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第三章连续型随机变量3.1设随机变量 ξ 的分布函数为F （x ），试以F （x ）表示下列概率： 。
)()4();()3();()2();()1(a P a P a P a P >≥≤=ξξξξ 。
）（解：)0(1)()4();(1)()3();0()(P 2);()0()()1(+-=>-=≥+=≤-+==a F a P a F a P a F a a F a F a P ξξξξ3.2函数x211F(x)+=是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果在其它场合恰当定义。
在其它场合恰当定义；）（,0)3(,0)2(1<<∞-∞<<∞<<∞-x x x 解：(1)F(x)在),(∞-∞内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数； (2)F(x)在)0∞，（内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数； (3)F(x)在），（－0∞内单调上升、连续且，若定义 ⎩⎨⎧≥<<∞=01)()(~x x X F x F －则)(~x F 可以是某一随机变量的分布函数。
3.3函数 sinx 是不是某个随机变量ξ的分布函数？如果ξ的取值范围为[]。
，）；（，）；（，）（⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ230302201 解：(1)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时,sinx 0≥且1sin 20=⎰πxdx ，所以 sinx 可以是某个随机变量的分布密度； (2) 因为12sin 0≠=⎰πxdx ,所以sinx 不是随机变量的分布密度； (3) 当 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,ππx 时,sinx<=0所以sinx 不是随机变量的分布密度。
3.4设随机变量ξ具有对称的分布函数p(x)，即p(x)=p(-x) 证明：对任意的a>0，有[][]。
－－故上式右端＝知由证：）1)(21a)P(1a)(3)P(1;-2F(a))(21)(1)1(,)(2)()()2(;)(21)()(1)(1)(1)(1)(1)()()1(.)(F 12)()3(;1)(2)()2(;(p 21)(1)()1(00000-=<=>-=-==<-=--=-=-=+=-==--=>-=<-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞-∞-∞-∞--∞-a F dxx p a F dx x p dx x p a P dx x p dx x p dx x p a F dx x p dxx p dx x p dx x p a F a a P a F a P dx x a F a F a a a a a aaaaaa ξξξξξ3.5设)(1x F 与)(2x F都是分布函数，证明F(x)=aF(x)+bF(x)也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？ 证：因为)(1x F与 )(2x F 都是分布函数，于是F(x1)＝aF1(x1)+bF2(x2)<= aF1(x1)+bF2(x2)= F(x2) 又F(x-0)= aF1(x1-0)+bF2(x2-0) = aF1(x)+bF2(x)= F(x) 所以，F(x)也是分布函数。
第三章 离散型随机变量率分布。
，试写出命中次数的概标的命中率为目；设已知射手每次射击射击中命中目标的次数指示射手在这三次独立以本空间上定义一个函数验的样本空间；试在样作为试验，试写出此试察这些次射击是否命中三次独立射击，现将观一射手对某目标进行了7.0.1.343.0441.0189.0027.03210027.0)7.01()()0()0(189.0)7.01()7.01(7.03)(3)1()1()1()1(441.0)7.01(7.07.03)(3)2()2()2()2(343.0)7.0()()3()3()(0)(1)()()(2)()()(3)(},,,{)},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(3,2,1332183217653214323321187654321821321321321321321321321321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-======-⨯-⨯⨯===+=+====-⨯⨯⨯===+=+===================Ω==的分布列为所以，，则简记为将，，则代表击中目标的次数，令则次射中”，“第解：设ξξξξξξξξξξξξξξωξωξωξωξωξωξωξωξωξξωωωA A A P P P A A A P P P P P A A A P P P P P A A A P P P A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A i i A i i i。
出的废品数的概率分布前已取个，求在取得合格品之不再放回而再取来使用，若取得废品就个这批零件中任取个废品，安装机器时从个合格品、一批零件中有1139.2118805499101112123)3(132054109112123)2(13227119123)1(129)0(32101919110111111211213110191111211213111191121311219=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅===⨯⨯=⋅⋅===⨯=⋅=====C C C C C C C C P C C C C C C P C C C C P C C P ξξξξξξ，，，可能取值为：代表废品数，则解：令.1188054132054132271293210⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛的分布列为所以，ξ废品数的概率分布。
第三章 习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。
解：由习题二第2题计算结果0112{0}={1}=33p p p p ξξ====，得12201333E ξ=⨯+⨯= 一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。
