心到直线的距离为OD 22=，所以cos 2∠AOD＝15＝22OD r＝22r ，所以r 2＝10，r 10. 三、解答题（共6小題，共80分。