概率论习题第三章答案
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第三章连续型随机变量
设随机变量 的分布函数为F (x)，试以F (x)表示下列概率:
(1)P( a);(2)P( a);(3)P( a); (4)P( a)。
解：(1)P( a) F(a 0) F(a);
(2)P( a) F(a 0)；
⑶P( a) 1 F(a);
(4)P( a) 1 F(a 0)。
函数F(x)
1 1
2是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果 x
(1) x
⑵0 x ,在其它场合恰当定义；
(3) x 0,在其它场合恰当定义。
解: (1)F(x) 在(， )内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数；
(2)F(x) 在(0， )内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数;
(3)F(x) 在(一 ,0)内单调上升、连续且，若定义
F(X) — x 0
F(x) 1 x 0
则l~(x)可以是某一随机变量的分布函数。
函数sinx 是不是某个随机变量 的分布函数如果 的取值范围为
(1) 0，；(2) 0， ； (3)0,3。
2 2
解：⑴ 当x 0, 时,sinx 0且2 sinxdx 1，所以sinx 可以是某个随机变量的分布
2 0
密度；
(2) 因为° sinxdx 2 1 ,所以sinx不是随机变量的分布密度；
3
(3) 当x , 时,sinx<=0所以sinx不是随机变量的分布密度。 2
设随机变量 具有对称的分布函数 p(x)，即p(x)=p(-x) 证明：对任意的a>0，有
F(x)=aF(x)+bF(x)
也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型 证：因为F'X)与
F2(X)都是分布函数，于
F(x1) = aF1(x1)+bF2(x2)<= aF1(x1)+bF2(x2)= F(x2)
又
F(x-0)= aF1(x1-0)+bF2(x2-0)
=aF1(x)+bF2(x)= F(x) 所以，F(x)也是分布函数。
取a=b=1/2,又令
F1(x)=0 x<=0,1 x>0 F2(x)=0 x< = 0 x 01
此时
0 x 0
F(x) (1 x)/2 0 x 1
1 x 1
既然，与 F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故 F(x)不是离散型的，而 F(x)不
是连续函数，所以它也不是连续型的。
设随机变量 的分布函数为
1 (1 x x) e x 0 F (x)
0 x 0
求相应的密度函数, 并求 P( 1)。
解: d [1 (1 x x ) e ] xe x，所以相应的密度函数为
dx(1)F( a)
&)P(
(3)P( a)
a)
证：1)F( a) F(a) 土
2F(a) 1;
21 F(a).
a p(x)dx a
0 p(x) dx;
1 p(x)dx 1 F(a) p(x)dx a
0 p(x)dx p(x)dx a
p(x)dx
&)P( a) a
a p(x)dx 2o p(x)dx,由(1)知 1 F(a) 1
2
1
2 a
0 P(x)dx;
a
0 P(x)dx
故上式右端=
⑶P(丨a) 2F(a)-1;
1- P( | a) 1- 2F(a) 1。
设F，x)与 F2(x)都是分布函数，证明
解：因为
lim x
r)
所以
x 0
其他
解:
xe
1 ) F (1 ) 1 0
0
2
e
设随机变量 的分布函数为
0 x<0
F ( x ) Ax 2 0 x<1
0 x 1
求常数A及密度函数。
解：因为 F(1-0)=F(1) ，所以A= 1,密度函数为
F (x) ydy
ydy 1 2 x 2
x
1 (2 y )dy
x>2 1
1
0 其他
随机变量 的分布函数为 F(x)=A+B arctg(x). 常数A与B及相应的密度函数。
lim x
因而
F(x)= arctg p(x) (x) (1 x2)
已知崔机变量 的分布函数为
p(x)= 2-x 1
(1) 求相应的分布函数 F(x);
求P( 0.5), p( 1.3), P(0.2 1.2)
P ( 0.5) F (0.5) 1
8,
P ( 1.3) 1 P ( 1.3) 1 F (1.3) 0.245,
P (0.2
1.2) F (1.2) F (0.2) 0.66
确定下列函数仲的常数 A使该函数成为一兀分布的密度函数。
(2) p(x) A cos
0 x 一 x 一
2
其他 2
Ax 2 1 x 2
(3) p ( x )
Ax
2
0 其他
解： (1) _ Ae 凶dx 2 A e xdx 0 2A 1 , 所以A -；
2
(2) 2 A cos xdx 2 A 2 cos xdx 2 A 1 ,所以A 1
T 0
2
2 2 8
29
(3) Ax 2dx Axdx A 1 ,所以 A 6 。 1 2 6 29
在厶ABC中任取一点 P,P到AB的距离为，求 的分布函数
解：
作厶ABC的高CD,设CD=h当0< x< h时，作EF// AB,椒EF与AB间距离为x。
当0< x< h时
F(x)=P( v x)= S^FBA =1 -汪=1 - (U)2,
S ABC S ABC h
因此
F(x)= (1) p ( x ) Ae
0
2 h x
x
1
在半径为R,球心为O的球内任去一点 P,求 OP的分布函数
4 3
一 X 3
F(x)=P(
4 R3 R 3
0 x 0
3 X F(x)= 0 x R R
1 x R
2或 1因此,该方程有实根的概率
51 3 P( 2) P( 1) P( 2) 5~dx -. 5 5
设随机变量 服从正态分布 N(0,1),求
(1) P(0.02 2.33); (2)P 1.85 0.04 ;
(3) 2.80 1.21
解:(1)P(0.02 2.33) (2.33) (0.02)
0.4901 0.0080 0.4821;
⑵ P( 1.85 0.04) (0.04) (1.85) 某城市每天用电量不超过一百万度 表示每天的耗电率(即用电量除以一百万度 ),它具
有分布密度为
(x) 2 12x(1 x) 0 x 1
0 其他
若该城市每天的供电量仅有 80万度,求供电量不够需要的概率是多少如每天供电量为 又是怎样呢
P( 0.8) 08 12x(1 x)2dx 0.0272,
解：
P( 0.9) 0 912x(1 x)2dx 0.0037. 90万度
因此,若该城市每天的供电量为 80万度,供电量不够需要的概率为，若每天的供电量为
则供电量不够需要的概率为.
设随机变量 服从(0,5)上的均匀分布，求方程 90万度,
4x2 4 x 2 0
有实根的概率.
解:当且仅当
(4 ) 16( 2) 0 (1)
成立时，方程4x2 4 x 2 0有实根.不等式(1)的解为: 3 3
P
⑵
a 108
3__ 1.28,即 a
所以 2a
108
3
2a 108 36 a 108
3
111 .84;
108
2a 108
3
0.99 ,查表得空 0.90,.所以
2a 108
0.01,
2 .33 即 a 57 .5 (0.04) 1 (1.85)
0.5160 (1 097678)
(3)P( 2.80 1.21) (1.21) ( 2.80) 1 (1.21) 1 (2.80)
(2.80) (1.21) 0.9974 0.8869 0.1105
设随机变量 E服从正态分布 N(108, 9),
(1 )求 P (<；
(2 )求常数a ,使 P( E
(3 )求常数a ,使 P( IE - a| >a )=。
解：(1) P (
=P( 2.3 108 3.2)
(3.2) ( 2.3) (3.2) 1 (2.3)
0.999313 0.989276 0.988589;