解：方法一：先按定义计算长的数学期望290.3300.5310.229.9E ξ=⨯+⨯+⨯=和宽的数学期望190.3200.4210.320E η=⨯+⨯+⨯=再利用数学期望的性质计算周长的数学期望(22)229.922099.8E E ζξη=+=⨯+⨯=方法二：利用习题二地30题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学期望960.09980.271000.351020.231040.0698.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.对习题二第31题，（1）计算圆半径的期望值；（2）(2)E R π是否等于2ER π？（3）能否用2()ER π来计算远面积的期望值，如果不能用，又该如何计算？其结果是什么？解（1）100.1110.4120.3130.211.6ER =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由数学期望的性质有(2)223.2E R ER πππ==（3）因为22()()E R E R ππ≠，所以不能用2()E R π来计算圆面积的期望值。
利用随机变量函数的期望公式可求得222222()()(100.1110.4120.3130.2)135.4E R E R ππππ==⨯+⨯+⨯+⨯= 或者由习题二第31题计算结果，按求圆面积的数学期望1000.11210.41440.31690.2)135.4E ηπππ=⨯+⨯+⨯+⨯=4． 连续随机变量ξ的概率密度为,01(,0)()0,a kx x k a x ϕ⎧<<>=⎨⎩其它又知0.75E ξ= ，求k 和a 的值 解 由1010()11324a a kx dx kx dx a k E kx x dx a ϕξ+∞-∞===+=⋅==+⎰⎰⎰解得 2,3a k ==5．计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差（参看习题二第16题）。
概率论第三章习题参考解答1. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 求ξ的期望值 解：由习题二第2题算出ξ的分布率为ξ0 1 P1/32/3因此有E ξ=0×P (ξ=0)+1×P (ξ=1)=2/3+2η, ξ与η的分布律如下表所示:: 求周长的期望值, 用两种方法计算, 一种是利用矩形长与宽的期望计算, 另一种是利用周长的分布计算.解: 由长和宽的分布率可以算得E ξ=29×P (ξ=29)+30×P (ξ=30)+31×P (ξ=31) =29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9E η=19×P (η=19)+20×P (η=20)+21×P (η=21) =19×0.3+20×0.4+21×0.3=20 由期望的性质可得E ζ=2(E ξ+E η)=2×(29.9+20)=99.8而如果按ζ的分布律计算它的期望值, 也可以得E ζ=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8 验证了期望的性质.4. 连续型随机变量ξ的概率密度为⎩⎨⎧><<=其它)0,(10)(a k x kx x aϕ又知Eξ=0.75, 求k 和a 的值。
解: 由性质⎰+∞∞-=1)(dx x ϕ得111)(|10110=+=+==++∞∞-⎰⎰a kx a k dx kx dx x a aϕ即k =a +1(1)又知75.022)(|10211=+=+===+++∞∞-⎰⎰a kx a k dx kx dx x x E a a ϕξ得k =0.75a +1.5(2)由(1)与(2)解得0.25a =0.5, 即a =2, k =36. 下表是某公共汽车公司的188辆汽车行驶到发生一次引擎故障的里程数的分布数列.若表中各以组中值为代表. 从188辆汽车中, 任意抽选15辆, 得出下列数字: 90, 50, 150, 110, 90, 90, 110, 90, 50, 110, 90, 70, 50, 70, 150. (1)求这15个数字的平均数; (2) 计算表3-9中的期望并与(1)相比较.解: (1) 15个数的平均数为(90+50+150+110+90+90+110+90+50+110+90+70+50+70+150)/15 = 91.33 (2) 按上表计算期望值为(10×5+30×11+50×16+70×25+90×34+110×46+130×33+150×16+170×2)/188 =96.177. 两种种子各播种300公顷地, 调查其收获量, 如下表所示, 分别求出它们产量的平均值解: 假设种子甲的每公顷产量数为, 种子乙的每公顷产量数为, 则 E ξ=(4500×12+4800×38+5100×40+5400×10)/100=4944 E η=(4500×23+4800×24+5100×30+5400×23)/100=49598. 一个螺丝钉的重量是随机变量, 期望值为10g , 标准差为1g . 100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差各为多少?(假设各个螺丝钉的重量相互之间独立) 解: 假设这100个螺丝钉的重量分别为ξ1, ξ2,…, ξ100, 因此有E ξi =10, Dξi =102=12=1, (i =1,2,…,100), 设ξ为这100个螺丝钉的总重量，因此∑==1001i i ξξ，则ξ的数学期望和标准差为gD D D kgg E E E i ii i i i i i 1011001)(1000101001001100110011001=⨯==⎪⎭⎫⎝⎛====⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑====ξξξσξξξξ9. 已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值.解: 假设ξ为取出5个产品中的次品数, 又假设ξi 为第i 次取出的次品数, 即, 如果第i 次取到的是次品, 则ξi =1否则ξi =0, i =1,2,3,4,5, ξi 服从0-1分布,而且有 P {ξi =0}=90/100, P {ξi =1}=10/100, i =1,2,3,4,5因此, E ξi =10/100=1/10, 因为∑==51i iξξ因此有5.010155151=⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==i i i i E E E ξξξ10. 一批零件中有9个合格品和3个废品, 在安装机器时, 从这批零件中任取一个, 如果取出的是废品就不再放回去. 求取得第一个合格品之前, 已经取出的废品数的数学期望和方差. 解: 假设在取到第一个合格品之前已取出的废品数为ξ, 则可算出0045.02201101112123}3{041.02209109112123}2{2045.0119123}1{75.0129}0{==⋅⋅====⋅⋅===⋅=====ξξξξP P P P因此有319.009.0409.0)(409.090045.04041.02045.03.030045.02041.02045.0222===-==⨯+⨯+==⨯+⨯+=ξξξξξE E D E E11. 假定每人生日在各个月份的机会是同样的, 求3个人中生日在第一个季度的平均人数. 解: 设三个随机变量ξi ,(i =1,2,3), 如果3个人中的第i 个人在第一季度出生, 则ξi =1, 否则ξi =0, 则ξi 服从0-1分布, 且有 P (ξi =1)=1/4, 因此E ξi =1/4, (i =1,2,3)设ξ为3个人在第一季度出生的人数, 则ξ=ξ1+ξ2+ξ3, 因此Eξ=E (ξ1+ξ2+ξ3)=3Eξi =3/4=0.7512. ξ有分布函数⎩⎨⎧>-=-其它1)(x e x F xλ, 求E ξ及D ξ. 解: 因ξ的概率密度为⎩⎨⎧>='=-其它)()(x e x F x xλλϕ, 因此 ()λλλϕξλλλλλ11)(0=-=+-=-===∞+-∞+-∞+-+∞-+∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx xxxe dx e xe e xd dx ex dx x x E()2220222222)(|λξλλϕξλλλλ==+-=-===⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-+∞-+∞-+∞∞-E dx xe ex e d x dx ex dx x x E x x x x22222112)(λλλξξξ=-=-=E E D13. ⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它1||11)(~2x x x πϕξ, 求E ξ和D ξ.解: 因φ(x )是偶函数, 因此Eξ=0,则D ξ=Eξ2-(Eξ)2=Eξ2 因此有⎰⎰-===+∞∞-1222212)(dx xx dx x x E D πϕξξ令θθθd dx x cos ,sin ==则上式=2112sin 21212cos 2sin 12||20202022=+=+=⎰⎰ππππθπθπθθπθθπd d 即D ξ=1/2=0.516. 如果ξ与η独立, 不求出ξη的分布直接从ξ的分布和η的分布能否计算出D (ξη), 怎样计算?解: 因ξ与η独立, 因此ξ2与η2也独立, 则有[]()()222222)()()(ηξηξξηξηξηE E E E E E D -=-=17. 随机变量η是另一个随机变量ξ的函数, 并且η=e λξ(λ>0), 若E η存在, 求证对于任何实数a 都有λξλξEe ea P a⋅≤≥-}{.证: 分别就离散型和连续型两种情况证. 在ξ为离散型的情况: 假设P (ξ=x i )=p i , 则λξλξλλλξEe e e E p e p ep a P a a i i a x ax i a x ax i i i i i --∞=-≥-≥==≤≤=≥∑∑∑][){)(1)()(在ξ为连续型的情况假设ξ的概率密度为φ(x ), 则λξλξλλλϕϕϕξEe e Ee dx x e dx x edx x a P a a a x aa x a--+∞∞--+∞-+∞==≤≤=≥⎰⎰⎰)()()()()()(}{证毕.18. 证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.证: 设ξ为一次试验中事件A 发生的次数, 当然最多只能发生1次, 最少为0次, 即ξ服从0-1分布, P {ξ=1}=P (A )=p , P {ξ=0}=1-p =q ,则4121412124141)1(222≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⋅+-=-=-=p p p p p p p D ξ19. 证明对于任何常数c , 随机变量ξ有 D ξ=E (ξ-c )2-(Eξ-c )2证: 由方差的性质可知D (ξ-c )=Dξ, 而2222)()()]([)()(c E c E c E c E c D ---=---=-ξξξξξ证毕.20. (ξ,η)的联合概率密度φ(x ,y )=e -(x +y )(x ,y >0), 计算它们的协方差cov (ξ,η). 解: 由φ(x ,y )=e -(x +y )(x ,y >0)可知ξ与η相互独立, 因此必有cov (ξ,η)=0.21. 袋中装有标上号码1,2,2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求ξ与η的协方差.,P {ξ=2}=P {η=2}=2/3, P {ξ=1}=P {η=1}=1/3, E ξ=E η=35322311=⨯+⨯38314312312},{)(2121=⨯+⨯+⨯====∑∑==i j j i ijP E ηξξη则913538)(),cov(22-=-=⋅-=ηξξηηξE E E22. (ξ , η)只取下列数组中的值：)0,2()31,1()1,1()0,0(--且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 求ξ与η的相关系数ρ, 并判断ξ与η是否独立? 解: ξ与的联合分布表及各边缘分布计算表如下表所示: 因此1212260121=⨯+⨯+⨯-=ξE 1225125412512=⨯+⨯=ξE 144275144251225)(22=-=-=ξξξE E D 3613311121311270=⨯+⨯+⨯=ηE 1083731121912=+⨯=ηE 129627512961691237129616910837)(22=-⨯=-=-=ηηηE E D 36133112131)(-=-⨯-=ξηE则4322211236171336131253613)(),cov(-=⨯⨯-=⋅--=⋅-=ηξξηηξE E E 相关系数804.027522127543236122211296275144275432221),cov(-=-=⨯⨯⨯-=⨯-==ηξηξρD D, 计算ξ与η的相关系数ρ, 并判断ξ与η是否独立? 解: 由上表的数据的对称性可知与η的边缘分布一样, 算出为 P (ξ=-1)=P (η=-1)=3/8 P (ξ=0)=P (η=-0)=2/8P (ξ=1)=P (η=1)=3/8 由对称性可知Eξ=Eη=0831831=⨯+⨯-. 081818181)(=+--=ξηE 因此cov (ξ,η)=E (ξη)-E (ξ)E (η)=0 则ρ=0而P (ξ=0,η=0)=0≠P {ξ=0}P {η=0}=1/16因此ξ与η不独立. 这是一个随机变量间不相关也不独立的例子.24. 两个随机变量ξ与η, 已知Dξ=25, Dη=36, ρξη=0.4, 计算D (ξ+η)与D (ξ-η). 解:374.065236252),cov(2)]()[()]([)(854.065236252),cov(2)]()[()]([)(2222=⨯⨯⨯-+=-+=-+=---==---=-=⨯⨯⨯++=++=++=-+-==+-+=+ξηξηρηξηξηξηξηηξξηξηξηξρηξηξηξηξηηξξηξηξηξD D D D D D E E E E E D D D D D D D E E E E E D《概率论与数理统计》复习资料一、填空题（15分）题型一：概率分布的考察 【相关公式】（P379）【相关例题】 1、设(,)XU a b ，()2E X =，1()3D Z =，则求a ，b 的值。
概率论课后习题答案第三章第三章概率论课后习题答案概率论是一门研究随机现象的数学学科，它在现代科学和工程领域中有着广泛的应用。
而习题则是巩固和加深对概率论知识的理解和应用的重要手段。
在第三章的习题中，我们将探讨一些与随机变量和概率分布相关的问题，并给出相应的答案和解析。
1. 设随机变量X服从参数为λ的指数分布，即X～Exp(λ)，其概率密度函数为f(x) = λe^(-λx)，x≥0。
求以下概率：(a) P(X > 2)(b) P(X ≤ 1)(c) P(1 ≤ X ≤ 3)答案：(a) P(X > 2) = ∫[2,∞] λe^(-λx) dx = e^(-2λ)(b) P(X ≤ 1) = ∫[0,1] λe^(-λx) dx = 1 - e^(-λ)(c) P(1 ≤ X ≤ 3) = ∫[1,3] λe^(-λx) dx = e^(-λ) - e^(-3λ)解析：根据指数分布的性质，我们可以利用概率密度函数求解概率。
对于(a)，我们计算X大于2的概率，即求解X在区间[2,∞]上的概率密度函数的积分。
对于(b)，我们计算X小于等于1的概率，即求解X在区间[0,1]上的概率密度函数的积分。
对于(c)，我们计算X在1到3之间的概率，即求解X在区间[1,3]上的概率密度函数的积分。
2. 设随机变量X服从参数为μ和σ^2的正态分布，即X～N(μ,σ^2)，其概率密度函数为f(x) = (1/(σ√(2π))) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，-∞<x<∞。
求以下概率：(a) P(X > μ)(b) P(X ≤ μ)(c) P(μ-σ ≤ X ≤ μ+σ)答案：(a) P(X > μ) = 1 - P(X ≤μ) = 1 - 0.5 = 0.5(b) P(X ≤ μ) = 0.5(c) P(μ-σ ≤ X ≤ μ+σ) = P(X ≤ μ+σ) - P(X ≤ μ-σ) = 0.6827 - 0.3173 =0.3654解析：对于正态分布，我们可以利用概率密度函数求解概率。
第三章 多维随机变量及其分布§3.1一、 设随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≥≥=--。
y x ke y x f y x 其他,0.0,0,),(43(1) 求常数k ; (2) 求分布函数),(y x F (3) 求{}20,10≤<≤<Y X P 解:（1）⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞--+∞+∞--+∞∞-+∞∞-====043043),(1dy e dx e k dxdy kedxdy y x f y xyx12)10)(10(12)4()3(120043k k y d e x d e k yx ⎰⎰+∞+∞--=--=-- 知12=k（2）()()⎪⎩⎪⎨⎧≥≥--==⎰⎰----。
y x e e dudv e y x F x y yx v u 其他00,01112),(004343（3）{}118310001202120,10---+--=+--=≤<≤<e e e ），F （），F （），F （），F （Y X P 二、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为),()1)(1(),(22+∞<<-∞∞<<-∞++=y x y x Cy x f求（1）常数C ； （2）{}10,10≤<≤<Y X P ； （3）分布函数),(y x F 。
解：（1）=++=++⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-+∞∞-dy ydx x C dxdy y x C 22221111)1)(1( 22002021,1224|arctan |arctan 411114ππππ=⇒====++=∞+∞++∞+∞⎰⎰C C C y x C dy y dx x C（2）{}161)1)(1(110,101022210=++=≤<≤<⎰⎰dxdy y x Y X P π （3）=++=++=⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-∞-dy y dx x dxdy y x y x F y xx y22222211111)1)(1(11),(ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21arctan 121arctan 1y x ππ),(+∞<<-∞∞<<-∞y x二、 设随机变量X 和Y 有联合概率密度⎩⎨⎧≤≤=。
习题3-11.而且12{P X X =. 求X 1和X 2的联合分布律.解 由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布必形于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04P X P X =⋅==≠, 所以X 1和X 2不独立.2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律.解 从7只球中取4球只有3547=C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红球有j 只(余下为白球4i j --只)的取法为4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4.于是有0223221{0,2}3535P X Y C C C ====,1113226{1,1}3535P X Y C C C ====,1213226{1,2}3535P X Y C C C ====,2023223{2,0}3535P X Y C C C ====,21132212{2,1}3535P X Y C C C ====,2203223{2,2}3535P XY C C C ====,3013222{3,0}3535P X Y C C C ====, 3103222{3,1}3535P X Y C C C ====,{0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============.3. (,)(6),02,24,0,.f x y k x y x y =--<<<<⎧⎨⎩其它求: (1) 常数k ; (2){1,3}P X Y <<; (3) { 1.5}P X <; (4) {4}P X Y +≤.解 (1) 由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰, 得2424222204211d (6)d (6)d (10)82y k x y x k y x x y k y y k =--=--=-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰, 所以18k =. (2)3121,31{1,3}d (6)d 8(,)d d x y P X Y y x y x f x y x y <<<<==--⎰⎰⎰⎰1322011(6)d 82y x x y =--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰321113()d 828y y =-=⎰. (3)1.51.5{ 1.5}d (,)d ()d X P X x f x y y f x x +∞-∞-∞-∞<==⎰⎰⎰4 1.521d (6)d 8y x y x --=⎰⎰1.5422011(6)d 82y x x y =--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰ 421633()d 882y y =-⎰ 2732=. (4) 作直线4x y +=, 并记此直线下方区域与(,)0f x y ≠的矩形区域(0,2)(0,4)⨯的交集为G . 即:02,0G x y <<<≤4x -.见图3-8. 因此{P X Y +≤4}{(,)}P X Y G =∈(,)d d Gf x y x y =⎰⎰44201d (6)d 8x y x y x -=--⎰⎰4422011(6)d 82xy x x y -=--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰42211[(6)(4)(4)]d 82y y y y =----⎰ 42211[2(4)(4)]d 82y y y =-+-⎰ 423211(4)(4)86y y =----⎡⎤⎢⎥⎣⎦23=.图3-8 第4题积分区域4. 二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2(,),1,01,0,f x y kxy x y x =⎧⎨⎩≤≤≤≤其它. 试确定k , 并求2{(,)},:,01P X Y G G x y x x ∈≤≤≤≤.解 由2111401(,)d d d (1)d 26xk k f x y xdy x kxy y x x x +∞+∞-∞-∞====-⎰⎰⎰⎰⎰,解得6=k .因而2112401{(,)}d 6d 3()d 4xxP X Y G x xy y x x x x ∈==-=⎰⎰⎰. 5. 设二维随机变量(X , Y )概率密度为4.8(2),01,0,(,)0,.y x x y x f x y -=⎧⎨⎩≤≤≤≤其它 求关于X 和Y 边缘概率密度.解 (,)X Y 的概率密度(,)f x y 在区域:0G ≤x ≤1,0≤y ≤x 外取零值.因而,有024.8(2)d ,01,()(,)d 0,2.4(2),01,0,xX y x y x f x f x y y x x x +∞-∞-<<==-<<=⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩⎰⎰其它.其它. 124.8(2)d ,01,()(,)d 0,2.4(34),01,0,yY y x x y f y f x y x y y y y +∞-∞-<<==-+<<=⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩⎰⎰其它.其它.6. 假设随机变量U 在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量1,1,1,1,U X U --=>-⎧⎨⎩若≤若 1,1,1, 1.U Y U -=>⎧⎨⎩若≤若试求：(1) X 和Y 的联合概率分布；(2){P X Y +≤1}.解 (1) 见本章第三节三(4).(2){P XY +≤1}1{1}P X Y =-+>1{1,1}P X Y =-==13144=-=. 习题3-21. 设(X , Y )的分布律为求: (1)在条件X =2下Y 的条件分布律;(2) {22}P X Y ≥≤.解 (1) 由于6.02.01.003.0}2{=+++==X P ,所以在条件X =2下Y 的条件分布律为216.03.0}2{}1,2{}2|1{========X P Y X P X Y P ,06.00}2{}2,2{}2|2{========X P Y X P X Y P ,616.01.0}2{}3,2{}2|3{========X P Y X P X Y P ,316.02.0}2{}4,2{}2|4{========X P Y X P X Y P ,{P Y ≤2}{1}{2}P Y P Y ==+==0.10.3000.20.6++++=.而{2,2}{2,1}{2,2}{3,1}{3,2}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ===+==+==+==≥≤0.3000.20.5=+++=.因此{2,2}{22}{2}P X Y P X Y P Y =≥≤≤≥≤0.550.66==. 2. 设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,e y x x ===所围成, 二维随机变量(X , Y )在区域D 上服从均匀分布, 求(X , Y )关于X 的边缘概率密度在x =2处的值.解 由题设知D 的面积为22e e111d ln 2DS x x x ===⎰.因此, (X ,Y )的密度为1,(,),(,)20x y D f x y ∈=⎧⎪⎨⎪⎩，其它.由此可得关于X 的边缘概率密度()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰.显然, 当x ≤1或x ≥e 2时,()0X f x =; 当21e x <<时,111()d 22x X f x y x==⎰. 故(2)14X f =. 3. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为(,)1,01,02,0,.f x y x y x =<<<<⎧⎨⎩其它 求：(1) (X , Y )的边缘概率密度(),()X Y f x f y ；(2)11{}.22P Y X ≤≤ 解 (1) 当01x <<时,20()(,)d d 2x X f x f x y y y x +∞-∞===⎰⎰;当x ≤0时或x ≥1时, ()0X f x =.故2,01,()0,其它.X x x f x <<=⎧⎨⎩当0<y <2时,12()(,)d d 12y Y y f y f x y x x +∞-∞===-⎰⎰;当y ≤0时或y ≥2时, ()0Y f y =.故1,02,()20,.Y yy f y -<<=⎧⎪⎨⎪⎩其它(2) 当z ≤0时,()0Z F z =;当z ≥2时,1)(=z F Z ; 当0<z <2时,(){2Z F z P X Y =-≤2}(,)d d x y zz f x y x y -=⎰⎰≤2x12202-2d 1d d 1d zxz x zx y x y =⋅+⋅⎰⎰⎰⎰24z z =-.故1,02,()20,.()其它Z z zz f z F z -<<'==⎧⎪⎨⎪⎩(3) {}{}11311322161122442≤，≤≤≤≤P X Y P Y X P X ===⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 4. 设G 是由直线y =x , y =3,x =1所围成的三角形区域, 二维随机变量(,)X Y 在G 上服从二维均匀分布.求:(1) (X , Y )的联合概率密度；(2) {1}P Y X -≤；(3) 关于X 的边缘概率密度.解 (1)由于三角形区域G 的面积等于2, 所以(,)X Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,21),(G y x G y x y x f (2)记区域x y y x D -=|),{(≤}1与G 的交集为0G ,则{1}P Y X -≤0011113d d (2)22224G G x y S ===-=⎰⎰.其中0G S 为G 0的面积.(3) X 的边缘概率密度()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰. 所以,当]3,1[∈x 时, 311()d (3)22X xf x y x ==-⎰. 当1<x 或3>x 时, 0)(=x f X .因此⎪⎩⎪⎨⎧∈-=.,0],3,1[),1(21)(其它x x x f X习题3-31. 设X 与Y 相互独立, 且分布律分别为下表:求二维随机变量(,)X Y 的分布律.解 由于X 与Y 相互独立, 所以有}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P =⋅====,6,5,2,0;0,21,1=--=j i .因此可得二维随机变量(,)X Y 的联合分布律2. 设(X , Y )的分布律如下表:问,αβ为何值时X 与Y 相互独立?解由于边缘分布满足23111,1i j i j pp ⋅⋅====∑∑, 又X , Y 相互独立的等价条件为p ij = p i . p .j (i =1,2; j =1,2,3).故可得方程组21,3111().939αβα++==⋅+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 解得29α=,19β=.经检验, 当29α=,19β=时, 对于所有的i =1,2; j =1,2,3均有p ij = p i . p .j 成立. 因此当29α=,19β=时, X 与Y 相互独立..3. 设随机变量X 与Y 的概率密度为()e (,)0,.,01,0,x y b f x y x y -+=⎧<<>⎨⎩其它(1) 试确定常数b .(2) 求边缘概率密度()X f x , ()Y f y .(3) 问X 与Y 是否相互独立？ 解 (1) 由11()101(,)d d e d d e d e d (1e )x y y x f x y x y b y x b y x b +∞+∞+∞+∞-+----∞-∞====-⎰⎰⎰⎰⎰⎰,得111e b -=-.(2) ()(,)d X f x f x y y ∞-∞=⎰1e ,01,1e 0,xx --<<=-⎧⎪⎨⎪⎩其它.()(,)d Y f y f x y x ∞-∞=⎰e ,0,0,y y ->=⎧⎨⎩其它.(3) 由于(,)()()X Y f x y f x f y =⋅，所以X 与Y 相互独立.4. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布, Y 的概率密度为21e ,0,()20Y yy f y y ->=⎧⎪⎨⎪⎩，≤0.(1) 求X 和Y 的联合概率密度.(2) 设关于a 的二次方程为220a Xa Y ++=, 试求a 有实根的概率.解 (1) 由题设知X 和Y 的概率密度分别为1,01,()0,X x f x <<=⎧⎨⎩其它，21e ,0,()20,.yY y f y ->=⎧⎪⎨⎪⎩其它 因X 和Y 相互独立, 故(X , Y )的联合概率密度为21e ,01,0(,)()()20,.yX Y x y f x y f x f y -<<>==⎧⎪⎨⎪⎩其它 (2) 方程有实根的充要条件是判别式大于等于零. 即244X Y ∆=-≥20X ⇔≥Y .因此事件{方程有实根}2{X =≥}Y .下面计算2{P X ≥}Y (参见图3-3).2{P X ≥}Y 2211221(,)d d e d (1e)d 2yxx Df x y xdy x y x --===-⎰⎰⎰⎰⎰2121ed 12[(1)(0)]0.1445xx πΦΦ-=-=--≈⎰.图3-3 第6题积分区域习题3-41. 设二维随机变量(X ,Y )的概率分布为YX 0 10 0.4 a 1 b 0.1若随机事件{X =0}与{X +Y =1}相互独立, 求常数a , b .解 首先, 由题设知0.40.11a b +++=. 由此得0.5a b +=. 此外, {0}0.4P X a ==+,{1}{0,1}{1,0}0.5P X Y P X Y P X Y a b +====+===+=, {0,1}{0,1}P X X Y P X Y a =+=====.根据题意有{0,1}{0}{1}P X X Y P X P X Y =+===+=, 即(0.4)0.5a a =+⨯. 解得0.4,0.1a b ==.2. 设两个相互独立的随机变量X ,Y 的分布律分别为X 1 3 Y 2 4 P X 0.3 0.7 P Y 0.60.4求随机变量Z = X + Y 的分布律.解 随机变量Z = X + Y 的可能取值为7,5,3.Z 的分布律为18.06.0.03}2,1{}3{=⨯=====Y X P Z P , {5}{1,4}{3,2}0.30.4070.60.54P Z P X Y P X Y ====+===⨯+⨯=,28.04.07.0}4,3{}7{=⨯=====Y X P Z P ,或写为Z 3 5 7 P Z0.18 0.54 0.283. 随机变量X与Y相互独立, 且均服从区间[0,3]上的均匀分布, 求{}max{,}1P X Y ≤.解 由题意知, X 与Y 的概率密度均为1,03,()30x f x =⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，其它.又由独立性, 有P {max{X +Y }≤1}=P {X ≤1,Y ≤1}= P {X ≤1} P {Y ≤1}.而 P {X ≤1}= P {Y ≤1}11011()d d 33f x x x -∞===⎰⎰, 故 P {max{X +Y }≤1}=111339⨯=. 4. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X 服从正态分布N (μ, σ2), Y 服从均匀分布U (-a , a )( a >0), 试求随机变量和Z =X +Y 的概率密度.解 已知X 和Y 的概率密度分别为22()2()e2x X f x μσπσ--=,),(+∞-∞∈x ;⎪⎩⎪⎨⎧-∉-∈=).,(,0),,(,21)(a a y a a y ay f Y .由于X 和Y 相互独立, 所以22()21()()()d e d 22z y a Z X Y a f z f z y f y y y a μσπσ---+∞-∞-=-=⎰⎰=1[()()]2z μa z μa ΦΦa σσ-+---. 10. 设随机变量X 和Y 的联合分布是正方形G={(x,y )|1≤x ≤3, 1≤y ≤3}上的均匀分布,试求随机变量U=|X -Y|的概率密度f (u ).解 由题设知, X 和Y 的联合概率密度为111,3,3,(,)40,.x y f x y =⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤其它记()F u 为U 的分布函数, 参见图3-7, 则有 当u ≤0时,(){||F u P X Y =-≤u }=0;当u ≥2时,()1F u =;当0< u <2时, 图3-7 第8题积分区域||(){}(,)d d x y uF u P U u f x y x y -==⎰⎰≤≤21[42(2)]412u =-⨯- 211(2)4u =--.故随机变量||U X Y =-的概率密度为1(2),02,()20,u u p u -<<=⎧⎪⎨⎪⎩其它..总习题三1. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=.,0,10,||,1),(其它x x y y x f 求条件概率密度)|()|(||y x f x y f Y X X Y 和.解 首先2,01,()0,.(,)其它X x x f x f x y dy +∞-∞<<==⎧⎨⎩⎰1,01,()1,10,0,(,)≤其它.Y y y f y y y f x y dx +∞-∞-<<==+-<⎧⎪⎨⎪⎩⎰图3-9第1题积分区域当01y <<时, |1,1,1(|)0,X Y y x y f x y x <<-=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.当1y -<≤0时, |1,1,1(|)0,X Y y x y f x y x -<<+=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.当10<<x 时,|1,||,(|)20,Y X y x f y x x y <=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.2. 设随机变量X 与Y 相互独立, 下表列出二维随机变量(,)X Y 的分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中部分数值, 试将其余数值填入表中空白处 .解 首先, 由于11121{}{,}{,}P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==,所以有11121111{,}{}{,}6824P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=.在此基础上利用X 和Y 的独立性, 有11111{,}124{}1{}46P X x Y y P X x P Y y =======.于是 2113{}1{}144P X x P X x ==-==-=.再次, 利用X 和Y 的独立性, 有12211{,}18{}1{}24P X x Y y P Y y P X x =======. 于是 312111{}1{}{}1623P Y y P Y y P Y y ==-=-==--=.最后, 利用X 和Y 的独立性, 有2222313{,}{}{}428P X x Y y P X x P Y y ======⨯=; 2323311{,}{}{}434P X x Y y P X x P Y y ======⨯=;1313111{,}{}{}4312P X x Y y P X x P Y y ======⨯=. 因此得到下表3. 设随机变量的概率密度为(34)e (,)0,.,0,0,x y k f x y x y -+=⎧>>⎨⎩其它(1) 求常数k ；(2) 求(X ,Y )的分布函数；(3) 计算{01,02}P X Y <<≤≤;(4) 计算(),x f x ()y f y ；(5) 问随机变量X 与Y 是否相互独立?解 (1)由3401(,)d d e d e d 12xy kf x y x y k x y +∞+∞+∞+∞---∞-∞===⎰⎰⎰⎰,可得12=k .(2) (X ,Y )的分布函数(,)(,)d d x y F x y f u v x y -∞-∞=⎰⎰.当x ≤0或y ≤0时,有 0),(=y x F ;当0,0>>yx 时, 34340(,)12e d e d (1e )(1e )xyu v x y F x y u v ----==--⎰⎰.即 34(1e )(1e ),0,0,(,)0,.其它x y x y F x y --⎧-->>=⎨⎩(3) {01,02}P X Y <<≤≤38(1,2)(0,0)(1e )(1e )F F --=-=--.(4) (34)012ed ,0,()(,)d 0,其它.x y X y x f x f x y y +∞-++∞-∞⎧>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰ 所以 33e ,0,()0,其它.x X x f x -⎧>=⎨⎩类似地, 有44e ,0,()0,其它.y Y y f y -⎧>=⎨⎩显然2),(),()(),(R y x y f x f y x f Y X ∈∀⋅=, 故X 与Y 相互独立. 4.解 已知),(Y X 的分布律为注意到41260}1{}1{=++====Y P X P , 而0}1,1{===Y X P ,可见P {X =1, Y =1}≠P {X =1}P {Y =1}. 因此X 与Y 不相互独立.(2) Z X Y =+的可能取值为3, 4, 5, 6, 且316161}1,2{}2,1{}3{=+===+====Y X P Y X P Z P , }1,3{}2,2{}3,1{}4{==+==+====Y X P Y X P Y X P Z P3112161121=++=, 316161}2,3{}3,2{}5{=+===+====Y X P Y X P Z P . 即ZX Y =+(3)max{,}V X Y =的可能取值为2, 3, 且21}2,2{}1,2{}2,1{}2{===+==+====Y X P Y X P Y X P V P , 21}2{1}3{==-==V P V P . 即max(,)VX Y =的分布律为(4)min{U X =的可能取值为1, 2, 且}3,1{}2,1{}1{==+====Y X P Y X P U P}1,2{}1,3{==+==+Y X P Y X P 21=, 21}1{1}2{==-==U P U P . 即min{,}UX Y =的分布律为(5)W U V =+31}1,2{}2,1{}2,1{}3{===+=======Y X P Y X P V U P W P , }2,2{}3,1{}4{==+====V U P V U P W P31}2,2{}1,3{}3,1{===+==+===y X P Y X P Y X P , 31}2,3{}3,2{}3,2{}5{===+=======Y X P Y X P V U P W P .5. 2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它. (1) 求P {X >2Y }; (2) 求Z = X +Y 的概率密度f Z (z ).解 (1)1120227{2}(,)d d d (2)d 24yx yP X Y f x y x y y x y x >>==--=⎰⎰⎰⎰. (2) 方法一: 先求Z 的分布函数:()()(,)d d Z x y zF z P X Y Z f x y x y +=+=⎰⎰≤≤.当z <0时, F Z (z )<0; 当0≤z <1时,1()(,)d d d (2)d zz yZ D F z f x y x y y x y x -==--⎰⎰⎰⎰= z 2-13z 3; 当1≤z <2时,2111()1(,)d d 1d (2)d Z z z yD F z f x y x y y x y x --=-=---⎰⎰⎰⎰= 1-13(2-z )3; 当z ≥2时, F Z (z ) = 1.故Z = X +Y 的概率密度为222,01,()()(2),12,0,Z Z z z z f z F z z z ⎧-<<⎪'==-<⎨⎪⎩≤其它.方法二: 利用公式()(,)d :Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰2(),01,01,(,)0,x z x x z x f x z x ---<<<-<⎧-=⎨⎩其它 2,01,1,0,.z x x z x -<<<<+⎧=⎨⎩其它当z ≤0或z ≥2时, f Z (z ) = 0; 当0<z <1时, 0()(2)d (2);zZ f z z x z z =-=-⎰当1≤z <2时,121()(2)d (2).Z z f z z x z -=-=-⎰故Z = X +Y 的概率密度为222,01,()(2),12,0,.Z z z z f z z z ⎧-<<⎪=-<⎨⎪⎩≤其它.6. 设随机变量(X , Y )得密度为21,01,02,(,)30,.其它x xy x y x y ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩≤≤≤≤试求: (1) (X , Y )的分布函数; (2) (X , Y )的两个边缘分布密度; (3) (X , Y )的两个条件密度; (4) 概率P {X +Y >1}, P {Y >X }及P {Y <12|X <12}.解 (1) 当x ≤0或y ≤0时, φ(x , y ) = 0, 所以 F (x , y ) = 0. 当0<x ≤1, 0<y ≤2时, φ(x , y ) = x 2+13xy ,所以201(,)(,)d d [()d ]d 3xyxyF x y u v u v u uv v u -∞-∞==+⎰⎰⎰⎰ϕ32211312x y x y =+. 当0<x ≤1, y >2时,2(,)(,)d d [(,)d ]d [(,)d ]d xyx y x F x y u v u v u v v u u v v u -∞-∞===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ϕϕϕ22001[()d ]d 3xu uv v u =+⎰⎰21(21)3x x =+. 当x >1, 0<y ≤2时,1(,)(,)d d [(,)d ]d xyyF x y u v u v u v v u -∞-∞==⎰⎰⎰⎰ϕϕ12001[()d ]d 3yu uv v u =+⎰⎰1(4)12y y =+. 当x >1, y >2时,122001(,)[()d ]d 13F x y u uv v u =+=⎰⎰.综上所述, 分布函数为220,00,1(),01,02,341(,)(21),01,2,31(4),1,02,121,1, 2.或≤≤≤≤≤≤x y y x y x x y F x y x x x y y y x y x y ⎧⎪⎪+<<⎪⎪⎪=+<>⎨⎪⎪+><⎪⎪>>⎪⎩(2) 当0≤x ≤1时,22202()(,)d ()d 2,33X xy x x y y x y x x ϕϕ+∞-∞==+=+⎰⎰ 故 222,01,()30,.其它≤≤X x x x x ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩当0≤y ≤2时,12011()(,)d ()d ,336Y xy y x y x x x y ϕϕ+∞-∞==+=+⎰⎰ 故 11,02,()360,.其它≤≤Y y y y ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩(3) 当0≤y ≤2时, X 关于Y = y 的条件概率密度为2(,)62(|).()2Y x y x xy x y y yϕϕϕ+==+当0≤x ≤1时, Y 关于X = x 的条件概率密度为(,)3(|).()62X x y x yy x y x ϕϕϕ+==+(4) 参见图3-10.图3-10 第9题积分区域 图3-11 第9题积分区域1{1}(,)d d x y P X Y x y x y ϕ+>+>=⎰⎰12201165d ()d .372x x x xy y -=+=⎰⎰ 同理, 参见图3-11.{}(,)d d y x P Y X x y x y ϕ>>=⎰⎰1220117d ()d .324x x x xy y =+=⎰⎰ 1111{,}(,)112222{|}1122{}()22X P X Y F P Y X P X F <<<<==< 211(,)221201()534.32()d |X y x y x x x ϕ+==⎰。
